具有三个不同相对秩的二进制形式
Binary forms with three different relative ranks
摘要：
假设$f(x,y)$是度$d$的二进制形式，其系数在域$K \subseteq \mathbb C$中。$f$的$K$秩是在$K$上的线性型的最小$d$次幂，其中$f$是$K$ -线性组合。我们证明了对于$d \ge 5$，在不同的域上总是存在至少具有三个不同秩的度$d$的形式。形式$f$（例如$x^3y^2$）的$K$ -秩可以取决于-1是否是$K$中的两个平方和。
英文摘要：
Suppose $f(x,y)$ is a binary form of degree $d$ with coefficients in a field $K \subseteq \mathbb C$. The $K$-rank of $f$ is the smallest number of $d$-th powers of linear forms over $K$ of which $f$ is a $K$-linear combination. We prove that for $d \ge 5$, there always exists a form of degree $d$ with at least three different ranks over various fields. The $K$-rank of a form $f$ (such as $x^3y^2$) may depend on whether -1 is a sum of two squares in $K$.
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