Poisson reduction
Juan-Pablo Ortega, Tudor S. Ratiu
这篇百科全书文章简要回顾了泊松约化中的一些主要结果，但没有证明。文章回顾了大多数必要的先决条件，以了解的主要结果。
This encyclopedia article briefly reviews without proofs some of the main results in Poisson reduction. The article recalls most the necessary prerequisites to understand the main results.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Cotangent bundle reduction
这篇百科全书文章简要地回顾了余切丛约化中的一些主要结果，但没有给出证明。文章回顾了大多数必要的先决条件，以了解的主要结果。
Graded Poisson Algebras
该文是 2006 年数学物理百科条目的扩充更新版，系统概述分次 Poisson 代数的性质与应用，并置于超可微几何和导出代数几何背景中。
Symmetry and symplectic reduction
这百科全书文章简要回顾没有证明辛约化的一些主要结果。文章回顾了最必要的先决条件，以了解的主要结果，即，群作用，动量地图，coadjoint轨道，等等。
Poisson Reduction of Controlled Hamiltonian System by Controllability Distribution
本文首先利用能控性分布研究受控哈密顿系统和对称哈密顿系统的Poisson约化。这些约化是Poisson流形上的Poisson分布约化到具有外力和控制的CH系统的相空间上的推广。利用能控性分布给出了CH系统的Poisson可约性条件，并证明了CH系统的Poisson可约性在CH-等价下保持不变。此外，我们还研究了对称CH系统的G-不变可控性分布的Poisson约化。其次，我们考虑了具有对称性的CH系统的奇异Poisson约化和SPR-CH-等价，证明了CH系统的奇异Poisson约化定理。研究了奇异Poisson可约CH系统的G-不变可控性分布的Poisson约化与伴随约化CH系统的约化可控性分布的Poisson约化之间的关系。最后，通过实例说明了理论结果。
Reduction and construction of Poisson quasi-Nijenhuis manifolds with background
我们扩展Falceto-Zambon版本的Marsden-Ratiu泊松约化的泊松拟Nijenhuis结构与背景上的流形。定义了具有背景的Poisson拟Nijenhuis结构的规范变换，研究了它们的一些性质，并证明了它们与约化过程是相容的。我们利用规范变换构造了具有背景的Poisson拟Nijenhuis结构。
A supergeometric approach to Poisson reduction
介绍了一种统一的方法来减少泊松流形使用其描述的分次辛流形。这产生了经典的泊松分布约化（Marsden-Ratiu约化）的推广。此外，它允许一个严格的Lie 2-群的行动，并描述相应的减少。
Multiple reductions, foliations and the dynamics of cluster maps
簇映射的前辛约化和泊松约化分别用前辛流形和泊松流形的“正则”叶理来描述。这种减少的方法导致了一个几何描述，在叶理方面，原始（未减少）地图的动态。多个减少存在的情况下（presymplectic/泊松或presymplectic/泊松/泊松）进行了进一步探讨，并举例说明了这种方法的几个功能，包括一个非平凡的七维，这是全面治疗。
Triangular Poisson structures on Lie groups and symplectic reduction
我们证明了每个三角Poisson李群都可以分解成Poisson子流形，每个子流形都是一个辛流形的商。然后利用Marsden-Weinstein-Meyer辛约化技巧给出了李群上所有三角Poisson结构的辛叶理的完整描述。结果详细说明了SL（n）上的广义Jordan Poisson结构。
Reduction of symplectic groupoids and quotients of quasi-Poisson manifolds
本文通过范畴化辛群胚约化方法，统一了拟泊松流形商的可积性理论，并构造了积分规范群胚上泊松结构的双重辛群胚。
From Symplectic to Poisson. A Study of Reduction and a Proposal Towards Implosion
辛流形的坍缩截面是一个分层空间，允许其辛约化的阿贝尔化。在回顾了辛和Poisson约化以及辛内爆的基础之后，我们证明了Poisson流形的一个截面定理，推广了辛流形的Guillemin-Sternberg定理，这是Poisson内爆的第一步.在我们的方式中，我们发现并修复了一个错误的证明Guillemin-Sternberg定理，我们确定泊松断面作为正确的模拟辛子流形在这种情况下。
Banach Lie-Poisson spaces and reduction
引入并研究了Banach Lie-Poisson空间范畴。证明了W*-代数范畴可以看作是它的一个子范畴。给出了Banach Lie-Poisson空间在哈密顿系统量子化和积分中的应用实例。讨论了经典约化和量子约化之间的关系。
Reduction of Poisson manifolds with Hamiltonian Lie algebroids
本文提出了具有哈密顿李代数胚的Poisson流形的约化定理，通过引入相容动量截面概念并证明其为李代数同态，得出其零水平集商空间为Poisson流形。
Integrability and reduction of Poisson group actions
本文研究了完全Poisson群的Poisson作用，不需要任何连通性假设，也不需要动量映射的存在。对任何具有对偶$G^\star$的完全Poisson群$G$，我们得到了一个适当连通的积分辛对偶广群$\calS$ .因此，可积泊松流形$P$上的泊松作用的余切提升可以积分为$P$的辛群胚$\poidd{\calS}{G^\star}$在辛群胚上的泊松作用。最后，我们证明了商泊松流形$P/G$也是可积的，给出了一个明确的辛群胚的建设，通过减少程序的相关态射的双重李群胚。
Reduction of a symplectic-like Lie algebroid with momentum map and its application to fiberwise linear Poisson structures
本文讨论了将Marsden- Weinstein约化过程推广到辛李代数胚的问题，特别是推广到纤维状线性Poisson结构的辛覆盖的情况，其约化过程类似于李代数胚的余切丛约化.
Quotients of multiplicative forms and Poisson reduction
本文研究了具有相容微分形式的李代数胚和群胚的等价性。我们确定李理论的条件下，这种形式成为基本的和特征的诱导形式上的concurents。我们应用这些结果来描述广义商和减少过程（扭曲）泊松和狄拉克结构，以及他们的整合（扭曲，预）辛群胚。特别是，我们恢复和推广了几个已知的结果有关泊松约化。
Graded geometry and Poisson reduction
我们以前通过分次几何扩展了泊松几何中的Marsden-Ratiu约化定理（见Arxiv：1009.0948的第一部分）。在本说明中，我们提供了证明所需的有关分级几何的背景材料。此外，我们提供了一个替代的代数证明。
On homotopy Poisson actions and reduction of symplectic Q-manifolds
本文给出了辛Q流形通过分次群作用约化的一般框架。在这个框架中，作用群上的同调结构是一个乘法多重向量场。
Reduction of Almost Poisson brackets and Hamiltonization of the Chaplygin Sphere
本文对非完整系统构造了与文献中不同的几乎泊松括号，并研究了它们的约化。这样的括号是通过考虑配置空间的余切丛上的非正则两种形式，然后进行投影到编码拉格朗日-达朗贝尔原理的约束空间来构建的。我们证明需要这种类型的括号的工作减少著名的Chaubergin球滚动问题。我们的构造为A.鲍里索夫和我。S.玛玛耶夫
Discrete dynamical systems from mutation-periodic quivers: examples and reduction
介绍了几种新的周期大于1的突变周期抖动以及相关的离散动力系统。减少这些系统的开发使用前辛或泊松方法。前辛方法导致一个减少系统的迭代映射是辛的关于一个日志辛形式。在Poisson方法中，我们建立了迭代映射下的Poisson结构不变量，从而得到一个约化系统，其变量是这种结构的Casimirs。
An extension of the Marsden-Ratiu reduction for Poisson manifolds
我们提出了一个推广的减少泊松流形的分布Marsden和Ratiu介绍。我们的建议克服了一些限制的原始程序，并使减少泊松结构有效地依赖于分布。不同的应用进行了讨论，以及代数解释的程序和它的制定狄拉克结构。
Reduction along strong Dirac maps
本文提出沿强Dirac映射的通用约简方法，恢复了泊松几何中的多种构造，并引入了新的泊松、准泊松和Dirac约简结构。
Quantization of Whitney functions and reduction
对于正则Poisson流形的一个可能奇异的子集，我们构造了它的Whitney函数代数的变形量子化。然后，我们扩展的变形量子化的建设的情况下，基本的集合是一个不一定经常泊松流形，可以写为商的经常泊松流形上的一个紧凑的李群的行为自由的泊松映射的子集。最后，如果商Poisson流形也是正则的，我们给出了一个“量子化与约化交换”类型的结果。对于证明，我们使用的方法来自奇点理论和泊松几何。
On the integration of Poisson homogeneous spaces
研究了由共迷向子群的商所得到的Poisson齐性空间的辛广群的一个约化过程。我们把它作为积分泊松李群的Lu-Weinstein辛广群的一个约化，它甚至适用于非完全情形。
Reduction of Poisson-Nijenhuis Lie algebroids to symplectic-Nijenhuis Lie algebroids with nondegenerate Nijenhuis tensor
在一定的条件下，我们证明了如何将Poisson-Nijenhuis李代数胚约化为具有非退化Nijenhuis张量的辛Nijenhuis李代数胚.我们推广了Magri和Morosi为减少Poisson-Nijenhuis流形所做的工作。选择更一般的框架的李代数胚的动机是一些减少双哈密顿系统的几何研究。一个明确的例子减少Poisson-Nijenhuis李代数胚也提供。
Symmetries and Reduction -- part I -- Poisson and symplectic picture
与狄拉克提出的类比原则相一致，我们描述了一个一般的设置减少经典动力学，和诺特定理的作用-连接对称性与常数的运动-内减少。这是两篇论文中的第一篇，它侧重于泊松和辛形式主义的减少。
Poisson reduction as a coisotropic intersection
给出了移位Poisson（即$P_n$）代数的余迷向态射的定义，它是余迷向子流形的经典概念的一个衍生版本.证明了移位Poisson代数的上迷向态射的交具有少移一的Poisson结构，并利用Hamilton空间作为上迷向态射的解释，证明了经典的BRST复计算导出的Poisson约化与复计算上迷向交的Poisson约化是一致的.此外，这幅画承认一个量子版本使用支撑代数和它们的模块：量子BRST复是准同构的复计算张量积的支撑模块。
Poisson-Lie generalization of the Kazhdan-Kostant-Sternberg reduction
三角Ruijsenaars-Schneider模型是通过群U（n）上Poisson-Lie对称自由运动的辛约化导出的。该模型的交换流是通过约化U（n）的海森堡对偶上的正则自由流而毫不费力地得到的。自由流动与一个非常简单的拉克斯矩阵，这是产生的Ruijsenaars-Schneider拉克斯矩阵减少后。
Singular Poisson reduction of cotangent bundles
我们考虑Poisson约化空间$(T^*Q)/K$关于余切提升作用。假设$K$是一个紧李群，它等距作用在黎曼流形$Q$上，且作用在$Q$上的力是单迷向型的.实现$(T^*Q)/K$作为一个Weinstein空间，我们确定诱导泊松结构和它的辛叶。因此，我们将主纤维丛的Weinstein构造推广到满射黎曼浸没$Q\to Q/K$的情形。
Poisson-Jacobi reduction of homogeneous tensors
讨论了齐次张量的概念。证明了流形$M$上的多向量场与余维为1的闭子流形$N$上的一阶多微分算子之间存在一一对应关系，该流形关于$M$上的向量场$Δ$是齐次的，使得$Δ$横截于$N$ .这种对应关系将$M$上多重向量场的Schouten-Nijenhuis括号与$N$上一阶多微分算子的Schouten-Jacobi括号联系起来，推广了Jacobi流形的Poisson化.实际上，它可以被视为超级泊松化。这个从齐次多向量场到一阶多微分算子的过程也可以理解为一种归约;在标准情况下-泊松归约的一半。上述对应关系的对偶形式特别地产生了$M$上的$Δ$-齐次辛结构与$N$上的切触结构之间的对应关系。
Poisson $C^\infty$-schemes
本文引入泊松 $C^\infty$-环与泊松局部 $C^\infty$-环化空间，证明其谱为仿射泊松 $C^\infty$-概形，并应用于奇异辛/泊松约化、奇异拟泊松约化、余迷向约化及泊松-狄拉克子概形。
Poisson structures on the cotangent bundle of a Lie group or a principal bundle and their reductions
在李群$G$的余切丛$T\sp*G$上，人们可以用右Maurer-Cartan形式和左矩映射（$G$对自身的右作用），也可以用左Maurer-Cartan形式和右矩映射来描述标准Liouville形式$θ$和辛形式$d θ$，泊松结构也可以用相关的量来表示。这就导致了$T\sp*G$上的一大类精确辛结构，并通过将$G$对自身的右或左作用的正则动量替换为任意的正则动量，然后进行约化（例如，约化为穿过Weyl腔的$G$），从而导致了泊松结构。这种方法也适用于主丛。
Induction of Hamiltonian Poisson actions
我们提出了一个Poisson-Lie模拟辛归纳过程，使用适当的泊松推广的减少辛流形的对称性。以Poisson作用的等变动量映射、Poisson-李群的二重群和对称Poisson流形的约化为基本工具，证明了如何诱导出一个允许等变动量映射的Poisson作用.证明了在一定条件下，Poisson-李群的dressing轨道可以由Poisson-李群的dressing轨道通过Poisson归纳得到.
Local bi-integrability of bi-Hamiltonian systems via bi-Poisson reduction
本文证明 bi-Hamiltonian 系统在实光滑与复解析情形下的局部双可积性，并利用 Poisson 括号 Casimir、铅笔特征值和 Hamiltonians 构造完整 bi-involution 函数集。
Deformation Quantization and Reduction
本文综述了Poisson sigma模型及其在形变量子化中的应用。减少共各向同性和前泊松子流形，他们的外观作为膜的PSM，量子化的L-无限和A-无限代数，双模结构被召回。作为应用，给出了Poisson映射在无反常时的“几乎”函子量子化。这导致在原则上一个新的方法量子化的泊松-李群。
Symplectic Reduction and the Lie--Poisson Shape Dynamics of $N$ Point Vortices on the Plane
我们表明，由特殊的欧几里德群$\mathsf{SE}(2)$的平面上的$N$点涡的动力学的辛约化产生一个Lie-Poisson方程的涡的相对配置。具体来说，我们结合辛减少阶段与对偶对与减少旋转表明，$\mathsf{SE}(2)$约化空间与非零角脉冲是一个coadjoint轨道。这一结果补充了一些现有的工作，通过建立原动力学和约化动力学的辛/哈密顿结构之间的关系。我们还发现了一个家族的Casimirs与Lie-Poisson结构，包括一些显然是新的。我们证明，通过例子，人们可以利用这些卡西米尔表明，一些形状的动力学是周期性的。
Lax pairs for the equations describing compatible nonlocal Poisson brackets of hydrodynamic type, and integrable reductions of the Lame equations
导出了流体动力学型相容非局部泊松括号的一般非奇异对的非线性方程组，并用逆散射问题的方法证明了这些方程组的可积性。对于这些方程，提出了具有谱参数的Lax对。此外，我们证明了一些特别重要的部分类的相容的非局部泊松括号的流体动力学类型的方程的可积性，特别是，最重要的情况下，当一个兼容的泊松括号是本地的情况下，也为兼容的泊松括号是由常数黎曼曲率的度量产生。
The Strong Homotopy Structure of Poisson Reduction
本文提出了一种用$L_\infty$ -态射表示的多重向量场的约化方案。利用约化流形的几何性质，我们对多向量场进行泰勒展开，从而建立了一个合适的DGLA的形变收缩核。我们首先得到了一般DGLA收缩的$L_\infty$ -投影和-包含的显式公式.然后，我们应用这个公式的形变收缩核，我们在既约流形上的多向量场的情况下构建。这使我们能够获得所需的约简$L_\infty$ -态射。最后，我们与其他约简方法进行了比较。
On homological reduction of Poisson structures
本文在 Cattaneo-Zambon 的相容性与正则性条件下构造推广经典 BFV 代数的同伦 Poisson 代数，并给出拟 Poisson 与 Hamilton 拟 Poisson 约化空间的同调模型。
Poisson involutions, spin Calogero-Moser systems associated with symmetric Lie subalgebras and the symmetric space spin Ruijsenaars-Schneider models
我们发展了一个一般的计划，以建设可积系统从实现对称共边界动力李代数胚和对称共边界泊松群胚。该方法是基于连续使用狄拉克约化和泊松约化。然后，我们表明，某些自旋Calogero-Moser系统与对称李子代数可以研究这种方式。我们还考虑了与$A^{(1)}_n$仿射Toda场论的$N$孤子解相对应的自旋广义Ruisjenaars-Schneider方程。在这种情况下，我们展示了如何得到的方程从狄拉克约化的一些哈密顿系统上的对称共边界动力泊松广群。
$b$-Structures on Lie groups and Poisson reduction
受伽利略变换群和固定时间零点的伽利略变换子群的启发，我们引入了$b$ -李群的概念，作为一对$(G,H)$，其中$G$是李群，$H$是余维1李群。这样一个概念使我们能够给出一个理论框架的时空转换的初始时间可以被看作是一个边界。在这个理论框架中，我们发展了理论的基础知识，并研究了相关的规范$b$ -余切丛$^b {T}^\ast G$上的$b$ -辛结构及其约化理论。也就是说，我们将最小耦合过程推广到$^bT^*G/H$上，证明了在$H$的余切提升作用下的Poisson约化可以用$\mathfrak{h}^\ast$上的Lie Poisson结构来描述（其中$\mathfrak{h}$是$H$的李代数）和$^b {T}^\ast(G/H)$上的规范$b$ -辛结构，其中$G/H$被看作是一维$b$ -流形，其临界超曲面（在$b$ -流形的意义上）是单位元。
An analogue of Whittaker reduction for group-valued moment maps
本文为半单复Poisson-Lie群的Poisson作用构造了Whittaker约化的类似，该约化沿幂零轨道横截面进行，并在Dirac几何框架下描述其辛叶。
Compatible Poisson structures on multiplicative quiver varieties
本文研究了乘法有向图品种上的兼容泊松结构，通过构造与准哈密顿泊松结构的约简，探讨了其与辛结构和准哈密顿结构的关系，并应用于旋转向量Ruijsenaars-Schneider相空间。
Extensions of Lie-Rinehart algebras and cotangent bundle reduction
设Q表示李群G光滑作用在其上的光滑流形。G-作用提升为Q的余切丛的全空间T上的作用，从而提升为T上的光滑函数的标准辛泊松代数上的作用。T上G-不变函数的Poisson代数在G-轨道空间T/G上产生一个Poisson结构。我们将此泊松代数与扩展的李-莱因哈特代数，并推导出一个明确的公式，这个泊松结构的微分。然后，我们表明，对于特定的情况下，G-行动Q是主要的，如何明确描述的泊松代数在文献中推导的特设建设基本上是一个特殊情况下的公式相应的扩展李-莱因哈特代数。通过各种例子，我们还表明，这种描述打破时，G-作用不定义一个主丛。
Functorial constructions related to double Poisson vertex algebras
本文通过jet代数构造为任意双重泊松代数生成双重泊松顶点代数，证明其与表示函子相容，并比较泊松约化与哈密顿约化范畴，给出双重箭图的实例。
Quantized reduction as a tensor product
辛约化被重新解释为可积Poisson流形范畴中箭头的合成，其箭头是对偶对的同构类，以辛群胚为单位。Poisson流形的Morita等价相当于这个范畴中对象的同构。这种描述为经典约化过程的量子化铺平了道路，该过程基于C*-代数上的泊松流形和希尔伯特双模的对偶对之间的形式类比，以及冯诺依曼代数之间的对应关系。进一步的类比是绘制类群胚（代数，测量，李，辛型）。在所有情况下，箭头是适当双模的同构类，它们的组合可以看作张量积。因此，在适当的范畴中，归约仅仅是箭头的合成，而森田等价是对象的同构。
Reduction and duality in generalized geometry
将我们在\cite{Hu}中的约化构造推广到Poisson李群的Hamilton作用，我们证明了即使当群作用群作用只保持一个广义复结构时，广义Kähler约化也存在.我们表明，在弦理论的（几何）$T$-对偶与$H$-通量的主丛自然产生的结构作为约化的泊松李群行动。特别地，该群可以是非阿贝尔群。
The symplectic reduced spaces of a Poisson action
在过去的三十年里，辛或Marsden-Weinstein约化已经成为构造新的辛流形和研究具有对称性的力学系统的主要工具。这个过程传统上与李群在辛流形上的正则作用有关，在动量映射的存在下。在本文中，我们表明，辛约化现象有更深的根源。更具体地说，我们会发现辛约化空间纯粹在泊松范畴内的假设，不一定意味着存在的动量映射。换句话说，得到辛约化空间的正确范畴是被李群正则作用的泊松流形。
Integrable systems from Poisson reductions of generalized Hamiltonian torus actions
本文研究了如何通过广义哈密顿环面作用的泊松约简，将具有对称群K的可积系统降维到商泊松空间M/K的稠密开子集上的可积系统，并给出了若干例子和应用。
Reduction of pre-Hamiltonian actions
本文证明了Poisson流形$(M, π)$的切丛的一个约化定理，该流形具有Poisson李群$(G, π_G)$的预Hamilton作用。在李群的哈密顿作用的特殊情况下，我们能够将我们的约化与$M$的经典Marsden-Ratiu约化进行比较。若流形$M$是辛单连通的，则约化切丛是可积的，其积分辛广群是对广群$M \times \bar{M}$的Marsden-Weinstein约化。
Nonholonomic systems with symmetry allowing a conformally symplectic reduction
非完整力学系统在约束空间中可以用退化的几乎泊松结构（去掉雅可比恒等式）来描述。如果有足够多的横向对称的约束，系统减少到一个非退化的几乎泊松结构的“压缩”空间。在这里，我们表明，在最简单的非完整系统中，在有利的情况下，压缩系统是共形辛的，尽管“非压缩”约束系统永远不允许Jacobi结构（在Marle等人的意义上）。
Integrable multi-Hamiltonian systems from reduction of an extended quasi-Poisson double of $\operatorname{U}(n)$
本文在由 U(n) 双重结构和开球构造的拟 Poisson 流形上建立主系统，并通过约化得到退化可积多 Hamiltonian 系统及三角自旋 Ruijsenaars-Schneider 模型的新实形式。
Basic notions of Poisson and symplectic geometry in local coordinates, with applications to Hamiltonian systems
这项工作包含了一个简短的和基本的阐述泊松和辛几何的基础，重点是应用哈密顿系统与第二类约束。特别地，我们阐明了辛流形上Dirac括号的几何意义，并给出了Poisson流形上Jacobi恒等式的一个证明。一些应用的狄拉克括号描述：应用证明的兼容性的系统组成的微分方程和代数方程，以及应用的问题减少的哈密顿系统与已知的积分运动。
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