The Nef Curve Cone Theorem Revisited
Qihong Xie
我们重新讨论了nef曲线锥定理，并利用它重新证明了第二类Chern类对于终端弱Q-Fano簇的伪有效性。
We revisit the nef curve cone theorem and use it to reprove the pseudo-effectivity of the second Chern classes for terminal weak Q-Fano varieties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
We compute the nef cone of the Hilbert scheme of points on a general rational elliptic surface. As a consequence of our computation, we show that the Morrison-Kawamata cone conjecture holds for these nef cones.
Some surfaces with non-polyhedral nef cones
研究了复光滑射影曲面的nef锥，给出了复光滑射影曲面的nef锥是非多面体的一个充分判据。我们利用这一点证明了C × C的nef锥不是多面体的，其中C是亏格至少为2的复光滑射影曲线。
Lower and upper bounds for nef cones
射影簇Y的nef锥是一个重要的且常常难以捉摸的不变量。本文利用Y在复曲面簇中的嵌入构造了Y的nef锥的两个多面体下界和一个多面体上界。下界推广了Mori dream空间的nef锥的组合描述，而上界则将模空间\bar{M}_{0,n}的nef锥的F-猜想推广到了更广的一类变种.
In this note, we calculate the boundary of movable cones and nef cones of the generalized Kummer 4-fold $\mathrm{Km}^2(A)$ attached to an abelian surface $A$ with $\mathrm{rkNS}(A) = 1$.
A cone theorem for nef curves
根据V. Batyrev的思想，我们证明了nef曲线闭锥的锥定理的一个类似定理：nef曲线的锥的扩大是一个K_X-非负部分与可数个K_X-负余极值射线之和的闭包。一个例子表明，这种扩大是必要的。我们还描述了该锥的K_X-负面与极小模型程序可能结果之间的关系。
We show that when $d \geq 3$ and $m>2$, the Nef cone of the Hilbert scheme $Hilb_{P_{d,m}(T)}(G(k,n))$ is a cone spanned by 6 classes in general case, where $P_{d,m}(T)=\binom{T+m}{m}-\binom{T+m-d}{m}$.
Let $C$ be a smooth projective curve over $\mathbb C$. Let $n,d\geq 1$. Let $\mathcal Q$ be the Quot scheme parameterizing torsion quotients of the vector bundle $\mathcal O^n_C$ of degree $d$. In this article we study the nef cone of $\mathcal Q$. We give a complete description of the nef cone in the case of elliptic curves. We compute it in the case when $d=2$ and $C$ very general, in terms of the nef cone of the second symmetric product of $C$. In the case when $n\geq d$ and $C$ very general, we give upper and lower bounds for the Nef cone. In general, we give a necessary and sufficient cri…
Nef cone of flag bundles over a curve
设$X$是定义在代数闭域$k$上的光滑射影曲线，$E$是$X$上的向量丛.我们计算与$E$相关的任何标志丛的nef锥。
$sl_2$ conformal block divisors and the nef cone of $\bar{M}_{0,n}$
我们证明了$sl_2$共形块因子不覆盖$\bar{M}_{0,6}$的nef锥，也不覆盖$\bar{M}_{0,9}$的$S_9$不变的nef锥.其中一个关键点是将这些因子与F-曲线之间的相交数的非零性与某些显式定义的多面体的非空性联系起来。文中还包括一些实验结果和一些待解决的问题。
Nef Cones of the Hilbert Schemes of Points on Generalized Cayley K3 Surfaces
本文研究了Cayley K3曲面点Hilbert方案的Nef锥，通过自同构和格论方法计算了S^{[2]}的Nef锥，并利用Bridgeland稳定性方法确定了更高阶Hilbert方案的Nef锥结构。
Nef and Effective Cones on the Moduli Space of Torsion Sheaves on the Projective Plane
本文研究了射影平面上1维半稳定层的Simpson模空间的因子理论。证明了这些空间都是Mori梦空间，并计算了它们的nef锥.我们还研究了这些空间的有效锥的数值不变量的大多数选择。因此，我们精确地计算出两个这样的空间何时同构。
Nef cones of fiber products and an application to the Cone Conjecture
本文在 Néron–Severi 空间可分解条件下证明光滑纤维积 nef 锥的分解定理，并用于刻画高维 Schoen 簇、证实其 Kawamata–Morrison–Totaro 锥猜想。
In this paper we develop a technique for discovering (non-effective) irrational rays at the boundary of the Mori cone for linear systems on a general blowup of the plane, and give examples of such irrational rays.
The nef cone of toroidal compactifications of ${\cal A}_4$
我们确定的nef因子锥的Igusa和Voronoi紧化的模空间的主要极化交换4倍。我们还证明了A_4（n）的Igusa紧化上的典范丛对于n至少为3是充分的。A_2和A_3的类似结果是第一作者较早得到的，但A_4的情况远没有那么简单。
Nef cones of Hilbert schemes of points on some K3 surfaces
本文通过结合稳定性方法和经典方法，计算了某些K3曲面点的希尔伯特方案的nef结构，并探讨了嵌套希尔伯特方案的nef结构计算。
Let $X$ be the projective plane, a Hirzebruch surface, or a general $K3$ surface. In this paper, we study the birational geometry of various nested Hilbert schemes of points parameterizing pairs of zero-dimensional subschemes on $X$. We calculate the nef cone for two types of nested Hilbert schemes: $X^{[n+1,n]}$ and universal families. As an application, we recover a theorem of Butler on syzygies on Hirzebruch surfaces.
In this article, we give a description of the closed cone of curves of the projective bundle $\mathbb{P}(E)$ over a smooth projective variety $X$. Using duality, we then calculate the nef cone of divisors in $\mathbb{P}(E)$ over some special surfaces $X$ and for some special bundles on $X$. As an application, we also calculate the Seshadri constants of semistable ample vector bundles with vanishing discriminant on some special ruled surfaces at special points.
The nef cone volume of generalized Del Pezzo surfaces
我们计算Del Pezzo表面的nef圆锥尺寸的自然定义测量。由此产生的数字出现在一个猜想Manin的渐近行为的数量有理点的有界高度的表面上。定义在代数闭域上的具有（-2）-曲线的Del Pezzo曲面Y的nef锥体积等于相同次数的光滑Del Pezzo曲面的nef锥体积除以与Y上的（-2）-曲线构型相关联的简单系根系的外尔群的阶数。当Y被定义在特征为0的非闭域上时，类似的结果成立，只是相关的根系不再一定是简单的。
Nef cone volumes and discriminants of abelian surfaces
Nef锥体积首先出现在工作的Peyre在数论方面的Del Pezzo表面，它是研究Derenthal和合著者的一系列文件。这个想法后来被扩展到测量Del Pezzo表面的Zagliki室。我们开始在本文中探讨的可能性，使用这个有吸引力的概念，以有效地衡量的大小的nef锥代数曲面一般。这提供了一种有趣的方法来测量在多大的空间内，一个充足的线丛可以移动而不破坏它的正性。我们在这里给简单的阿贝尔表面，承认一个主要的极化和产品的椭圆曲线的完整结果。
Pseudo-effective and nef cones on spherical varieties
我们证明了光滑完备球面簇上的nef圈类是有效的，并且nef圈类的乘积也是nef的。设X是光滑射影球面簇，使得其余维k的有效圈类为nef，其中1<= k <= dim（X）-1。我们研究了X的性质。证明了若X是环面簇，则X同构于某些射影空间的乘积，若X是环面簇，则X同构于有理齐性空间，若X是次球面簇，dim（X）≥ 3，k=2，则X上的有效因子是nef;如果X是次球面的且X上的有效因子是nef，则存在从X到有理齐性空间的态射，使得每个纤维同构于Picard数1的某些次球面簇的乘积。
Nef cone decompositions for nested Hilbert schemes of points on surfaces
本文针对满足q(S)=0的光滑射影曲面，给出两类嵌套希尔伯特概型内法锥的拉回分解数值判据，复现部分经典曲面结果并推广至高次del Pezzo曲面，同时证明次数1的del Pezzo曲面不满足该分解。
An elementary description of nef cone for irreducible holomorphic symplectic manifolds
该研究描述K3型和Kummer型不可约全纯辛流形的MBM类，分析其与相关理论的联系，并将低维数值方法应用于这两类情况，为nef锥研究提供基础结果。
Let $X = \mathbb{P}(E_1) \times_C \mathbb{P}(E_2)$ where $C$ is a smooth curve and let $E_1$, $E_2$ be vector bundles over $C$. In this paper, we extend the results in \cite{K-M-R} by computing the nef cone of $X$ without restriction on the rank or semistability of $E_1$ and $E_2$. We also study the Seshadri constants of ample line bundles on $X$. We calculate the Seshadri constants in some cases and give bounds in some of the remaining cases.
The goal of this work is to study positivity of subvarieties with nef normal bundle in the sense of intersection theory. After Ottem's work on ample subschemes, we introduce the notion of a nef subscheme, which generalizes the notion of a subvariety with nef normal bundle. We show that restriction of a pseudoeffective (resp. big) divisor to a nef subvariety is pseudoeffective (resp. big). We also show that ampleness and nefness are transitive properties. We define the weakly movable cone as the cone generated by the pushforward of cycle classes of nef subvarieties via proper surjective maps. T…
Special rays in the Mori cone of a projective variety
设$X$是代数闭域$k$上的光滑$n$维射影簇，使得$K_X$不是nef.本文给出了$X$的最大长度（即长度为$n-1$）的非nef极值射线的一个特征;在$\ch(k) = 0$的情况下，我们也刻画了长度为$n-2$的非nef极值射线.
The cone of pseudo-effective divisors of log varieties after Batyrev
本文研究了投射簇的nef曲线的锥，它是伪有效因子锥的对偶锥。本文从极小模型程序的观点证明了任意维数的射影$\mathbb Q$ -阶乘klt对的nef曲线的锥的结构定理。这是Batyrev的结构定理的一个推广的nef曲线的投射终端三倍的锥。
We study the nef cone of self-products of a curve. When the curve is very general of genus $g>2$, we construct a nontrivial class of self-intersection 0 on the boundary of the nef cone. Up to symmetry, this is the only known nontrivial boundary example that exists for all $g > 2$. When the curve is general, we identify nef classes that improve on known examples for arbitrary curves. We also consider self-products of more than two copies of the curve.
Higher codimension nef and effective cycles on the Hilbert scheme of 3 points in projective 3-space
本文计算了三维射影空间中三点希尔伯特概形的高余维nef锥与有效锥，推广了已有结果，并引入新Chow环基。
Positive cones of dual cycle classes
我们研究了几个著名的定义的内夫锥的因子上的投影品种的高余维循环的推广。这些推广修复了高余维类的经典nef锥所表现出的一些病态。作为应用，我们恢复了所有k的伪有效锥$\overline{Eff}_{k}(X)$的预期性质。
The nef cone of the moduli space of sheaves and strong Bogomolov inequalities
设（X，H）是一个极化的光滑复射影曲面，v是X上的一个具有正秩和充分大判别式的Chern特征标.在本文中，我们计算了V在X的稳定流形的切片中的Gieseker壁。我们构造明确的曲线参数化非同构的Gieseker稳定层，成为S-等价沿墙。作为推论，我们得出结论：如果不存在特征标为v的严格半稳定层，则与壁相关联的Bayer-Macri因子是层M_H（v）的模空间上的边界Nef因子.我们恢复以前的结果为射影平面和K3表面，并说明应用程序，以更高的Picard秩表面上的一个例子二次曲面。
We use wall-crossing with respect to Bridgeland stability conditions to systematically study the birational geometry of a moduli space M of stable sheaves on a K3 surface X: 1. We describe the nef cone, the movable cone, and the effective cone of M in terms of the Mukai lattice of X. 2. We establish a long-standing conjecture that predicts the existence of a birational Lagrangian fibration on M whenever M admits an integral divisor class D of square zero (with respect to the Beauville-Bogomolov form). These results are proved using a natural map from the space of Bridgeland stability condition…
Let X be a smooth projective surface of irregularity 0. The Hilbert scheme of n points on X parameterizes zero-dimensional subschemes of X of length n. In this paper, we discuss general methods for studying the cone of ample divisors on the Hilbert scheme. We then use these techniques to compute the cone of ample divisors on the Hilbert scheme for several surfaces where the cone was previously unknown. Our examples include families of surfaces of general type and del Pezzo surfaces of degree 1. The methods rely on Bridgeland stability and the Positivity Lemma of Bayer and Macri.
We study the cones of surfaces on varieties of lines on cubic fourfolds and Hilbert schemes of points on K3 surfaces. From this we obtain new examples of nef cycles which fail to be pseudoeffective.
Jumping of the nef cone for Fano varieties
我们构建Q-阶乘终端Fano品种，从4维开始，其nef锥跳跃时，品种变形。因此，de Fernex和Hacon关于三维Fanos变形的结果是最优的。这些例子是基于存在的高维翻转变形同构，推广Mukai翻转。我们还推广了de Fernex和Hacon关于Fano簇的变形的结果。复曲面Fano簇在余维2上是光滑的，在余维3上是Q-阶乘的，它们是刚性的。除子类群是变形不变的klt Fanos，这是光滑的余维2和Q-阶乘余维3。当余维3中Q阶乘的终端Fano变形时，Cox环在平坦族中变形。一个侧面的结果，这似乎是新的是，除子类群的klt法诺品种映射同构到普通的同源性。
A characterization of double covers of curves in terms of the ample cone of second symmetric product
本文研究亏格为$g$的曲线的第二对称积的对角张成的nef锥和纤维类。这个2维nef锥给出了亏格$\le \frac{g-1}{8}$的曲线的双覆盖的一个特征.这是Debarre的一个结果的推广。
Nef cone and successive minima: an example
本文研究了平滑射影曲线与其雅可比变种积空间的nef锥和伪有效锥，并展示了张定理在该情况下不成立。
We investigate nef and movable cones of hypersurfaces in Mori dream spaces. The first result is: Let $Z$ be a smooth Mori dream space of dimension at least four whose extremal contractions are of fiber type of relative dimension at least two and let $X$ be a smooth ample divisor in $Z$, then $X$ is a Mori dream space as well. The second result is: Let $Z$ be a Fano manifold of dimension at least four whose extremal contractions are of fiber type and let $X$ be a smooth anti-canonical hypersurface in $Z$, which is a smooth Calabi--Yau variety, then the unique minimal model of $X$ up to isomorph…
We show that the pseudoeffective cone of divisors $\overline{\text{Eff}}^1(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ for $g\geq 2$ and $n\geq 2$ is not polyhedral by showing that the class of the fibre of the morphism forgetting one point forms an extremal ray of the dual nef cone of curves $\overline{\text{Nef}}_1(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ and the cone at this ray is not polyhedral.
On the Nef cones of blowups of the projective plane
本文研究 Cremona 作用在射影平面 blowup 的 nef 锥上的行为，构造了 $n=9$ 时的有理多面体基本域，并推广到 $n\ge 10$ 的 $K_{S_n}$-负部分。
Nef Cones of Hilbert Schemes of Orthogonal Grassmannians
该研究针对正交格拉斯曼簇的希尔伯特概型，确定其连通分支数与内法锥，推广了Seong关于普通格拉斯曼簇的结论，所用方法结合了其证明技术与舒伯特演算。
Birational Geometry of the Space of Complete Quadrics
研究完备$X$-二次曲面$n$模空间的双有理几何.我们展示了Eff $(X)$和Nef $(X)$的生成器，分别是有效因子的锥和nef因子的锥。作为推论，X是Mori Dream空间。此外，我们在$X$上运行MMP，并找到了由nef锥的生成元诱导的模型的模量解释。在完整的二次曲面的情况下，我们描述了所有的双有理数模型的$X$引起的可动锥，并找到一个模量解释这些模型。
In this article, we consider the projective bundle $\mathbb{P}_X(E)$ over a smooth complex projective variety $X$, where $E$ is a semistable bundle on $X$ with $c_2(End(E)) =0$. We give a necessary and sufficient condition to get the equality $ Nef^1\bigl(\mathbb{P}_X(E)\bigr) = \overline{Eff}^1\bigl(\mathbb{P}_X(E)\bigr)$ of nef cone and pseudoeffective cone of divisors in $\mathbb{P}_X(E)$. As an application of our result, we show the equality of nef and pseudoeffective cones of divisors of projective bundles over some special varieties. In particular, we show that weak Zariski decomposition…
Extremality of tautological classes of matroids in nef cones
本文研究了置换簇的多面体nef锥中由拟阵的tautological Chern类生成的射线的极值性，给出了拟阵的tautological Chern类生成极值射线的充要条件，并构造了介于秩函数和Bergman类之间的新极值射线族，进一步讨论了该定理通过增广tautological Chern类向星形簇的推广。
Nef and Effective cones of some Quot Schemes
本文研究了当 d 很大时，quot 方案的 nef 锥、有效锥和 canonical 分割，证明该变元为 fano 当且仅当 r=2k+1。
We discuss the cone theorem for quasi-log schemes and the Mori hyperbolicity. In particular, we establish that the log canonical divisor of a Mori hyperbolic projective normal pair is nef if it is nef when restricted to the non-lc locus. This answers Svaldi's question completely. We also treat the uniruledness of the degenerate locus of an extremal contraction morphism for quasi-log schemes. Furthermore, we prove that every fiber of a relative quasi-log Fano scheme is rationally chain connected modulo the non-qlc locus.
Nef divisors on $\bar{M}_{0,n}$ from GIT
本文介绍并研究了$\bar{M}_{0,n}$的GIT锥，它是由GIT锥$(\mathbb P^1)^n//SL(2)$上的自然样本线丛的回撤产生的。我们给出了这些线丛的一个显式公式，并证明了一些关于GIT锥的基本结果。作为一个应用，我们无条件地证明了具有对称边界因子的$\bar{M}_{0,n}$的对数正则模型与加权曲线的模空间或对称GIT商相一致，推广了Matt Simpson arXiv：0709.4037的结果.（参见Fedorchuk和Smyth的另一个证明arXiv：0810.1677）
Extremal higher codimension cycles of the space of complete conics
令$M$表示完全二次曲线的空间。我们分别计算了$M$、$\mathrm{Eff}_k(M)$和$\mathrm{Nef}_k(M)$的有效和数值有效$k$ -圈的锥.此外，我们计算$M$相对于$\mathbb{C}^*$ -行动的Biaubynicki-Birula细胞分解，并比较这些细胞的关闭所产生的锥的锥$\mathrm{Eff}_k(M)$和$\mathrm{Nef}_k(M)$。
Positive Cones of the Projectivization of a parabolic vector bundle and Their Products over a Curve
本文计算了光滑复射影曲线上抛物向量束的射影化以及两个抛物射影束的纤维积的正锥，包括Néron-Severi群、nef锥和伪有效锥，并给出了抛物向量束半稳定性的充要条件。
Let X be an irreducible symplectic manifold and L a nef line bundle on X which is isotropic with respect to the Beauville-Bogomolov quadratic form. It is known that a subgroup Aut(X,L) of an automorphism group of X which fix L is almost abelian. We give a formula of the rank of Aut(X,L) in terms of MBM divisors. We also prove that the nef cone of X cut out MBM classes, which is a generalization of Kovac's structure theorem of nef cones of K3 surfaces
Nef divisors of surfaces given by pencils at infinity
本文研究了通过在复射影平面的特定点集上吹胀得到的曲面的 nef 结构和 Cox 环生成性，提出了关于纤维基点和自由点的生成元理论，并证明了 Cox 环的有限生成性条件。
Pseudoeffective and nef classes on abelian varieties
在光滑射影簇上由各种正性条件定义的因子锥和曲线锥在代数几何中已经有了大量的工作，到现在为止，它们已经被很好地理解了。然而，更高余维和维数的循环的类似圆锥直到最近才开始成为焦点。本文的目的是探讨一些现象，可以通过工作的图片相当完整地在一对夫妇的简单，但不平凡的情况下发生。具体地说，我们研究周期的任意余维的自产品的椭圆曲线与复乘，以及二维周期的产品的一个非常一般的阿贝尔曲面本身。人们已经发现了各种非经典的行为，例如nef循环不能成为伪有效的：这回答了格罗滕迪克在1964年与芒福德的通信中提出的一个问题。我们还提出了大量的开放问题，以进一步调查。
A cone conjecture for log Calabi-Yau surfaces
本文研究了带奇异边界的 log Calabi-Yau 曲面，证明了其自同构群和单值群在 nef 有效锥上的作用容许有理多面体基本域，并给出了 Mori Dream Spaces 的新示例。
In this article, we use the cone of nef curves to study minimal log discrepancies. The first result is an improvement of the nef cone theorem in the case of log Calabi-Yau dlt pairs. Then, we prove that the ascending chain condition for $n$-dimensional minimal log discrepancies of regularity one holds around zero. Furthermore, we show that there exists an upper bound for the minimal log discrepancy of any $n$-dimensional klt singularity of regularity one.
Let $E$ be a vector bundle of rank $r$ on a smooth complex projective variety $X$. In this article, we compute the nef and pseudoeffective cones of divisors in the Grassmann bundle $Gr_X(k,E)$ parametrizing $k$-dimensional subspaces of the fibers of $E$, where $1\leq k \leq rank(E)$, under assumptions on $X$ as well as on the vector bundle $E$. In particular, we show that nef cone and the pseudoeffective cone of $Gr_X(k,E)$ coincide if and only if $E$ is a slope semistable bundle on $X$ with $c_2(End(E))=0$. We also discuss about the nefness and ampleness of the universal quotient bundle $Q_k$…
Higher dimensional Zariski decompositions
利用具有最小奇点的流，构造了紧致复$n$ -fold $X$上的实伪有效$(1,1)$类$α$的逐点最小重数，这些重数是影响$α$数值有效性的局部障碍.然后定义$α$的负部分为实有效因子$N(α)$，其沿素除子$D$的重数正好是$α$沿$D$的通有重数，这样我们得到$α$的一个除子Zerki分解为余维为1的类$Z(α)$与其负部分$N(α)$的类之和，这在其非常刚性地嵌入$X$中的意义上是例外的。正的部分$Z(α)$产生一个修改的nef锥，和伪有效锥被证明是局部多面体远离修改的nef锥，与异常因子产生的极值射线。然后，我们处理的情况下，一个表面和一个超凯勒流形的一些细节：在交叉形式（分别。Beauville-Bogomolov形式），我们刻画了修改的nef锥和例外因子;我们的除子Zerkiki分解是正交的，因此是一个有理分解，这一事实说明了射影曲面上Zerkiki分解的通常存在性陈述，从而扩展到超Kähler情况。最后，我们解释了如何用线性级数$|kL|$的渐近性刻画射影流形上的大线丛（第一类陈氏线丛）的除子Zebraki分解为$k\to\infty$ .
Volumes of Zariski chambers
Zebraki腔是代数曲面的大圆锥体分解成的自然部分。到目前为止，他们已经从几何和组合的角度进行了研究。在本文中，我们补充图片与度量的角度来看，通过研究一个合适的概念室的大小。我们的第一个结果给出了一个精确的条件nef锥体积是有限的，并提供了一种方法来计算它的归纳。我们的第二个结果确定的体积任意Zagliki室从nef锥体积的排污。我们说明了这种方法的适用性，明确地确定室的体积上的Del Pezzo和其他反正则表面。
Diagram Method for 3-Folds and its Application to Kahler Cone and Picard Number of Calabi-Yau 3-Folds, I. with Appendix by Vyacheslav V. Shokurov: "Anticanonical boundedness for curves"
我们证明了一般的图解法定理对具有Q-阶乘奇点的相当大的一类3-重有效（见基本定理1.3.2和定理2.2.6）。这给出了我们关于具有Q-阶乘终端奇点的Fano 3-folds的结果（预印本alg-geom/9311007）的推广。作为应用，我们得到了关于三维Calabi-Yau流形X的如下结果：假设Picard数ρ（X）> 93.则以下两种情况之一成立：（i）X上存在一个小的极值射线;（ii）存在一个nef元素h使得h^3=0（因此，nef锥NEF（X）和三次相交超曲面W_X有一个公共点;这里，我们不主张h是有理的！）。作为推论，我们得到：设X是三维Calabi-Yau流形。假设nef锥NEF（X）是有限多面体，并且X没有小的极值射线。若ρ（X）>93，则存在有理nef元h，且h^3=0。为了证明关于Calabi-Yau流形的这些结果，我们还使用了V. V. Shokurov关于除极射线长度的一个结果（见附录）。因此，我们应该把上面关于Calabi-Yau 3-folds的结果看作是我们与V. V. Shokurov的共同结果。我们还讨论了上述结果的推广到所谓的Q-factorial模型的Calabi-Yau 3-folds，有时允许涉及非多面体的情况下，小的极值射线的游戏。
The cone of moving curves of a smooth Fano three- or fourfold
本文通过给出截锥的若干方程，描述了三重和四重光滑Fano运动曲线的闭锥。这些方程是由除数压缩的例外因子和双有理模型的nef因子通过翻转序列导出的.这篇论文是在Stefan Kebekus的监督下撰写的。
Positive divisors on quotients of $\bar{M}_{0,n}$ and the Mori cone of $\bar{M}_{g,n}$
证明了如果$m \ge n-3$，则亏格为零的稳定$n$ -点曲线的模空间上的每个$S_m$ -不变F-nef因子线性等价于边界因子的有效组合.作为应用，我们确定了具有少量标记点的小亏格稳定曲线的模空间的Mori锥。
In this article we prove a finiteness result on the number of log minimal models for $3$-folds in char $p>5$. We then use this result to prove a version of Batyrev's conjecture on the structure of nef cone of curves on $3$-folds in characteristic $p>5$. We also give a proof of the same conjecture in full generality in characteristic $0$. We further verify that the duality of movable curves and pseudo-effective divisors hold in arbitrary characteristic. We then give a criterion for the pseudo-effectiveness of the canonical divisor $K_X$ of a smooth projective variety in arbitrary characteristic…
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