The Early History of Moment Problems and Non-Negative Polynomials with Gaps: Sparse Moment Problems, Sparse Positivstellensätze, and Sparse Nichtnegativstellensätze from a T-System Point of View
本文基于T-系统理论，完整刻画了非负区间上稀疏严格正与非负一元代数多项式，并据此扩展、简化并求解了稀疏Hausdorff和Stieltjes矩问题。
2023-09-18 math.AG math.CA math.FA
On degree bounds for the sparse Nullstellensatz
我们证明了新的上界的程度在希尔伯特的零点和Noether指数的多项式理想的单项式结构的多项式。我们的边界改善了以前已知的范围在稀疏设置，是第一个考虑到不同的支持多项式。
2019-06-28 math.AG
Global residues for sparse polynomial systems
我们考虑稀疏劳伦多项式f_1，.，f_n与复代数n-环面中公共零点的有限集Z_f的关系。全局留数将集合Z_f上的Grothendieck留数之和赋给每个Laurent多项式g。当f_i的Newton多面体为全维时，我们提出了一种新的符号算法来计算作为f_i系数的有理函数的整体剩余.我们的结果在稀疏多项式插值和格点计数的Minkowski和多面体的后果。
2006-05-30 math.AC math.AG
Decomposable sparse polynomial systems
Macaulay2包DecomposableSparseSystems实现了研究和数值求解可分解稀疏多项式系统的方法。我们描述了可分解的稀疏系统的结构，并解释了如何在这个包中的方法可以用来利用这种结构，与例子。
2020-06-04 cs.NA cs.SC math.AG
Sparse curve singularities, singular loci of resultants, and Vandermonde matrices
我们计算的$δ$ -不变量的曲线奇异参数的一般稀疏多项式。我们应用这一点来描述拓扑型的通用奇点的稀疏结式和“代数纽结”“（即通用代数空间曲线投影）。我们的方法是基于一些新的结果零轨迹的舒尔多项式，稀疏多项式定义的映射的横截性质，并在一个新的改进的概念的热带化的曲线（ultratropicalization），这可能是独立的兴趣。
2023-01-22 math.AG
Affine solution sets of sparse polynomial systems
本文主要研究由稀疏多项式系统定义的仿射簇的等维分解。对于具有固定支撑的一般系统，我们给出了正维分量存在的组合条件，这些正维分量表征了相关仿射簇的等维分解。这一结果被应用于设计一般稀疏系统的等维分解算法。对于任意稀疏系统的n个多项式在n个变量与固定的支持，我们得到了一个上界的程度的仿射品种的定义，我们提出了一个算法，计算有限集的点表示其等维组件。
2012-11-15 cs.DS cs.SC math.AC
Elimination for generic sparse polynomial systems
我们提出了一个新的概率符号算法，给定一个在n维仿射空间中由具有固定支撑的一般稀疏系统定义的簇，计算其投影到l维坐标仿射空间（l < n）上的Zapriki闭包。该算法的复杂性多项式依赖于与支持相关的组合不变量。
2014-01-23 cs.CC cs.SC math.AC
Unlikely intersections and multiple roots of sparse polynomials
本文给出了一个结构定理，证明了所有系数和指数都是变化的一元多项式族中的多重非分圆不可约因子。粗略地说，这一结果表明稀疏多项式的多重非分圆不可约因子也是稀疏的。为了证明这一点，我们给出了一个变种定理的Bubieri和Zannier的交叉点上的一个固定的子品种的余维2的乘法群与所有的挠曲线，与边界有一个明确的依赖于高度的子品种。我们还使用后者的结果给一些证据的猜想Bolognesi和Pirola。
2015-09-03 math.AG math.NT
Algebraic osculation and factorization of sparse polynomials
本文证明了一个代数密切关系定理，并将其应用于多项式分解的计算机代数问题。我们认为X是复平面的光滑完备，D是支撑在X边界上的有效因子.我们的主要结果给出了等价于D上给定的卡地亚因子延伸到X的显式条件。这些密切准则用留数表示。我们从这个结果导出一个复曲面Hensel提升允许计算的二元多项式的绝对因式分解，考虑到几何的牛顿多面体。特别是，我们减少了可能的重组的数量相比，Galligo-Rupprecht算法。
2009-04-14 math.AG
Sparse Differential Resultant for Laurent Differential Polynomials
本文首先引入了Laurent微分本质系统的概念，并给出了Laurent微分本质系统的支撑判别准则。然后定义了Laurent微分本质系统的稀疏微分结式，并证明了它的基本性质。特别地，给出了稀疏微分结式的阶和度的界。在此基础上，提出了一种计算稀疏微分结式的算法，该结式对于待定项个数、系统的Jacobi数和系统的规模是单指数的.
2012-06-17 cs.SC math.AG
Sparse systems and algorithmic equidimensional decomposition
Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学）；CONICET（阿根廷国家科学研究委员会）
本文提出了一种概率算法，用于稀疏多项式系统中等维分量的计算与分解。
2026-01-15 math.AG
Polynomial Homotopies for Dense, Sparse and Determinantal Systems
本文提出针对稠密、稀疏和行列式多项式系统的数值同伦延拓方法，确保通用实例每条路径收敛且同伦最优，并讨论软件与应用。
1999-07-12 cs.NA math.AG math.NA
A sparse effective Nullstellensatz
我们提出的界限的稀疏性和多项式的程度在零星。我们的界限主要取决于输入多项式系统的未混合体积。当这个多项式系统是稀疏的，并且在最坏的情况下，它们在变量的数量和输入多项式的最大次数方面是简单的指数的时候，度界可以大大改善已知的度界。
1997-10-01 alg-geom math.AC math.AG
Sparse effective membership problems via residue currents
我们使用剩余电流复曲面品种获得的多项式理想隶属度问题的解决方案的程度上的界限。我们的界限取决于（体积）的牛顿多面体的多项式系统，因此很好地调整到稀疏多项式系统。我们提出了稀疏版本的Max Nöther的$AF+BG$定理，Macaulay定理，Kollár的有效零点，以及最近的结果由Hickel和Anderson-Götmark。
2010-08-20 math.AG math.CV
Overdetermined systems of sparse polynomial equations
我们表明，对于一个系统的一元多项式在稀疏编码，我们可以计算一个单一的多项式定义相同的零点集，在时间上准线性的对数的程度。特别地，可以确定这样的多项式系统是否在次数的对数中具有时间上的零准线性。底层算法依赖于Bjueri和Zannier在代数环面的子簇中的乘法依赖点的结果。我们还提出了以下条件部分扩展到更高的维度设置。假设有效的齐伯猜想成立。然后，对于以稀疏编码给出的多元多项式的系统，我们可以计算定义相同零点集的超曲面外部的完全相交的有限集合，在时间上是次数对数的准线性。
2014-04-13 math.AC math.AG math.NT
Maximally Sparse Polynomials have Solid Amoebas
设$f$是$\mathbb{C}[z_1,..., z_n]$中的一个普通多项式，没有负指数，也没有$z_1^{α_1}... z_n^{α_n}$形式的因子，其中$α_i$是非零自然整数。如果我们在addition中假设$f$是最大稀疏多项式（它的支集等于它的牛顿多面体的顶点集），那么由$f$定义的代数超曲面$V_f\subset (\mathbb{C}^*)^n$的$\mathbb{R}^n$中的变形虫$\mathscr{A}_f$的补分量具有位于$f$的支集中的阶，这意味着$\mathscr{A}_f$是实心的。这对[PR 2 -01]中的Passare和Rullgård问题给出了肯定的回答。
2008-02-06 math.AG math.GT
Macaulay Style Formulas for Sparse Resultants
我们提出的公式计算结果的稀疏多项式作为商的两个决定因素，分母是一个未成年人的分子。这些公式推广了Macaulay关于齐次多项式的原公式。
2001-08-22 math.AG
Zero distribution of random sparse polynomials
研究了支集包含在固定整多面体$P$的扩张中的随机Laurent多项式的渐近零分布.我们考虑一个大类的概率分布，其中包括由独立同分布导出的概率分布。随机系数的分布规律有界的密度与grammically衰减的尾巴，以及适度的措施，定义在投影空间的洛朗多项式。我们得到了Bernstein-Kouchnirenko定理的一个定量的局部化形式。
2016-11-29 math.AG math.CV math.PR
A sparse version of Reznick's Positivstellensatz
如果$f$是一个正定形式，Reznick的Positivstellenitum [数学杂志. 220（1995），pp. 75- 97]指出存在$k\in\mathbf{N}$使得${\| x \|^{2k}_2}f$是多项式的平方和。假设$f$可以写成形式$\sum_{l=1}^p f_l$的和，其中每个$f_l$依赖于初始变量的子集，并假设这些子集满足所谓的运行交集属性，我们提供了Reznick的Positivstellenetry的稀疏版本。即，对于每个$l=1,\dots,p$，存在$k \in \mathbf{N}$使得$f=\sum_{l = 1}^p {{σ_l}/{H_l^{k}}}$，其中$σ_l$是多项式的平方和，$H_l$是统一多项式分母，并且两个多项式$σ_l,H_l$涉及与$f_l$相同的变量。换句话说，$f$的稀疏模式也反映在Reznick的阳性证书的稀疏版本中。接下来，我们使用这个结果来获得（i）整个空间上的多项式非负和（ii）基本半代数集（可能是非紧的）上的多项式非负的正性证书，假设输入数据满足运行交集性质。两者都是由于普京和瓦西列斯库的积极性证书的稀疏版本。
2020-02-13 math.AG
Toric Eigenvalue Methods for Solving Sparse Polynomial Systems
本文研究了紧致复环面簇$X$的零维子格式中点的齐次坐标的计算问题。我们的出发点是$X$的Cox环中的齐次理想$I$，这在实践中可能产生于稀疏多项式系统。我们证明了一个新的特征值定理的复曲面紧设置，从而导致一个新的，强大的数值方法来解决这个问题。我们的方法特别适用于具有任意多重性的孤立解的系统。它依赖于$I$的多级正则性。我们研究这些属性，并提供边界上的矩阵出现在我们的方法时，$I$是一个完整的交集的大小。
2022-03-11 cs.SC math.AG
The algebraic degree of sparse polynomial optimization
针对具有稀疏结构的多项式优化问题，本文用混合体积与环面交积刻画临界点数量，并给出极次数和 ED 次数的凸几何解释及 Lagrange 系统的 BKK 通用性。
2024-06-10 math.AG math.OC
Sparse Noncommutative Polynomial Optimization
这篇文章的重点是非交换变量的多项式优化，同时考虑到输入数据的稀疏性。本文给出了一个收敛的半定松弛族，用于特征值和迹的优化。这种层次结构是由于Lasserre [SIAM J. Optim. 17（3）（2006），pp. 822- 843]和Waki等人[SIAM J. Optim. 17（1）（2006），pp. 218- 242]。如果满足平坦性和不可约性条件，则应用Gelfand-Naimark-Segal（GNS）构造来提取优化器。其中使用的主要技术是融合结果从算子代数。利用这些理论结果计算了文献中非交换多项式的最小特征值和迹的下界。
2020-08-17 math.AG math.OC
On the intersection of a sparse curve and a low-degree curve: A polynomial version of the lost theorem
考虑一个二元多项式方程组：$$F(X,Y)=G(X,Y)=0$$，其中$F \in \rr[X,Y]$的次数为$d \geq 1$，$G \in \rr[X,Y]$的次数为$t$。我们证明了当该系统有有限个实解时，它只有$O(d^3t+d^2t^3)$实解。这是这个问题的第一个多项式界。特别地，在$t$中，由多项式理论得到的界是指数的，并且只计算非退化解。更一般地说，我们表明，如果一组解决方案是无限的，它仍然有最多$O(d^3t+d^2t^3)$连接组件。相比之下，下面的问题似乎是开放的：如果$F$和$G$最多有$t$单项式，在$t$的（非退化）解决方案的数量是多项式？作者对这些问题的兴趣是由代数复杂性理论中的下界和“稀疏样”多项式的实根数的上界之间的联系引起的。
2014-07-23 cs.CC math.AG
Tropical Combinatorial Nullstellensatz and Sparse Polynomials
热带代数出现在代数几何、数学物理和组合优化等数学领域。在某种程度上，它的重要性与这样一个事实有关，即它使数学对象的各种参数可以通过计算访问。热带多项式在这方面发挥了重要作用，特别是在代数几何的情况下。另一方面，热带多项式背后的许多代数问题仍然是开放的。在本文中，我们解决四个基本问题的热带多项式密切相关的计算性质：1。给定一个多项式，它有一定的支持（单项式的集合）和一个（有限的）输入集合，什么时候多项式可能在所有这些输入上为零？2.一个更精确的问题，给定一个具有一定支持度和一组（有限）输入的多项式，这个多项式在这组输入上可以有多少根？3.给定一个整数$k$，对于哪个$s$，存在一组$s$输入，使得具有至多$k$单项式的任何非零多项式在这些输入中具有非根？4.有多少整数根可以有一个由热带代数回路给出的一元多项式？在经典代数中，关于这类问题的著名结果是N的组合零点定理。Alon，J. Schwartz - R. Zippel引理和稀疏多项式的通用检验集。最后一个问题的经典类比被称为$τ$ -猜想，由于M。舒布- S。斯梅尔在本文中，我们提供的结果，这四个问题的热带多项式。
2019-04-25 cs.CC math.AG
Quantitative equidistribution for the solutions of systems of sparse polynomial equations
对于Laurent多项式f_1，.，f_n \in C[x_1^{ \pm 1}，.，x_n^{ \pm 1}]，其系数相对于其方向结式不是太大，我们证明了方程组f_1= \dots =f_n=0在代数n维复环面上的解在单位多圆附近近似等分布。这推广到多变量的情况下，一个经典的结果，由于鄂尔多斯和图兰的分布参数的根的一元多项式。我们应用这个结果来确定Laurent多项式系统的实根个数，并研究整系数Laurent整系数多项式系统和复系数Laurent多项式随机系统的根的渐近分布.
2014-08-06 math.AC math.AG math.CV
Sparse Difference Resultant
本文引入了Laurent变换本质差分多项式系的稀疏差分结式的概念，并给出了稀疏差分结式存在的一个简单判据.引入了变换齐次多项式的概念，证明了稀疏差分结果是变换齐次的。证明了稀疏差分结式的消失给出了相应的差分多项式系统有非零解的必要条件。给出了稀疏差分结式的阶和度的界。在此基础上，提出了一种计算稀疏差分结式的算法，该结式对于Laurent变换本质系统的变量个数、Jacobi数和系统规模都是单指数的.进一步给出了差分结式的精确阶数、行列式表示和Poisson型乘积公式。
2013-09-24 cs.SC math.AG
Finding Sparse Systems of Parameters
对于一些计算过程，如寻找根式和Noether归一化，重要的是选择尽可能稀疏的多项式理想或模多项式理想中的参数系统。我们描述了这些任务的新策略，从而为[Eisenbud-Huneke-Vasconcelos 1992]中提出的问题（1）和（2）提供了解决方案。
1993-05-20 alg-geom math.AC math.AG
Solving sparse polynomial systems using Groebner bases and resultants
多项式方程组的求解是非线性代数和计算代数的核心问题。自60年代Buchberger提出计算格罗布纳基的算法以来，这一领域取得了很大的进展。此外，这些方程已被用于建模和解决来自不同学科的问题，如生物学，密码学和机器人技术。目前，我们对如何从理论和算法的角度解决通用系统有了很好的理解。然而，在实际中遇到的多项式方程通常是结构化的，因此许多关于一般系统的性质和结果并不适用于它们。由于这个原因，在过去的几十年中，一个共同的趋势是开发数学和算法框架，以利用多项式系统的特定结构。可以说，最常见的结构是稀疏性;也就是说，系统的多项式只涉及几个单项式。自从伯恩斯坦、霍凡斯基和库什尼连科对稀疏系统解的期望数的研究以来，复曲面几何一直是采用稀疏性的默认数学框架。特别是，它是经典工具扩展到系统背后的关键问题，例如结果计算，同伦延拓方法，以及最近的格罗布纳基。在这项工作中，我们将回顾这些经典的工具，他们的扩展，并利用稀疏性解决多项式系统的最新进展。这份手稿补充了在ISSAC 2022会议上提出的入门教程。
2022-05-19 cs.SC math.AG
Intersection multiplicity of a sparse curve and a low-degree curve
令$F(x, y) \in \mathbb{C}[x,y]$是次数为$d$的多项式，令$G(x,y) \in \mathbb{C}[x,y]$是具有$t$单项式的多项式。我们要估计系统$F(x,y) = G(x,y) = 0$的解的最大重数。我们的主要结果是任何非零坐标的孤立解$(a,b) \in \mathbb{C}^2$的多重性不大于$\frac{5}{2}d^2t^2$ .我们问这个交重数是否可以多项式有界的单项式的数量$F$和$G$，我们简要回顾了稀疏多项式和代数复杂性理论之间的一些连接。
2019-11-04 cs.CC math.AG
Complexity of sparse polynomial solving 3: Infinity
本文提出在环面簇坐标卡上局部定义同伦算法，以求解稀疏多项式系统，避免虚假根，其复杂度由条件长度线性界定，并支持在环面无穷远附近稳定计算。
2025-06-20 cs.NA math.AG math.NA
Random Sparse Polynomial Systems
本文研究稀疏随机多项式系统，通过混合体积形式积分表达根的期望数量，并给出条件数概率界，同时探讨其与Kähler几何及动量映射的联系。
2000-12-13 cs.NA math.AG math.NA
The Moment Method for Computing Real Points of Sparse Polynomial Systems
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；Inria & CMAP, CNRS, École Polytechnique, Institut polytechnique de Paris（法国国家信息与自动化研究所与数学与计算机科学交叉研究中心，法国国家科学研究中心，巴黎综合理工学院，巴黎理工学院）
本文基于矩矩阵和半定规划，将矩方法推广到仿射环面簇，利用输入多项式的稀疏性恢复稀疏多项式系统的实点，并证明谱面体的投影为多面体，提出仅计算一个实解的变体。
2026-09-29 cs.SC math.AC math.AG
Solving Degenerate Sparse Polynomial Systems Faster
考虑在任意特征的代数闭域上的n个多项式方程组F。本文给出了一种在F的零集Z的每一个不可约分支中寻找点的快速方法。我们的技术使我们能够充分考虑单项期限结构，提高和降低这个问题的先验复杂性界限。作为推论，我们还得到了F的孤立根的确切个数和Z的正维部分的交重数的新的显式公式。最后，我们提出了一个非退化多项式系统的组合结构，指定的单项项结构和最大许多孤立根，这可能是独立的利益。
1998-09-15 cs.CC cs.NA math.AG
