发表机构
Technische Universität Berlin; Inria & CMAP, CNRS, École Polytechnique, Institut polytechnique de Paris（柏林工业大学; 法国国家信息与自动化研究所与数学与计算机科学交叉研究中心，法国国家科学研究中心，巴黎综合理工学院，巴黎理工学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文基于矩矩阵和半定规划，将矩方法推广到仿射环面簇，利用输入多项式的稀疏性恢复稀疏多项式系统的实点，并证明谱面体的投影为多面体，提出仅计算一个实解的变体。
AI 中文摘要
计算代数中最重要的一个问题之一是计算多项式系统的实解。Lasserre、Laurent 和 Rostalski 提出了一种数值方法，用于计算定义有限实点集的理想的实根。他们的方法基于矩矩阵，并将问题归结为求解一个半定规划。在本工作中，我们基于该方法以及 Laurent 和 Mourrain 的工作，利用输入多项式的稀疏性。为此，我们将矩矩阵理论推广到仿射环面簇的设定中。我们证明，对于稀疏多项式系统，该方法能够恢复仿射环面簇上的实点。此外，我们表明与半定规划相关的谱面体（spectrahedron）的一个投影实际上是一个多面体，并且我们提出该方法的一种变体，用于仅计算系统的一个实解。
英文摘要
One of the most important problems in computational algebra is the computation of real solutions of a polynomial system. Lasserre, Laurent, and Rostalski introduced a numerical method to compute the real radical of an ideal defining a finite set of real points. Their method is based on moment matrices and reduces the problem to solving a semidefinite program. In this work, we build on this method and on the work of Laurent and Mourrain to exploit the sparsity of the input polynomials. For this purpose, we extend the theory of moment matrices to the setting of affine toric varieties. We prove that, for sparse polynomial systems, this approach allows us to recover real points on affine toric varieties. Moreover, we show that a projection of the spectrahedron associated with the semidefinite program is, in fact, a polytope, and we propose a variation of the method to compute only one real solution of the system.
