Prime factorization using quantum annealing and computational algebraic geometry
我们从两个角度研究素因子分解：量子退火和计算代数几何，特别是Gröbner基地。我们提出了一种新的可扩展的算法，它结合了这两种方法，并导致因式分解的所有双素数刚刚超过$200 \, 000$，最大的数字因式分解到目前为止，使用量子处理器。
2016-06-16 cs.CR math.AC math.AG
Generic uniqueness of a structured matrix factorization and applications in blind source separation
代数几何，虽然很少探索信号处理，提供了工具，是非常方便的调查在广泛的应用中的一般属性。泛型属性是“几乎处处“都存在的属性。我们提出了一组条件，足以证明某种结构矩阵分解的通用唯一性。这组条件可以用作不同设置中通用唯一性的检查表。我们将详细讨论两个特定的应用程序。我们提供了一个宽松的通用唯一性条件联合矩阵对角化，是相关的独立分量分析在欠定的情况下。我们提出了通用的唯一性条件，最近提出的一类确定性盲源分离方法，依赖于温和的源模型。对于感兴趣的读者，我们提供了一些直观的结果是如何连接到他们的代数几何根。
2016-01-06 math.AG
A Hochschild-Kostant-Rosenberg type theorem for coherent matrix factorizations
Harish-Chandra Research Institute（Harish-Chandra研究所）；Homi Bhabha National Institute（Homi Bhabha国立研究所）
本文证明了相干矩阵分解范畴的Hochschild-Kostant-Rosenberg型定理，适用于特征0代数闭域上拟光滑导出Deligne-Mumford栈的Landau-Ginzburg模型。
2026-09-25 math.AG
Singular fibers in algebraic fibrations of genus 2 and their monodromy factorizations
Kodaira对椭圆纤维化中奇异纤维的分类及其翻译成monodromies和Lefschetz纤维化的语言对4-流形的研究是一个福音。在这篇文章中，我们开始的工作之间的转换亏格2族的代数曲线和Lefschetz纤维的正Dehn扭曲因子分解的奇异性Namikawa和上野在70年代描述的一个特定的子集。我们看看四个家庭的超曲面奇点$\mathbb{C}^3$。每个超曲面都配备了一个由亏格2代数曲线退化成单个奇异纤维的纤维化。我们确定的决议中的每一个家庭的奇点，并找到一个平坦的变形的决议成更简单的件，导致在纤维化的莱夫谢茨型。然后，我们记录描述的莱夫谢茨作为一个积极的因式分解德恩扭曲。这给了我们一个字典之间的配置曲线和monodromy因子分解的一些奇异亏格2纤维化。
2023-03-02 math.AG math.GT math.SG
Virtual Betti numbers of real algebraic varieties
利用双有理映射的弱因子分解定理证明了：对所有非负i，紧致非奇异实代数簇的第i个mod 2贝蒂数对所有实代数簇的“虚贝蒂数“beta_i有唯一的扩张，使得若Y是X的闭子簇，则beta_i（X）= beta_i（X \Y）+ beta_i（Y）.
2002-10-23 math.AG
Homogeneity of cohomology classes associated with Koszul matrix factorizations
在这项工作中，我们证明了所谓的维数属性的上同调域论与齐次多项式W的孤立奇点，在代数框架arXiv：1105.2903。这相当于表明，一些上同调类的Deligne-Mumford模空间的稳定曲线，构造使用傅立叶-Mukai型函子与矩阵分解，生活在规定的维度。该证明基于arXiv：math/0011032中建立的同质性结果，用于0的Koszul矩阵分解的某些特征类。为了减少到这个结果，我们使用的理论，傅立叶-Mukai型函子涉及矩阵分解和自然的合理格在相关的霍赫希尔德同调空间，以及一个版本的Hodge-Riemann双线性关系的霍赫希尔德同调的矩阵分解。我们的方法还证明了某些具有孤立奇点的拟齐次多项式的上同调域论的维数性质。
2016-07-15 math.AG
On braid monodromy factorizations
为了研究平面代数曲线的辫单值分解及其它相关问题，我们引入并发展了辫群上的半群语言。作为应用，我们给出了圆上BMF用代数曲线实现的Orevkov定理的一个新的证明，并证明了这种实现的复杂性不受BMF因子类型的限制.此外，我们还证明了BMF的型是区别的Hurwitz曲线，其奇点在$H$ -合线之前是不可分型的，而在$\C P^2$-辛合线之前是$J$ -全纯尖点曲线.
2003-02-11 math.AG math.SG
Local Strong Factorization of birational maps
强因子分解猜想指出，特征为零的域上的光滑代数簇之间的真双有理映射可以分解为一个光滑blowup序列，随后是一个光滑blowdown序列。证明了环面簇的强因子分解猜想的一个局部版本。结合S.D.Cutkosky的单单式化定理，得到了赋值控制的局部环的一个强分解定理.
2003-03-12 math.AC math.AG
Factorization Theorem for Projective Varieties with Finite Quotient Singularities
本文证明了任意两个具有有限商奇点的双有理射影簇都可以通过一个约化代数群实现为一个非奇异射影簇的两个几何GIT代数。然后，通过应用几何不变理论商的变分理论（[3]），我们证明了它们是由一系列GIT跨壁翻转相关的。
2005-02-22 math.AG math.DG
Topology and Factorization of Polynomials
对于任意多项式$P \in \mathbb{C}[X_1,X_2,...,X_n]$，我们描述了由某些代数偏微分方程得到的线性方程组的解的$\mathbb{C}$ -向量空间$F(P)$，使得$F(P)$的维数是$P$的不可约因子的个数.此外，$F(P)$的知识给出了多项式$P$的完全因式分解。这推广了Ruppert和Gao以前在$n=2$情形下的结果。
2008-04-02 math.AG math.AT
Toroidal varieties and the weak Factorization Theorem
本文件的主要目标有两个方面。首先，我们将Kempf，Knudsen，Mumford和Saint-Donat提出的环面嵌入理论推广到具有分层的环面簇类（这是本文的主体部分）。其次，作为弱因子分解定理的应用和例证，我们证明了：特征为零的代数闭域K上的完备非奇簇之间的双有理映射是具有光滑中心的blowup和blowdown的合成。另一个证明弱因式分解定理出现在一份联合文件与阿布拉莫维奇，卡鲁和松木（数学。AG/9904135）在该文件中定理的陈述和证明一般适当的代数和解析空间。
2002-07-25 math.AG math.CV math.DG
Algebraic differential equations associated to some polynomials
我们用\$(n+2)$ \单项式计算了\ $\C[x_{0},\dots, x_{n}]$ \中多项式的任意周期的Gauss-Manin微分方程。本文给出了这类微分方程在代数$\C< z, (\frac{\partial}{\partial z})^{-1}>$中的两个一般分解定理。
2014-03-01 math.AG math.CV
An Algebraic-Geometry Approach to Prime Factorization
优于现有算法或利用素因子的特定性质的素因子分解的新算法可以对依赖于因子分解复杂性的密码算法的当前实现具有实际影响。当前使用的密钥是基于当前算法知识选择的，因此可能会受到未来漏洞的影响。出于这个原因，值得研究具有计算优势的潜力的新方法。这个问题在量子计算中也有相关性，因为已经存在一个有效的量子算法来进行素因子分解。因此，更好的经典渐近复杂性可以更好地理解量子计算机提供的优势。在本文中，我们减少了因子分解问题的可参数化品种，特别是曲线，在有限域上的点的搜索。要求簇与基域上的某个超曲面有任意多个交点。对于次指数或多项式因子分解复杂度，参数的数量必须在空间维度n中次线性地缩放，并且给定参数的计算点的复杂度必须分别是次指数或多项式。我们概述了建立这些品种，这是说明了两个建设的程序。在一种情况下，我们表明，有品种的点可以有效地评估给定的参数不大于n/2。在另一种情况下，边界下降到n/3。顺便说一句，第一种结构类似于一种追溯因果模型。逆向因果关系被认为是量子奇异性的一种可能解释。
2022-09-23 cs.CC cs.CR math.AG
Multivariate Polynomial Factorization by Interpolation Method
多项式的因式分解在符号计算的许多领域中出现。它是许多符号和代数计算中的重要能力。有两种类型的多项式因式分解。一种是常规多项式分解，另一种是近似多项式分解。传统的因式分解算法是用符号方法来求多项式的精确因式，而近似因式分解算法是用数值方法来求多项式的近似因式。符号计算经常会遇到中间表达式膨胀的问题，从而降低了因式分解的效率。数值计算以其高效率而著称，但它只能给出近似结果。本文提出了一种用近似方法求多元多项式精确因子的算法。与其它方法相比，该方法具有对某些低次多项式具有高效率的数值计算优点。实验结果表明，对于变量较多、次数较高的多项式，该方法比Maple 9.5中的{ \it factor}更有效。
2007-01-24 math.AC math.AG
Geometry of free loci and factorization of noncommutative polynomials
定义非交换多项式f的自由奇点轨迹为超曲面序列$Z_n(f)=\{X\in M_n^g : \det f(X)=0\}$。本文的主要定理证明了f是不可约的当且仅当$Z_n(f)$最终是不可约的。证明中的一个关键步骤是线性束的不可约结果。除了它在自由代数因式分解中的应用外，本文还讨论了它在扰动理论中的不变子空间和实代数几何中的线性矩阵不等式中的应用。
2018-04-02 math.AG math.RA
The Bell states in noncommutative algebraic geometry
我们引入新的数学方面的贝尔状态使用矩阵分解，nonnoether奇点，和非交换爆破。多项式$p$的矩阵分解由两个矩阵$ϕ_1,ϕ_2$组成，使得$ϕ_1ϕ_2 = ϕ_2ϕ_1 = p \operatorname{id}$。使用这个概念，我们展示了贝尔态如何从两个混合物的可分离产物中产生，通过定义复杂矩阵上的纯态而不仅仅是复数。然后，我们表明，在一个理想化的代数设置，纯态支持nonnoether奇点。此外，我们发现Bell态的坍缩与沿其奇异支集的非对易爆破的表示理论密切相关。这在几何学上呈现了一种交换：纠缠态的非定域对易时空从底层的定域非对易时空中出现。
2014-12-04 math.AG math.RT quant-ph
Splitting Algebraic Singular Fibrations via Perturbation of Branch Covers
本文针对亏格二纤维化中另外两类奇异纤维，改用非超椭圆多项式族重建曲线，通过分支覆盖扰动将其形变为 Lefschetz 纤维化，并恢复中心纤维紧致化行为及相应单值分解。
2023-11-01 math.AG math.GT math.SG
Factorization statistics and bug-eyed configuration spaces
Hyde最近的一个定理证明了有限域上随机多项式的因子分解统计量受对称群在$\mathbb R^3$中$n$不同序点的位形空间上的作用的控制.海德问这个结果是否可以解释几何。我们给出了一个几何证明海德定理的Grothendieck-Lefschetz迹公式应用到一个有趣的，高度非分离的代数空间的一个实例。我们的方法的一个优点是，它一致推广到任意外尔群。在这个过程中，我们研究某些非豪斯多夫模型的补充超平面安排，首先介绍了Proudfoot。
2021-10-03 math.AG math.AT math.CO
