On-line majority edge-colourings of graphs
AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）
研究图的在线多数边染色问题，证明在最小度满足特定条件时，贪心策略使用至多五色且为在线最优，并推广至1/k-多数边染色。
2026-09-30 math.CO
On Galvin orientations of line graphs and list-edge-colouring
引入了线图Galvin定向的概念，推广了Galvin在证明二部图的列表边着色猜想中的思想.如果L（G）关于k有一个恰当的Galvin定向，则它直接意味着G是k-列表-边列，但反之则不成立。更强的性质是研究图的形式“二分加边”，彼得森图，团，和单图没有奇数周期的长度为5或更长。
2015-08-07 math.CO
Colouring multijoints
令L_1，...，L_d是域上d维向量空间中两两不相交的直线的集合。如果集合是充分通用的，我们证明了存在一个d-着色的集合的多关节J，使得对于每个j，对于L_j中的每条线，它的颜色j的点的数量是O（|J| ^{1/d}）。
2014-03-25 math.CO
Rigid colourings of hypergraphs and contiguity
研究了$k$ -均匀随机超图的$q$ -着色问题，其中$q,k \geq 3$，并确定了其刚性阈值.对于刚性阈值以上的边缘密度，我们表明，几乎所有的解决方案都有一个线性数量的顶点是线性冻结，这意味着它们不能被相邻的一系列的着色，每个改变颜色的一个次线性数量的顶点。当边缘密度低于阈值时，我们证明了所有的顶点，但消失的比例可以通过一个序列的着色包围，包围只有一个顶点的时间。这种变化的几何形状的解决方案空间已被假设为是由天真的着色算法所面临的算法障碍的原因。我们的计算验证了统计物理学家使用非严格腔方法的预测。这类问题的传统模型是随机着色模型，其中选择一个随机超图，然后选择该超图的随机着色。然而，种植模型通常更容易工作，首先选择随机着色，然后随机选择尊重着色的边缘。作为我们的分析的一部分，我们表明，凝聚相变，随机着色模型是连续的种植模型。这个结果是独立的利益。
2019-06-11 math.CO
Cop-width, flip-width and strong colouring numbers
本文证明图的cop-width可由强着色数界定，并据此得到线性强着色数图类的线性cop-width与flip-width，改进多种稀疏图类的界。
2025-05-06 math.CO
Hyperbolicity Theorems for Correspondence Colouring
我们将列表着色结果的框架推广到对应着色。对应着色是列表着色的推广，其中我们将每个顶点可用的颜色的含义本地化。正如Dvotelák和Postle所指出的，关于围长至少为5的可平面图的5-可选择性和可平面图的3-可选择性的两个定理都可以推广到对应着色设置上。在本文中，我们表明，家庭的图是关键的5-对应着色以及家庭的图围长至少为5，是关键的3-对应着色形成双曲族。列表着色的类似结果分别由波斯特尔和托马斯以及德沃夏克和川原林展示。使用结果的双曲族由于波斯特尔和托马斯，我们进一步表明，这意味着局部可平面图是5-对应colloidum;和，使用结果的Dvotelák和Kawarabayashi，存在线性时间算法的可判定性的5-对应着色嵌入图。对于围长至少为5的3-对应着色图，我们给出了类似的结果。
2023-03-29 math.CO
Colouring a graph with position sets
本文研究图的广义位置着色问题，定义$\gp$-色数，给出其界并确定多类图的精确值，证明该问题是NP完全的。
2025-09-10 math.CO
Linearity Property of Unique Colourings in Random Graphs
本文推广了随机图中的无冲突与单射着色，提出唯一着色概念，利用顶点划分和概率方法证明所需最小颜色数随唯一性参数线性增长，并论证邻域无界性对线性性质的影响。
2023-11-20 math.CO math.PR
On the achromatic number of the Cartesian product of two complete graphs
一个图$G$的顶点着色$f:V(G)\to C$是完全的，如果对于任何具有$c_1\ne c_2$的$c_1,c_2\in C$，在$G$中存在相邻顶点$v_1,v_2$，使得$f(v_1)=c_1$和$f(v_2)=c_2$。$G$的消色差数是$G$的一个正常完全顶点着色中的最大颜色数$\mathrm{achr}(G)$。令$G_1\square G_2$表示图$G_1$和$G_2$的笛卡儿积。本文对无限多个$q$确定了$\mathrm{achr}(K_{r^2+r+1}\square K_q)$，只要$r$是有限射影平面序.
2022-07-03 math.CO
On the maximum number of integer colourings with forbidden monochromatic sums
令$f(n,r)$表示具有$r$颜色的$A \subseteq \lbrace 1,\ldots,n\rbrace$的着色的最大数目，使得每个颜色类是无和的。这里，和是子集$\lbrace x,y,z\rbrace$，使得$x+y=z$。我们证明了$f(n,2) = 2^{\lceil n/2\rceil}$，并描述了极值子集。此外，使用线性优化，我们渐近地确定了$r \leq 5$的$f(n,r)$的对数。Hàn和Jiménez在有限阿贝尔群的情况下也得到了类似的结果。
2017-10-16 math.CO
Edge-colouring graphs with local list sizes
本研究针对图的边着色问题，将Kahn关于列表着色猜想渐近成立的定理推广至局部情形，同时给出线性$k$-均匀超图、对应着色等相关推广的局部版本，并通过加权结论统一推导所有结果。
2023-11-08 math.CO
Linearity and Local Correctness in Weighted Colourings of Random Graphs
本文研究二项随机图的加权色数推广，证明其随最大顶点度数的线性增长依赖于边权重矩的有界性，并得出平衡子图局部正确加权染色的尖锐阈值结果。
2023-11-20 math.CO math.PR
Graphs of large linear size are antimagic
给定图$G=(V,E)$和着色$f:E\mapsto \mathbb N$，顶点$v$的诱导色是与$v$关联的边的颜色之和。如果$G$的所有顶点的诱导色都是不同的，则称这种着色为反魔色。如果$G$有一个双射反幻色$f:E\mapsto \{1,\dots,|E|\}$，则图$G$称为反幻色。Hartsfield和Ringel的一个猜想指出除了$K_2$之外的所有连通图都是反魔图。Alon，Kaplan，Lev，Roddity和Yuster证明了这个猜想的图的最小度至少$c \log |V|$为一些常数$c$ ;我们改进了这个结果，证明了猜想的图的平均度至少有一些常数$d_0$。
2014-09-12 math.CO
Strong $3$-Flow Conjecture for Projective Planar Graphs
1972年，Tutte提出了$3$ -流猜想：所有的$4$ -边连通图都有无处为零的$3$ -流.这是由Jaeger等人扩展的。（1992）以允许顶点在流入和流出之间具有规定的、可能非零的差（模$3$）。他们证明了所有具有有效处方函数的$5$边连通图都有一个无处为零的$3$流满足该处方. Kochol（2001）表明，用$5$-edge-connected代替$4$-edge-connected就足以证明$3$ -Flow猜想，Lovász等人也证明了这一点。（2013）表明，如果边连通度条件放宽到$6$ -边连通，则两个定理都成立。这两个问题对于$5$ -边-连通图仍然是开放的。已知$3$ -流猜想对可平面图成立，因为它是Grötzsch着色定理的对偶。Steinberg和Younger（1989）提供了第一个使用流对可平面图的直接证明，以及对投射可平面图的证明。Richter等人（2016）提供了第一个直接证明使用流的强$3$ -流猜想的可平面图。证明了关于射影可平面图的强$3$ -流猜想。
2020-11-02 math.CO
Defective and Clustered Graph Colouring
考虑以下两种方法来给图的顶点着色，其中放松了邻顶点获得不同颜色的要求。如果每个单色分量的最大度数至多为$d$，则着色具有“缺陷”$d$。如果每个单色分量最多有$c$顶点，则着色具有“聚类”$c$。本文调查研究这些类型的着色，其中的第一要务是尽量减少颜色的数量，小缺陷或小集群作为次要目标。列表着色变体也被考虑。研究了以下图形类：外可平面图、可平面图、可嵌入曲面中的图、具有给定最大度的图、具有给定最大平均度的图、不包括给定子图的图、具有线性交叉数的图、无链接或无链接可嵌入图、具有给定Colin de Verdière参数的图、具有给定周长的图、不包括作为浸入的固定图的图、具有给定厚度的图、具有给定堆叠数或堆叠数的图、不包括$K_t$作为子图的图、不包括$K_{s,t}$作为子图的图、以及不包括任意图$H$作为子图的图。几个开放的问题进行了讨论。
2018-03-20 math.CO
Brooks-type colourings of digraphs in linear time
提出有向图的可变双退化度概念，定义F-dicolouring并证明Brooks定理的推广，给出线性时间算法计算此类染色或证明不存在，统一了多种中间推广。
2025-03-27 cs.DS math.CO
Defective colouring of graphs excluding a subgraph or minor
Archdeacon（1987）证明了可嵌入到固定曲面上的图可以是$3$ -着色的，使得每一个着色类都导出一个有界最大度的子图。Edwards，Kang，Kim，Oum and Seymour（2015）证明了没有$K_{t+1}$ -子图的图可以是$t$ -着色的，使得每个颜色类都导出一个有界最大度的子图。我们证明了一个共同的概括，这些定理与较弱的假设排除子图。这一结果导致了几类图的新的缺陷着色结果，包括具有线性交叉数的图，具有给定厚度的图（与地球-月球问题相关），具有给定栈数或栈数的图，无链接或knockless可嵌入图，具有给定Colin de Verdière参数的图，以及排除完全二部图作为拓扑子图的图。
2017-04-04 math.CO
Hardness of linearly ordered 4-colouring of 3-colourable 3-uniform hypergraphs
该研究证明，区分3-一致超图是否LO 3-可着色与LO 4-不可着色是NP完全的，通过代数、拓扑和组合方法扩展了近似图着色的拓扑途径。
2023-12-20 cs.CC math.AT math.CO
On-line list colouring of random graphs
本文研究了二项随机图G（n，p）的在线列表着色问题。证明了G（n，p）的在线选择数渐近几乎必然渐近于G（n，p）的色数，条件是平均度d=p（n-1）趋于无穷快于（log log n）^1/3（log n）^2n^（2/3）.对于稀疏图，我们稍微不那么成功;我们证明了，如果d>（log n）^（2+ n），对于某些n>0，那么在线选择数最多比色数大C的一个乘法因子，其中C在[2，4]中，取决于d的范围。而且，对于d=O（1），在线选择数至多是大于色数的乘法常数因子。
2015-05-12 cs.DM math.CO
(k; l)-Colourings and Ferrers Diagram Representations of Cographs
对于一对自然数$k, l$，图$G$的$(k,l)$ -着色是将$G$的顶点集划分为（可能是空的）集合$S_1, S_2, \dots, S_k$，$C_1, C_2, \dots, C_l$，使得每个集合$S_i$是一个独立的集合，并且每个集合$C_j$在$G$中诱导一个团。$(k,l)$ -着色问题一般是NP-完全的，本文研究了弦图、余图和线图等特殊图类的$(k,l)$ -着色问题。设$\hatκ(G) = (κ_0(G),κ_1(G),\dots,κ_{θ(G)-1}(G))$和$\hatλ(G) = (λ_0(G),λ_1(G),\dots,λ_{χ(G)-1}(G))$，其中$κ_l(G)$（分别为$λ_k(G)$）是最小$k$（分别为$l$），使得$G$具有$(k,l)$ -着色。本文证明了：对于每个图$G$，$\hatκ(G)$和$\hatλ(G)$是一对共轭序列，并且当$G$是余图时，$G$中的顶点数等于$\hatκ(G)$或$\hatλ(G)$中的元素之和.利用上图的分解性质，证明了每一个上图都可以用费勒斯图表示。我们设计的算法，计算$\hatκ(G)$的共图$G$，并找到一个诱导子图$G$，可以用来证明非$(k,l)$ -着色的$G$。
2020-08-08 math.CO
A variant of the Erdős-Gyárfás problem for $K_8$
本文构造了一种使用 $n^{o(1)}$ 种颜色且避免 $K_8$ 偶着色副本的边着色，解决了该 Erdős-Gyárfás 问题变体的最小未解情形，并提出了更强的着色条件猜想，同时改进了 $K_4$ 和 $K_5$ 的构造。
2025-10-13 math.CO
Intervals in the Hales-Jewett theorem
Hales-Jewett定理指出，对于任何$m$和$r$，存在一个$n$，使得$[m]^n$的元素的任何$r$ -着色包含一条单色组合线。我们研究的结构的集合$S \subseteq [n]$，它确定这条单色线，表明当$r$是奇数有$r$ -着色的$[3]^n$的集合的单色线不能是工会少于$r$的间隔。这是严格的，因为对于足够大的$n$，总是存在单色线，其最大集合是$r$间隔的并集。
2018-07-26 math.CO
Approximate Graph Colouring and the Crystal with a Hollow Shadow
本文证明近似图着色无法由线性规划与线性丢番图方程结合的提升投影层次结构解决，其证明基于组合张量理论。
2025-05-19 cs.CC cs.DM math.CO
Acyclic, Star and Injective Colouring: A Complexity Picture for H-Free Graphs
Charles University（查理大学）；Durham University（杜伦大学）；LIRMM, CNRS, Université de Montpellier（蒙彼利埃大学法国国家科学研究中心信息、机器与微系统实验室）
本文研究了H-无图上无环、星形和注入着色问题的复杂性，揭示了固定颜色数k时的分类结果及k作为输入时的差异。
2026-01-29 cs.DM math.CO
Acyclic colourings of graphs with bounded degree
一个图的顶点的$k$ -着色（不一定是真着色）称为{ \it非循环的}，如果对于每一对不同的颜色$i$和$j$，由其端点具有颜色$i$和$j$的边诱导的子图是非循环的。本文考虑了一类广义的无圈$k$ -着色，即要求每一个色类都导出一个无圈或有界度图.我们主要关注最大度为5的图。我们证明了任何这样的图有一个非循环的$5$ -着色，使得每个颜色类导致一个非循环图的最大度至多为4。我们证明了判定图$G$是否具有非循环2-着色的问题是NP-完全的，即使对于最大度为5的图也是如此。我们还给出了一个线性时间算法的非循环$t$ -不当着色的任何图的最大程度$d$假设颜色的数量是足够大的。
2015-11-13 cs.DM math.CO
Monochromatic combinatorial lines of length three
我们表明，有一个常数$c$，使任何着色的立方体$[3]^n$在$c \log \log n$颜色包含一个单色组合线。
2021-07-28 math.CO
Complexity of Restricted Star Colouring
限制星着色是星着色的一种变体，用于设计估计稀疏Hessian矩阵的启发式算法。对于$k\in\mathbb{N}$，图$G$的一个$k$ -限制星着色（$k$ -rs着色）是一个函数$f:V(G)\to{0,1,\dots,k-1}$，使得（i）对G的每条边$xy$都有$f(x)\neq f(y)$，（ii）在$G$中不存在中间顶点颜色较高的双色3-顶点路（$P_3$）.我们证明了对于$k\geq 3$，测试给定的最大度$k$和任意大围长的平面二部图是否允许$k$ -rs着色是NP-完全的，从而回答了Shalu和Sandhya提出的问题（Graphs and Combinatorics，2016）。此外，证明了一个3-星色图是否允许3-rs着色是NP-完全的。我们还证明了对于所有的$ε> 0$，用最少的颜色数对2-退化二部图进行限制星着色的优化问题在$n^{(1/3)-ε}$内是NP-难逼近的.在积极的一面，我们设计了（i）一个线性时间算法来测试3-RS着色的树，和（ii）一个$O(n^3)$ -时间算法来测试3-RS着色的弦图。
2021-08-06 cs.DM math.CO
Shallow Minors, Graph Products and Beyond Planar Graphs
Dujmović，Jordet，Micek，Morin，Ueckerdt，and Wood [J. ACM 2020]的可平面图乘积结构定理指出，每个可平面图都是树宽有界的图和路的强乘积的子图，这个结果已经成为解决队列布局、非重复着色、中心着色和邻接标号方案等重要公开问题的关键工具。在本文中，我们扩展了这条线的研究，利用浅子证明类似的产品结构定理的几个超越可平面图类。驱动我们工作的关键观察是，许多超越可平面图可以被描述为可平面图与小完全图的强积的浅子图。特别地，我们证明了平面图、$k$ -平面图、$(k,p)$ -簇平面图、扇平面图和$k$ -扇丛可平面图的幂都具有这种浅子结构.利用新旧结果的结合，我们推出了这些类具有有界的色数、有界的非重复色数、多项式$p$ -中心色数、线性强色数和立方弱色数.此外，我们证明了$k$ -间隙可平面图至少有指数局部树宽，因此，不能被描述为一个有界树宽图和一条路的强积的子图。
2022-06-17 math.CO
Generalising the achromatic number to Zaslavsky's colourings of signed graphs
图的色数是图的色理论中最核心的概念之一，它指的是使图的顶点正确着色所需的最少颜色数。它的几个方面的利益已在文献中进行了调查，包括适当的着色修改的变体。这些变体包括，值得注意的是，图的无色数，这是正确着色图的顶点所需的最大颜色数，以便沿着某条边分配不同颜色的每个可能组合。这个参数的行为导致了许多有趣的研究，揭示了与色数的相似性和差异。这项工作发生在最近的一个趋势，旨在扩展色理论的图的领域签署的图，特别是在调查经典的结果如何适应签署的上下文中。大部分的工作都在这条线上的日期是关于两个主要的概括适当着色的签署图，归因于Zaslavsky和Guenin。将无色数推广到签名图是最近由Lajou发起的，他的调查与Guenin的着色有关。我们在这里继续这条研究路线，但把扎斯拉夫斯基的着色作为我们的适当着色的概念。我们研究的一般行为，我们所得到的变种的无色数，主要是通过调查如何已知的经典无色数的结果概括到我们的上下文。我们的研究结果涵盖，特别是，边界，标准操作图，和复杂性方面。
2022-05-11 cs.DM math.CO
Colourings of cubic graphs inducing isomorphic monochromatic subgraphs
无桥三次图$G$的一个$k$ -二分图是它的顶点集的一个$2$ -着色，使得色类具有相同的基数，并且由色类诱导的两个子图中的所有连通分量（以下为单色分量）的阶至多为$k$。Ban和Linial证明了除Petersen图外，所有无桥三次图都有$2$ -二分图.三次图的边集的一个类似问题已经被研究过：Wormald证明了每个具有$|E(G)| \equiv 0 \pmod 2$的三次图$G$都有一个$2$ -边着色使得两个单色子图是同构的线性森林（即一个森林的组成部分是路）。最后，Ando证明了每一个三次图都有一个二分法，使得两个导出单色子图同构。在本文中，我们给出了一个详细的洞察Ban-Linial和Wormald的结构，并提供了一个强大的关系，他们与安藤猜想的证据。此外，我们也给出了计算和理论证据的支持。因此，我们提出了一些开放的问题，比上述的结构更强大。此外，我们还证明了三次圈置换图的Ban-Linial猜想。作为研究以线性森林为单色分量的三次图的$2$ -边着色的副产品，我们还对Jackson和Wormald提出的关于三次图到线性森林的某些分解的问题给出了否定的回答.
2018-09-10 cs.DM math.CO
Linear Colouring of Binomial Random Graphs
本文研究二项随机图的线性色数，证明稠密图渐近几乎必然达到接近 $n$ 的线性色数，并指出超临界稀疏图仍待探究。
2023-11-14 cs.DM math.CO
Vertex-partitioning into fixed additive induced-hereditary properties is NP-hard
图$G$的顶点能被划分成$A \cup B$，使得$G[A]$是线图，$G[B]$是森林吗？$G$能被划分为平面图和完美图吗？这些问题的NP-完全性只是我们结果的特殊情况：如果${\cal P}$和${\cal Q}$是加性诱导遗传图性质，则$({\cal P}, {\cal Q})$ -着色是NP-难的，唯一的例外是图2-着色（$\cal P$和$\cal Q$都是有限无边图的集合${\cal O}$的情况）。此外，$({\cal P}, {\cal Q})$ -着色是NP完全的当且仅当${\cal P}$ -和${\cal Q}$ -识别都是NP.这证明了Kratochv 'ıl和Schiermeyer的一个猜想。
2003-06-10 math.CO
On the pseudoachromatic index of the complete graph III
设$ Π_q $是$ q $阶的射影平面，$ψ(m):=ψ(L(K_m))$是$ m $阶的完全线图的伪消色差数，$ a\in \{ 3,4,\dots,\tfrac{q}{2}+1 \} $和$ m_a=(q+1)^2-a $是$ Π_q $阶的完全线图的伪消色差数.本文改进了Araujo-Pardo等人[J Graph Theory 66（2011），89- 97]和Jamison [Discrete Math.74（1989），99- 115]给出的$ ψ(m) $的上界：如果$ x\geq 2 $是整数且$m\in \{4x^2-x,\dots,4x^2+3x-3\}$则$ψ(m) \leq 2x(m-x-1)$ .另一方面，如果$ q $是偶数，并且存在$ Π_q $，我们给出了$ K_{m_a} $与$(m_a-a)q$颜色的完全边着色。此外，使用这种着色，我们扩展了Araujo-Pardo等人在[J Graph Theory 66（2011），89- 97]和[Bol. Soc. Mat.墨西哥人（2014）20：17--28]证明$ψ(m_a)=(m_a-a)q$用于$ a\in \{3,4,\dots,\left\lceil \frac{1+\sqrt{4q+9}}{2}\right\rceil -1 \} $。
2015-07-29 math.CO
Rainbow Colouring of Split and Threshold Graphs
连通图的彩虹着色是图的边的着色，使得每对顶点由至少一条路径连接，其中没有两条边的颜色相同。这种使用最少可能颜色数的着色称为最优彩虹着色，所需的最少颜色数称为图的彩虹连接数。在这篇文章中，我们展示了以下内容：1.决定一个图是否可以用3种颜色着色的问题即使局限于分裂图类也是NP完全的。然而，任何分裂图都可以在线性时间内使用比最佳颜色多一种颜色来着色。2.对于任何大于2的整数k，判定一个图是否可以用k种颜色着色的问题即使仅限于弦图类也是NP-完全的。3.对于每一个正整数k，具有彩虹连接数k的阈值图可以单独基于它们的度序列来表征。此外，我们可以最佳彩虹颜色的阈值图在线性时间。
2012-05-08 cs.CC cs.DM cs.DS
Local Search Improvements for Soft Happy Colouring
本文研究了Soft happy着色问题，证明了更高$ρ$值能提升社区检测准确率，并提出了三种局部搜索算法，其中线性时间算法能快速且显著增加$ρ$-happy顶点数。
2025-06-25 cs.DM math.CO
On Oriented Colourings of Graphs on Surfaces
本文证明了欧拉亏格至多 $g$ 的有向图的有向着色数近似线性，即 $\Omega(g/\log g) \leq χ_o(g) \leq O(g \log g)$，改进了先前 $O(g^{6400})$ 的上界。
2024-09-19 math.CO
Star colouring and locally constrained graph homomorphisms
本文将偶数度正则图的星着色刻画为到完全图有向线图及其底层无向图的局部约束同态，推广了3-正则图线图4-星着色的经典结果，并给出特征值必要条件与平面4-正则3-连通图的NP-完全性。
2025-05-07 cs.DM math.CO
Colouring squares of claw-free graphs
是否存在某个绝对$\varepsilon > 0$使得对任何无爪图$G$，$G$的平方色数满足$χ(G^2) \le (2-\varepsilon) ω(G)^2$，其中$ω(G)$是$G$的团数？埃尔德什和Nešethabil问这个问题的具体情况下，$G$线图的一个单图，这是回答肯定的莫洛伊和里德。我们表明，对更一般的问题的答案也是肯定的，而且它基本上简化为Erdos和Nešetziil的原始问题。
2017-07-18 cs.DM math.CO
Mixing Homomorphisms, Recolourings, and Extending Circular Precolourings
这项工作汇集了混合图着色，离散同伦和预着色扩展的想法。一个特别的焦点是圆形着色。本文证明了图$G$的所有$(k,q)$ -染色都可以通过沿着Cereceda，van den Heuvel和Johnson的关于$k$ -染色的结果连续地对$k/q\geq 2col(G)$提供的一个顶点进行扩图而得到.我们给出了各种界限，这样的混合结果，并讨论其清晰度，包括圆形和经典着色的界限相吻合的情况下。作为推论，我们得到了圆团的$(k,q)$ -预着色的一个Albertson型扩张定理。这一结果首先由艾伯森和韦斯特证实。给出了同态混合的一般结果，包括图$G$的一个特征，其中自同态幺半群可以通过混合过程生成。在Brightwell和Winkler的类似工作中，不稳定性的概念起着关键作用。
2014-12-10 cs.DM math.CO
$H$-colouring $P_t$-free graphs in subexponential time
一个图称为无$P_t$图，如果它不包含$t$顶点上的路作为导出子图。设$H$是一个多重图，它具有任意两个不同的顶点最多有一个公共邻居的性质.我们表明，生成函数（列表）图同态从$G$ $H$可以计算在次指数时间$2^{O\left(\sqrt{tn\log(n)}\right)}$的$n=|V(G)|$类的$P_t$ -自由图$G$。作为推论，我们证明了无$P_t$图$G$的3-着色数可以在次指数时间内找到.另一方面，没有次指数时间算法存在4-着色的$P_t$ -免费的图形假设的指数时间假设。一路上，我们证明了$P_t$ -自由图的路径宽度是线性的，在其最大程度。
2019-03-22 cs.DM math.CO
Every planar graph is $1$-defective $(9,2)$-paintable
假设$L$是图$G$的$k$ -列表分配。$G$的$d$ -缺陷$m$ -折叠$L$ -着色$ϕ$将$m$颜色的集合$ϕ(v)$分配给每个顶点$v$，使得对于每个顶点$v$的$ϕ(v) \subseteq L(v)$和对于每个颜色$i$，集合$\{v: i \in ϕ(v)\}$导出最大度为$d$的子图.本文考虑图的在线列表$d$ -亏损$m$ -折叠着色，其中列表赋值$L$是在线给出的，着色是在线构造的.准确地说，$d$ -有缺陷的$(k,m)$ -在图形$G$上绘画游戏由两个玩家玩：Lister和Painter。最初，每个顶点都有$k$令牌，并且没有颜色。在每一轮中，Lister选择一组顶点$M$，并从每个选定顶点中移除一个标记。Painter给$M$的一个子集$X$着色，它导致一个最大度至多为$d$的子图$G[X]$。如果$v$已经接收到$m$颜色，则顶点$v$是完全着色的。如果在某轮结束时，有一个顶点没有剩下更多的标记并且没有完全着色，则Lister获胜。否则，在某轮中，所有顶点都完全着色，Painter获胜。我们说$G$是$d$ -有缺陷的$(k,m)$ -如果画家在这个游戏中有一个获胜的策略，就可以绘制。本文证明了每一个可平面图都是$1$ -亏$(9,2)$ -可画的.
2016-05-14 math.CO
Homomorphism bounds and edge-colourings of $K_4$-minor-free graphs
本文给出了奇围长$2k+1$的图是（至少）$2k+1$的$K_4$ -minor-free图类的一个充要条件，即允许任何这样的$K_4$ -minor-free图的一个同态.这产生了一个多项式时间算法来识别这样的边界。利用这个条件，我们首先证明了奇围长$2k+1$的每个$K_4$ -子自由图都与维数为$2k$的射影超立方体有一个同态.这支持了第三作者的一个猜想，该猜想推广了四色定理，并与Seymour关于平面图边着色的猜想等几个杰出的猜想有关。进一步证明了Kneser图$K(2k+1,k)$满足这些条件，从而暗示了奇围长$2k+1$的每个$K_4$ -子自由图恰好有分数色数$2+\frac{1}{k}$ .已知奇数围长$2k+1$的最小界必须至少有${k+2 \choose 2}$顶点，我们建立了阶$4k^2$的近似最优界。此外，我们还猜想奇围长$2k+1$的$K_4$ -minor-free图的分数色数和圆色数的上确界是由奇围长$2k+1$的一个上界得到的.如果是真的，这改善了，在同态顺序，较早的紧结果的循环色数的$K_4$ -小免费的图形。我们通过证明前几种情况来支持我们的猜想。最后，作为我们工作的应用，在注意到Seymour提供了一个计算$K_4$ -minor-free重图的边色数的公式之后，我们证明了在$K_4$ -minor-free正则重图的情况下可以得到更强的结果。
2018-01-30 cs.DS math.CO
Eigenvalue bounds for distance-edge colorings
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）
本文研究了距离-边着色问题，通过图的线图特征值和整数线性规划方法得到精确下界，探讨了若干图类的边界条件及谱方法对Erdős-Nešetřil猜想的影响。
2026-03-23 math.CO
Linear versus centred chromatic numbers
本文研究中心色数与线性色数的关系，通过证明每个 $k\times k$ 伪网格的线性色数满足 $Ω(k)$ 紧下界，将任意图的一般上界改进为 $χ_{\mathrm{cen}}(G)\le\tilde{O}(χ_{\mathrm{lin}}(G)^{10})$。
2024-04-10 cs.DM math.CO
More on lines in Euclidean Ramsey theory
设$\ell_m$是一条直线上的一系列$m$点，其中连续点的距离为1。回答Fox和第一作者以及Arman和Tsaturian提出的一个问题，我们证明了对于每个不包含$\ell_3$的红色拷贝和$\ell_m$的蓝色拷贝的$n$，存在一个自然数$m$和一个红色/蓝色着色的$\mathbb{E}^n$。
2022-12-18 math.CO
Indicated list colouring game on graphs
该研究围绕图的指示列表染色博弈展开，刻画了非指示度可选图的结构为扩展Gallai树，给出对应线性判定算法，还分类刻画了IC-Brooks图并提出有界最大度图的线性判定算法。
2025-02-22 math.CO
On the Generalised Colouring Numbers of Graphs that Exclude a Fixed Minor
本文研究排除固定子式图的广义着色数上界，将原有指数界大幅改进为线性界和多项式界，并针对有界亏格图给出更精确的界。
2020-04-01 cs.DM math.CO
Line game-perfect graphs
本文研究六种 $[X,Y]$-边着色博弈下的线博弈完美图，并分别用禁用边诱导子图与显式结构给出完整刻画。
2024-08-23 math.CO
A local strengthening of Reed's ω, Δ, χ conjecture for quasi-line graphs
里德的$ω$，$Δ$，$χ$猜想提出每个图都满足$χ\leq \lceil\frac 12(Δ+1+ω)\rceil$ ;已知它对所有无爪图都成立。在本文中，我们考虑这个猜想的局部加强。我们证明了线图的局部加强，然后注意到以前的结果立即告诉我们，局部加强持有所有的拟线图。我们的证明导致polytime算法构建着色，实现我们的界限：$O(n^2)$线图和$O(n^3m^2)$准线图。对于线图，这比最著名的算法更快，用于构建实现里德原始猜想的着色。
2011-11-29 cs.DM math.CO
Projective Space: Lines and Duality
我们提供了一个公理化的介绍三维射影空间，采用线作为其基本元素，使自动的对偶原则。
2015-06-15 math.CO
Web worlds, web-colouring matrices, and web-mixing matrices
我们引入了一个新的组合对象称为网络世界，由一组网络图。网络世界的图是图的概括，每个图都建立在相同的底层图上。图中没有普通的顶点，而是有桩，与桩相连的边在桩上有不同的高度。Web图表的Web世界是所有Web图表的集合，这些图表是通过排列边的端点在peg上出现的顺序而产生的。动机来自粒子物理学，其中网络图作为描述非阿贝尔规范（杨-米尔斯）理论中散射振幅的特殊类型的费曼图出现。对于每个网络世界，我们关联两个矩阵，称为网络着色矩阵和网络混合矩阵。这些矩阵的元素由网状图（D_1，D_2）的序偶对索引，并由D_1的边的着色计算，这些着色在由每个着色确定的变换下产生D_2。我们表明，着色的网络图（其组成不可分解的图都是唯一的），导致重建的图是等价于保序映射的某些偏序集（偏序集），可以从网络图。对于其网络图的所有边标签都等于1的网络世界，网络混合矩阵和网络着色矩阵的对角项通过对由相关偏序集的所有线性扩展的Jordan-Holder集的排列中的下降确定的某些多项式求和来获得。我们根据三个统计量推导出网络世界数量的三变量生成函数，并列举出一个网络世界中不同网络图的数量。三个特殊的网络世界进行了详细的研究，并在每种情况下计算的网络混合矩阵的痕迹。
2013-01-28 hep-ph hep-th math.CO
Subgeometries and linear sets on a projective line
定义了射影直线上子几何的splash，将\cite{BaJa13}的定义推广到一般维数，并证明了splash总是线性集。我们还证明了相反的：每一个线性集上的射影线是飞溅的一些子几何。从而得到了射影直线上线性集的另一种描述。我们介绍了俱乐部的排名$r$的概念，概括了从\cite{FaSz2006}的定义，并表明俱乐部对应于切线飞溅。我们确定了飞溅的条件是一个分散的线性集，并给出了俱乐部的表征，或等价的切线飞溅。我们还研究了切向飞溅的等价问题，并确定了两个切向飞溅（射影）等价的充要条件。
2014-09-29 math.CO
On line colorings of finite projective spaces
本文证明了$q$阶$n$维有限射影空间的消色差指数和伪消色差指数的上界.
2021-01-28 math.CO
Line Percolation in Finite Projective Planes
本文研究了有限射影平面上最近引入的一个自举渗流问题的组合参数。我们提出了尖锐的结果的大小的最小可扩展集和最大非可扩展集。最小和最大渗流时间以及在射影平面的临界概率的额外结果也被提出。
2016-08-01 math.CO
