On some $q$-identities related to divisor functions
Jiang Zeng
我们给出了Dilcher，Fu和Lascoux关于除数函数的$q$恒等式的推广和简单证明.
We give generalizations and simple proofs of some $q$-identities of Dilcher, Fu and Lascoux related to divisor functions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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$q$-Identities related to overpartitions and divisor functions
我们推广并证明了Corteel和Lovejoy关于超划分和除数函数的定理。
On q-series identities with multiple sums related to divisor functions
本文系统阐述多组与除数函数相关的多重和q-恒等式，并针对每个恒等式推导出更强的结果。
Some further q-series identities related to divisor functions
我们给出了Dilcher和Schlinger关于除数函数的一些q-级数恒等式的新的推广。一些有趣的特殊情况下，也推导出，包括一个身份有关的研究Corteel和Lovejoy的超分割。
Basic and bibasic identities related to divisor functions
利用基本超几何函数和部分分式分解，给出了内村，Dilcher，Van Hamme，Cheninger和Chen-Fu关于除数函数的恒等式的一种新的推广.证明了Lambert级数与欧拉多项式之间的一个恒等式。
Some $q$-series identities extending work of Andrews, Crippa, and Simon on sums of divisors functions
本文推广了Andrews，Crippa和Simon关于由一般递归方程定义的多项式的渐近性的一个定理。这里多项式在变量$q$中，并且在步骤$n$的递归定义在$n$中引入多项式。我们的扩展替换$n$中的多项式与$n$的指数或周期函数。
On some $q$-series identities related to a generalized divisor function and their implications
本文推广了Kluyver和Uchimura检验的一个$q$ -级数.这使我们能够找到推广的身份在随机无环有向图研究西蒙，Crippa，和Collenberg在1993年。作为我们的主要定理的推论之一，我们得到了Dilcher和Andrews，Crippa和Simon的结果。这个主要定理涉及到一个令人惊讶的新推广的除数函数$σ_s(n)$，我们表示为$σ_{s,z}(n)$。研究了$σ_{s,z}(n)$的解析性质。作为我们定理的一个特例，我们从Bringmann和Jennings-Shaffer最近的一篇论文中得到了结果。
Bressoud-Subbarao type weighted partition identities for a generalized divisor function
1984年，Bressoud和Subbarao利用组合论元得到了广义除数函数的一个有趣的加权分拆恒等式.最近，最后三个命名的作者发现了一个分析证明上述身份的Bressoud和Subbarao开始从$q$系列身份的拉马努金。在本文中，我们重新组合参数Bressoud和Subbarao，并得出一个更一般的加权划分的身份。此外，从Andrews，Garvan和Liang的一个恒等式出发，借助一个分数阶微分算子，我们建立了更多的Bressoud-Subbarao型加权分拆恒等式.我们还发现了一个单一的变量推广的身份内村相关的贝尔多项式。
Number Identities and Integer Partitions
利用三重积恒等式的一种特殊形式，给出了多边形数恒等式。进一步的数字身份检查，可以被认为是身份有关的模块集的号码。利用这些恒等式可以得到模等差数列中整数部分分拆的结果。这包括使用这些模块部分的分区数量的递归公式。三重积恒等式可以导出进一步的递归公式。此外，还给出了相应的因子和函数的递推公式。特定的三重积恒等式提供了一个框架来检查所有的恒等式，并可用于定义相关的θ函数。
On a generalization of the Pentagonal Number Theorem
研究了经典五边形数定理的一个推广及其应用。我们得到了某些无穷级数的新恒等式，某些限制分拆和除数和的递推关系和卷积和。我们还得到了新的身份贝尔多项式。
A Tiling Proof of Binomial Identities related to the Lucas cube
利用Lagarias和Shor构造的$\mathbb{R}^n$的立方体平铺，给出了与Lucas立方体有关的三个著名的二项式恒等式的平铺证明.
Some Identities Related to the Second-Order Eulerian Numbers
我们用二阶欧拉数来表示Nörlund多项式。在此基础上，我们得到了与Bernoulli数有关的几个恒等式.特别是，我们提出了一个简短的证明Rzcadkowski和Urliveska提出的问题。
Binomial identities related to Calabi-Yau differential equations
当搜索Calabi.Yau微分方程时，通常不同的系数公式给出相同的微分方程。这些系数通常是二项式系数的乘积的和（一次、二次或三次）。这导致了许多二项式恒等式。
Finite q-identities related to well-known theorems of Euler and Gauss
我们给出了有限版本的欧拉五边形数定理和高斯的q-恒等式的推广。
Some operator identities related to $q-$Hermite polynomials
导出了算子$(X+sD)^n$在多项式上的正规序的一些$q-$类似物。
Identities for Tribonacci-related sequences
我们建立了一些身份有关的两个序列，如所解释的，相关的Tribonacci序列。其中一个序列与特里波纳奇序列具有相同的相似性，就像卢卡斯序列与斐波那契序列一样。定义一个矩阵，我们称之为Tribomatrix，它扩展了Fibonacci矩阵，我们看到另一个序列与这个矩阵的二阶主子式的行列式之和有关。
A divisor generating $q$-series and cumulants arising from random graphs
内村，在1987年，介绍了一种概率生成函数的随机变量$X$和使用性能的这一职能，他发现了一个有趣的$q$系列身份。他进一步表明，$m$ -th累积量关于随机变量$X$只不过是生成函数的广义除数函数$σ_{m-1}(n)$。Simon、Crippa和Collenberg在1993年研究了随机无圈有向图的$G_{n,p}$ -模型，并定义了随机变量$γ_n^{*}(1)$。非常有趣的是，他们发现了其均值极限和除数函数$d(n)$的生成函数之间的联系。后来在1997年，Andrews、Crippa和Simon用$q$系列技术扩展了这些结果。他们计算了对应于第一和第二累积量的随机变量$γ_n^{*}(1)$的均值和方差的极限。本文通过计算$t$阶累积量的极限，推广了Andrews，Crippa和Simon的结果.此外，我们还发现了内村和迪尔彻恒等式的极限形式。这为前四位作者最近提出的内村-拉马努金-除数型三路分拆恒等式提供了第四边形。
Rook theoretic proofs of some identities related to Spivey's Bell number formula
利用车的位置证明了Spivey的Bell数公式及与之相关的一些恒等式，特别是涉及Stirling数的卷积恒等式和Bell数的关系式.为了涵盖尽可能多的特殊情况下，我们工作的广义斯特林数所产生的车模型的高盛和Haglund。另一种组合解释的第二型广义$q$ -Stirling数的Remmel和Wachs也介绍了该方法用于获得早期的身份可以很容易地适应。
A partition bijection related to the Rogers--Selberg identities and Gordon's theorem
我们提供了一个双射映射从分区枚举的系列侧的罗杰斯-Selberg模7身份分区与一个特殊情况下的Basil戈登的组合推广的罗杰斯-Ramanujan身份。应用相同的映射到一个特殊的情况下，大卫Bressoud的甚至模模拟戈登定理的影响也进行了探讨。
Four identities related to third order mock theta functions
拉马努金在他的《失落的笔记》中提出了三阶模拟θ函数的四个恒等式。2005年，叶西柳尔特借助复分析，首次证明了这四个恒等式。最近，Andrews等人利用$q$ -系列给出了不同的证明.本文针对泛拟θ函数\begin{align*} g(x;q)=x^{-1}\left(-1+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^{2}}}{(x;q)_{n+1}(qx^{-1};q)_{n}}\right), \end{align*}的几个恒等式，给出了这四个恒等式的新证明.特别地，利用Ramanujan给出的$g(x;q)$的一个恒等式和Mortenson给出的几个θ函数恒等式，得到了第四个恒等式的一个新的简单证明.
Combinatorial identities related to $2\times 2$ submatrices of recursive matrices
递归矩阵在组合数学中是普遍存在的，已经得到了广泛的研究。本文主要研究某些递归矩阵的$2\times 2$子式的和，它们的$2\times 2$子式的交错和，以及它们的$2\times 2$持久式的和.得到了与这些和有关的组合恒等式，推广了Sun和Ma在[{ \it Electron. J. Combin. 2014}]和[{ \it European J. Combin. 2014}]。借助于计算机代数软件包{ \tt HolonomicFunctions}，我们进一步得到了一些涉及Narayana多项式的新恒等式.
Bijective proofs of some coinversion identities related to Macdonald polynomials
本文给出了Ayyer、Mandelshtam和Martin（arxiv：2011.06117）首次发现的一些新型共倒置等式的双射证明，作为他们对修改后的麦克唐纳多项式$\tilde{H}_μ$的新组合公式的证明的一部分。这些作者使用$q$ -二项式系数的复杂代数操作来证明这些恒等式，这意味着在证明他们的公式满足表征$\tilde{H}_μ$的公理时需要某些双射的存在。他们提出了明确构造这种双射的公开问题。我们在这里解决这个问题。
Combinatorial proofs for identities related to generalizations of the mock theta functions $ω(q)$ and $ν(q)$
Andrews，Dianjin和Yee分别引入了两个配分函数$p_ω(n)$和$p_ν(n)$，它们分别与三阶模拟θ函数$ω(q)$和$ν(q)$有关.最近，Andrews和Yee分析研究了两个恒等式，它们分别将$p_ω(n)$和$p_ν(n)$的精化与广义二元模拟θ函数$ω(z;q)$和$ν(z;q)$联系起来。然而，他们说这些身份哭了双射证明。本文首先定义了广义三元模拟θ函数$ω(y,z;q)$和$ν(y,z;q)$。然后利用奇Ferrers图得到了关于$ω(y,z;q)$和$ν(y,z;q)$的一些恒等式，推广了Andrews关于$ω(z;q)$和$ν(z;q)$的一些早期结果.借助于包含$ω(y,z;q)$和$ν(y,z;q)$的恒等式所产生的组合解释，我们最后给出了Andrews-Yee的两个恒等式的双射证明.
Combinatorics of Ramanujan--Slater type identities
我们提供了一个家庭的四个$q$系列身份有关的模36失踪的成员，其他成员已被发现的拉马努金和斯莱特。我们研究了这个族中恒等式的组合含义，以及我们在“与模数18和24相关的Ramanujan-Slater类型恒等式”[ \emph{J. Math. Anal. Appl.} \textbf{344} /2（2008）765--777]中考虑的一些恒等式。
A Family of the Zeckendorf Theorem Related Identities
在本文中，我们提出了一个家庭的身份所产生的递归序列的二阶递归关系，它给出了Zeckendorf表示的例子。我们证明了这些结果使用的递归序列的泛性质的一个特殊情况。在特殊情况下，我们还建立了一个直接双射。此外，我们证明了进一步的等式，提供了一个表示的总和$(r+1)$ -st和$(r-1)$ -st Fibonacci数的黄金比例的权力之和。类似地，我们给出了一类表示为银比率的幂和的自然数。
A Generalization of the Chu-Vandermonde Convolution and some Harmonic Number Identities
本文给出了Chu-Vandermonde卷积的一个推广，并用整表示方法证明了它的正确性。这个恒等式可以转换成另一个恒等式，作为特殊情况，它有两个已知的恒等式。提出并证明了与此恒等式密切相关的另一个恒等式。利用另一篇文章中的修正等比级数，列出了一些密切相关的恒等式.导出了一些相应的调和数恒等式，这些恒等式的特例是一些已知的调和数恒等式。对于一个组合和，推导出了一个递推公式，并用它计算了几个例子。
Composition sum identities related to the distribution of coordinate values in a discrete simplex
利用谱剩余的参数化，递归定义的序列，我们开发了一个通用的方法产生的身份组成和。具体的结果是通过集中在系数序列的解决方案的一阶和二阶，普通，线性微分方程。关于第一类，相应的恒等式相当于标号计数的指数公式的证明。第二类恒等式可以用来建立有界有序整数元组单形的某些几何性质。我们提出了三个定理，支持的结论，这样一个顺序单形的内部尺寸，在一定意义下，比外部尺寸更充足。此外，我们给出了一个代数证明的双射之间的两个家庭的子集的顺序单纯形，并询问建立这种双射的组合，而不是代数方法的可能性。
Properties of the recursive divisor function and the number of ordered factorizations
本文研究递归除数函数 $κ_x(n)$，给出其 Dirichlet 级数、与普通除数函数的卷积关系及若干算术恒等式，并阐明其与有序因子分解数 $K(n)$ 的联系。
Some Generalized Multi-sum Chu-Vandermonde Identities
给出并证明了一些广义多和Chu-Vandermonde恒等式，推广了文献中已知的一些多和Chu-Vandermonde恒等式，并增加了一些二次和三次恒等式的例子.还提供了其他一些密切相关的身份。利用复留数的整表示方法证明了恒等式，这种方法在以前的一些论文中也得到了应用。
Generalization of five q-series identities of Ramanujan and unexplored weighted partition identities
拉马努金在他的第二本笔记本的一个章节中记录了五个有趣的q-级数恒等式，这个章节并不像其他章节那样有系统地排列。这五种身份似乎没有得到足够的重视。最近，Diarrant和第三作者发现了上述五个恒等式之一的单变量推广。从他们的广义恒等式中，他们能够推导出这些q-级数恒等式中的后三个，但没有建立前两个。在本文中，我们得到一个单变量推广的主要身份的Dianjiang和第三作者，我们成功地推出了所有五个q系列的身份Ramanujan。除此之外，我们还从我们的广义恒等式中建立了一些有趣的加权划分恒等式。在20世纪80年代中期，Bressoud和Subbarao发现了一个有趣的恒等式，将广义除数函数与加权分拆函数联系起来，他们通过纯粹的组合论证证明了这一点。令人惊讶的是，我们发现了一个分析证明的推广身份的Bressoud和Subbarao，从第四身份的上述五个q系列身份的拉马努金。
New infinite hierarchies of polynomial identities related to the Capparelli partition theorems
我们证明了一个新的多项式加细的Capparelli的身份。使用贝利引理的特殊情况下，我们证明了许多无限家庭的和产品的身份，根从我们的有限类似的卡帕雷利的身份。我们还讨论了基恒等式的$q\mapsto 1/q$对偶变换和一些相关的划分理论关系。
Central Limit Theorem for local linear statistics in classical compact groups and related combinatorial identities
本文讨论了来自经典紧群的随机矩阵的整体和局部线性统计量的CLT。我们的证明的主要部分是某些组合身份的精神，由卡茨和Spohn的作品。
Identities in plactic, hypoplactic, sylvester, Baxter, and related monoids
本文考虑是否非平凡的身份是满足某些“plastic-like”幺半群，像plastic-monoid，是密切相关的组合。新的结果表明，hypoplastic，西尔维斯特，巴克斯特，stalactic和泰加幺半群满足身份，并确实给这些幺半群满足最短的身份。讨论了关于platic幺半群和左、右patient排序幺半群的知识现状。
Some combinatorial identities related to commuting varieties and Hilbert schemes
在这篇文章中，我们探讨了一些组合的后果最近的结果有关的等谱交换品种和希尔伯特计划的点在平面上。
The tri-pentagonal number theorem and related identities
我重温了由Riese发现的Andrews五边形数定理的自动证明。我发现了隐藏在他的证明背后的一个简单的多项式恒等式。我解释了如何使用这个身份证明安德鲁斯的结果以及各种新的类似类型的公式。揭示了三五边形定理与著名的斯莱特列表中的（19）、（20）、（94）、（98）项之间的一个有趣的关系。最后，建立了一个新的多重级数恒等式无穷族。
Combinatorial Identities Related to Representations of $U_q(\tilde{gl_2})$
最近，N.Jing从量子Kac-Moody代数的某些顶点表示的Serre关系的有效性中发现了一个组合恒等式。我们推广这个身份，特别是，将其从多项式椭圆函数，并将所获得的身份在量子圈代数$U_q(\tilde{gl_2})$或椭圆量子群$E_{ρ,γ}(sl_2)$的评价表示的张量积。
A tree-based algorithm for the integration of monomials in the Chow ring of the moduli space of stable marked curves of genus zero
标记有理曲线的模空间的Chow环由Keel因子类生成。这个Chow环的上分次部分同构于由单点类生成的整数。本文给出了一个计算Keel因子类元组交度的算法。该计算是该领域中一个具体而复杂的算法问题。此外，我们给出了一个简单的算法的复杂性参数。此外，我们还介绍了多项式系数的三个恒等式，并给出了证明。
On q-Series Identities Related to Interval Orders
证明了几个包含区间序的精化母函数和自对偶区间序的精化母函数的幂级数恒等式。这些恒等式可以表示为$\sum_{n\ge 0}(1/p;1/q)_n= \sum_{n\ge 0} pq^n(p;q)_n(q;q)_n$和$\sum_{n\ge 0} (-1)^n(1/p;1/q)_n= \sum_{n\ge 0} pq^n(p;q)_n(-q;q)_n =\sum_{n\ge 0} (q/p)^n(p;q^2)_n$，其中等式适用于上述表达式在$p=q=1$以及其他合适的单位根处的（纯形式的）幂级数展开。
A Combinatorial Proof of Partition Identities for the Number of Distinct Part Sizes
本文对Bressoud等提出的加权分拆恒等式给出组合证明，并将结果扩展到p⁽ᵏ⁾(n)，即n恰好拆分为k个不同分拆大小的分拆数。
Combinatorial identities related to eigenfunction decompositions of Hill operators: Open Questions
我们制定了几个开放的问题有关的枚举组合，这出现在谱分析的希尔运营商与三角多项式的潜力。
On certain $q$-multiple sums
本文提出一种推导$q$-多重和恒等式的一般方法，推广了多个关于除数函数与有限多重调和$q$-级数的已知结果，并由此得到新的$q$-多重和类。
Hypergeometric identities related to Ruijsenaars systems
本文提出并证明了对Ruijsenaars模型中Baxter算子理论起关键作用的超几何恒等式。
Extensions of MacMahon's sums of divisors
本文推广MacMahon的除数和概念，通过有理函数逼近MacMahon型生成函数，揭示了丰富的整除性定理和新的组合恒等式，并给出多重q-调和和的实例。
A kind of orthogonal polynomials and related identities II
对于$n=0,1,2,\ldots$，记为$d_n^{(r)}(x)=\sum_{k=0}^n\binom{x+r+k}k\binom{x-r}{n-k}$。本文阐明了$\{d_n^{(r)}(x)\}$与Meixner多项式之间的联系。给出了$d_n^{(r)}(x)$的新公式和递推关系，并给出了$d_n^{(r)}(x)^2$公式的新证明.此外，对于$r>-\frac 12$和$n\ge 2$，我们表明，$d_n^{(r)}(x)>\frac{(2x+1)^n}{n!}>0$的$x>-\frac 12$，和$(-1)^nd_n^{(r)}(x)>0$的$x<-\frac 12$。
Combinatorial identities related to degenerate Stirling numbers of the second kind
本文研究退化第二类 Stirling 数的性质、恒等式、递推关系与显式表达式，并结合退化 Euler 公式探讨相关多项式和幂级数。
A limiting form of the q-Dixon_4ϕ_3 summation and related partition identities
通过考虑q-Dixon_4 ~ 3求和的一种极限形式，证明了一个包含相差>= 4的奇数部分的加权分拆定理.这个定理的两个参数的细化，然后推导出一个四次的Goellnitz的（大）定理由于Alladi，这导致了两个参数的扩展的θ函数的Jacobi的三重积恒等式。最后，证明了Alladi的某些模恒等式与Goellnitz-Gordon级数相连的加细是由q-Dixon_4 ~ 3求和的一个极限形式得出的.
Number of ordered factorizations and recursive divisors
本文利用递归定义和几何解释，为有序因式分解数量与递归因子数量这两个算术函数推导出三个闭式表达式，揭示了其结构与数论性质，并发现它们均可表示为广义超几何函数。
Supercongruences arising from hypergeometric series identities
利用某些超几何级数恒等式，证明了截断超几何级数上的两个超同余，其中一个与模Calabi-Yau三重有关，另一个被认为是Ramanujan恒等式的$p$ -adic模拟.
Divisors on graphs, binomial and monomial ideals, and cellular resolutions
我们研究各种二项式和单项式理想中出现的理论的因子，方向，和拟阵的图。我们使用的思想从位势论的图形和从理论的Delaunay分解格来描述其最小多面体细胞自由分解。我们发现，所有这些理想的决议是密切相关的，他们的$\mathbb{Z}$分级贝蒂表相吻合。作为推论，我们给出了概念上的证明Postnikov和Shapiro，Manjunath和Sturmfels，以及Perkinson，Perlman和Wilmes提出的问题。其他各种结果有关的理论芯片射击游戏的图形也遵循我们的一般技术和结果。
Quadratic residues and related permutations and identities
设$p$是一个奇素数。本文研究了模$p$的二次剩余及其相关的置换、同余和恒等式。如果$a_1<\ldots<a_{(p-1)/2}$是$1,\ldots,p-1$中所有模$p$的二次剩余，则列表$\{1^2\}_p,\ldots,\{((p-1)/2)^2\}_p$（$\{k\}_p$是$k$模$p$的最小非负剩余）是$a_1,\ldots,a_{(p-1)/2}$的置换，并且我们证明了这个置换的符号是$1$或$(-1)^{(h(-p)+1)/2}$，根据$p\equiv3\pmod 8$或$p\equiv7\pmod 8$，其中$h(-p)$是虚二次域$\mathbb Q(\sqrt{-p})$的类数.为了实现这一点，我们评估产品$\prod_{1\le j<k\le(p-1)/2}(\cotπj^2/p-\cotπk^2/p)$通过狄利克雷的类数公式和伽罗瓦理论。我们还获得了一些新的身份的正弦和余弦函数，例如，我们确定的确切值$$\prod_{1\le j<k\le p-1}\cosπ\frac{aj^2+bjk+ck^2}p$$的任何$a,b,c\in\mathbb Z$与$ac(a+b+c)\not\equiv0\pmod p$。
The new combinatorial identities of symmetric functions
本文利用指数生成函数等初等方法，研究了与对称函数相关的二项式卷积及Bernoulli、Euler和Genocchi数与多项式的卷积和，推导并建立了二元多项式及相关特殊多项式的多个新组合恒等式。
Proofs of some partition identities conjectured by Kanade and Russell
Kanade和Russell证明了几个Rogers-Ramanujan型分拆恒等式，其中一些与仿射李代数$A_9^{(2)}$的水平$2$特征标有关.许多这样的假设已经被Bringmann，Jennings-Shaffer和Mahlburg证明。我们给出了新的证明，五个prostitutures首先证明了这些作者，以及其他四个已开放到现在。我们的新的情况下使用的Askey-Wilson和罗杰斯多项式的二次变换的证明。我们也得到了一些相关的结果，包括一个新的证明划分单位的Capparelli和第一次证明安德鲁斯。
The polynomial identities for matrix functions
这是作者最近取得的一些成果的简短评论。这些结果涉及到利用已知的极化定理获得某些矩阵函数的多项式恒等式（计算公式）的问题，包括非交换变量和空间矩阵行列式的情况。
A kind of orthogonal polynomials and related identities
本文引入了$d_n^{(r)}(x)=\sum_{k=0}^n\binom{x+r+k}k\binom{x-r}{n-k} \ (n\ge 0)$，$D_0^{(r)}(x)=1,\ D_1^{(r)}(x)=x$和$D_{n+1}^{(r)}(x)=xD_n^{(r)}(x)-n(n+2r)D_{n-1}^{(r)}(x)\ (n\ge 1).$给出的多项式$\{d_n^{(r)}(x)\}$和$\{D_n^{(r)}(x)\}$，证明了$\{D_n^{(r)}(x)\}$是$r>-\frac 12$的正交多项式，建立了$\{d_n^{(r)}(x)\}$和$\{D_n^{(r)}(x)\}$的许多恒等式，特别是得到了$d_n^{(r)}(x)^2$的一个公式以及$d_m^{(r)}(x)d_n^{(r)}(x)$和$D_m^{(r)}(x)D_n^{(r)}(x)$的线性化公式.作为应用，我们推广了Sun和Guo最近的工作.
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