A 4AP-free permutation of the positive integers
本文构造了正整数的一个置换，使其不含四项等差数列作为子序列，解决了该组合问题。
2026-09-14 math.CO
The maximum product of sizes of cross-$t$-intersecting uniform families
如果$A$和$B$至少有$t$公共元素，则我们说集合$A$ \emph{$t$-intersects}是集合$B$。如果$\mathcal{A}$中的每个集合$t$ -与$\mathcal{B}$中的每个集合相交，则两个家族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$被称为\emph{cross-$t$-intersecting}。对于任何正整数$n$和$r$，令${[n] \choose r}$表示$\{1,2,\dots, n\}$的所有$r$元素子集的族。证明了对任意整数$r$，$s$和$t$，若$1 \leq t \leq r \leq s$为$1 \leq t \leq r \leq s$，则存在一个整数$n_0(r,s,t)$使得对任意整数$n \geq n_0(r,s,t)$，若$\mathcal{A} \subset {[n] \choose r}$和$\mathcal{B} \subset {[n] \choose s}$使得$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$为$t$ -交叉，则为$|\mathcal{A}||\mathcal{B}| \leq {n-t \choose r-t}{n-t \choose s-t}$，且等式成立当且仅当对某个$T \in {[n] \choose t}$，$\mathcal{A} = \{A \in {…
2013-12-11 math.CO
Numerical semigroups, polyhedra, and posets I: the group cone
最近的几篇论文探讨了有理多面体族的整数点与某些数值半群族的双射。一个这样的家庭，首先介绍了昆茨，有整数点的双射与数值半群的固定重数，另一个，介绍了由Hellus和Waldi，有整数点对应的超半群的数值半群有两个发电机。在本文中，我们提供了一个组合的框架，研究这两个家庭的多面体。我们引入一个新的家庭的多面体称为群锥，每个构造从一些有限的阿贝尔群，从这两个上述家庭的多面体直接确定，但更自然的研究从多面体几何的观点。我们证明了群锥的面自然地由一个有限偏序集的家庭索引，并说明了如何将这种组合数据与生活在其他两个家庭的多面体的相应面的半群。
2022-03-30 math.CO
Two infinite families of chiral polytopes of type \{4,4,4\} with solvable automorphism groups
我们构造了两个无限族的$\{4,4,4\}$型局部环形手征多面体，其中每个正整数$m$分别具有$1024m^2$和$2048m^2$自同构。这些多面体的自同构群是可解群，当$m$是$2$的幂时，它们提供了$2^n$阶自同构群的例子，其中$n$可以是大于$9$的任何整数。(On另一方面，对于$n \leq 9$，不存在$[4,4,4]$型手性多表位体。）特别地，我们的两个家族给出了Schulte和Weiss在[Problems on polytopes，their groups，and realizations，{ \em Periodica Math.\ Hungarica 53（2006），231-255]。
2019-12-11 math.CO
A preliminary result for generalized intersecting families
相交族和阻塞集在极值组合学中占有重要地位。我们研究了以下由Hajnal，Rothschild和其他人研究的交叉族的推广。如果$s \geq 1$、$k \geq 2$和$u \geq 1$是整数，则如果对于所有$A_1, A_2, \cdots, A_k \in \mathcal{F}$，对于某些$1 \leq i < j \leq k$，$|A_i \cap A_j| \geq u$，则说$s$ -统一族$\mathcal{F}$是$(k,u)$ -相交的。在本文中，我们研究了以下参数。如果$s$、$k$、$u$、$\ell$是满足$s \geq 1$、$k \geq 2$、$1 \leq u \leq s$和$2 \leq \ell < k$的整数，则令$N^{(u)}_{k,\ell}(s)$表示最小整数$r$（如果存在），使得任何与$(k,u)$相交的$s$ -均匀族是与$(\ell,u)$相交的至多$r$族的并集.使用向日葵引理类型的参数，我们证明了$N^{(u)}_{k,\ell}(s)$总是存在的，并且下面的不等式总是成立：$$N^{(u)}_{k,\ell}(s) \; \leq \; \bigg{\lceil} \dfrac{ k - 1 }{\ell - 1} \cdot {s \choose u} \bigg{\rceil}$$
2021-01-05 math.CO
Identities that represent powers of positive integers using multinomial coefficients
University of Tsukuba（筑波大学）
本文利用多项式系数表示正整数幂的恒等式，不依赖于多项式定理和多项式范德蒙德卷积。
2026-03-18 math.CO
Sequence Factory: Families of Integer Sequences Generated by Gödel Implication
本文研究哥德尔蕴含生成的整数序列族，证明根对生成函数初始系数可唯一确定无序根值对，编制了m=4至10的序列工厂目录，为整数序列分析及与OEIS对比提供可复现数据。
2026-10-15 math.CO
On identities generated by compositions of positive integers
我们证明了由正整数的合成所产生的惊人的身份。顺便得到了第一类Stirling数的两个新恒等式。在最后两节中，我们澄清了这些恒等式的代数意义，并得到了其他几个结构上的恒等式。
2012-11-30 math.CO
Schur-Positive sets
该研究证明了特定图族的Schur正性，并探索了多类Schur正集合上循环下降扩张的存在性，推进了组合数学中Schur正性相关问题的研究。
2023-08-27 math.CO
Numerical semigroups, polyhedra, and posets II: locating certain families of semigroups
最近的几篇论文研究了一个有理多面体$P_m$，它的整数点与包含$m$的数值半群（上有限的，非负整数的可加闭子集）成双射.最近引入了$P_m$的面的一种组合描述，它可以从给定面所包含的数值半群的可除偏序集得到。在本文中，我们研究了$P_m$的面包含算术数值半群和那些包含某些胶合数值半群，作为第一步，更好地了解全面结构的$P_m$。在大多数情况下，这样的面只包含来自这些族的半群，产生与$P_m$几何的紧密连接。
2021-10-04 math.CO
Integer and fractional packing of families of graphs
设${\cal F}$是一个图族。对于图$G$，{ \em ${\cal F}$ - packing number }，记为$ν_{\cal F}(G)$，是$G$中${\cal F}$的成对边不相交元素的最大数目。从$G$中的${\cal F}$的元素集合到$[0,1]$的函数$ψ$是$G$的{ \em分数${\cal F}$ -包装}，如果对于每个$e \in E(G)$有$\sum_{e \in H \in {\cal F}} {ψ(H)} \leq 1$。{ \em分数${\cal F}$ -填充数}，表示为$ν^*_{\cal F}(G)$，定义为所有分数${\cal F}$ -填充$ψ$上的最大值$\sum_{H \in {{G} \choose {\cal F}}} ψ(H)$。我们的主要结果是$ν^*_{\cal F}(G)-ν_{\cal F}(G) = o(|V(G)|^2)$ .此外，在$G$中的${\cal F}$的一组$ν_{\cal F}(G) -o(|V(G)|^2)$边不相交元素可以在随机多项式时间内找到。对于特殊情况${\cal F}=\{H_0\}$，我们获得了一个显着简单的证明，最近的困难结果哈塞尔和Rödl \cite{HaRo}，$ν^*_{H_0}(G)-ν_{H_0}(G) = o(|V(G)|^2)$。
2003-07-27 math.CO
Gomory Integer Programs
整数规划的所有群松弛的集合包含某些特殊的成员，称为Gomory松弛。一类具有固定系数矩阵和成本向量但右端可变的整数规划族是Gomory族，如果族中的每个规划都可以通过其Gomory松弛之一来解。在本文中，我们刻画了Gomory族.每个TDI系统给出一个Gomory族，我们从矩阵中构造Gomory族，矩阵的列形成它们生成的锥的Hilbert基。Gomory族的存在与Sebo的代数中的希尔伯特覆盖问题有关。连接到交换代数概述在年底。
2001-06-05 math.CO math.OC
A Generalisation of a Result on Monotone Arithmetic Progressions in Permutations of the Positive Integers
该论文推广了正整数排列中避免特定单调等差数列的构造，证明对任意k≥1，存在排列避免长度为4且公差不被2^k整除的等差数列。
2024-05-25 math.CO
Maximum size intersecting families of bounded minimum positive co-degree
设$\mathcal{H}$是$r$ -一致超图.由$δ_{r-1}^+(\mathcal{H})$表示的$\mathcal{H}$的\emph{minimum positive co-degree}是最小$k$，使得如果$S$是包含在$\mathcal{H}$的超边中的$(r-1)$ -集合，则$S$至少包含在$\mathcal{H}$的$k$超边中。在$r\geq k$固定且$n$充分大的条件下，确定了具有最小正余度$δ_{r-1}^+(\mathcal{H}) \geq k$的相交$r$ -均匀$n$ -顶点超图的最大可能尺寸，并刻画了唯一达到此最大值的超图.这推广了对应于$k=1$情形的Erd \H os-Ko-Rado定理。我们的证明是基于三角洲系统的方法。
2021-03-05 math.CO
Cross-intersecting families of vectors
给定一个正整数序列$p = (p_1, . . ., p_n)$，令$S_p$表示所有正整数序列的族$x = (x_1,...,x_n)$，使得对于所有$i$有$x_i \le p_i$。两个序列（或载体）家族$A,B \subseteq S_p$被称为$r$ -交叉的，如果无论我们如何选择$x \in A$和$y \in B$，至少存在$r$不同的索引$i$，使得$x_i = y_i$。我们确定的最大值$|A|\cdot|B|$在所有对的$r$交叉相交的家庭和表征的极值对$r \ge 1$，只要$\min p_i >r+1$。$\min p_i \le r+1$的情况则完全不同。对于这种情况，我们有一个猜想，我们可以在额外的假设下验证。我们的结果推广和加强了Berge，Frankl，Füredi，Livingston，Moon，和Tokushige的一些结果，并回答了Zhang的一个问题.
2015-01-30 math.CO
Some results on ordered and unordered factorization of a positive integers
作为一个著名的计数问题，方程$m=m_1+...+m_k$的解的个数为$Π(m,k)=\sum_{i=0}^kΠ(m-k,i)$，其中$m_1\leqslant...\leqslant m_k$为正整数，而$Π$称为加性分拆函数.本文给出了所谓的乘性分拆函数$μ_1(m,k):=$的一个递推公式，即方程$m=m_1... m_k$的解的个数，其中$m_1\leqslant...\leqslant m_k$为正整数.特别地，我们用初等证明给出了$k=1,2,3,4$情形的一个显式公式。
2018-04-28 math.CO
The $(p,q)$ property in families of $d$-intervals and $d$-trees
给定整数$p\ge q>1$，一个集合族满足$(p,q)$性质，如果在它的任何$p$成员中有一些$q$相交。证明了对于任意固定的整数常数$p\ge q>1$，满足$(p,q)$性质的$d$ -区间族可以被$O(d^{\frac{q}{q-1}})$点穿透，常数只依赖于$p$和$q$ .这推广了Tardos，Kaiser和Alon对$q=2$情形的结果，以及Kaiser和Rabinovich对$p=q=\lceil log_2(d+2) \rceil$情形的结果.我们进一步表明，类似的界限，在家庭的子图的树或图的有界树宽度，每个最多$d$连接组件，扩展结果的情况下$q=2$的阿隆。最后，我们证明了满足$(p,p)$性质的$d$ -区间族中分数刺穿数的一个上界$O(d^{\frac{1}{p-1}})$，并证明了这个上界是渐近尖锐的。
2018-05-15 math.CO
Periodicity of hyperplane arrangements with integral coefficients modulo positive integers
研究了整系数模正整数$q$的中心超平面排列.我们证明了基数的补充超平面是一个拟多项式在两个方面，首先通过理论的初等因子，然后通过理论的Ehrhart拟多项式。这一结果对于确定相应实排列的特征多项式是有用的。利用前一种方法，我们还证明了除有限个$q$外，模$q$的交格都是周期的.
2007-04-02 math.CO
Supersaturation in union-closed families of sets
该数学研究证明了特定大小并族中k-链数量的极小化条件，明确了极小化族的唯一存在范围，为并族理论提供了关键结论。
2026-07-30 math.CO
A unified treatment of families of partition functions
我们提出了一个统一的框架组合的描述，和类似的渐近增长的系数的两个一般家庭的功能有关的整数分区。特别是，我们解决了几个问题，并验证了几个索赔，张贴在网上百科全书的测序序列。我们进行渐近分析，系统地应用梅林变换，残基分析，和鞍点方法。这些广义分拆函数族的组合描述涉及Young tableaux的着色，以及它们的“除数表”，用颜色集表示，颜色集的大小由除数函数控制。
2023-03-03 math.CO math.CV
Every positive integer is a sum of three palindromes
对于整数$g\ge 5$，我们证明了任何正整数都可以表示为基$g$中三个回文的和.
2017-06-17 math.CO math.NT
On the Asymptotic Formula for the Number of Plane Partitions of Positive Integers
本文讨论了大正整数平面分拆数的渐近公式。
2006-01-24 math.CO math.NT
On the construction of a family of sets of positive integers closed under taking subsets
本文构造了字母表{0,1}上的单侧无穷序列与一类在取子集运算下封闭的正整数集合族之间的显式双射及其逆映射，并利用该双射通过离散动力系统刻画了特定集合族的极值性质。
2024-12-30 math.CO math.NT
On the Erdős-Ginzburg-Ziv invariant and zero-sum Ramsey number for intersecting families
设$G$是有限阿贝尔群，且$m>0$具有$\exp(G)\mid m$ .设$s_{m}(G)$是广义Erdens-Ginzburg-Ziv不变量，它表示最小正整数$d$，使得$G$中长度为$d$的任何元素序列包含$G$中长度为$m$且和为零的子序列。对于任何整数$r>0$，令$\mathcal{I}_m^{(r)}$是所有$r$ -大小为$m$的均匀相交族的集合。设$R(\mathcal{I}_m^{(r)},G)$是最小正整数$d$，使得完全$r$ -均匀超图$K_{d}^{(r)}$的边的任何$G$ -染色都产生$\mathcal{I}_m^{(r)}$中某个相交族的零和拷贝.在其他结果中，我们主要证明了$Ω(s_{m}(G))-1\leq R (\mathcal{I}_{m}^{(r)}, \ G)\leq Ω(s_{m}(G)),$，其中$Ω(s_{m}(G))$表示最小正整数$n$，使${n-1 \choose r-1}\geq s_{m}(G)$，我们表明，如果$r\mid Ω(s_{m}(G))-1$然后$R (\mathcal{I}_{m}^{(r)}, \ G)= Ω(s_{m}(G))$。
2013-04-30 math.CO math.NT
Integral representations of equally positive integer-indexed harmonic sums at infinity
我们确定了黎曼ζ函数的一个划分论推广和无穷远处的等正整数指标调和和，得到了后者的生成函数和整表示.特殊情况与正整数参数的zeta值一致。
2017-05-09 math.CO math.NT
On the size of quotient of two subsets of positive integers
得到了区间上两个子集的质量的非平凡下估计。
2017-06-13 math.CO math.NT
On the Largest Integer that is not a Sum of Distinct Positive $n$th Powers
已知对于任意正整数\(n\)，序列\(S(x^n)=(1^n, 2^n, \ldots)\)是完备的，这意味着每个足够大的整数是正整数的不同\(n\)次幂的和。证明了每一个整数\(m\geq (b-1)2^{n-1}(r+\frac{2}{3}(b-1)(2^{2n}-1)+2(b-2))^n-2a+ab\)，其中\(a=n!2^{n^2}\)，\(b=2^{n^3}a^{n-1}\)，\(r=2^{n^2-n}a\)是正整数的不同\(n\)次幂之和.
2017-07-09 math.CO math.NT
On m-covering families of Beatty sequences with irrational moduli
我们推广了Uspensky定理，刻画了最终精确（e.e.）用齐次Beatty序列覆盖正整数，得到e.e.对于任意m个\in \N，m-覆盖由具有无理模的齐次序列覆盖.我们还考虑非齐次序列，再次与无理模，并获得一个纯粹的算术特征的e.e. m-covers。这推广了格雷厄姆在m = 1时的一个结果，但当m > 1时，算术描述更加复杂。最后，我们推测如何可能使意义的概念，一个确切的m-覆盖时，m不是一个整数，并提出了一个“分数版本”的贝蒂定理。
2010-08-13 math.CO math.NT
The probability that random positive integers are k-wise relatively prime
一个正整数的s-元组是k向互素的，如果它们中的任何k是互素的。得到了s个正整数是k-互互素的概率的精确公式。
2012-08-07 math.CO math.NT math.PR
A New Formula for The Values of Dirichlet Beta Function at Odd Positive Integers Based on The WZ Method
利用WZ理论中的有关结果，给出了Dirichlet β函数$β(s) = \sum\limits_{n = 1}^{+ \infty} {\frac{(-1)^{n - 1}}{(2n - 1)^s}} $（其中$Re(s) > 0$）在奇正整数处的值的一个新的（据我所知）公式.
2012-11-13 math.CA math.CO
Maclaurin's series expansions for positive integer powers of inverse (hyperbolic) sine and related functions, specific values of partial Bell polynomials, and two applications
本文建立了反正弦函数的正整数次幂、反双曲正弦函数的正整数次幂、不完全Γ函数与反双曲正弦函数的复合、反正切函数的正整数次幂、反双曲正切函数的正整数次幂的Maclaurin级数展开式和级数恒等式。根据第一类Stirling数和二项式系数，应用新近建立的反正弦函数的正整数幂的Maclaurin级数展开式，导出了部分Bell多项式的具体值的封闭式公式，导出了广义对数正弦函数的级数表示，并推导出了几个涉及第一类Stirling数的组合恒等式.其中一些结果简化和统一了一些已知结果。所有这些新建立的反（双曲）正弦函数和正切函数的正整数幂的麦克劳林级数展开式都可以用来导出圆周常数Pi和Pi的正整数幂的无穷级数表示。
2021-11-11 math.CO math.NT
Maximal density and the kappa values for the families $\{a,a+1,2a+1,n\}$ and $\{a,a+1,2a+1,3a+1,n\}$
设$M$是一组正整数。研究了$M$中元素相差不超过一个元素的非负整数$S$的集合的最大密度$μ(M)$. 1973年，Cantor和Gordon为$|M|\leq 2$建立了$μ(M)$的公式。此后，许多研究者对这个问题进行了研究，得到了$|M|\geq 3$情形下的一些部分结果，包括$M$是无限集情形下的一些结果。本文研究了$M=\{a,a+1,2a+1,n\}$族和$M=\{a,a+1,2a+1,3a+1,n\}$族的最大密度问题，其中$a$和$n$是正整数.在大多数情况下，我们找到参数\textit{kappa}的界限，用$κ(M)$表示，它实际上是$μ(M)$的下限。参数$κ(M)$由于与丢番图近似中的“孤独奔跑者猜想”以及图论中的“循环染色”和“分数染色”等染色参数有着密切的联系，已经得到了广泛的重视。
2022-04-10 math.CO math.NT
Pairwise Relative Primality of Positive Integers
给定一个图$G=(V,E)$与$V=\{1,2,...,k\}$，$k$正整数$a_1,a_2, ...,a_k$是$G$ -式互质的，如果$(a_i, a_j)=1$对于$\{i,j\} \in E$ .本文考虑了求k个正整数是$G$ -式互质的概率$A_G$的问题.作为结果的应用，我们解决了P. Moree提出的k个正整数有（或至少）r个互素对的概率问题.
2014-06-12 math.CO math.NT math.PR
Positive integer solutions to $(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2=12xyz$
本文给出了一种描述丢番图方程$(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2=12xyz$的正整数解的特殊方法，并在此基础上引入了一种广义的聚类模式。
2022-09-17 math.CO math.NT
On the Asymptotic Density of $k$-tuples of Positive Integers Satisfying Arbitrary GCD Conditions
本文研究满足任意gcd条件的正整数k元组的渐近计数问题，通过建立存在性条件并利用多变量狄利克雷级数导出渐近公式，推广了Tóth关于两两条件的结果。
2025-05-08 math.CO math.NT
Confluent Parry numbers, their spectra, and integers in positive- and negative-base number systems
本文研究了Rényi和Ito & Sadahiro分别提出的实数在正实基和负实基上的展开式。特别是，我们比较了集$\mathbb{Z}_β^+$和$\mathbb{Z}_{-β}$的非负$β$ -整数和$(-β)$ -整数。我们描述了所有的基地$(\pmβ)$的$\mathbb{Z}_β^+$和$\mathbb{Z}_{-β}$可以编码的无限字是共轭态射的不动点，因此有相同的语言。此外，我们证明，这正是$β$的另一个有趣的属性，即任何整数线性组合的非负功率的基础$-β$系数在$\{0,1,\dots,\lfloorβ\rfloor\}$是一个$(-β)$ -整数，虽然相应的数字序列是禁止作为一个$(-β)$ -整数。
2014-02-18 cs.DM math.CO
Sets of recurrence as bases for the positive integers
我们研究各种实值多项式$p$和衰减率$\varepsilon$的形式$A = \big\{ n \in \mathbb N \big| \lVert p(n) \rVert_{\mathbb R / \mathbb Z} \leq \varepsilon(n) \big\}$的集合。特别是，我们问，当这样的集合是基地的有限阶的正整数。我们表明，一般来说，$A$是一个基础的顺序$2$时，$\operatorname{deg} p \geq 3$，但不是当$\operatorname{deg} p = 2$，虽然然后$A + A$仍然有渐近密度$1$。
2018-07-19 math.CO math.NT
On a Conjecture about the Number of Solutions to Linear Diophantine Equations with a Positive Integer Parameter
设A（n）是一个$k\times s$矩阵，$m(n)$是一个$k$维向量，其中A（n）和$m(n)$的所有元素都是$n$中的整数值多项式。假设对于每个$n\in \mathbb{N}$，$$t(m(n)|A(n))=#\{x\in\mathbb{Z}_{+}^{s}\mid A(n)x=m(n)\}$$是有限的，其中$Z_+$是非负整数的集合。本文证明了当$n$充分大时，$t(m(n)|A(n))$是$n$中的整值拟多项式，并在几种情况下证明了这一猜想.
2007-09-30 math.CO math.NT
An inverse theorem for sumsets of sets of positive density in the integers
本文研究了正密度集合A,B满足d(A+B)=d(A)+d(B)的条件，给出了Kneser和集不等式的新反推定理，并回答了Erdős和Graham的长期问题。
2026-04-14 math.CO math.DS math.NT
On two families of Nekrasov-Okounkov type formulas
Institute for Math and AI, Wuhan University（武汉大学数学与人工智能研究中心）
本文利用拓扑顶点的真空期望值公式及其旋转对称性，推导出依赖于$2N+1$个参数的两类Nekrasov-Okounkov型公式。
2026-05-28 hep-th math-ph math.CO
