The group law on a tropical elliptic curve
Magnus Dehli Vigeland
类似于平面三次曲线上的典型群律，我们定义了光滑平面热带三次曲线上的群律。我们证明了所得到的群同构于$S^1$。
In analogy with the classical group law on a plane cubic curve, we define a group law on a smooth plane tropical cubic curve. We show that the resulting group is isomorphic to $S^1$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Tropical elliptic curves in 3-space
本研究通过四维Cayley多胞体的405246030个正则单位模三角剖分，分类得到热带三维空间中两二次曲面相交形成的4009个16顶点16边三价图，对应椭圆曲线的极大退化稳定模型。
We prove a tropical mirror symmetry theorem for descendant Gromov-Witten invariants of the elliptic curve, generalizing the tropical mirror symmetry theorem for Hurwitz numbers of the elliptic curve, Theorem 2.20 in [Böhm J., Bringmann K., Buchholz A., Markwig H., J. Reine Angew. Math. 732 (2017), 211-246, arXiv:1309.5893]. For the case of the elliptic curve, the tropical version of mirror symmetry holds on a fine level and easily implies the equality of the generating series of descendant Gromov-Witten invariants of the elliptic curve to Feynman integrals. To prove tropical mirror symmetry fo…
We introduce the notion of tropical curves of hyperelliptic type. These are tropical curves whose Jacobian is isomorphic to that of a hyperelliptic tropical curve, as polarized tropical abelian varieties. We show that this property depends only on the underlying graph of a tropical curve and is preserved when passing to genus $\geq 2$ connected minors. The main result is an excluded minors characterization of tropical curves of hyperelliptic type.
We determine necessary and sufficient conditions for real algebraic curves near the non-singular tropical limit to be hyperbolic with respect to a point, thus generalising Speyer's classification of stable curves near the tropical limit. In order to obtain the conditions, we develop tools of real tropical intersection theory. We introduce the tropical hyperbolicity locus and the signed tropical hyperbolicity locus of a real algebraic curve near the non-singular tropical limit. In the case of honeycombs, we characterise the tropical hyperbolicity locus in terms of the set of twisted edges on th…
Tropical orbit spaces and the moduli spaces of elliptic tropical curves
给出了热带轨道空间及其态射的定义。我们表明，在一定的条件下，这样的态射的目标中的一个点的原像的加权数不依赖于这个点的选择。我们给椭圆热带曲线的模空间赋予了热带轨道空间的结构，并利用我们在热带轨道空间上的结果，简化了已知的证明：在$\RR^2$中一般位置上通过3d-1点的具有固定j-不变量的d次平面椭圆热带曲线的加权数与点的构型的选择无关.
On Block-Goettsche multiplicities for planar tropical curves
我们证明了不变性的平面热带曲线的多项式的多重性最近提出的弗洛里安块和Lothar Goettsche增强的数量。这种不变性在热带枚举几何中有许多含义。
Brodsky, Joswig, Morrison and Sturmfels showed that not all abstract tropical curves of genus $3$ can be realized as a tropicalization of a quartic in the euclidean plane. In this article, we focus on the interior of the maximal cones in the moduli space and classify all curves which can be realized as a faithful tropicalization in a tropical plane. Reflecting the algebro-geometric world, we show that these are exactly those which are not realizably hyperelliptic. Our approach is constructive: For any not realizably hyperelliptic curve, we explicitly construct a realizable model of the tropica…
Embeddings and immersions of tropical curves
我们构造了三价抽象热带曲线在欧氏平面上的嵌入和所有抽象热带曲线在高维欧几里得空间上的嵌入。由于不是所有的曲线都有一个嵌入在平面中，我们定义的热带交叉数的抽象热带曲线的最小数量的自交，计数与多重性，在所有的浸入在平面中。我们表明，热带交叉数是在最多的边缘数的平方，这个界是尖锐的。对于亏格不超过2的曲线，我们系统地计算了交叉数。最后，利用Mikhalkin和Shustin的提升结果，利用我们的浸入热带曲线构造了完全忠实的节点代数曲线.
In this article we introduce the recently developed polymake extension TropicalQuarticCurves and its associated database entry in polyDB dealing with smooth tropical quartic curves. We report on algorithms implemented to analyze tropical bitangents and their lifting conditions over real closed valued fields. The new functions and data were used by the authors to provide a tropical proof of Plücker and Zeuthen's count of real bitangents to smooth quartic curves.
Obstructions to approximating tropical curves in surfaces via intersection theory
我们提供了一些新的局部障碍，逼近光滑热带曲面上的热带曲线。这些障碍是基于热带和复杂的相交理论之间的关系，这也是建立在这里。我们给出了本文中开发的方法的两个应用。首先，我们分类所有的局部不可约近似3-瓣扇热带曲线在一个非奇异的扇热带平面。其次，我们证明了热带射影3-空间中的一般非奇异热带曲面，如果它是3次的，则包含200多条可逼近的热带线，如果它是4次或更高次的，则不包含可逼近的热带线。
Tropical curves, their Jacobians and Theta functions
我们研究热带曲线的雅可比簇。它们是具有积分仿射结构和对称双线性型的实环面。我们定义了θ函数的热带对应，建立了热带形式的Abel-Jacobi，Riemann-Roch和Riemann θ因子定理.
Linear Systems on Tropical Curves
热带曲线是一个度量图，它的边可能是无界的，热带有理函数是一个连续的分段线性函数，它的斜率为整数。我们定义了热带曲线Γ上因子D的完全线性系统|D|，类似于经典的对应系统.我们调查的|D|作为一个细胞复杂的结构，并表明，线性系的热带模块，热带生成的细胞复杂的顶点。利用生成元的有限集，|D|定义了一个从Γ到热带射影空间的映射，并且该映射可以推广到度等于°（D）的热带曲线.图像的热带凸包将线性系统|D|实现为多面体复形。证明了典范除子不充分的曲线是超椭圆的。我们还证明了\Q-热带曲线的Picard群是收敛到该曲线的有限图的临界群的直接极限。
We study moduli spaces of rational graphically stable tropical curves and a refinement given by radial alignment. Given a complete multipartite graph $Γ$, the moduli space of radially aligned $Γ$-stable tropical curves can be given the structure of a balanced fan. This fan structure coincides with the Bergman fan of the cycle matroid of $Γ$.
Tropical complete intersection curves
R^（n+1）中的热带完全交曲线C是n个光滑热带超曲面的横截交。我们给出了一个由热带超曲面的度给出的C的顶点数的公式。当C是光滑连通的时，我们还计算了C的亏格（定义为C的独立圈数）。
How to repair tropicalizations of plane curves using modifications
热带几何对代数簇嵌入复曲面簇很敏感。本文的目的是宣传热带修改作为局部修复平面曲线的不良嵌入的工具，允许重新嵌入的热带曲线，以更好地反映输入曲线的几何形状。我们的方法是基于解析曲线（在Berkovich意义上）和热带曲线之间的密切联系。我们调查这些热带修改的热带化地图上定义的给定曲线的分析的效果。我们的研究是出于平面椭圆立方的情况下，良好的嵌入的特点是在j-不变量。给定一个平面椭圆三次曲线的热带化包含一个循环，我们提出了一个有效的算法，基于非阿基米德方法，线性重新嵌入的曲线在4维，使其热带化反映的j-不变量。我们给出了一个替代的初步证明，这一结果的初始条款的A-判别式的定义方程作为一个本地判别式的牛顿细分。
A smooth tropical quartic curve has seven tropical bitangent classes. Their shapes can vary within the same combinatorial type of curve. We study deformations of these shapes and we show that the conditions determined by Cueto and Markwig for lifting them to real bitangent lines are independent of the deformations. From this we deduce a tropical proof of Plücker and Zeuthen's count of the number of real bitangents to smooth plane quartic curves.
The number of vertices of a tropical curve is bounded by its area
我们引入了定义在$\mathbb R^n$开子集上的热带曲线的热带区域的概念。证明了热带曲线的顶点数受曲线面积的限制。这种方法是完全初级的，但很棘手。我们的证明采用了代数几何中的相交理论的思想。这个结果可以解释为面积有界的热带曲线的模空间是有限型的。
Linear pencils of tropical plane curves
类似于在经典代数几何中，热带平面曲线的线性束由系数空间中的热带线参数化。这种线性束的一个特殊例子是热带平面曲线的集合，其具有通过热带平面中的n个点的一般配置的n元支撑集。文[RGST]证明了这些线性束与它们的支撑集是相容的。本文给出了位于热带线性束的固定轨迹上的点的一个特征，并证明了每个相容线性束都来自于一个一般构形。
We enumerate rational curves in toric surfaces passing through points and satisfying cross-ratio constraints using tropical and combinatorial methods. Our starting point is arXiv:1509.07453, where a tropical-algebraic correspondence theorem was proved that relates counts of rational curves in toric varieties that satisfy point conditions and cross-ratio constraints to the analogous tropical counts. We proceed in two steps: based on tropical intersection theory we first study tropical cross-ratios and introduce degenerated cross-ratios. Second we provide a lattice path algorithm that produces a…
We introduce and study polystable divisors on a tropical curve, which are the tropical analogue of polystable torsion-free rank-1 sheaves on a nodal curve. We construct a universal tropical Jacobian over the moduli space of tropical curves of genus $g$. This space parametrizes equivalence classes of tropical curves of genus $g$ together with a $μ$-polystable divisor, and can be seen as a tropical counterpart of Caporaso universal Picard scheme. We describe polyhedral decompositions of the Jacobian of a tropical curve via polystable divisors, relating them with other known polyhedral decomposit…
Tropical Jacobians in R2
根据热带Abel-Jacobi定理，热带曲线的Jacobian同构于Picard群。$\mathbb{R}^2$中的热带曲线对应于从热带曲线到$\mathbb{R}^2$的浸入。本文证明了热带曲线上的任何主除子都是环境平面$\mathbb{R}^2$上的主除子的限制。
Abstractly, tropical hyperelliptic curves are metric graphs that admit a two-to-one harmonic morphism to a tree. They also appear as embedded tropical curves in the plane arising from triangulations of polygons with all interior lattice points collinear. We prove that hyperelliptic graphs can only arise from such polygons. Along the way we will prove certain graphs do not embed tropically in the plane due to entirely combinatorial obstructions, regardless of whether their metric is actually hyperelliptic.
From Curves to Tropical Jacobians and Back
给定一条定义在代数闭域上的关于非平凡赋值完备的曲线，研究了它的热带雅可比矩阵。这是通过首先对曲线进行热带化，然后计算所得加权度量图的雅可比矩阵来完成的。通常，不知道如何找到由多项式方程定义的曲线的抽象热带化，因为嵌入的热带化可能不忠实，并且在实践中没有已知的用于执行半稳定约简的算法。通过研究容许覆盖，我们在超椭圆曲线的情况下解决了这个问题。我们还描述了如何采取一个加权度量图，并计算其周期矩阵，这给出了它的热带雅可比矩阵和热带θ因子。最后，我们描述了目前逆这个过程的现状，即如何计算一条以给定矩阵为周期矩阵的曲线。
Tropical and algebraic elliptic plane curves with fixed j-invariant
该研究通过热带计数特定椭圆曲线，结合对应定理，给出代数计数的另一种证明，拓展了枚举几何的相关方法。
Jacobian varieties of reduced tropical curves
在$\rr^2$的热带几何中，除数和雅可比簇的定义类似于代数几何。为了研究这些天体，考虑热带曲线的“束”是很重要的。在本文中，我们将证明，如果束是一个花束，那么雅可比矩阵是一个高维环面。
The Brill-Noether rank of a tropical curve
我们构造了一个空间分类因子类的一个固定的程度上的所有热带曲线的一个固定的组合类型，并表明，功能采取一个因子类的秩是上连续的。本文将度量图的Brill-Noether秩的定义推广到热带曲线，并利用秩函数关于因子的上连续性证明了热带曲线族的Brill-Noether秩是上连续变化的.此外，我们提出了一个专门化引理的Brill-Noether秩的热带曲线与维数的Brill-Noether轨迹的阿尔及利亚曲线。
Duality of Tropical Curves
曲线的对偶性是“经典”代数几何的重要内容之一。本文在此基础上，构造了热带多项式的对偶，从而引入了非阿基米德曲线的对偶。利用基于"畸变“值及其矩阵的”机制“的发展，讨论了二次曲面关于其对偶对象的一些问题。本文还讨论了牛顿多面体的诱导对偶剖分及其相容性质。最后，一般定义了对偶意义下的热带曲线的正则性，并对热带二次曲面族进行了研究。
We exploit three classical characterizations of smooth genus two curves to study their tropical and analytic counterparts. First, we provide a combinatorial rule to determine the dual graph of each algebraic curve and the metric structure on the associated minimal Berkovich skeleton. Our main tool is the description of genus two curves via hyperelliptic covers of P^1 with six branch points. Given the valuations of these six points and their differences, our algorithm provides an explicit harmonic 2-to-1 map to a metric tree on six leaves. Second, we use tropical modifications to produce a fait…
Tropical curves with a singularity in a fixed point
本文研究了在不动点上具有奇点的曲线族的热带化问题。这一科的热带化是一个线形热带变种。我们描述了它的最大维锥使用的结果线性热带品种从Ardila和Klivans和Feichtner和Sturmfels。我们表明，一个奇点tropicalises要么一个顶点的更高的价或更高的多重性，或一个边缘的更高的重量。然后，我们分类奇异热带曲线的最大维类型。对于那些，奇点要么是两条边的交叉，要么是一个重数为3的3价顶点，要么是一个权为2的边上的一个点，它到相邻顶点的距离满足一定的度量条件。我们还研究了奇异热带曲线的代数原像。
Mirror symmetry relates Gromov-Witten invariants of an elliptic curve with certain integrals over Feynman graphs. We prove a tropical generalization of mirror symmetry for elliptic curves, i.e., a statement relating certain labeled Gromov-Witten invariants of a tropical elliptic curve to more refined Feynman integrals. This result easily implies the tropical analogue of the mirror symmetry statement mentioned above and, using the necessary Correspondence Theorem, also the mirror symmetry statement itself. In this way, our tropical generalization leads to an alternative proof of mirror symmetry…
In this paper, we classify singular real plane tropical curves by means of subdivisions of Newton polytopes. First, we introduce signed Bergman fans (generalizing positive Bergman fans from [AKW06]) that describe real tropicalizations of real linear spaces ([Tab15]). Then, we establish a duality of real plane tropical curves and signed regular subdivisions of the Newton polytope and explore the combinatorics. We define a signed secondary fan that parametrizes real tropical Laurent polynomials and study the subset providing singular real plane tropical curves. A cone of the signed secondary fan…
Bitangents of tropical plane quartic curves
我们研究光滑的热带平面四次曲线，并证明它们满足某些性质类似于（但也不同于）光滑平面四次代数几何。例如，我们表明，每一个这样的曲线承认无限多或正好7双切线。证明了光滑的热带平面四次曲线不可能是超椭圆曲线。
Obstructions to lifting tropical curves in surfaces in 3-space
热带化是将代数环面的子簇转化为空间中的平衡加权有理复形的过程。本文研究三维空间中曲面中曲线的热带化问题。这些是热带曲面上的平衡有理加权图。具体来说，我们研究的“提升”问题：给定一个图形在热带表面，可以找到一个相应的代数曲线在一个表面？我们开发特定的组合障碍，以解除图形的问题，是否可以因素的多项式与特定的支持特性0的情况下，减少问题。这就解释了为什么维格兰建造的一些不寻常的热带曲线是不可升降的。
Riemann-Roch theory for weighted graphs and tropical curves
我们定义了一个因子理论的图形和热带曲线赋予一个权函数的顶点，我们证明了黎曼-罗克定理在这两种情况下。我们将Baker的特化引理推广到加权图。
Note on smoothness condition on tropical elliptic curves of symmetric truncated cubic forms
本文给出了对称截断三次型系数产生光滑热带曲线的显式条件，并分析了特定细分类型对应的非光滑情形。
Tropical hyperelliptic curves
研究了亏格为g的热带曲线的模空间中热带超椭圆曲线的轨迹。定义了度量图的调和态射，并证明了度量图是超椭圆的当且仅当它允许度量树的2度调和态射。这将Baker和Norine关于组合图的工作推广到度量的情况。证明了2-边连通亏格g热带超椭圆曲线的轨迹是一个（2g-1）维堆叠多面体扇，其最大胞元与g-1顶点上最大价为3的树成双射.最后，我们证明了经典的超椭圆平面曲线满足一定的热带光滑性条件的Berkovich骨架在于一个最大的细胞的亏格g称为一个标准阶梯。
We study the behavior of theta characteristics on an algebraic curve under the specialization map to a tropical curve. We show that each effective theta characteristic on the tropical curve is the specialization of $2^{g-1}$ even theta characteristics and $2^{g-1}$ odd theta characteristics. We then study the relationship between unramified double covers of a tropical curve and its theta characteristics, and use this to define the tropical Prym variety.
We consider the tropicalization of tangent lines to a complete intersection curve $X$ in $\mathbb{P}^n$. Under mild hypotheses, we describe a procedure for computing the tropicalization of the image of the Gauss map of $X$ in terms of the tropicalizations of the hypersurfaces cutting out $X$. We apply this to obtain descriptions of the tropicalization of the dual variety $X^*$ and tangential variety $τ(X)$ of $X$. In particular, we are able to compute the degrees of $X^*$ and $τ(X)$ and the Newton polytope of $τ(X)$ without using any elimination theory.
Rank of divisors on tropical curves
我们调查，使用纯组合的方法，结构和算法性质的线性等价类因子的热带曲线。特别地，给出了热带曲线的Riemann-Roch定理的初等证明，类似于Baker和Norine最近对图的Riemann-Roch定理的证明。此外，还证实了Baker关于（非度量）图上的因子D的秩等于其对应的度量图上的因子D的秩的猜想，并构造了热带曲线上因子的秩的计算算法.
Refined elliptic tropical invariants of toric surfaces
F. Block和L. Göttsche引入了复曲面的精炼热带不变量，这些不变量与复曲面的Gromov-Witten和Welschinger不变量相互补充。L. Göttsche和第一作者介绍了精炼的花椰菜不变量，这些不变量与某些亏格零后代热带不变量和复曲面的花椰菜不变量相互交叉。在本文中，我们将改进的花椰菜不变量推广到亏格一的情形。
Moduli of Tropical Plane Curves
研究了热带平面曲线上度量图的模空间。这样的图比经典平面曲线的热带化图少得多。对于固定亏格$g$，我们的模空间是一个stacky fan，其锥由带$g$内部格点的Newton多边形的正则幺模三角剖分索引.它具有尺寸$2g+1$，除非是$g \leq 3$或$g = 7$。我们为$g \leq 5$显式地计算这些空间。
Any smooth tropical plane curve contains a distinguished trivalent graph called its skeleton. In 2020 Morrison and Tewari proved that the so-called big face graphs cannot be the skeleta of tropical curves for genus $12$ and greater. In this paper we answer an open question they posed to extend their result to the prism graphs, proving that they are the skeleton of a smooth tropical plane curve precisely when the genus is at most $11$. Our main tool is a classification of lattice polygons with two points than can simultaneously view all others, without having any one point that can observe all …
Torelli theorem for graphs and tropical curves
代数曲线在有限图中有一个离散的类似物。追求这个类比，我们证明了图的Torelli定理。也就是说，我们证明了两个图具有相同的Albanese环面当且仅当由它们通过收缩所有分离边得到的图是2-同构的。特别地，强Torelli定理对3-连通图成立。其次，利用紧热带曲线与度量图的对应关系，证明了一个热带Torelli定理，给出了两条热带曲线具有相同的主极化热带Jacobian的充要条件.最后，我们描述了一些自然偏序集与一个图，并证明了它们的特征是它的Delaunay分解。
Reduced Divisors and Embeddings of Tropical Curves
给定热带曲线$Γ$上的一个因子$D$，我们证明简化除子定义了从热带曲线到完全线性系$|D|$的一个积分仿射映射。这是通过提供一个明确的描述下的无限小修改的基点的简化除子的行为。我们考虑的情况下，减少因子映射定义的曲线嵌入到线性系，并以这种方式，分类所有的热带曲线与一个非常充分的典范除子。作为约化因子映射的一个应用，我们证明了亏格至少为2的热带曲线上Weierstrass点的存在性，并给出了Luo关于点的秩决定集的一个定理的简单证明.我们还讨论了（热带）约化因子映射的经典类似物：对于一个光滑射影曲线$C$和一个在$C$上秩为非负的因子$D$，等价于$D$的简化除子定义了一个从$C$到完全线性系$|D|$的态射，该系统用朗斯基描述。
Tropical surfaces
我们提出的工具和定义来研究抽象的热带流形在2维，我们称之为简单的热带表面。这包括1-圈的相交数、某些曲线的法丛以及热带陈氏圈和数的显式描述。我们提供了一种新的方法来构造热带曲面，称为热带和，类似于通常的流形的纤维和。证明了满足局部条件的紧致热带曲面中曲线的热带附加公式，收缩（-1）-曲线的部分Castelnuovo-Enriques准则，以及（p，q）-同调群和Chow群在热带修改下的不变性.最后，我们证明了一个热带版本的Noether公式的紧曲面构造的热带复曲面的求和和热带修改。
Broccoli curves and the tropical invariance of Welschinger numbers
本文介绍了与实代数曲线有关的亏格为零的平面热带曲线--花椰菜曲线。通过给定点的这些花椰菜曲线的数量与所选择的点无关-对于任意选择的曲线末端的方向，可能具有更高的权重，并且如果某些末端是固定的。在环面德尔佩佐的情况下，我们表明，这些花椰菜不变量是等于Welschinger不变量（与真正的和复共轭的点条件），从而提供了一个证明的独立性Welschinger不变量的点条件在热带几何。一般情况下产生的热带Caporaso-Harris公式花椰菜曲线足以计算所有Welschinger不变量的飞机。
Canonical semi-rings of finite graphs and tropical curves
对于射影曲线$C$和$C$上的典范除子$K_C$，经典地知道典范环$R(C) = \oplus_{m=0}^\infty H^0(C, m K_C)$是次数至多为3的正交生成的.在这篇文章中，我们研究类似的声明是否适用于有限图和热带曲线。对于任何有限图$G$，我们证明了规范半环$R(G)$是可生成的，但生成元的度不受泛常数的限制。对任意具有整数边长的超椭圆热带曲线$Γ$，证明了标准半环$R(Γ)$不是有限生成的，并对一般的具有整数边长的热带曲线，给出了非有限生成的一个充分条件.
Theta characteristics of tropical $K_4$-curves
$K_4$ -曲线是非阿基米德域上亏格为3的光滑真曲线X，X的Berkovich骨架$Γ$是一个4点完全图.曲线X有28个有效的θ特征，即28个与正则嵌入的双切线，而$Γ$正好有7个热带θ特征，如Zharkov所示。我们证明了28个有效的θ特性的$K_4$曲线专门的θ特性，其最小的骨架在7组4。
Relating Different Definitions of Linear Series on Tropical Curves
研究热带曲线上线性系列不同定义间关系，引入结构化和局部弱递归热带线性系列，证明相关蕴含关系，得到组合极限线性系列等价刻画，建立扩展并构造反例，还研究了置换阵列作为局部组合数据的情况。
Tropical covers of curves and their moduli spaces
我们定义了平面上热带线覆盖的热带模空间为加权抽象多面体复形，热带分支映射记录了简单分支的图像。我们的主要结果是分支映射的度的不变性，这使我们能够给出热带三重Hurwitz数的热带交理论定义。我们表明，我们的相交理论的定义与Bertrand，Brugallé和Mikhalkin在文章中给出的一致“热带开放Hurwitz数”，其中一个对应定理证明了Hurwitz数。因此，我们提供了一个热带交叉理论的理由与热带覆盖的多重性。我们的证明方法是在我们的热带模空间和某些相对稳定映射到射影线的模空间之间建立一个局部对偶。
Tritangent planes to space sextics: the algebraic and tropical stories
讨论了一般标准六次曲线三点相切平面的计数问题。当这样的曲线是实数时，我们确定实三角形的个数。然后，我们重新审视曲线所构建的Emch与最大的已知数量的真正的tritangents，并反过来构建一条曲线与非常少的真正tritangents。利用最近的结果之间的关系代数和热带θ特性，我们表明，热带化的一个典型的六次曲线有15个三切平面。
Counting tropical elliptic plane curves with fixed j-invariant
在复代数几何中，R.Pandharipande利用Gromov-Witten理论解决了给定次数的具有固定复结构的平面椭圆曲线的计数问题。在这篇文章中，我们处理这个问题的热带类似，确定热带椭圆平面曲线的d次和固定的“热带j-不变量”插值一般位置的适当数量的点的数量。我们表明，这个数字是独立的点的位置和值的j-不变量，它符合复杂的椭圆曲线的数量。这一结果可用于简化Mikhalkin的算法，以便在有理平面曲线的情况下，通过格路计算曲线。
Moduli spaces of rational weighted stable curves and tropical geometry
研究了有理加权稳定热带曲线的模空间，以及它们与经典Hassett空间的联系.给定一个权向量w，热带w-稳定曲线的模空间可给出平衡扇的结构当且仅当w只有重元素和轻元素。在这种情况下，我们可以将模空间表示为图拟阵的Bergman扇。此外，我们实现了热带模空间作为一个几何热带化，并作为一个Berkovich骨架，经典的模空间。这建立在Tevelev，Gibney-Maclagan和Abramovich-Caporaso-Payne之前的工作基础上。最后，我们构造了重/轻加权热带曲线的模空间作为未加权空间的纤维积，并探索了与代数世界的相似之处。
We introduce a tropical geometric framework that allows us to define $ψ$ classes for moduli spaces of tropical curves of arbitrary genus. We prove correspondence theorems between algebraic and tropical $ψ$ classes for some one-dimensional families of genus-one tropical curves.
Elliptic curves in honeycomb form
一条定义在一个域上的带赋值的平面三次曲线，如果它的热带化表现出标准的六边形圈，则它是蜂窝形式的。我们明确地计算这样的表示从一个给定的j-不变量与负赋值，我们给出了蜂窝形式的椭圆曲线的分析特征，我们提供了一个详细的分析热带群律这样的曲线。
Arithmetic Counts of Tropical Plane Curves and Their Properties
本文研究了满足点条件的热带平面曲线算术计数的性质，证明其与点条件构型无关，推导出Caporaso-Harris公式，并利用楼层图证明其多项式性质。
We investigate geometric embeddings among several classes of stacky fans and algorithms, e.g., to compute their homology. Interesting cases arise from moduli spaces of tropical curves. Specifically, we show that the tropical honeycomb curves form a contractible sub-locus in the moduli of all tropical $K_4$-curves.
This is a follow-up paper of arXiv:1805.00115, where rational curves in surfaces that satisfy general positioned point and cross-ratio conditions were enumerated. A suitable correspondence theorem provided in arXiv:1509.07453 allowed us to use tropical geometry, and, in particular, a degeneration technique called floor diagrams. This correspondence theorem also holds in higher dimension. In the current paper, we introduce so-called cross-ratio floor diagrams and show that they allow us to determine the number of rational space curves that satisfy general positioned point and cross-ratio condit…
Tropical twisted Hurwitz numbers for elliptic curves
本文将扭曲 Hurwitz 数推广到椭圆目标，给出其热带几何解释，并联系 Feynman 积分与玻色 Fock 空间算子矩阵元。
A lifting partition theorem for tropical tritangent classes to smooth space sextic curves
本文研究了平滑空间六次曲线的热带三切线类的提升问题，证明了在一般情况下，只有六种可能的提升多重性分区源于三切线类的提升，且这些分区由合适的连通子复形的维度和特定组合类型热带切线的存在性决定。
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