Low-Rank Sum-of-Squares Representations on Varieties of Minimal Degree
希尔伯特的一个著名结果说，每一个实非负三元四次曲线都是三个平方的和。我们更一般地表明，每一个非负的二次型上的一个真正的射影簇$X$的最低程度是一个总和的$\dim(X)+1$平方的线性型。这加强了Blekherman，Smith和Velasco最近结果的一个方向。我们的上界是最好的可能的，它意味着存在的低秩分解的二元矩阵多项式和表示的biforms作为几个平方和。我们确定了一般二次型的平方和表示的最小程度的表面上的等价类的数量，概括了计数三元四次幂的权力，Reznick，Scheiderer，和Sottile。
2017-03-04 math.AG math.OC
On real typical ranks
我们研究关于一个真正的品种$X$的典型的行列。例如张量秩（$X$是Segre变种）和对称张量秩（$X$是Veronese变种）。我们表明，任何之间的最小典型秩和最大典型秩的秩也是典型的。我们调查的典型秩的$n$变量对称张量的顺序$d$，或等价的齐次多项式的程度$d$在$n$变量，小值的$n$和$d$。我们证明了$4$是实三元三次体唯一的典型秩，而四元三次体只有$5$和$6$的典型秩.对于三元四元数，我们表明，$6$和$7$是典型的秩和所有的典型秩之间的$6$和$8$。对于三元五次，我们表明，典型的秩之间的$7$和$13$。
2015-12-06 math.AC math.AG
On Maximum, Typical and Generic Ranks
我们表明，对于几个概念的秩，包括张量秩，华林秩，广义秩相对于一个射影簇，秩的最大值是最多两倍的一般秩。我们证明了在实数上，实秩的最大值至多是最小典型秩的两倍，这等于（复）一般秩。
2014-07-24 cs.CC math.AG
Multiple typical ranks in matrix completion
本文研究实数域上矩阵补全的典型秩问题，证明多类指定元素集合只有一个典型秩，并刻画了具有两个典型秩的循环图族，完整确定了部分情形下的典型秩。
2025-03-12 math.AG math.CO
Algebraic boundaries among typical ranks for real binary forms of arbitrary degree
我们证明了具有固定典型秩的实二元形式的区域的代数边界总是对偶簇到合适的重合根轨迹的并集。
2020-09-09 math.AC math.AG
Real rank boundaries and loci of forms
本文研究了$\mathbb P^1\times \mathbb P^1$由线丛$(2,2d)$给出的嵌入的禁止轨迹和典型秩。我们引入Ranestad-Schreyer轨迹对应的非约化非极性计划的支持。我们表明，在这些情况下，这是包含在禁止轨迹。此外，对于这些嵌入，我们给出了实秩边界的一个分支，即划分最小典型秩和高秩的超曲面。这些结果推广到$\mathbb P^n\times \mathbb P^1$的一类嵌入.最后，结合实秩边界，我们给出了$2\times n \times n$超行列式的一个新的解释。
2018-03-15 math.AG
On the algebraic boundaries among typical ranks for real binary forms
我们描述的代数边界的区域的真正的二元形式与固定的典型秩和度最多8，表明它们是对偶品种的合适的重合根轨迹。
2018-08-01 math.AC math.AG
Labels of real projective varieties
设$X$是定义在$\mathbb R$上的复射影簇.最近，Bernardi和第一作者引入了关于$X$的可容许秩的概念。该秩仅考虑在复共轭下稳定的分解。这种分解带有标签，即，一对整数，记录其全实部的基数。我们研究的基本性质的容许秩的品种，随着特殊的例子曲线，例如，合理的正态曲线容许和复杂的行列一致。在此过程中，我们介绍了可容许秩的方案论版本。最后，类似于真实秩的情况，我们分析了典型的标签，即，那些作为全维欧几里德开集的标签而出现的。我们强调与典型等级的相似性和差异。
2019-09-24 math.AG
On the typical rank of real binary forms
我们确定了一般实二进制形式的度d=4和d=5的秩。在d=5的情况下，这种一般形式的秩的可能值是3，4，5。三个典型的等级的存在是出乎意料的。证明了具有d个实根的d次实二元形式的秩为d。
2009-09-26 math.AG math.ST stat.TH
Typical ranks in symmetric matrix completion
研究了对称矩阵的低秩矩阵完备化问题。一般部分指定对称矩阵的完备化的最小秩仅取决于指定元素的位置，而不是它们的值，如果允许复杂的元素。当要求条目是真实的时，情况就不再是这样了，可能的最低等级称为典型等级。本文给出了以$n$为典型秩的$n\times n$对称矩阵的指定整的模式的组合描述。此外，我们准确地描述了当这样一个通用的部分矩阵是最低限度地完成排名$n$。我们还描述了具有低的最大典型秩的条目的模式的典型秩。
2020-10-14 math.AG math.CO math.ST
On the generic and typical ranks of 3-tensors
University of Illinois at Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
利用矩阵和代数几何的结果，研究l×m×n维3-张量的通用秩和典型秩，提出了复数域上通用秩精确值的猜想（通过数值验证至l,m,n≤14），并给出实数域上具有至少两个典型秩的无穷族例子。
2011-01-21 cs.NA math.AG math.NA
Maximal and typical nonnegative ranks of nonnegative tensors
令$N_1, \ldots, N_d$是正整数，其中$N_1\leq\cdots\leq N_d$。设置$N=N_1\cdots N_{d-1}$。本文证明了整数$r$是$N_1\times\cdots\times N_d$格式的非负张量的典型非负秩当且仅当$r\leq N$和$r$大于或等于$N_1\times\cdots\times N_d$格式的$\mathbb{C}$上的张量的通有秩.我们还证明了格式为$N_1\times\cdots\times N_d$的非负张量的最大非负秩为$N$。
2018-01-12 math.AC math.AG math.RA
Typical and Admissible ranks over fields
设$X(\RR)$是定义在$\RR$上的一个几何连通簇，使得它的所有（也是复）点$X(\CC)$的集合是非退化的。我们引入点$P$关于$X$的\emph{admissible rank}的概念，它是$X(\CC)$的一组点的最小基数，使得$P\in \langle S \rangle$在共轭下是稳定的.任何表示容许秩的集合都可以配备一个\emph{label}来跟踪它的复数点和实数点的数量。我们表明，在通用的可识别性的情况下，有一个开放的稠密的欧氏子集的点与一定的容许秩的任何可能的标签。此外，我们表明，如果$X$是一个合理的正态曲线比总存在一个标签的通用元素。我们提出了两个例子，其中要么标签不存在或容许秩严格大于通常的复杂秩。
2016-04-08 math.AC math.AG
Typical and Generic Ranks in Matrix Completion
我们从几何的角度考虑低秩矩阵的精确完备化问题：给定一个部分填充矩阵M，我们保持指定和未指定元素的位置固定，并研究最小完备秩如何依赖于已知元素的值.如果矩阵的元素是复数，则对于指定和未指定元素的位置的固定模式，存在以正概率出现的唯一完成秩。我们称这个等级为通用完成等级。在实数上，可以有多个以正概率出现的秩;我们称之为典型的完成秩。我们正式介绍这些概念，并提供了一些不等式和确切的结果，典型的和通用的不同家庭的模式的已知和未知的条目的排名。
2019-09-22 cs.NA math.AG math.NA
Typical ranks of semi-tall real 3-tensors
令$m$、$n$和$p$为整数，其中$3\leq m\leq n$和$(m-1)(n-1)+1\leq p\leq (m-1)m$。我们在以前的论文中表明，如果$p\geq (m-1)(n-1)+2$，则实数域上的$p\times n\times m$ -张量的典型秩是$p$和$p+1$当且仅当存在非奇异双线性映射$\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{mn-p}$。我们还证明了“如果”部分在$p=(m-1)(n-1)+1$ .本文研究了$p=(m-1)(n-1)+1$的情形，证明了实数域上$p\times n\times m$ -张量的典型秩是$p$和$p+1$，其中包括不存在非奇异双线性映射$\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{mn-p}$的情形.特别是，我们表明，“只有当”上述事实的一部分不适用于情况$p=(m-1)(n-1)+1$。
2017-05-08 math.AC math.AG math.RA
Rank statistics for a family of elliptic curves over a function field
我们证明了由D。当参数$d \to\infty$时，Ulmer趋于无穷大。这也许是出乎意料的，因为A. Brumer，正特征函数域上所有椭圆曲线的平均秩渐近上界为2.3。
2009-03-16 math.AG math.NT
