Khovanov homology and the slice genus
Jacob A. Rasmussen
我们使用李的Khovanov同调的工作来定义一个结不变量。我们证明了s（K）是一个协调不变量，它为K的切片亏格提供了一个下界.作为推论，我们给出了Milnor猜想的一个纯组合证明。
We use Lee's work on the Khovanov homology to define a knot invariant s. We show that s(K) is a concordance invariant and that it provides a lower bound for the slice genus of K. As a corollary, we give a purely combinatorial proof of the Milnor conjecture.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Khovanov homology and roll-spun slice disks
研究霍万诺夫同调对卷旋切片圆盘的区分能力，通过与莫尔斯1-柄合成进行研究，发现其无法区分特定的两种切片圆盘。
A slice genus lower bound from sl(n) Khovanov-Rozansky homology
我们证明，扰动sl（n）Khovanov-Rozansky链接同调的定义给出了结的切片亏格的下界。作为一个推论，这产生另一个证明米尔诺猜想片属的环面结。
Genus two mutant knots with the same dimension in knot Floer and Khovanov homologies
我们展示了一个无限族的同构纽结Heegaard弗洛尔同调。在这个无限的家庭中的每一个结承认一个非平凡的亏格两个突变体，共享相同的总尺寸在两个结弗洛尔同调和Khovanov同源。每一个纽结通过纽结的弗洛尔同调和Khovanov同调作为双阶群与其属的两个突变体区分开来。此外，对于纽结Heegaard弗洛尔同调性和Khovanov同源性，两种突变互换了$δ$分级$k$和$-k$中的组.
Khovanov-Lipshitz-Sarkar homotopy type for links in thickened higher genus surfaces
我们讨论加厚曲面中的链接。定义了亏格为$>1$的加厚曲面中链的Khovanov同调的Khovanov-Lipshitz-Sarkar稳定同伦型和Steenrod平方.除非另有说明，否则表面是指封闭的定向表面。当然，曲面可以是也可以不是球面。加厚曲面是指曲面与区间的乘积流形。在一个加厚曲面（或称3-流形）中的一个链环是指一个加厚曲面（或称3-流形）的一个子流形，它与一个不相交的圆的集合同构。我们的Khovanov-Lipshitz-Sarkar稳定同伦型和我们的Steenrod平方的加厚曲面与亏格$>1$的链接是强于同伦Khovanov同源加厚曲面与亏格$>1$。这是第一个有意义的Khovanov-Lipshitz-Sarkar稳定同伦类型的链接在3-流形以外的3-球。我们指出，我们的理论有不同的特点，在环面的情况下。
Extremal Khovanov homology of Turaev genus one links
一个链环的Turaev亏格可以被认为是衡量一个链环的非交替程度的一种方法。一个链环是Turaev亏格零当且仅当它是交替的，在这个观点中，具有大Turaev亏格的链环是非常非交替的。本文研究了Turaev亏格1环，这是一类包含几乎交错环的环。证明了Turaev亏格单环的Khovanov同调在至少一个极值量子分次上同构于$\mathbb{Z}$.作为应用，我们计算或近似计算了Turaev亏格单链环的最大Thurston-Bennequin数。
Khovanov homology of strongly invertible knots and their quotients
本文通过构造联系强可逆纽结与其商纽结的谱序列，重新证明Khovanov同调可区分某些切片圆盘，并给出分支二重覆盖的Heegaard Floer同调类比结果。
Near extremal Khovanov homology of Turaev genus one links
本文研究 Turaev 亏格一链环在 Khovanov 同调非平凡的前后两个多项式分次中的结构，证明其中一个特定直和项平凡，并由此计算 Rasmussen s 不变量并给出光滑四亏格上界。
Relative Khovanov-Jacobsson classes
对于$4$ -球中的光滑、紧致、有向、适当嵌入的曲面，我们从其边界链的Khovanov同调定义了其保边界合痕类的一个不变量。以前的工作表明，当边界链接是空的，这个不变量是由曲面的亏格。我们表明，这种相对不变式：可以阻碍sliceness的结;检测一对切片$9_{46}$ ;不妨碍检测连接和打结$2$ -领域。
Involutive Khovanov homology and equivariant knots II
本文将对合Khovanov同调框架推广到对合缠结，实现了相关同调与不变量的分治加速计算，并得到存在奇异切片圆盘对的强可逆纽结新例子。
New Quantum Obstructions to Sliceness
众所周知，用于定义Khovanov上同调的复Frobenius代数的一般扰动每个都会引起Rasmussen的和谐不变量s。这给出了一个和谐的同态的整数和一个强的下界光滑片亏格的一个结。在sl（n）Khovanov-Rozansky上同调中也观察到了类似的行为，其中对于每个n>= 2，扰动产生协调同态s_n，并且其中我们有s_2 = s。我们证明了s_n（n>= 3）实际上不是一般地产生的，并且改变所选的扰动既产生新的协调同态，也产生新的不等价于协调同态的无slicensess障碍。
Khovanov homology and equivariant surfaces
本文通过精细化 Bar-Natan 同调构造新数值不变量，证明强可逆纽结的等变切片亏格与同痕等变切片亏格之差可任意大。
Doubled Khovanov Homology
我们定义了一个同调论的虚拟链接建立了直和的标准Khovanov复杂的本身，激励的名称加倍Khovanov同源。我们证明，它可以用来表明，一些虚拟的链接是非经典的，它会产生一个条件的虚拟结是两个unknots的连接和。此外，我们证明了双Khovanov同调具有类似于李在经典情况下定义的扰动，并定义了一个双Rasmussen不变量。这个不变量用于获得各种配边障碍;特别是它是对sliceness的障碍。最后，我们证明了双Rasmussen不变量包含了一个虚拟纽结的奇扭，并利用这一点来证明具有非零奇扭的纽结不是切片的。
The Khovanov homology of alternating virtual links
本文研究了交替虚链$L$的Khovanov同调，证明了它在$g+2$对角线上的支撑，其中$g$等于$L$的虚亏格.具体来说，我们表明，$Kh^{i,j}(L)$支持$j=2i-σ_ξ+2k-1$行$0\leq k\leq g+1$其中$σ_{ξ^*}(L)+2g= σ_ξ(L)$是签名的$L$的棋盘着色$ξ$和它的双$ξ^*$。当然，对于经典链路，两个签名是相等的，并且这恢复了Lee对于$Kh^{*,*}(L)$的$H$ -稀疏性结果。我们的结果适用于更一般地给一个上界的同源宽度的Khovanov同源的任何棋盘虚拟链接$L$。该界是根据$L$的交替亏格给出的，它可以被看作是Turaev亏格的虚拟模拟。证明依赖于关联，任何棋盘可着色链接$L$，交替虚拟链接图具有相同的霍瓦诺夫同源性作为$L$。在这个过程中，我们研究了签名不变量在垂直和水平镜像对称下的行为。我们还计算了Khovanov同调和Rasmussen不变量在许多情况下，并应用它们来显示非sliceness和确定几个虚拟节点的切片属。本文末尾的表6列出了多达六个交叉点的交替虚拟结的签名、Khovanov多项式和Rasmussen不变量。
Concordance invariants from the $E(-1)$ spectral sequence on Khovanov homology
我们构建的和谐不变量来自$E(-1)$谱序列Khovanov同调以同样的方式Rasmussen的$s$不变量来自李谱序列，并表明，它给一个绑定的nonorientable片属。
Behavior of knot invariants under genus 2 mutation
亏格2变异是沿着嵌入的闭亏格2曲面切割3-流形，通过超椭圆对合扭曲，然后粘回的过程。本文比较了亏格2突变与著名的Conway突变在结的上下文中的3球。尽管任何Conway突变都可以通过最多两个属2突变的序列来实现，但由属2突变保留的不变量是由Conway突变保留的不变量的真子集。特别是，虽然亚历山大和琼斯多项式被保存的属2突变，HOMFLY-PT多项式不是。在sl_2-Khovanov同源性的情况下，这可能是或可能不是不变的Conway突变，我们给出了一个例子，其中属2突变改变这种同源性。最后，使用这些技术，我们展示的例子结相同的有色琼斯多项式，HOMFLY-PT多项式，考夫曼多项式，签名和体积，但不同的Khovanov同源性。
Khovanov-Lipshitz-Sarkar homotopy type for links in thickened surfaces
本文在先前高亏格曲面研究的基础上，定义了增厚环面中链环同伦Khovanov同调的Khovanov-Lipshitz-Sarkar稳定同伦型。
A family of concordance homomorphisms from Khovanov homology
通过考虑一个版本的Khovanov同调纳入李和$E(-1)$的差异，我们构建了一个$1$ -参数家庭的和谐同态类似的Upperdance不变量从结弗洛尔同调。这个不变量给出了切片亏格的下界，并且可以用来证明某些椒盐卷饼结的无限族在光滑和谐群中是线性无关的。
Slice genus bound in $DTS^2$ from $s$-invariant
本文证明了 Manolescu-Willis 关于 $\mathbb{RP}^3$ 中纽结的 $s$-不变量给出 $TS^2$ 单位圆盘丛中零同调切片亏格下界的猜想，并推广到非零同调情形，在特殊情形下给出证明。
An action of the Witt algebra on Khovanov-Rozansky homology
本文构造了 Witt 代数正部分在 Khovanov-Rozansky gl_N 链环同调上的作用，并证明链环配边诱导同调的扭转之间的等变映射，同时将简单网的状态空间等同于多项式上的标准 Witt 代数表示，由此推导出与 Lee 同调和亏格界的简单关系。
Knot cobordism and Lee's perturbation of Khovanov homology
对于S3中两个纽结K1，K2之间的连通配边S，我们建立了一个包含局部极大值个数、S的亏格以及Kht（K1），Kht（K2）的挠阶的不等式，其中Kht表示Khovanov同调的Lee扰动.这表明挠序给出了带解数的下界。
Additional Gradings in Khovanov Homology
本文的主要目标是通过在Khovanov复形上增加新的分次来构造具有附加结构的纽结的新的不变量。下面给出的想法适用于虚拟结、闭合编织物和具有附加结构的结的一些其他情况。我们的额外分级的来源可能是拓扑的或组合的，它是公理化的许多部分情况下。作为副产品，这导致了一个复杂的，在某些情况下，符合（分级重正化）与通常的Khovanov复杂，并在其他一些情况下与李-拉斯穆森复杂。我们将要构造的分级对于Khovanov同调的一些概括表现良好，例如，Frobenius扩展。这些新的同调论给一些结的特点，如最小交叉数，原子属，切片属等，我们的分级产生一个自然的过滤通常的Khovanov复杂的估计。存在一个谱序列，从我们的同调开始，收敛到通常的Khovanov同调。
A lower bound for the double slice genus
本文利用Casson-Gordon不变量给出了纽结双切片亏格的一个下界。作为一个应用，我们证明了双切片亏格可以任意大于切片亏格的两倍。作为对双片亏格的一种类似，我们也定义了纽结的超片亏格，并给出了拓扑范畴的上界和下界。
Band Number and the Double Slice Genus
研究了纽结的双重切片亏格，它是切片亏格的自然推广。定义了带数，它是带解结数的自然推广，并证明了它是双片亏格的一个上界。我们的界是基于破面图和嵌入性质的3-流形在4-流形的分析。
Simplified Khovanov-Rozansky Chain Complexes of Open 2-braids
受Krasner [arXiv：0801.4018]和Lobb [arXiv：1103.1412]工作的启发，我们简化了开2-辫子的Khovanov-Rozansky链复形.作为一个应用，我们表明，对于一个结包含一个“长”2-辫子，SL（N）拉斯穆森不变量这个结线性依赖于这个2-辫子的长度。我们改进了（2，2k+1）索结的结果，作为一个简单的推论，计算了（2，2k+1）条索和双螺旋索结的sl（2）Rasmussen不变量.
Khovanov homology and exotic $4$-manifolds
通过Khovanov-Rozansky gl_2 skein lasagna模区分怪异结迹，首次证明了怪异紧致定向4维流形的存在，并提出了无法通过规范/弗洛尔理论方法恢复的怪异结迹家族。
Equivariant Double-Slice Genus, Stabilization, and Equivariant Stabilization
本文研究了强可逆结的等变双切环面和超切环面，通过下界证明发现了一类具有特定性质的结，并探讨了其在稳定化距离中的应用。
A lower bound for the doubly slice genus from signatures
3-球面中纽结的双切片亏格是4-球面中纽结以横截面形式出现的无纽结可定向曲面中的最小亏格。利用纽结的经典签名函数给出了双片亏格的一个新的下界。我们结合这与一个上界，由于C。McDonald证明了对每一个非负整数$N$，存在一个纽结，其中切片亏格与双切片亏格之差正好是$N$，改进了W.他说这个差别可以是任意大的。
Virtual knot cobordism and bounding the slice genus
在本文中，我们计算了许多低交叉虚拟节点的切片亏格。例如，我们表明，1295的92800个虚拟节点与6个或更少的交叉切片，其余的，但248不是切片。这些结果的关键是计算Turaev的分级属，我们显示扩展到给一个不变的虚拟结和谐。分级属是非常有效的切片障碍，我们开发了一种算法，适用于虚拟unknotting操作，以确定切片属的许多虚拟节点与6个或更少的交叉。
A note on the topological slice genus of satellite knots
本文提出的证据支持令人惊讶的猜想，在拓扑范畴的切片属的卫星结$P(K)$是有界以上的总和的切片属的$K$和$P(U)$。我们的主要结果建立了这个猜想的一个变种的拓扑片属，$\mathbb{Z}$ -片属。作为应用，我们证明了任意3亏格1纽结（如8字形纽结或三叶形纽结）的$(n,1)$ -cable的拓扑切片亏格至多为1。此外，我们表明，下界的切片亏格来自Tristram-Levine和Casson-Gordon签名不能用来反驳猜想。值得注意的是，所确定的上界不涉及图案$P$的代数卷绕数。这与光滑范畴形成鲜明对比，例如，有许多亏格为1的结，其$(n,1)$ -电缆具有任意大的光滑4-亏格。
On the concordance genus of topologically slice knots
纽结K的协调亏格是光滑协调于K的所有纽结的最小Seifert亏格。协调亏格的下界是4球亏格，上界是塞弗特亏格。我们给出了K的协调亏格的一个下界，它来自于K的纽结Floer复形.作为应用，我们证明了存在4球亏格等于1且任意大的协调亏格的拓扑切片纽结。
A family of non-split topologically slice links with arbitrarily large smooth slice genus
我们构造了一个无限族拓扑切片2-分量边界链$\ell_i$，其中没有一个是光滑协调的分裂链接，使$g_4(\ell_i)=i$。
Crossing change on Khovanov homology and a categorified Vassiliev skein relation
Khovanov同调是Jones多项式的一个分类，因此它可以被看作是一种纽结和链环的量子不变量。虽然多项式量子不变量与瓦西里耶夫（又名。有限型）不变量，在Khovanov同调的情况下，这种关系仍然不清楚。针对这一问题，本文讨论了Khovanov同调上Vassiliev skein关系的一个范畴化形式。更确切地说，我们将表明，“genus-one”操作引起的交叉变化的Khovanov复合物。Reidemeister移动下的不变性证明了，它使我们能够将Khovanov同调扩展到奇异链接。然后，我们看到，一个长的确切序列的Khovanov同调群归类Vassiliev绞关系的琼斯多项式。特别是，琼斯多项式恢复，即使是奇异的链接。此外，我们还讨论了Khovanov同调的FI关系。
On Khovanov Homology and Related Invariants
本文首先综述了Khovanov同调在低维拓扑中的一些应用，并着眼于将这些结果推广到$\mathfrak{sl}(n)$同调。我们将Levine和Zemke的带状一致性阻塞从Khovanov同源性扩展到$n \geq 2$的$\mathfrak{sl}(n)$同源性，包括通用的$\mathfrak{sl}(2)$和$\mathfrak{sl}(3)$同调论。受Alishahi和Dowlin的Khovanov同调解纽结数的界的启发，并依赖于谱序列参数，我们给出了纽结的交替数的界。Lee和Bar-Natan谱序列也提供了Turaev亏格的下界。
On the slice genus of links
定义了链环的Casson-Gordon σ-不变量，并给出了链环的切片亏格的一个下界.作为一个例子，我们研究了一个家庭的两个组成部分的链接属h，并表明，他们的切片属是h，而Murasugi-Tristram不等式并不妨碍这个链接从边界的4球环。
New Heegaard Floer slice genus and clasp number bounds
我们使用结弗洛尔同调定义了几个一致性不变量，这些不变量对Heegaard弗洛尔同调中已知的切片亏格和卡环数界进行了改进。我们还证明了Hendricks和Manolescu的对合修正项给出了切片亏格和卡环数界。
On the slice genus and some concordance invariants of links
我们引入了一类新的链接，我们给出了一个下界的片属$g_*$，使用广义Rasmussen不变。我们表明，这个界限，在某些情况下，允许一个计算$g_*$准确，特别是，我们计算$g_*$环面链接。我们还研究了另一个链接不变量：强切片亏格$g_*^*$。研究了Lee同调中一种特殊类型的协边的行为，给出了$g_*^*$的下界.
Shake genus and slice genus
高维光滑流形与光滑四维流形的一个重要区别是，在四维流形中并不总是可以用光滑嵌入球面来表示每一个中维同调类。即使在最简单的四维流形中也是如此：$X_0(K)$是通过将一个$0$框架的2-手柄沿着$S^3$中的一个结$K$连接到4-球上而得到的。$K$的$0$ -shake亏格记录了所有光滑嵌入曲面中的最小亏格，表示$X_0(K)$的第二同源生成元，并且上面清楚地被$K$的切片亏格所限制。我们证明了切片亏格不是$X_0(K)$的不变量，从而提供了无穷多个$0$ -shake亏格严格小于切片亏格的纽结的例子.这解决了[Kir 97]的问题1.41。作为推论，我们表明，Rasmussen的$s$不变量是不是一个$0$ -跟踪不变量，我们给出的例子，通过卫星操作，双射映射的光滑和谐组固定的身份，但不保留片属。这些推论解决了文献[4 MKC 16]中的一些问题。
Slice genus, $T$-genus and $4$-dimensional clasp number
本文推广了切片结的$T$-亏格刻画，为切片亏格提供了$3$维刻画，证明$T$-亏格控制$4$维正交叉数，引入带状$T$-亏格并探讨其与切片结、带状结及着色链环的关联。
The degree of the Alexander polynomial is an upper bound for the topological slice genus
我们使用著名的结理论的弗里德曼的圆盘定理的结论-平凡的亚历山大多项式的结限制在4-球的局部平坦的圆盘-证明以下推广。纽结的Alexander多项式的次数是其拓扑片亏格的两倍的上界。我们提供的例子结，这决定了拓扑片属。
Local Knots, $ν^+$-Sharp Knots, and Rational Slice Genus
本文研究了局部结和ν⁺-尖结的性质，证明了这些结在有理同调3-球体中切 genus 等于原结的切 genus，利用Heegaard Floer不变量ν⁺得出相关结论。
Categorification of the colored Jones polynomial and Rasmussen invariant of links
我们定义了一个家庭的正式Khovanov括号的彩色链接取决于两个参数。这些括号的同构类是有框有色链接的不变量。Bar-Natan函子应用于这些括号产生Khovanov和李同调论分类有色琼斯多项式。此外，我们研究的条件下，框架彩色链接配边诱导链转换我们的正式括号。我们猜想，对于特殊的参数选择，Khovanov和李同调论的有色链接是函子（最多的符号）。最后，我们将Rasmussen不变量扩展到链接并给出例子，其中该不变量是比多变量Levine-Tristram签名更强的sliceness障碍。
Slice obstructions from genus bounds in definite 4-manifolds
本文讨论了由光滑嵌入曲面上的极小亏格界引起的纽结光滑切片的一个障碍。作为一个例子，我们提供了一个替代的证明，事实上，（2，1）-电缆的8字结是不光滑切片，如戴-康-马利克-公园-斯托夫雷根在2022年。我们的论点的主要技术输入包括规范理论的障碍，光滑的小亏格表面表示某些同源类在$\mathbb{CP}^2\#\mathbb{CP}^2$证明布赖恩在20世纪90年代。
Obstructing Reducible Surgeries: Slice Genus and Thickness Bounds
本文研究了$S^3$中结的可复性手术。我们发展的厚度界限的L-空间结，承认可减少的手术，和下界上的切片属一般结，承认可减少的手术。L-空间节点厚度界限允许我们完成对细节点的布线猜想的验证，该猜想主要在\cite{DeY21b}中进行。我们还提供了一个新的上界减少斜率纤维，双曲线切片节和多个减少斜率切片节。我们的技巧涉及$d$ -不变量和Heegaard弗洛尔同调的映射锥公式。
Involutive Khovanov homology and equivariant knots
本文提出了一种involutive Khovanov同调，用于研究强不可约结的exotic slice disks性质，并重新证明了Hayden的无限族结J_n的exotic性。
On classical upper bounds for slice genera
我们引入了一个新的链接不变量称为代数亏格，它给出了一个上界的拓扑切片亏格的链接。事实上，代数亏格是这里提出的另一种切片亏格的上界：四球中曲面的最小曲面的亏格，其补具有无限循环基本群。我们的特征代数属在三个空间的配边，并探讨其他结不变量相关的塞弗特形式，Blanchfield形式，结属和unknotting的连接。利用Casson-Gordon不变量，讨论了由Seifert矩阵的S-等价类确定的拓扑片亏格的最优上界的候选代数亏格.
Higher-order Analogues of the Slice Genus of a Knot
对于某些类别的结，我们定义几何不变量称为高阶属。这些不变量中的每一个都是纽结的切片亏格的细化。我们发现下界的高阶属在某些冯诺依曼$ρ$ -不变量，我们称之为高阶签名。高阶属提供了一个完善的Grope过滤的结一致性组。
Khovanov concordance minima and the (4,5) torus knot
研究了 (4,5) 螺旋结的 Khovanov homology 在 concordance 类中的性质，证明其为该类中任意结的 Khovanov homology 的 summand。
Khovanov Homology in Connected Sums, Properties and Applications
本文扩展Khovanov-Lee同调至特定三维流形中的链环，构造Rasmussen型不变量，并证明其与四维流形中曲面亏格的不等式关系。
Correction terms and the non-orientable slice genus
通过对$S^3$中的纽结$K$进行负运算，得到了不可定向切片亏格$γ_4(K)$的签名$σ(K)$和协调不变量$V_i(\overline{K})$的下界，该下界加强了Batson给出的下界，并且与Ozsváth-Stipsicz-Szabó的L-空间纽结和拟交错纽结的$\upsilon$不变量的下界一致.我们的界的一个奇怪的特征是超可加性，这意味着，例如，在稳定的不可定向亏格上的界有时比在$γ_4(K)$上的界更好。
On surgery curves for genus one slice knots
若纽结K是三维球面中亏格为1的Seifert曲面F的边界，且F包含诱导框架为0的本质简单闭曲线α且是光滑切片的，则K是光滑切片的.从推测上讲，相反的情况也成立。已知如果K是切片，则在这样的alpha的代数和谐类上存在强约束，并且认为这些约束可能暗示alpha至少是代数切片。我们提出了一个反例，在这个过程中，我们回答否定的问题库珀和相关的结果考夫曼的问题。本文的结果依赖于K的Casson-Gordon不变量和α的代数不变式之间的相互作用。
Null-homologous twisting and the algebraic genus
纽结的代数亏格是一个不变量，当人们考虑来自弗里德曼定理的拓扑切片亏格的上界时，它就出现了，弗里德曼定理认为一个纽结的亚历山大多项式是拓扑切片的。本文发展了零同调扭曲运算作为研究代数亏格的工具，并由此界定了上述拓扑切片亏格。作为应用，我们给出了环面纽结和卫星纽结的代数亏格的新的上界。
On the slice genus of generalized algebraic knots
本文通过构造代数切片但四亏格为二的代数纽结线性组合，推广了Hedden–Kirk–Livingston的迭代环面纽结例子，并利用Casson–Gordon不变量与缆绳公式给出亏格下界。
A note on realizing triples of slice, concordance and Seifert genera
该研究证实Kearney的猜想，即满足1≤a≤b≤c的任意整数三元组(a,b,c)都可作为纽结的光滑切片亏格、光滑配边亏格与Seifert亏格实现。
Strongly invertible knots, equivariant slice genera, and an equivariant algebraic concordance group
利用Blanchfield形式得到了强可逆纽结的等变片亏格的一个下界。对于我们的主要应用，设$K$是一个亏格为一的强可逆切片纽结，其具有非平凡的Alexander多项式。证明了等变连通和$\#^n K$的等变片亏格至少为$n/4$ .我们还构造了一个等变代数和谐群，并证明了到经典代数和谐群的遗忘映射的核是无限秩的。
The twisting number of a ribbon knot is bounded below by its doubly slice genus
该研究证明带状纽结的扭转数以双重切片亏格为下界，构造出扭转数任意高的带状纽结解决Tanaka的问题，并确定了部分12交叉纽结的未知双重切片亏格。
On definite lattices bounded by integer surgeries along knots with slice genus at most 2
本文分类了以右手三叶结及切片亏格至多2的纽结整数手术为边界的正定交形式，借助Yang--Mills瞬子规范理论与Heegaard Floer修正项完成证明。
Every genus one algebraically slice knot is 1-solvable
Cochran，Orr和Teichner开发了一种由半整数索引的结一致性群的过滤，称为可解过滤。其术语用$\mathcal{F}_n$表示。已经表明，$\mathcal{F}_n/\mathcal{F}_{n.5}$是$n\ge 0$的一个非常大的群。对于链接设置的推广，第三作者证明了$\mathcal{F}_{n.5}/\mathcal{F}_{n+1}$是非平凡的。在本文中，我们提供的证据，为结$\mathcal{F}_{0.5}=\mathcal{F}_1$。特别地，我们证明了每个亏格1代数切片纽结是1-可解的。
A refinement of Rasmussen's s-invariant
在以前的论文中，我们构建了Khovanov同调的谱级精化。这种改进诱导稳定的上同调运算Khovanov同调。本文证明了这些上同调运算与Khovanov同调上的协边映射可换。因此，我们得到了细化的Rasmussen的切片属界的每个稳定的上同调运算。我们证明，在Steenrod平方SQ ^2的情况下，我们的加细严格强于s。
Khovanov Homology, Lee Homology and a Rasmussen Invariant for Virtual Knots
本文包含了一个基本上自足的治疗Khovanov同调，Khovanov-Lee同调以及Rasmussen不变量的虚拟结和虚拟结配边，直接适用于经典的结和经典的结配边。要做到这一点，我们给出了一个替代配方的Manturov定义的Khovanov同调的虚拟结和链接与任意系数。这种方法使用纽结图上的切割轨迹来诱导Frobenius代数中的共轭算子。然后，我们讨论的影响，在上述理论的通用Frobenius代数的虚拟节点诱导的地图。接下来，我们将展示如何应用Karoubi包络的方法Bar-Natan和莫里森抽象的链接图与横截构建规范的Khovanov-李同源发电机。使用这些典型的发电机，我们推导出一个推广的Rasmussen不变量的虚拟结配边，并进一步推广Rasmussen的结果切片属正结的情况下，积极的虚拟结。还应该注意的是，这种推广的拉斯穆森不变量提供了一个很容易计算的障碍，在$S_g \times I \times I$的纽结配边在Turaev的意义。
On calculating the slice genera of 11- and 12-crossing knots
本文通过计算机搜索亏格一协边、代数亏格、Seifert形式新阻碍及Donaldson对角化定理，确定了绝大多数11和12交叉纽结的切片亏格，仅剩少数情况未知。
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