On the typical rank of real binary forms
Pierre Comon, Giorgio Ottaviani
我们确定了一般实二进制形式的度d=4和d=5的秩。在d=5的情况下，这种一般形式的秩的可能值是3，4，5。三个典型的等级的存在是出乎意料的。证明了具有d个实根的d次实二元形式的秩为d。
We determine the rank of a general real binary form of degree d=4 and d=5. In the case d=5, the possible values of the rank of such general forms are 3,4,5. The existence of three typical ranks was unexpected. We prove that a real binary form of degree d with d real roots has rank d.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the rank of a binary form
我们在度为d的二进制形式空间中描述具有常秩的形式层。我们也给出了一个简单的算法来确定一个给定的形式的秩。
On the Waring Rank of Binary Forms
在$K[x,y],~K\subseteq \mathbb{C},$中的二进制形式$f$的$K$秩是在$K$上的线性型的$d$次幂的最小数目，其中$f$是$K$ -线性组合。我们提供了下界的$\mathbb{C}$秩（华林秩）和$\mathbb{R}$秩（真正的华林秩）的二进制形式取决于其分解。我们完全分类二进制形式的华林秩3。
On the Waring rank of binary forms: The binomial formula and a dihedral cover of rank two forms
形式的Waring问题是数学中的一个重要而经典的问题。由于其在多个领域的广泛应用，它已被广泛研究。本文考虑复系数二元形式的Waring问题。首先给出二元二项式的Waring秩的一个显式公式和几个例子，然后证明了直到标量乘法为止，确实存在Waring秩为2的$\binom{d-1}{2}$二次形式$d$和3个固定的不同线性型的倍数.
Typical ranks in symmetric matrix completion
研究了对称矩阵的低秩矩阵完备化问题。一般部分指定对称矩阵的完备化的最小秩仅取决于指定元素的位置，而不是它们的值，如果允许复杂的元素。当要求条目是真实的时，情况就不再是这样了，可能的最低等级称为典型等级。本文给出了以$n$为典型秩的$n\times n$对称矩阵的指定整的模式的组合描述。此外，我们准确地描述了当这样一个通用的部分矩阵是最低限度地完成排名$n$。我们还描述了具有低的最大典型秩的条目的模式的典型秩。
Best rank k approximation for binary forms
在二元形式的张量空间$\mathrm{Sym}^d {\mathbb R}^2$中研究了最佳秩$k$逼近问题。最佳秩$1$逼近问题的临界点是特征向量，并且已知它们跨越超平面。证明了最佳秩$k$逼近问题的临界点位于同一超平面上。
Waring ranks of sextic binary forms via geometric invariant theory
我们确定的华林秩的所有六次二元形式的复系数使用几何不变理论的方法。利用六次二元形式的五个基本不变式，我们的结果给出了一种快速确定任意给定六次二元形式的Waring秩的方法。特别是，我们揭示了新的光的索赔E。B.艾略特在19世纪末关于二元六分仪与华林秩3。我们表明，对于任意程度的二进制形式的仙人掌秩，又名。方案等级由相应的Waring等级确定。最后，我们确定所有二元六分线的边界秩。
Algebraic boundaries among typical ranks for real binary forms of arbitrary degree
我们证明了具有固定典型秩的实二元形式的区域的代数边界总是对偶簇到合适的重合根轨迹的并集。
On the algebraic boundaries among typical ranks for real binary forms
我们描述的代数边界的区域的真正的二元形式与固定的典型秩和度最多8，表明它们是对偶品种的合适的重合根轨迹。
Binary forms of suprageneric rank and the multiple root loci
本文研究给定秩二元形式簇与多重根轨迹对偶的关系，给出超属秩情形的新结果，并描述相关簇的分层及奇异轨迹。
Waring rank of binary forms, harmonic cross-ratio and golden ratio
我们讨论了没有多重因子的4次和5次二元形式的Waring秩，并指出了与调和交比、j-不变量和黄金分割比的意想不到的关系。这些计算的行列的二进制形式是用来表明，组合的线安排在复杂的射影平面不确定华林秩的定义方程，即使在非常简单的情况下。
Mordell-Weil ranks of families of elliptic curves parametrized by binary quadratic forms
证明了二元二次型参数化的椭圆曲线$y^2=x(x-αa^2)(x-βb^2)$的Mordell-Weil秩.我们表达我们明确的下界的数字字段，并提供了一个详细的描述相应的Mordell-Weil群结构的功能字段的情况下。
Binary forms with three different relative ranks
假设$f(x,y)$是度$d$的二进制形式，其系数在域$K \subseteq \mathbb C$中。$f$的$K$秩是在$K$上的线性型的最小$d$次幂，其中$f$是$K$ -线性组合。我们证明了对于$d \ge 5$，在不同的域上总是存在至少具有三个不同秩的度$d$的形式。形式$f$（例如$x^3y^2$）的$K$ -秩可以取决于-1是否是$K$中的两个平方和。
On generic and maximal k-ranks of binary forms
下面我们给出关于齐次多项式分解为幂和的两个一般性定理。第一种是由G. Ottaviani）处理在任意数量的变量中可被k整除的任意次数的复值形式的一般k秩。第二个（由第四作者）涉及二元形式的最大k-秩。我们解决了第一个猜想的情况下，两个变量和第二个在第一个非平凡的情况下的三次幂的二次二元形式。
On real typical ranks
我们研究关于一个真正的品种$X$的典型的行列。例如张量秩（$X$是Segre变种）和对称张量秩（$X$是Veronese变种）。我们表明，任何之间的最小典型秩和最大典型秩的秩也是典型的。我们调查的典型秩的$n$变量对称张量的顺序$d$，或等价的齐次多项式的程度$d$在$n$变量，小值的$n$和$d$。我们证明了$4$是实三元三次体唯一的典型秩，而四元三次体只有$5$和$6$的典型秩.对于三元四元数，我们表明，$6$和$7$是典型的秩和所有的典型秩之间的$6$和$8$。对于三元五次，我们表明，典型的秩之间的$7$和$13$。
On the typical rank of real bivariate polynomials
本文研究了实二元齐次多项式$d\ge 6$的典型秩（这种情形$d\le 5$已由P.Comon和G. Ottaviani）.我们证明了$d-1$是一个典型秩，如果$d$是奇数，则$(d+3)/2$是一个典型秩.
Typical and Generic Ranks in Matrix Completion
我们从几何的角度考虑低秩矩阵的精确完备化问题：给定一个部分填充矩阵M，我们保持指定和未指定元素的位置固定，并研究最小完备秩如何依赖于已知元素的值.如果矩阵的元素是复数，则对于指定和未指定元素的位置的固定模式，存在以正概率出现的唯一完成秩。我们称这个等级为通用完成等级。在实数上，可以有多个以正概率出现的秩;我们称之为典型的完成秩。我们正式介绍这些概念，并提供了一些不等式和确切的结果，典型的和通用的不同家庭的模式的已知和未知的条目的排名。
On the typical rank of real polynomials (or symmetric tensors) with a fixed border rank
令$σ_b(X_{m,d}(\mathbb {C}))(\mathbb {R})$，$b(m+1) < \binom{m+d}{m}$，表示$m+1$变量中所有次数$d$实齐次多项式的集合（即格式为$(m+1)\times ... \times (m+1)$，$d$倍的实对称张量），其具有在$\mathbb {C}$上的边界秩$b$。它有一个分区到流形的实维$\le b(m+1)-1$，其中的实秩是常数。$σ_b(X_{m,d}(\mathbb {C}))(\mathbb {R})$的典型秩是与维度$b(m+1)-1$的开放部分相关联的秩。在这里，我们分类所有典型的等级时，$b\le 7$和$d, m$不是太小。对于更大的$(m,d,b)$集，我们证明了$b$和$b+d-2$是两个第一典型秩.在$m=1$（真正的二元多项式）的情况下，我们证明了$d$（最大可能的先验值的真正的秩）是一个典型的秩为每个$b$。
On Maximum, Typical and Generic Ranks
我们表明，对于几个概念的秩，包括张量秩，华林秩，广义秩相对于一个射影簇，秩的最大值是最多两倍的一般秩。我们证明了在实数上，实秩的最大值至多是最小典型秩的两倍，这等于（复）一般秩。
On the maximum rank of a real binary form
本文证明了次数d≥3且根互异的实齐次多项式f(x,y)有d个实根当且仅当对任意非零(a,b)，多项式af_x+bf_y有d-1个实根，从而回答了P. Comon和G. Ottaviani提出的问题，并表明秩为d的d次实二元形式轨迹的内部恰好由具有d个实根的形式组成。
Multiple typical ranks in matrix completion
本文研究实数域上矩阵补全的典型秩问题，证明多类指定元素集合只有一个典型秩，并刻画了具有两个典型秩的循环图族，完整确定了部分情形下的典型秩。
Typical Real Ranks of Binary Forms
我们证明了Comon和Ottaviani的一个猜想，即二元形式的度$d$的典型实Waring秩取$\lfloor \frac{d+2}{2}\rfloor$和$d$之间的所有整数值。也就是说，我们证明了对于所有的$d$和所有的$\lfloor \frac{d+2}{2}\rfloor \leq m \leq d$，存在一个二元形式$f$，使得$f$可以写成$m$个实线性型的$d$次幂的线性组合，并且不少于这个线性组合，另外，在$f$的开邻域中的所有形式也具有这个性质.等价地，我们证明了对于所有的$d$和任何的$\lfloor \frac{d+2}{2}\rfloor \leq m \leq d$，存在一个对称的实二元张量$t$，其阶为$d$，使得$t$可以写成秩为1或更小的$m$对称实张量的线性组合，并且在$t$的开邻域中的所有张量也具有这个性质.
Typical ranks of random order-three tensors
该研究通过几何方法证明特定维度下实三阶张量的典型秩范围，将秩概率与Segre簇交点概率关联，还结合三次曲面实直线概率得到3×3×5张量相关的实直线期望数界。
On the generic and typical ranks of 3-tensors
利用矩阵和代数几何的结果，研究l×m×n维3-张量的通用秩和典型秩，提出了复数域上通用秩精确值的猜想（通过数值验证至l,m,n≤14），并给出实数域上具有至少两个典型秩的无穷族例子。
Maximal and typical nonnegative ranks of nonnegative tensors
令$N_1, \ldots, N_d$是正整数，其中$N_1\leq\cdots\leq N_d$。设置$N=N_1\cdots N_{d-1}$。本文证明了整数$r$是$N_1\times\cdots\times N_d$格式的非负张量的典型非负秩当且仅当$r\leq N$和$r$大于或等于$N_1\times\cdots\times N_d$格式的$\mathbb{C}$上的张量的通有秩.我们还证明了格式为$N_1\times\cdots\times N_d$的非负张量的最大非负秩为$N$。
Minimal decomposition of binary forms with respect to tangential projections
设$C\subset \mathbb{P}^n$为有理正规曲线，$\ell_O:\mathbb{P}^{n+1}\dashrightarrow \mathbb{P}^n$为从点$O\in T_AC$的任意切向投影，其中$A\in C$。因此，$X:= \ell_O(C)\subset \mathbb{P}^n$是阶数为$n+1$的线性正态尖点曲线。对于任何$P = \ell_O(B)$，$B\in \mathbb{P}^{n+1}$，$P$的$X$秩$r_X(P)$是其线性跨度包含$P$的集合$S\subset X$的最小基数.在这里，我们描述了$r_X(P)$的方案计算$B$的$C$ -秩或边界$C$ -秩。
Typical and Admissible ranks over fields
设$X(\RR)$是定义在$\RR$上的一个几何连通簇，使得它的所有（也是复）点$X(\CC)$的集合是非退化的。我们引入点$P$关于$X$的\emph{admissible rank}的概念，它是$X(\CC)$的一组点的最小基数，使得$P\in \langle S \rangle$在共轭下是稳定的.任何表示容许秩的集合都可以配备一个\emph{label}来跟踪它的复数点和实数点的数量。我们表明，在通用的可识别性的情况下，有一个开放的稠密的欧氏子集的点与一定的容许秩的任何可能的标签。此外，我们表明，如果$X$是一个合理的正态曲线比总存在一个标签的通用元素。我们提出了两个例子，其中要么标签不存在或容许秩严格大于通常的复杂秩。
Semialgebraic decomposition of real binary forms of a given degree's space
多项式环上的Waring问题要求如何将次数为$d$的齐次多项式分解为线性型的$d^{th}$幂的有限和。首先，我们给出了一个建设性的方法来获得一个真正的华林分解的任何给定的实际二元形式的长度最多它的程度。其次，我们适应西尔维斯特算法的实际情况，以确定一个最小长度的华林分解，然后我们建立其真正的秩。我们使用Bezoutian矩阵来实现最小分解。我们认为所有真正的二进制形式的一个给定的程度，我们分解这个空间作为一个有限的联盟的半代数集根据其真正的秩。包括一些例子。
Typical ranks of semi-tall real 3-tensors
令$m$、$n$和$p$为整数，其中$3\leq m\leq n$和$(m-1)(n-1)+1\leq p\leq (m-1)m$。我们在以前的论文中表明，如果$p\geq (m-1)(n-1)+2$，则实数域上的$p\times n\times m$ -张量的典型秩是$p$和$p+1$当且仅当存在非奇异双线性映射$\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{mn-p}$。我们还证明了“如果”部分在$p=(m-1)(n-1)+1$ .本文研究了$p=(m-1)(n-1)+1$的情形，证明了实数域上$p\times n\times m$ -张量的典型秩是$p$和$p+1$，其中包括不存在非奇异双线性映射$\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{mn-p}$的情形.特别是，我们表明，“只有当”上述事实的一部分不适用于情况$p=(m-1)(n-1)+1$。
Real rank boundaries and loci of forms
本文研究了$\mathbb P^1\times \mathbb P^1$由线丛$(2,2d)$给出的嵌入的禁止轨迹和典型秩。我们引入Ranestad-Schreyer轨迹对应的非约化非极性计划的支持。我们表明，在这些情况下，这是包含在禁止轨迹。此外，对于这些嵌入，我们给出了实秩边界的一个分支，即划分最小典型秩和高秩的超曲面。这些结果推广到$\mathbb P^n\times \mathbb P^1$的一类嵌入.最后，结合实秩边界，我们给出了$2\times n \times n$超行列式的一个新的解释。
Sums of squares, Hankel index, and almost real rank
实簇$X$的汉克尔指数是一个不变量，它量化了$X$上非负二次曲面与平方和之间的差异。在[5]中，作者证明了一个有趣的界限的汉克尔指数的Green-Lazarsfeld指数，衡量的“线性”的最小自由分解的理想$X$。在所有以前已知的情况下，这个界限是紧的。我们提供了第一类的例子，其中的界限是不紧的，事实上，汉克尔指数和绿色Lazarsfeld指数之间的差异可以是任意大的。我们的例子是有理正态曲线的外投影，其中我们用二元形式$F$确定投射中心。投影曲线的Green-Lazarsfeld指数由$F$ [15]的复Waring边界秩给出。我们表明，Hankel指数给出的“几乎真实”的秩的$F$，这是一个新的概念，来自分解$F$作为一个总和的权力几乎真实的形式。我们确定的范围内可能的和典型的几乎真实的行列的二进制形式。
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