Colouring the Square of the Cartesian Product of Trees
证明了树的笛卡儿积的平方色数的上、下界。如果每棵树都有偶数个最大度，则边界相等。
2010-08-13 math.CO
Vizing's conjecture: a two-thirds bound for claw-free graphs
我们证明了对于任意无爪图$G$和任意图$H$，$γ(G\square H)\geq \frac{2}{3}γ(G)γ(H)$，其中$γ(G)$是$G$的控制数.
2017-06-29 math.CO
On the zero-free region for the chromatic polynomial of claw-free graphs with and without induced square and induced diamond
Departamento de Ciência da Computação UFMG（计算机科学学院 米纳斯吉拉斯联邦大学）；Departamento de Matemática UFMG（数学学院 米纳斯吉拉斯联邦大学）
本文研究了无爪图色多项式零点的自由区域，证明了在特定独立对比例下，零点位于特定盘内，并对四边和菱形自由图给出了更紧的界值。
2026-01-11 math.CO
On Colouring $(2P_2,H)$-Free and $(P_5,H)$-Free Graphs
着色问题的问题是，对于给定的整数$k$，图的顶点是否可以用至多$k$颜色着色，使得没有两个相邻的顶点接收相同的颜色。一个图是$(H_1,H_2)$ -free的，如果它没有同构于$H_1$或$H_2$的导出子图.如果已知$(H_1,H_2)$ -free图上的着色对于除有限个连通图$H_2$之外的所有图都是多项式时间可解或NP完全的，则连通图$H_1$几乎被分类。证明了除爪图$K_{1,3}$和$5$ -顶点路$P_5$外的所有连通图$H_1$几乎都是可分类的.我们还证明了一些新的硬度结果着色$(2P_2,H)$ -免费的图形。这使我们能够列出所有图$H$，其着色的复杂性在$(2P_2,H)$ -free图上是开放的，以及所有图$H$，其着色的复杂性在$(P_5,H)$ -free图上是开放的。事实上，我们证明这两个列表是一致的。此外，我们证明了$(2P_2,H)$ -free图和$(P_5,H)$ -free图的着色的复杂性对于所有已知的情况是相同的。
2017-12-06 cs.CC cs.DS math.CO
Sparse $4$-critical graphs have low circular chromatic number
Kostochka和Yancey证明了每个$4$ -临界图$G$都有$e(G) \geq \frac{5v(G) - 2}{3}$，且等式成立当且仅当$G$是$4$ -Ore.我们证明了Postle和Smith-Robbery的一个问题蕴涵着每个没有$(7,2)$ -循环着色的$4$ -临界图都有$e(G) \geq \frac{27v(G) -20}{15}$ .本文证明了：除非$G$同构于$K_{4}$或六点轮，否则每个不含$(7,2)$ -着色的$4$ -临界图都有$e(G) \geq \frac{17v(G)}{10}$.我们还证明了如果$(7,2)$ -临界图的Gallai树的每个分支都同构于奇圈、爪或路，如果Gallai树中含有奇圈分支，则$4$同构于奇轮.在一般情况下，我们证明了一个没有$(2k-1,2)$ -着色的$k$ -临界图，它的Gallai树中包含一个大小为$k-1$的团，它同构于$K_{k}$。
2020-07-30 math.CO
A diamond-free claw-free cubic graph with strong chromatic index 7
研究无钻石无爪立方图的强边着色问题，通过展示一个18个顶点的立方图\(H\)，其\(\chi'_s(H)=7\)，证明在简单立方图中相关猜想不成立，还表明两个关于强边着色的表述不等价，特定版本问题仍未解决。
2026-07-28 math.CO
Elementary graphs are chromatic-choosable
Indian Institute of Technology Madras（印度理工学院马德拉斯分校）；Amrita Vishwa Vidyapeetham（阿姆里塔大学）
本文针对初等图类，结合相关定理与引理，证实了Gravier和Maffray提出的无爪图是色可选的猜想，证明了初等图满足ch(G)=χ(G)=ω(G)。
2026-10-14 cs.DM math.CO
List Colouring Squares of Planar Graphs
1977年，Wegner证明了可平面图$G$的最大度$Δ\ge8$的平方的色数至多为$\bigl\lfloor\frac32Δ\bigr\rfloor+1$ .我们表明，它是最多$\frac32 Δ(1+o(1))$（其中$o(1)$是$Δ\to+\infty$），事实上，这是真实的列表色数和更一般的类图。
2017-05-15 math.CO
Asymptotics of the chromatic number for quasi-line graphs
Kahn证明了线图的色数与分数色数是渐近一致的。也就是说，对于任何线图$G$，我们都有$χ(G) \leq (1+o(1))χ_f(G)$。我们将这一结果推广到拟线图，一个重要的无爪图的子类。进一步证明了我们可以构造一个在多项式时间内达到这个界的着色，给出了拟线图色数的一个渐近近似算法。
2011-02-03 cs.DM cs.DS math.CO
Partial list colouring of certain graphs
设$G$是$n$顶点上的图，并且设$\mathcal{L}_k$是任意函数，该函数为$G$中的每个顶点分配$k$颜色的列表。则$G$是$\mathcal{L}_k$ -列表列，如果存在$G$的顶点的适当着色，使得每个顶点用来自其自身列表的颜色着色。如果对于每个这样的函数$\mathcal{L}_k$，$G$都是$\mathcal{L}_k$列表列，则我们说$G$是$k$可选择的.使得$G$是$k$可选择的最小$k$被称为$G$的列表色数并且由$χ_L(G)$表示。设$χ_L(G) = s$和$t$为小于$s$的正整数。由Albertson等人在\cite{albertson2000partial}中提出的部分列表着色猜想指出，对于每个将$G$的顶点映射到$t$大小的列表的$\mathcal{L}_t$，总是存在大小至少为$\frac{tn}{s}$的$G$的导出子图，即$\mathcal{L}_t$ -列表列。在本文中，我们证明了部分列表着色猜想适用于某些类别的图，如无爪图，图与大色数，chordless图，和系列平行图。在本文的第二部分中，我们提出了一个问题，它是部分列表着色猜想的一个变种：$G$是否总是包含一个大小至少为$\frac{tn}{s}$的导出子图是$t$ -可选的？我们表明，这个问题的答案并不总是“是”明确构建一个无限家庭的$3$ -choosable图的最大诱导$…
2014-03-11 math.CO
Partitioning H-Free Graphs of Bounded Diameter
增加我们对NP完全图问题的理解的一个自然方法是将输入限制为一个特殊的图类。$H$ -free图，即不包含某些图$H$作为导出子图的图，已被证明是这种复杂性研究的理想测试平台。然而，如果禁止图$H$包含圈或爪，则这些问题通常保持NP完全。最近对$k$ -着色问题的复杂性研究表明，如果我们也限制$H$ -free输入图的直径，我们仍然可以获得易于处理的结果。我们继续这条线的研究发起的复杂性研究的影响，限制在$H$自由图的各种经典的顶点划分问题的直径的边界。我们证明了边界的直径并没有帮助的独立集，但导致新的易处理的情况下密切相关的问题3-着色。也就是说，我们表明，近二分性，独立反馈顶点集，独立奇圈translation，无圈3-着色和星3-着色都是多项式时间可解的有界直径的无椅图。为了得到这些结果，我们利用了一个新的结构性质的3-colorchair-free图。
2022-04-18 cs.CC cs.DM cs.DS
$2\times n$ Grids have Unbounded Anagram-Free Chromatic Number
我们表明，Anagram自由顶点着色$2\times n$正方形网格需要一些颜色，增加与$n$。这回答了威尔逊的论文中的一个悬而未决的问题，并表明，即使是图的路径宽度$2$不具有任意色数的颜色。
2021-05-05 cs.DM math.CO
Independent Coverings and Orthogonal Colourings
本文对两个公开的命题进行了反驳。一个猜想是关于稀疏部图的独立覆盖，而另一个猜想是关于树图的正交着色。建立了独立覆盖与正交染色之间的关系。这个关系被应用于寻找一些稀疏部图的独立覆盖。此外，度条件提供了存在的独立覆盖的情况下，图有一个平方数的顶点被发现。
2021-04-05 math.CO
A Unified Approach to Distance-Two Colouring of Graphs on Surfaces
在本文中，我们介绍的概念$Σ$ -着色图$G$：对于给定的子集$Σ(v)$的邻居的$v$，对于每一个$v\in V(G)$，这是一个适当的着色的顶点$G$这样，此外，顶点一起出现在一些$Σ(v)$接收不同的颜色。这个概念概括了图形的平方着色和嵌入在曲面中的图形的循环着色的概念。我们证明了一个一般的结果，图嵌入在一个固定的表面，这意味着渐近版本的Wegner的和Borodin的猜想上的这两个着色的平面版本。使用Havet等人最近的方法，我们把问题归结为多重图的边着色问题，然后利用Kahn的结果，即列表色指数与分数色指数接近。我们的结果是基于一个强的结构引理，图嵌入在一个固定的表面，这也意味着一个团的大小在平方的最大程度$Δ$嵌入在一些固定的表面是至多$\frac32\,Δ$加上一个常数。
2012-05-06 math.CO
Packing, Hitting, and Colouring Squares
本文研究了非轴平行正方形的packing与hitting问题，首次给出了τ/ν比率的非平凡上界（单位正方形为6，变体为10），并利用该方法界定了χ/ω比率，填补了正方形几何对象常数界限研究的空白。
2024-06-03 cs.CG cs.DM math.CO
Colouring Square-Free Graphs without Long Induced Paths
对于无$H$的图，{ \sc着色}的复杂性是完全理解的，但是如果两个导出子图$H_1$和$H_2$是禁止的，则仍然存在主要的复杂性差距.设$H_1$为$s$ -顶点循环$C_s$，$H_2$为$t$ -顶点路径$P_t$ .我们证明了{ \sc着色}对于$s=4$和$t\leq 6$是多项式时间可解的，加强了几个已知的结果。我们的主要方法是发起一个遗传图类的原子（图没有团割集）的团宽度的有界性的研究。我们首先证明了无$H$图和无$H$原子的圈宽有界性的分类是一致的。然后，我们表明，这是不是这样的情况下，如果两个图是禁止的：我们证明了$(C_4,P_6)$ -自由原子的最大宽度约18。我们的关键证明成分是一个分而治之的方法来界定的一个子类的$C_4$ -免费的图形和建设的一个新的界限上的candel-width（一般）图的candel-width递归定义的子图诱导的齐次对和三元组的集合。作为补充，我们证明了{ \sc Colouring}对于$s=4$和$t\geq 9$是\NP -完全的，这是关于无$(C_4,P_t)$图的{ \sc Colouring}的第一个硬度结果.结合我们的新的结果与已知的结果导致几乎完全二分法的\cn限制到$(C_s,P_t)$ -免费的图形。
2018-05-21 cs.CC cs.DM cs.DS
Algorithms for square-$3PC(\cdot, \cdot)$-free Berge graphs
考虑一类不含奇洞、奇反洞和两个结点之间不含三条路径的图，使得任意两条路径诱导一个洞，且至少两条路径的长度为2.这类图推广了无爪Berge图和无平方Berge图。我们给出了一个复杂度为$O(n^{7})$的组合算法来寻找这样一个图的最大权团。我们还考虑了几个与此类相关的子图检测问题。
2013-09-03 cs.DM math.CO
Arc-distinguishing of orientations of graphs
AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）
本文研究图的定向对区分指数的影响，建立二分图和树的界与精确关系，并研究刚性定向，回答了关于不平衡完全二分图的开放问题。
2026-09-11 math.CO
The achromatic number of $K_6\square K_7$ is $18$
图$G$的顶点着色$f:V(G)\to C$是完全的，如果对于任意两个不同的颜色$c_1,c_2\in C$，存在一条边$\{v_1,v_2\}\in E(G)$使得$f(v_i)=c_i$，$i=1,2$ . $G$的消色差数是$G$的一个适当的完全顶点着色中颜色的最大数目$\mathrm{achr}(G)$。本文证明了$\mathrm{achr}(K_6\square K_7)=18$ .该结果最终确定了$\mathrm{achr}(K_6\square K_q)$的测定。
2020-09-17 math.CO
The optimal edge-colouring threshold
考虑任何稠密r-正则拟随机二部图H，其部分的大小为n，并固定一组r色.设L是一个随机列表分配，每个颜色是可用的每个边缘H的概率p。我们表明，阈值概率H有一个适当的L-边缘着色是p的顺序（log n）/n。这回答了Kang、Kelly、Kühn、Methuku和Osthus的一个问题。因此，我们得到了斯坦纳三元系和拉丁方的相同阈值;后者回答了约翰森在2006年提出的一个问题。
2022-12-08 math.CO
Graph colouring and Steenrod's problem for Stanley-Reisner rings
针对代数拓扑中Steenrod提出的分次环作为空间上同调环的经典问题，定义图着色的代数版本跨度着色，探究其与分次Stanley-Reisner环的Steenrod问题的关联。
2025-01-17 math.AT math.CO
Incidence Choosability of Graphs
图G的一个关联图是一对（v，e），其中v是G的一个顶点，e是G的一条与v关联的边.当（i）v = w，或（ii）e = f，或（iii）vw = e或f时，G的两个关联图（v，e）和（w，f）是相邻的. G的关联p-着色是从G的关联集合到颜色集合{1，. ..，p}，使得每两个相邻的入射接收不同的颜色。1993年，Brualdi和Quinn Massey引入了关联着色，从那时起，几位作者进行了研究。本文介绍并研究了关联着色的列表形式。我们确定的确切值-或上界-的关联选择数的几类图，即正方形网格，Halin图，仙人掌和哈密尔顿三次图。
2018-07-30 cs.DM math.CO
Orthogonal Colourings of Random Geometric Graphs
本文研究了随机几何图的正交染色。一个图的两个着色是正交的，如果它们具有这样的性质：当两个顶点在一个着色中接收相同的颜色时，那么这些顶点在另一个着色中接收不同的颜色。随机几何图$RG(n,r)$是通过在单位正方形中随机放置$n$顶点并且当且仅当它们的距离小于阈值$r$时用边连接两个顶点而构造的图。我们首先表明，随机几何图与$r>n^{-α}$，其中$0\leq α\leq\frac{1}{4}$，有一个正交着色使用$n^{1-2α}(1+o(1))$颜色的概率很高。然后，我们证明了无限数量的值的$n$，随机几何图的阈值$r<cn^{-\frac{1}{4}}$，$c<1$，具有最佳的正交着色的概率很高。我们通过构造团格图的正交着色得到了这两个结果。
2023-03-14 math.CO math.PR
The achromatic number of $K_6\square K_q$ equals $2q+3$ if $q\ge41$ is odd
设$G$是一个图，$C$是一个有限色集.顶点着色$f:V(G)\to C$是完备的，只要对于任意两种不同的颜色$c_1,c_2\in C$，存在$v_1v_2\in E(G)$，使得$f(v_i)=c_i$，$i=1,2$。$G$的消色差数是$G$的一个正常完全顶点着色中的最大颜色数$\mathrm{achr}(G)$。本文证明了：若$q\ge41$为奇数，则$K_6$与$K_q$的笛卡尔积的消色差数为$2q+3$ .
2020-09-15 math.CO
Clique colourings of geometric graphs
一个图的团着色是顶点的着色，使得没有最大团是单色的（忽略孤立顶点）。在这样的着色中，最少的颜色数是团色数。给定平面中的点$n$和阈值$r>0$，对应的几何图具有顶点集$\{v_1,\ldots,v_n\}$，并且当$x_i$和$x_j$之间的欧氏距离至多为$r$时，不同的$v_i$和$v_j$相邻。我们研究了这类图的团色数。我们首先证明了平面上任意几何图的团色数至多为9，并简要地考虑了高维几何图。然后研究了平面上随机几何图$RG$的团色数的渐近性质，其中$n$随机点独立均匀分布在一个适当的正方形中.我们看到，随着$r$从0开始增加，对于非常小的$r$，团色数很可能是1，然后对于小的$r$，团色数是2，然后对于较大的$r$，团色数至少是3，最后降回2。
2018-12-02 math.CO
Exact majority C-colourings of balanced Hamming graphs and grids
本文精确确定了平衡汉明图与网格的多数C-着色最大类数，给出下界构造与上界证明，并反驳了相关猜想。
2026-09-29 math.CO
Counting weighted independent sets beyond the permanent
Jerrum，Sinclair and Vigoda（2004）证明了任何方阵的积和式都可以在多项式时间内估计。这种计算可以被看作是近似的二分图中的边加权匹配的分区函数。等价地，这可以被视为近似二分图的线图中的顶点加权独立集的划分函数。二部图的线图是完美图，并且被称为精确的（爪，钻石，奇洞）-自由图类。那么，Jerrum、Sinclair和Vigoda的结果能延伸多远呢？我们首先表明，它扩展到（爪，奇洞）-免费的图，然后表明，它扩展到更大的类（叉，奇洞）-免费的图。我们的技术是基于图分解，这一直是最近的工作在结构图论的焦点，并在Chvatal和Sbihi（1988），Maffray和里德（1999）和Lozin和Milanic（2008）的结构结果。
2020-05-18 cs.DM math.CO
Independent Feedback Vertex Set for $P_5$-free Graphs
反馈顶点集问题是一个NP完全问题，即对于给定的整数$k\geq 0$，是否可以从给定的图中删除最多$k$个顶点，使得剩下的是一个森林。删除顶点必须形成一个独立集的变体称为独立反馈顶点集，也是NP完全的。事实上，即使决定是否存在一个独立的反馈顶点集是NP-完全的，这个问题是密切相关的$3$ -着色问题，或等价地，决定是否有一个独立的奇圈横截，即一个独立集的顶点，其删除使图二分的问题。本文系统地研究了无$H$图的独立反馈点集的复杂性.证明了当$H$包含爪或圈时，它是NP-完全的. Tamura，Ito和Zhou证明了它对于无$P_4$的图是多项式时间可解的。我们发现，它仍然是多项式时间可解的$P_5$ -自由图。我们证明了类似的独立奇循环断面问题，它问是否有一个独立的奇循环断面的大小最多$k$为一个给定的整数$k\geq 0$。最后，结合我们的研究目的，我们将$H$ -free图的独立反馈顶点集的复杂性与$3$ -着色、独立奇圈transmitting等相关问题的复杂性进行了比较.
2017-07-28 cs.DM cs.DS math.CO
Packing colourings in complete bipartite graphs and the inverse problem for correspondence packing
本文研究非对称完全二部图的对应装填数与列表装填数，利用拉丁方刻画其取值，并证明除3外任意正整数均可作为对应装填数，同时反驳相关猜想。
2024-12-04 math.CO
On the achromatic number of the Cartesian product of two complete graphs
一个图$G$的顶点着色$f:V(G)\to C$是完全的，如果对于任何具有$c_1\ne c_2$的$c_1,c_2\in C$，在$G$中存在相邻顶点$v_1,v_2$，使得$f(v_1)=c_1$和$f(v_2)=c_2$。$G$的消色差数是$G$的一个正常完全顶点着色中的最大颜色数$\mathrm{achr}(G)$。令$G_1\square G_2$表示图$G_1$和$G_2$的笛卡儿积。本文对无限多个$q$确定了$\mathrm{achr}(K_{r^2+r+1}\square K_q)$，只要$r$是有限射影平面序.
2022-07-03 math.CO
Almost all optimally coloured complete graphs contain a rainbow Hamilton path
一个边着色图的子图$H$称为彩虹图，如果$H$的所有边都有不同的颜色。在1989年，Andersen证明了$K_{n}$的每一个适当的边着色都允许一个长度为$n-2$的彩虹路径。我们发现，几乎所有的最佳边着色的$K_{n}$承认（i）彩虹汉密尔顿路径和（ii）彩虹周期使用所有的颜色。这一结果证明了Andersen猜想对$K_{n}$的几乎所有最优边着色都成立，并回答了Ferber，Jain和Sudakov最近提出的一个问题。我们的结果也适用于随机对称拉丁方中断面的存在性。
2022-04-21 math.CO
Monochromatic Paths and a Topological Approach to Norine's Conjecture
Charles University（查理大学）
本文受Norine猜想启发，研究2-边染色超立方体中的单色对径路径，通过三角化2-骨架的拓扑准则，证明中心对称单连通2-复形的任何对径染色都存在连接对径顶点对的单色路径，并通过对特定染色类中相对正方形面进行对称三角化，拓扑验证了这些类的Norine猜想，同时给出了仅有有限正方形面存在结构障碍情形下的定量界。
2026-08-11 math.CO
An approximate version of a conjecture of Aharoni and Berger
Aharoni和Berger证明了在二部多重图的每一个$n$色的真边着色中，每一种颜色至少有$n+1$边，则每一种颜色都有彩虹匹配.这个猜想推广了Brualdi和Stein关于拉丁方中横截的一个长期存在的问题。本文证明了Aharoni-Berger猜想的一个近似版本--证明了在一个二分多重图的正常$n$ -边着色中，每种颜色至少有$n+o(n)$边，则每种颜色都有彩虹匹配.
2018-05-24 math.CO
Dynamic Coloring and Graph Squares of Regular Graphs
University of Engineering and Technology (UTEC)（工程与技术大学（UTEC））
本文研究正则图的动态着色，证明无爪三次图的三动态色数不超过6且界紧，改进哈密顿情形至5，并精确计算循环图C_p(1,3)的r动态色数。
2026-10-14 math.CO
Frozen colourings in $2K_2$-free graphs
本文研究$2K_2$-自由图中的冻结染色，通过构造操作生成无限类，并证明所有3-色$2K_2$-自由图可重染。
2024-09-20 math.CO
Colouring negative exact-distance graphs of signed graphs
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（信息学研究所）；Centre d’Analyse et de Mathématiques Sociales (CNRS, UMR 8557)（分析与数学社会中心）；Instituto de Ingeniería Matemática-CIMFAV（数学工程研究所-CIMFAV）；Universidad de Valparaíso（瓦尔帕莱索大学）；Computer Science Institute of Charles University（查理大学计算机科学研究所）；Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查理大学数学与物理学院）
研究符号图的负精确距离图的色数，将其与符号图保号同态的最小目标图问题关联，并针对平面图及广义着色数给出结果。
2026-07-02 math.CO
The achromatic number of the Cartesian product of $K_6$ and $K_q$
设$G$是一个图，$C$是一个有限色集.顶点着色$f:V(G)\to C$是完全的，如果对于任何一对不同的颜色$c_1,c_2\in C$，可以找到一条边$\{v_1,v_2\}\in E(G)$，使得$f(v_i)=c_i$，$i=1,2$。$G$的消色差数定义为$G$的一个正常完全顶点着色中的最大颜色数$\mathrm{achr}(G)$。本文对任意整数$q$确定了$\mathrm{achr}(K_6\square K_q)$，使得$8\le q\le40$或$q\ge42$为偶数.
2021-07-18 math.CO
Extremal and monotone behaviour of the Sudoku number and related critical set parameters
数独数已经被定义为各种名称，表明它是一个自然的概念。这个参数有四种变体，它们可以与图着色问题中的临界集的最大和最小尺寸相关。对于这四个相关的参数，我们提出了一些简单的表征达到最大可能值的图形。作为一个主要的结果，我们回答了库珀和柯克帕特里克的一个问题，表明只有两个四个参数的颜色数的单调行为。我们也研究了子图序的单调性。对于拉丁方和数独，我们解决了超图着色的一些变体。
2022-07-28 math.CO
Factorization graphs of finite groups
引入了有限群的因子分解图，研究了它的连通性和禁戒结构。我们刻画了所有具有连通分解图的有限群，并对具有连通二部分解图的有限群进行了分类。此外，我们得到的分类的所有群体的无爪，$K_{1,4}$ -自由，和无平方因子分解图，不包括非可解群在后一种情况下。
2019-11-28 math.CO math.GR
Asymptotically Tight Bound for the Conflict-Free Chromatic Index
AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）
研究图冲突色数的渐近紧界，结合概率方法和确定性图分解技术，证明在闭合和开放邻域下，冲突色数上限为(1+o(1))log₂Δ，并证明其渐近紧性。
2026-04-24 math.CO
Vizing-type bounds for graphs with induced subgraph restrictions
对于任何图$G$和$H$，如果对某个常数$c$有$γ(G\square H)\geq c γ(G)γ(H)$，则称一个界是Vizing型的。本文给出了具有禁止导出子图的图$G$的Vizing型的几个界。特别地，如果$G$是一个三角形且无$K_{1,r}$的图，则对于任何图$H$，$γ(G\square H)\geq \frac{r}{2r-1}γ(G)γ(H)$ .如果$G$是一个$K_r$和$P_5$ -free图，对于某个整数$r\geq 2$，则对于任何图$H$，$γ(G\square H)\geq \frac{r-1}{2r-3}γ(G)γ(H)$ .我们通过限制$G$的功率$π(G)$来实现这一点。我们证明了如果$G$是无爪和$P_6$ -自由或$K_4$和$P_5$ -自由，那么对于任何图$H$，$γ(G\square H)\geq γ(G)γ(H)$。此外，我们显示的$G$的直径方面的Vizing型界限。
2017-05-14 math.CO
Embedding rainbow trees with applications to graph labelling and decomposition
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的研究可以追溯到两百多年前欧拉关于拉丁方的工作。从那时起，彩虹结构一直是广泛研究的焦点，并在图的标记和分解领域中找到了应用。一个边着色是局部$k$ -有界的，如果每个顶点至多包含在相同颜色的$k$边中.本文证明了完全图$K_n$的任何边着色都包含至多有$(1-o(1))n/k$顶点的树的彩虹拷贝。由于$K_n$的局部$k$有界边着色可能仅具有$(n-1)/k$不同的颜色，因此这本质上是紧密的。作为这个结果的一个推论，我们得到了图论中两个长期存在的定理的渐近版本。首先，我们证明了1963年Ringel猜想的一个渐近版本，证明了任何$n$ -边树都可以填充到完全图$K_{2n+o(n)}$中，以覆盖除$o(n^2)$之外的所有边。其次，我们证明了所有的树都有一个几乎和谐的标签。1980年，格雷厄姆和斯隆证实了这种标签的存在。我们还讨论了一些其他的应用。
2018-12-09 math.CO
An inequality on broken chessboards
对于正整数的任意划分，我们考虑其关联的Ferrers图的国际象棋（或跳棋）着色。设b表示黑色单位正方形的总数，w表示白色正方形的数量。在本注记中，我们刻画了所有以这种方式出现的对（b，w）。这个简单的组合结果是通过刻画三次三维Artin-Schelter代数上某些右模的Hilbert级数而发现的。然而，在本说明中，我们提出了一个纯粹的组合证明。结果是（至少部分）已知的文献，但我们发现它有趣的是提出一个基本的证明。所有额外的参考和评论将大多赞赏。
2006-01-05 math.CO
Square-free Walks on Labelled Graphs
对于顶点集$A_n = \{0,1,..., n-1\}$上的标号图$G$，如果$w = i_1i_2...i_k \in A_n^*$，其中每个因子$i_ji_{j+1}$是$E$的一条边，即$w$表示$G$中的一条游动，则称有限或无限字为$G$ -字.证明了存在无平方的无限$G$ -字当且仅当$G$没有子图同构于圈$C_3, \ C_4, \ C_5$、路$P_5$或爪$K_{1,3}$之一.图$G=(A_n,E)$的色数$γ(G)$是最小的整数$k$，如果它存在的话，对于它存在一个映射$ϕ\colon A_n \to A_k$，使得对于一个无限$G$ -字$w$，$ϕ(w)$是无平方的。我们发现，$γ(G)=3$为$G=C_3, C_5, P_5$，但$γ(G)=4$为$G=C_4, K_{1,3}$。特别地，$γ(G) \leq 4$用于所有至少具有五个顶点的图。
2011-06-24 cs.FL math.CO
Refinement of a conjecture on positive square energy of graphs
本文研究图的正平方能量下界猜想，验证支配数不超过2的图满足原猜想，并提出边数至少为 $n+1$ 时 $s^+(G)\geq n$ 的加强形式，且对无爪图和直径2图给予证明。
2025-06-08 math.CO
A Note on the 2-Colored Rectilinear Crossing Number of Random Point Sets in the Unit Square
本文研究单位正方形中随机四点集的边着色交叉问题，证明同色交叉边概率为1/4，并给出随机绘制下使单色交叉数期望降至交叉总数1/2-7/50的着色方案。
2023-12-04 cs.CG math.CO
On a Vizing-type integer domination conjecture
给定一个简单图$G$，$G$中的支配集是一个顶点$S$的集合，使得每个不在$S$中的顶点都有一个邻居。用$γ(G)$表示$G$的控制数，它是$G$的任何最小控制集的大小。对于任何整数$k\ge 1$，函数$f : V (G) \rightarrow \{0, 1, . . ., k\}$称为\emph{$\{k\}$-dominating function}，如果它的函数值在任何封闭邻域上的和至少是$k$。$\{k\}$ -支配函数的权是它在所有顶点上的值之和。定义$G$的$\{k\}$ -控制数$γ_{\{k\}}(G)$为所有$\{k\}$ -控制函数的最小权. Brešar，Henning和Klavžar（关于图中的整数支配和Vizing类问题。\emph{Taiwanese J. Math.} {10（5）}（2006）pp. 1317--1328）询问是否存在整数$k\ge 2$使得$γ_{\{k\}}(G\square H)\ge γ(G)γ(H)$。在本注记中，我们使用罗马$\{2\}$ -支配数，Chellali，Haynes，Hedetniemi和McRae的$γ_{R2}$（罗马$\{2\}$ -支配数。\emph{Discrete Applied Mathematics} {204}（2016）pp.（第22至28段）证明了若$G$是无爪图，$H$是任意图，则…
2020-07-08 math.CO
A multidimensional Ramsey Theorem
本文将 Ramsey 定理推广到图的笛卡尔积，证明任意维数下双指数上界已足够，并由此改进多维 Erdős-Szekeres 定理，将四维及以上的三重指数上界改进为双指数上界。
2024-12-31 cs.DM math.CO
List Coloring the Cartesian Product of a Complete Graph and Complete Bipartite Graph
Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）
本文利用强色可选图和Karamata不等式等工具，证明了Mudrock关于完全图与完全二部图笛卡尔积列表色数临界阈值的猜想，推广了完全二部图的经典列表着色结果。
2025-11-06 math.CO
Brooks-type theorems for relaxations of square colorings
本研究改进了图的正常h-无冲突着色的Brooks型猜想相关结果，给出更紧的色数上界，证明猜想对弦图成立，也改进了h-动态着色的相关结论。
2024-04-17 math.CO
The List Square Coloring Conjecture fails for bipartite planar graphs and their line graphs
本文构造二部平面图及其线图等反例，否定列表平方着色猜想的多个开放情形与平面版本，并改进有界最大度非可选图构造。
2025-05-12 math.CO
Clique and chromatic numbers of graph powers: spectral bounds and anticodes
该研究利用谱与多项式方法，得到图幂团数与色数的精确谱界，提出Wegner猜想的谱类似物并对部分情况证明，还将相关方法与编码理论中反码的Delsarte线性规划界建立联系。
2026-10-12 math.CO
Guessing Numbers of Odd Cycles
对于给定的颜色数$s$，图的猜测数是图的顶点集的最大着色族的大小的底$s$对数，使得每个顶点的颜色可以从其邻域中的顶点的颜色确定。$n$ -顶点圈图$C_n$的猜测数的上界是$n/2$ .已知只要$n$是偶数或$s$是完全正方形\cite{Christofides2011guessing}，猜测数就等于$n/2$。我们证明了，对于任意给定的整数$s\geq 2$，如果$a$是$s$小于等于$\sqrt{s}$的最大因子，对于足够大的奇数$n$，$C_n$与$s$颜色的猜测数是$(n-1)/2 + \log_s(a)$ .这回答了Christofides和Markström在2011年\cite{Christofides2011guessing}中提出的一个问题。我们还提出了一个明确的协议，实现这一界限的每一个$n$。将其与具有边信息的索引编码相联系，我们推断出具有$s$颜色的$C_n$的信息缺陷对于足够大的奇数$n$是$(n+1)/2 - \log_s(a)$。我们的研究结果是一个概括的$s=2$的情况下，这是证明在\cite{bar2011index}。
2016-02-11 cs.IT math.CO math.IT
