On Block-Goettsche multiplicities for planar tropical curves
Ilia Itenberg, Grigory Mikhalkin
我们证明了不变性的平面热带曲线的多项式的多重性最近提出的弗洛里安块和Lothar Goettsche增强的数量。这种不变性在热带枚举几何中有许多含义。
We prove invariance for the number of planar tropical curves enhanced with polynomial multiplicities recently proposed by Florian Block and Lothar Goettsche. This invariance has a number of implications in tropical enumerative geometry.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Severi degrees on toric surfaces
Ardila和Block使用Brugalle和Mikhalkin的热带结果来计算某个复曲面家族上的节点曲线。在第一作者的线性结果的基础上，我们重新审视了他们的工作，在任意光滑表面上计算节点曲线的Goettsche-Yau-Zaslow公式的背景下，通过证明他们的主要定理的更强版本来解决他们提出的几个问题。在此过程中，我们给出了Goettsche-Yau-Zaslow公式中系数的新的组合公式，并给出了相应复曲面族中有理二重点的修正项.
Tropical quantum field theory, mirror polyvector fields, and multiplicities of tropical curves
我们介绍了代数环面的polyvector字段上的代数结构，用于计算在热带和日志Gromov-Witten理论的多重性，同时也连接到镜像对称的双重变形理论的复结构。最值得注意的是，这些结构包括热带量子场论和$L_{\infty}$ -结构。后者是Getzler引力代数的一个实例，而$l_2$ -括号是Schouten-Nijenhuis括号的一个限制。我们在附录中解释了与弦拓扑的关系（感谢Janko Latschev）。
Bitangents of non-smooth tropical quartics
研究了非光滑热带平面四次线的双切线。我们的主要结果是，适当的重数，每一个这样的曲线有7个等价类的双切线。此外，在热带平面曲线族中，双切线的重数是连续变化的。
Tropical covers of curves and their moduli spaces
我们定义了平面上热带线覆盖的热带模空间为加权抽象多面体复形，热带分支映射记录了简单分支的图像。我们的主要结果是分支映射的度的不变性，这使我们能够给出热带三重Hurwitz数的热带交理论定义。我们表明，我们的相交理论的定义与Bertrand，Brugallé和Mikhalkin在文章中给出的一致“热带开放Hurwitz数”，其中一个对应定理证明了Hurwitz数。因此，我们提供了一个热带交叉理论的理由与热带覆盖的多重性。我们的证明方法是在我们的热带模空间和某些相对稳定映射到射影线的模空间之间建立一个局部对偶。
Tropical analytic geometry, Newton polygons, and tropical intersections
本文利用热带代数几何与刚性解析几何之间的联系，证明了两个主要结果。本文用热带方法证明了一个关于多元收敛幂级数的牛顿多边形的定理：如果f_1，.，f_n是系数在非阿基米德域K中的n个收敛的n元幂级数，我们给出了f_1，.，的公共零点的赋值和重数的公式f_n。我们使用刚性分析的方法表明，稳定的完全相交的热带超曲面计算代数多重性，即使相交不是热带适当的。这些结果是自然制定和证明使用的刚性-解析空间的热带化理论，介绍了Einsiedler-Kapranov-Lind [EKL 06]和Gubler [Gub 07 b]。我们写这篇论文是尽可能可读的热带和算术geometers。
Arithmetic Counts of Tropical Plane Curves and Their Properties
本文研究了满足点条件的热带平面曲线算术计数的性质，证明其与点条件构型无关，推导出Caporaso-Harris公式，并利用楼层图证明其多项式性质。
Counting tropical rational space curves with cross-ratio constraints
本文是arXiv：1805.00115的后续文章，其中列举了满足一般定位点和交比条件的曲面中的有理曲线。在arXiv：1509.07453中提供了一个合适的对应定理，允许我们使用热带几何，特别是一种称为地板图的退化技术。这个对应定理在高维中也成立。在本文中，我们介绍了所谓的交比地板图，并表明，他们允许我们确定的合理的空间曲线，满足一般定位点和交比条件的数量。此外，图形的贡献，这提供了一个新的和结构化的方式来理解多重地板分解曲线在$\mathbb{R}^3$。此外，所谓的热带曲线上的条件流用于反映施加在热带曲线上的条件如何产生不同类型的边。这个概念适用于任意维度。
Catalan-many tropical morphisms to trees; Part I: Constructions
研究了亏格- $g$度量图的树一致性，定义为度量图的任何热带变形到度量树的热带态射的最小度。我们给出了一个组合建设性的证明，这个数字是最多$\lceil g/2 \rceil + 1$，一个事实，其证明到目前为止，需要通过特殊的因子代数几何绕道曲线。对于偶数亏格，实现该界的热带态射属于一类纯$3g-3$维数的热带态射，并且在亏格- $g$度量图的模空间上具有一般有限到一的映射.我们的方法集中在这些家庭的研究。这是第一部分在一系列的两篇论文：在第一部分，我们固定的组合类型的度量图，而在第二部分，我们改变组合类型，并表明，一些热带态射，计数与适当的多重性，是相同的加泰罗尼亚数，计数态射从属- $g$曲线的投影线。
Descendant log Gromov-Witten invariants for toric varieties and tropical curves
使用退化技术，我们证明了对应的热带曲线计数和日志Gromov-Witten不变量与一般发病率和PSI类条件的环面品种属零曲线和所有非过剩的高属的情况。我们还将对数不变量与普通的对数不变量联系起来，特别是解释了马克·格罗斯的后代对应结果中出现的负多重性。
Generalizing tropical Kontsevich's formula to multiple cross-ratios
Kontsevich公式是一个递归，它计算$\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2$中通过$3d-1$一般定位点的有理次数$d$曲线的数量。Kontsevich证明了这一点，考虑曲线，满足额外的条件，除了给定点条件。这些关键的额外条件是两条线的条件和一个称为交比的条件。本文讨论的问题是，是否有一个通用的Kontsevich公式，它适用于多个交叉比。利用热带几何，我们得到这样一个递归公式。为此，我们使用对应定理arXiv：1509.07453，它将所讨论的代数几何数与热带数联系起来。事实证明，我们得到的一般热带Kontsevich公式不仅能够计算我们正在寻找的代数几何数，而且还能够计算尚未有对应定理的热带数。我们表明，我们的递归一般Kontsevich的公式意味着原来的Kontsevich的公式和初始值是数字Kontsevich的公式提供和纯粹的组合数，所谓的交叉比多重性。
A lifting partition theorem for tropical tritangent classes to smooth space sextic curves
本文研究了平滑空间六次曲线的热带三切线类的提升问题，证明了在一般情况下，只有六种可能的提升多重性分区源于三切线类的提升，且这些分区由合适的连通子复形的维度和特定组合类型热带切线的存在性决定。
Genus one correspondence between tropical and algebraic curves
研究热带曲线与代数曲线的亏格一对应，通过对数形变理论及固定热带化的对数映射枚举，证明代数椭圆曲线计数与热带曲线计数一致，推广了亏格0的对应定理。
Tropical fans and the moduli spaces of tropical curves
我们给出了一个严格的定义的热带球迷（“当地积木的热带品种”）和他们的态射。对于这样一个态射的热带风扇的相同尺寸，我们表明，逆像的数量（计算与适当的热带多重性）的一个点在目标上不依赖于所选择的点-一个声明，可以被视为开始的热带相交理论。作为一个应用，我们考虑有理热带曲线（抽象的和在某些R^r）的模空间与评价和遗忘态射。利用我们的结果，这给出了各种热带独立性陈述的新的、简单的和统一的证明，例如，通过给定点的有理热带曲线的数目（在任何R^r中）与点无关的事实。
Kontsevich's formula and the WDVV equations in tropical geometry
利用Gromov-Witten理论，通过3d-1个一般给定点的d次复平面有理曲线的个数可以用由所谓WDVV方程导出的Kontsevich公式递归计算。在本文中，我们建立了相同的结果完全在热带几何的语言。特别是这表明如何模空间的概念稳定的曲线和地图，（评价和健忘）态射，交重数和他们的不变性下变形可以结转到热带世界。
Tropical Jucys Covers
从玻色Fock空间的角度研究了单调和严格单调的Hurwitz数。这产生的解释热带几何涉及的Gromov-Witten不变量的局部多重性。此外，这使我们能够证明Cavalieri-Johnson-Markwig-Ranganathan的一个主要结果实际上是Okounkov-Pandharipande的Gromov-Witten/Hurwitz对应的一个改进。
Scattering diagrams, theta functions, and refined tropical curve counts
在任意维数的分次李代数上，我们用热带曲线/圆盘的个数来表示散射图和θ函数，并用迭代李括号中的重数来加权.在热带顶点群上，我们的热带曲线计数已知会给出某些后代对数Gromov-Witten不变量。量子环面代数的工作产生了量子集群品种的θ函数，我们的热带描述建立了这些几何解释。作为直接应用，我们证明了量子Frobenius猜想的Fock和Goncharov。我们还证明了Carl-Pumperla-Siebert关于θ函数相容性的结果的一个改进版本，并证明了Gross-Hacking-Keel Frobenius结构猜想的迹对的非退化性.
Enumerating Cuspidal Curves on Toric Surfaces
枚举代数几何处理的问题计数几何对象定义代数，一类重要的枚举问题是计数曲线：给定一类由固定一些代数或几何不变量定义的射影簇中的曲线（例如奇点的度、亏格和类型），该问题通常采取“在一般位置上有多少该类别的曲线通过n个点的配置”的形式。热带几何处理某些分段线性复形，这些复形是由复代数簇族的退化而产生的，也可以用“最大加”代数（热带半域）来描述。本文所解决的问题是复曲面上具有一个尖点和一定节点数的有理曲线的计数问题，这些曲线在一般位置上通过一个充分点的构形。我们表明，这个数字等于某些热带曲线计数的多重性，我们描述这些曲线和他们的多重性。主要的工具是热带化和拼凑。在热带化中，我们从一个等奇异曲线族过渡到一个特殊的极限纤维，它可以用热带数据和分析数据来描述。然后，我们对这些可能的极限进行分类，并使用拼接定理来重建与之对应的族。
Nonarchimedean geometry, tropicalization, and metrics on curves
我们开发了一些通用的技术比较分析和热带化的代数簇。我们的基本结果包括热带多重性的投影公式和推广的Sturmfels-Tevelev多重性公式在热带消除理论的情况下，一个非平凡的估值。对于曲线，我们详细探讨了骨架度量和晶格长度的tropicalizations之间的关系，并表明，从曲线的解析其环面嵌入的tropicalizations稳定的映射到有限子图的等距。其他应用包括推广施派尔的井spacedness条件和卡茨-Markwig-Markwig结果热带j-不变量。
Labeled floor diagrams for plane curves
楼层图是由E. Brugalle和第二作者。热带几何参数导致组合描述（普通和相对）Gromov-Witten不变量的射影空间的地板图和他们的推广。在许多情况下，这些描述可以用于获得相应枚举不变量的显式（直接或递归）公式。特别是，我们使用这种方法来枚举有理曲线的给定程度通过一个集合的点在复平面上，并具有最大的切线到一个给定的线。组合方法的另一个应用是P. Di Francesco-C. Itzykson和L. Goettsche指出，在一个固定的余属的情况下，通过适当的许多泛点的d次平面曲线的数量由d中的多项式给出，假设d足够大。此外，证明提供了一种计算这些“节点多项式”的方法。“标记楼层图是通过用整数1，.，d以与取向相容的方式。我们发现，标记的地板图属0是equinumerous标记树，因此计算由著名的凯莱公式。相应的双射导致解释的Kontsevich数（属0格罗莫夫-威滕不变量的射影平面）在某些统计方面的树木。
Enumerative geometry of elliptic curves on toric surfaces
本文建立了复曲面上的椭圆曲线的经典曲线数和热带曲线数相等的条件，其中复曲面具有固定的$j$ -不变量，改进了Mikhalkin和Nishinou-Siebert的结果.作为应用，我们确定了一个公式，这样的计数$\mathbb P^2$和所有Hirzebruch表面。该公式将椭圆曲线的计数与曲面上满足与复曲面边界的少量相切条件的有理曲线的数目联系起来。此外，Kerber和Markwig计数$\mathbb P^2$的组合热带多重性推导和代数几何解释，使用Berkovich几何和对数Gromov-Witten理论。从而得到了Pandharipande关于$j$ -不变量为固定的$\mathbb P^2$中椭圆曲线计数公式的一个新的证明.
Sheaves of maximal intersection and multiplicities of stable log maps
对数Gromov-Witten不变量的理论结果很多，但计算结果很少。在本文中，我们限制到曲面和亏格0稳定的最大相切的日志映射。我们问如何各种自然成分的模空间有助于日志Gromov-Witten不变量。Gross-Pandharipande-Siebert的第一个这样的计算涉及在对数Calabi-Yau设置中刚性曲线上的多个覆盖。作为一种自然延拓，本文计算了对数Calabi-Yau空间中的非刚性不可约曲线和一般位置上的刚性曲线并的贡献。对于前者，我们构造和研究了一个“对数”1维层的模空间，并将所得的多重性与热带多重性进行了比较。对于后者，我们明确地描述了模空间的分量，完整地给出了对数形变理论，并与类似的相对稳定映射的形变理论进行了比较。
Tropical approach to Nagata's conjecture in positive characteristic
假设存在一个超曲面，其牛顿多面体$Δ$通过一组给定的子簇。使用热带几何，我们将$Δ$的一个子集关联到这些子变种中的每一个。我们证明了这些子集的体积的加权和估计$Δ$的体积从下面。作为我们的方法的一个特殊应用，我们考虑一个平面代数曲线$C$通过一般点$p_1,\dots,p_n$与规定的多重性$m_1,\dots,m_n$。假设曲线$C$的牛顿多边形$Δ$的最小晶格宽度$ω(Δ)$至少为$\max(m_i)$。使用热带地板图（一定退化的$p_1,\dots, p_n$的水平线），我们证明了$$\mathrm{area}(Δ)\geq \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i^2-S,\ \ \text{where } S=\frac{1}{2}\max \left(\sum_{i=1}^n s_i^2 \Big| s_i\leq m_i, \sum_{i=1}^n s_i\leq ω(Δ)\right).$$在$m_1=m_2=\ldots =m\leq ω(Δ)$的情况下，这个估计成为$\mathrm{area}(Δ)\geq \frac{1}{2}(n-\frac{ω(Δ)}{m})m^2$。对于次数为$d$的曲线，将重写为$d\geq (\sqrt{n}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt n})m$。我们考虑一个任意复曲面（即任意$Δ$），我…
Real Zeuthen numbers for two lines
给定三个自然数$k,l,d$，使得$k+l=d(d+3)/2$，Zeuthen数$N_{d}(l)$是通过$k$点并与$\PP^2$中的$l$线相切的次数$d$的非奇异复代数曲线的数目。它不依赖于所选点和线的通用配置$C$。如果点和线是实数，则实数曲线的相应数量$N_{d}^\RR(l,C)$通常取决于所选的配置。我们使用Mikhalkin的热带对应定理证明，两条线的真正Zeuthen问题是最大的：存在一个$C$，使$N_{d}^\RR(2,C)=N_{d}(2)$。对应定理将计算简化为计算具有多重性的某些格路。
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