关于完全图III的伪消色差指数
On the pseudoachromatic index of the complete graph III
摘要：
设$ Π_q $是$ q $阶的射影平面，$ψ(m):=ψ(L(K_m))$是$ m $阶的完全线图的伪消色差数，$ a\in \{ 3,4,\dots,\tfrac{q}{2}+1 \} $和$ m_a=(q+1)^2-a $是$ Π_q $阶的完全线图的伪消色差数.本文改进了Araujo-Pardo等人[J Graph Theory 66（2011），89- 97]和Jamison [Discrete Math.74（1989），99- 115]给出的$ ψ(m) $的上界：如果$ x\geq 2 $是整数且$m\in \{4x^2-x,\dots,4x^2+3x-3\}$则$ψ(m) \leq 2x(m-x-1)$ .另一方面，如果$ q $是偶数，并且存在$ Π_q $，我们给出了$ K_{m_a} $与$(m_a-a)q$颜色的完全边着色。此外，使用这种着色，我们扩展了Araujo-Pardo等人在[J Graph Theory 66（2011），89- 97]和[Bol. Soc. Mat.墨西哥人（2014）20：17--28]证明$ψ(m_a)=(m_a-a)q$用于$ a\in \{3,4,\dots,\left\lceil \frac{1+\sqrt{4q+9}}{2}\right\rceil -1 \} $。
英文摘要：
Let $ Π_q $ be the projective plane of order $ q $, let $ψ(m):=ψ(L(K_m))$ the pseudoachromatic number of the complete line graph of order $ m $, let $ a\in \{ 3,4,\dots,\tfrac{q}{2}+1 \} $ and $ m_a=(q+1)^2-a $. In this paper, we improve the upper bound of $ ψ(m) $ given by Araujo-Pardo et al. [J Graph Theory 66 (2011), 89--97] and Jamison [Discrete Math. 74 (1989), 99--115] in the following values: if $ x\geq 2 $ is an integer and $m\in \{4x^2-x,\dots,4x^2+3x-3\}$ then $ψ(m) \leq 2x(m-x-1)$. On the other hand, if $ q $ is even and there exists $ Π_q $ we give a complete edge-colouring of $ K_{m_a} $ with $(m_a-a)q$ colours. Moreover, using this colouring we extend the previous results for $a=\{-1,0,1,2\}$ given by Araujo-Pardo et al. in [J Graph Theory 66 (2011), 89--97] and [Bol. Soc. Mat. Mex. (2014) 20:17--28] proving that $ψ(m_a)=(m_a-a)q$ for $ a\in \{3,4,\dots,\left\lceil \frac{1+\sqrt{4q+9}}{2}\right\rceil -1 \} $.
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