Surface homeomorphisms with zero dimensional singular set
Christian Bonatti, Boris Kolev
证明了若f是可定向曲面M的保向同胚，且其奇异集是全不连通的，则f拓扑共轭于保角变换.
We prove that if f is an orientation-preserving homeomorphism of a closed orientable surface M whose singular set is totally disconnected, then f is topologically conjugate to a conformal transformation.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
We show that the stationary measure for some random systems of two piecewise affine homeomorphisms of the interval is singular, verifying partially a conjecture by Alsedà and Misiurewicz and contributing to a question of Navas on the absolute continuity of stationary measures, considered in the setup of semigroups of piecewise affine circle homeomorphisms. We focus on the case of resonant boundary derivatives.
Almost continuous orbit equivalence for non-singular homeomorphisms
令$X$和$Y$是波兰空间，具有非原子Borel测度$μ$和$ν$的完全支持。设$T$和$S$是$(X,μ)$和$(Y,ν)$的遍历非奇异同胚，且具有连续Radon-Nikodym导数.假设它们要么都是$III_1$类型，要么都是$III_λ$、$0<λ<1$类型，在$III_λ$的情况下，还假设两个“拓扑渐近值域”（在文章中定义）都是$\logλ\cdot\Bbb Z$。则存在全测度的不变稠密$G_δ$ -子集$X'\subset X$和$Y'\subset Y$以及一个非奇异同胚$ϕ: X' \to Y'$，它是$T|_{X'}$和$S|_{Y'}$之间的轨道等价，即对所有$x \in X'$都有$ϕ\{T^{i}x\} = \{S^{i}x\}$.此外，Radon-Nikodym导数$dν\circϕ/dμ$在$X'$上是连续的，并且令$S' = ϕ^{-1}S ϕ$，我们有$Tx= {S'}^{n(x)}x$和$S' = T^{m(x)}x$，其中$n$和$m$在$X'$上是连续的。
On zero entropy homeomorphisms of the pseudo-arc
本文研究逆极限为伪弧的零熵弯曲区间映射，构造了多类不可数且两两不共轭的映射，并刻画了其相对恒等对角线的位置。
Singular Suspension Flows and Infinite Topological Entropy
该研究构造具有无限拓扑熵的同胚稠密集合，其伪奇异悬浮流有有限熵，证明同胚剩余集的伪奇异悬浮流保持正熵，还证对于\(n \geq 2\)的紧致\(n\)维流形存在相关极小同胚及零熵伪奇异悬浮流，揭示熵无限性在奇异重参数化下的脆弱性。
Continuum-wise hyperbolicity is exactly the pseudo-Anosov dynamics with spine singularities
证明曲面同胚是cw_F-双曲的当且仅当它是奇点仅为脊柱（1-叉）的伪阿诺索夫同胚，并分类至拓扑共轭：要么共轭于环面上的阿诺索夫自同构，要么共轭于球面上的标准超椭圆商。
Singular measures of circle homeomorphisms with two break points
设$T_{f}$是具有两个断点$a_{b},c_{b}$和无理旋转数$\varrho_{f}$的圆同胚.设其提升$f$的导数$Df$在集合$S^{1}\backslash\{a_{b},c_{b}\}$的每一个连通区间上绝对连续，$DlogDf \in L^{1}$与$ Df $在断点处的跳跃比的乘积非平凡，即$\frac{Df_{-}(a_{b})}{Df_{+}(a_{b})}\frac{Df_{-}(c_{b})}{Df_{+}(c_{b})}\neq1$ .证明了唯一的$T_{f}$不变概率测度$μ_{f}$关于$S^{1}$上的Lebesgue测度$l$是奇异的.
It is known that Iterated Function Systems generated by orientation preserving homeomorphisms of the unit interval admit a unique invariant measure on $(0,1)$. The setup for this result is the positivity of Lyapunov exponents at both fixed points and the minimality of the induced action. With the additional requirement of continuous differentiability of maps on a fixed neighborhood of $\{0,1\}$, we present a metric in the space of such systems, which renders it complete. Using then a classical argument (and an alternative uniqueness proof), we show that almost singular invariant measures are a…
Nonrigidity for circle homeomorphisms with several break points
设$f$和$g$是圆$S^{1}$的具有断点奇点的两类$P$-同胚.假设导数$\textrm{Df}$和$\textrm{Dg}$分别在$\textrm{Df}$和$\textrm{Dg}$的每个连续区间上绝对连续。用$C(f)$表示$f$的断点集。对于$c\in S^{1}$，用$π_{s, O_{f}(c)}(f)$表示$f-$在$c$的$f-$轨道上的断点处跳跃的乘积，用$\textrm{SO}(f) = \{O_{f}(c):~c \in C(f)~\textrm{and}~π_{s, O_{f}(c)}(f)\neq 1\}$表示，称为奇异$f$-轨道的集合。如果存在拓扑共轭$h$使得$h(\textrm{SO}(f))=\textrm{SO}(g)~~ \textrm{and} ~~ π_{s, O_{g}(h(c))}(g) = π_{s, O_{f}(c)}(f) ~~ \textrm{for all}~~ c\in \textrm{SO}(f)$，则称$f$和$g$是断点等价的。假设$f$和$g$具有相同的有界型无理旋转数。证明了若$f$与$g$不是间断等价的，则$f$与$g$之间的拓扑共轭$h$是奇异函数，即它是$S^{1}$上的连续函数，但$\textrm{Dh}(x)=0$也是奇异函数.关于勒贝格测度因此，如果对于某个点$d\in \textrm{SO}(f…
On the Hausdorff dimension of invariant measures of piecewise smooth circle homeomorphisms
本文证明具有无理旋转数和零平均非线性的充分正则分段光滑圆同胚的唯一不变测度通常具有零Hausdorff维数，并借助广义区间交换变换的组合旋转数概念编码该一般性条件。
Minimal spaces with cyclic group of homeomorphisms
本文主要研究了两个问题。1)对于一个拓扑动力系统$(X,T)$，我们研究了它的“函数包络”（$T$在$X$的所有连续自映射空间或所有自同胚空间上的左复合作用）的拓扑熵.特别是，我们证明了零维空间$X$的熵都是无限的，除了当$T$是等度连续的（然后都等于零）。2)我们称$Slovak$ $space$为同胚群是循环的且由极小同胚生成的紧致度量空间。使用斯洛伐克空间，我们提供的例子（最小）系统$(X,T)$的正熵，但，其功能包络同胚熵为零（回答一个问题所提出的Kolyada和Semikina）。最后，也使用斯洛伐克空间，我们解决了一个长期存在的开放问题，无论是圆是一个唯一的非退化连续承认最小的连续变换，但只有可逆的：不，一些斯洛伐克空间是这样的，以及。
The C*-algebra of a minimal homeomorphism of zero mean dimension
设$X$是一个无限紧可度量化空间，$σ: X\to X$是一个极小同胚.设$(X, σ)$的平均拓扑维数为零.证明了相应的C* 代数$A=\mathrm{C}(X)\rtimes_σ\mathbb Z$在张量上吸收了Jiang-Su代数$\mathcal Z$，即，$A\cong A\otimes\mathcal Z$。这意味着当$(X, σ)$是唯一遍历时，$A$是可分类的。在不对平均维数作任何假设的情况下，证明了$A\otimes A$总是吸收Jiang-Su代数.
We study the dynamics of Topologically Anosov homeomorphisms of non compact surfaces. In the case of surfaces of genus zero and finite type, we classify them. We prove that if $f:S \to S$, is a Topologically Anosov homeomorphism where $S$ is a non-compact surface of genus zero and finite type, then $S= \R ^ 2$ and $f$ is conjugate to a homothety or reverse homothety (depending on wether $f$ preserves or reverses orientation). A weaker version of this result was conjectured in a previous work.
Dense area-preserving homeomorphisms have zero Lyapunov exponents
本文给出了连续映射的李雅普诺夫指数的新定义（称为新李雅普诺夫指数）。我们的第一个结果指出，这些新的指数符合通常的李雅普诺夫指数，如果地图是可微的。然后，我们应用这一概念，证明了存在一个C 0-稠密子集的面积保持同胚定义在一个紧凑的，连接和无边界的表面，使任何元素内的剩余子集有零新的李雅普诺夫指数的勒贝格几乎每一点。最后，我们证明了一个功能，保持面积同胚，配备了C 0-拓扑，其顶部新的李雅普诺夫指数在整个表面的积分（关于面积）不能上连续。
Existence of periodic points near an isolated fixed point with Lefschetz index $1$ and zero rotation for area preserving surface homeomorphisms
设$f$是有向曲面$M$的保向保面积同构，该曲面有一个孤立的退化不动点$z_0$，其Lefschetz指标为1. Le Roux证明了$z_0$是由周期轨道积累的。本文讨论Le Roux猜想，证明了若$f$与$z_0$的合痕一致，且$M$的面积有限，则$z_0$不仅由周期点积累，而且由周期轨道在测度意义下积累.更精确地说，在$z_0$上的狄拉克测度是在弱星拓扑中，周期轨道上的不变概率测度序列的极限。我们的证明是纯粹的拓扑和将工程同胚，是有关的概念，本地旋转集。
Simple braids for surface homeomorphisms
设S是具有负欧拉示性数的紧致定向曲面，f是S的同胚且与恒等式同素.如果存在具有非零旋转向量的周期轨道，则存在具有相同旋转向量的简单辫子。
Exponential mixing via invariant foliations and relatively Anosov homeomorphisms
该研究构造了一类闭流形上的保体积同胚，实现了Hölder可观测量的相关性指数衰减，肯定了Dolgopyat和Pesin的相关猜想，还给出了无穷多个无对应微分同胚的此类流形实例。
Centralizers of rank-1 homeomorphisms
给出了零维波兰空间X的秩1同胚的定义。我们证明了如果X的秩1同胚满足一定的非退化条件，则它在X的所有同胚的群中有平凡中心化子，即，它只与它的积分功率交换。
Forcing theory for transverse trajectories of surface homeomorphisms
本文利用纯拓扑方法和Brouwer理论研究了与恒等式同素的曲面的同胚。主要的发展是一个新的理论轨道强迫使用最大同位素和横向叶理。这使得我们可以得到一些已知结果的新的证明和一些新的应用，其中我们注意到以下几点：我们推广了Franks和Handel对非游荡同胚的$S^2$的零熵映射的分类;我们证明了如果$f$是环的Hamilton同胚，则$f$的旋转集是单点的或者它的内部包含零，证明了Boyland提出的一个猜想;证明了存在一些环面同胚的旋转集以外的紧凸集，证明了Franks-Misiurewicz猜想的第一种情况;将关于旋转集的有界偏差结果推广到环面同胚的一般情况。
Singular measures in circle dynamics
临界圆同胚有一个关于勒贝格测度的不变测度全奇异.证明了不变测度的奇点是Holder型的。不变测度的豪斯多夫维数小于1但大于0。
Comparability of clopen sets in a zero-dimensional dynamical system
考虑了全不连通的紧致度量空间上的同胚，并在闭子集族上定义了一个二元关系。我们将证明任何闭集关于关系的可比性等价于同胚的唯一遍历性。
$(ω, α, n)$-sensitivity and limit sets of zero entropy homeomorphisms on the square
本研究引入$(ω, α, n)$-敏感性的混沌概念，构造出对任意正整数都具有该敏感性且拓扑熵为零的正方形同胚，并借助边界穿透技术深入分析其极限集，丰富了零熵系统复杂性的研究。
In this work we develop a new criterion for the existence of topological horseshoes for surface homeomorphisms in the isotopy class of the identity. Based on our previous work on forcing theory, this new criterion is purely topological and can be expressed in terms of equivariant Brouwer foliations and transverse trajectories. We then apply this new tool in the study of the dynamics of homeomorphisms of surfaces with zero genus and null topological entropy and we obtain several applications. For homeomorphisms of the open annulus $\mathbb{A}$ with zero topological entropy, we show that rotatio…
L-shadowing for the induced hyperspace homeomorphism
本文研究了诱导超空间同胚的L-shadowing性质，证明了同胚与其诱导同胚之间L-shadowing性质的等价性，并探讨了其在局部稳定/不稳定集上的收缩统一性问题。
Invariant measures with full support and approximation by zero-entropy systems in the $C^0$-Gromov--Hausdorff topology
本文证明紧度量空间上连续映射在$C^0$-Gromov--Hausdorff拓扑下可由零熵映射逼近，依赖遍历分解定理和正轨道点稠密性，揭示拓扑熵不稳定性及周期点稠密性，最终得出全支撑不变测度动态落入零熵系统逼近范围。
Polynomial entropy for the circle homeomorphisms and for $C^1$ nonvanishing vector fields on $\T^2$
证明了当圆的保向同胚不共轭于旋转时，其多项式熵等于1，否则为0。在第二部分中，我们证明了与$C^1$非零向量场相关联的二维环面上的流的多项式熵小于$1$。此外，我们证明，当流具有周期轨道的多项式熵等于1，除非它是共轭的旋转（在最后一种情况下，多项式熵为零）。
Dynamics of homeomorphisms of the torus homotopic to Dehn twists
本文考虑与Dehn扭同伦的环面同胚$f$.我们证明了如果$f$的垂直旋转集降为零，则存在紧连通本质“水平”集K，它在$f$下不变.换句话说，如果我们考虑$f$对垂直旋转数为零的圆柱的升力$\hat{f}$，则所有点在$\hat{f}$的迭代下都有一致有界运动。此外，我们给出了一个简单的明确的条件，当满足时，意味着垂直旋转集包含一个区间，从而也意味着积极的拓扑熵。作为上述结果的推论，我们证明了一个版本的Boyland的猜想，这个设置：如果$f$是面积保持和有一个升降机$\hat{f}$的圆柱与零勒贝格测度垂直旋转数，然后要么是所有点的轨道下一致有界$\hat{f}$，或有点在圆柱上的正垂直速度和其他负垂直速度。
Measure-expansive systems
该研究提出可测度量空间上的测度膨胀动力系统，推广紧度量空间膨胀系统的相关结果，刻画其同胚特征，证明区间无此类同胚、圆周上为Denjoy同胚，给出概率证明及连续映射的类似结果。
Anomalous cw-expansive homeomorphisms on compact surfaces of higher genus
本文构造了高亏格紧致表面上的异常cw-扩张同胚，解决了Artigue提出的问题，并给出了非扩张同胚的例子。
Existence of torsion-low maximal identity isotopies for area preserving surface homeomorphisms
本文讨论了保面积同胚的曲面是同位素的身份。本文的目的是找到一个极大恒等合痕，以便对它的横向叶理动力学给出一个精细的描述。我们将定义一种恒等同位素：低挠同位素。特别地，当$f$是一个具有多个不动点且每个不动点都不退化的同构时，$f$的恒等同伦$I$是挠低的当且仅当对于沿着同伦固定的每个点$z$，（实）旋转数$ρ(I,z)$包含在$(-1,1)$中，当$f$在$z$处爆破时，旋转数$ρ(I,z)$被定义。我们将证明挠率低的最大恒等式合痕的存在性，并推导出任意挠率低的最大合痕在任意孤立奇点附近的横向叶理的局部动力学。
Siegel Disks and Periodic Rays of Entire Functions
设f是整函数，其奇异值集有界，且f有Siegel圆，使得f限制于边界的同胚.我们证明了Siegel圆盘是有界的。利用Herman的一个结果，我们推出：如果Siegel圆盘的旋转数是丢番图，则它的边界包含f的一个临界点.进一步假设f的所有奇异值都在朱利亚集中。我们证明了，如果f有一个Siegel圆盘$U$，其边界不含奇异值，那么f是U的边界的同胚的条件自动满足.我们也用类似的方法研究了周期性动态光线的着陆特性。
Pseudo-Anosov homeomorphisms on translation surfaces in hyperelliptic components have large entropy
我们证明了平移曲面上的任何伪Anosov同胚的伸缩属于超椭圆分量是从下有界的平方{2}。这与Penner的渐近性相反。彭纳证明了对数的最小膨胀的任何伪Anosov同胚表面的属g趋于零率1/g（g走向无穷大）。我们还表明，我们的一致下界sqrt{2}是尖锐的。更确切地说，超椭圆分量中亏格g>1的平移曲面上的伪Anosov的最小伸缩属于区间[sqrt{2}，sqrt{2}+2^1-g}[。证明使用Rauzy-Veech归纳法。
Decisive Bratteli-Vershik models
本文主要研究具有同胚作用的一般紧致零维系统的Bratteli-Vershik模型。一个有序Bratteli图称为决定图，如果对应的Vershik映射以唯一的方式同构于Bratteli图的整个道路空间的同胚.我们证明了一个紧凑的可逆零维系统具有决定性的Bratteli-Vershik模型当且仅当非周期点集是稠密的，或者它的闭包错过一个周期轨道。
Generalised Lüroth expansions and a family of Minkowski's Question-Mark functions
闵可夫斯基的S-马克函数是单位区间的奇异同胚，它将二次根式的集合映射到有理数。自二十世纪初以来，这一功能值得几位作者的关注。利用实数的无穷整数序列的不同表示，称为$α$ -Lüroth展开，我们得到了无限符号上标准移位映射的不同实例，它们都拓扑共轭到高斯映射。本文证明了这些共轭都与Minkowski的双马克函数具有相同的性质：它们都是区间的奇异同胚，并且在“有理”情形下，它们将二次根式集映射到有理数集.从这个意义上说，这个族是闵可夫斯基的双马克函数的自然推广。
In this paper, we examine the notion of topological stability and its relation to the shadowing properties in zero-dimensional spaces. Several counter-examples on the topological stability and the shadowing properties are given. Also, we prove that any topologically stable (in a modified sense) homeomorphism of a Cantor space exhibits only simple typical dynamics.
Pathwise uniqueness for singular SDEs driven by stable processes
本文证明了由非退化对称$α$ -稳定Lévy过程驱动的随机微分方程的路径唯一性，其中值在$\R^d$中具有有界和$β$ -Hölder连续漂移项.我们假设$β> 1 - \fracα{2} $和$α\in [ 1, 2)$。证明需要Kolmogorov型积分-微分算子的解析正则性结果。我们还研究了解关于初始条件的可微性和同胚性质。
Subleading asymptotics of link spectral invariants and homeomorphism groups of surfaces
本文研究亏格为零的曲面上纽结谱不变量的次领头渐近行为，证明其对光滑含时哈密顿量有界、对有限临界值自治圆盘映射可恢复Ruelle不变量，并推导了Calabi同态的延拓性质与hameomorphism群上Calabi同态核的非单性。
Monotone quotients of surface diffeomorphisms
紧度量空间的同胚是{ \em tight}，只要每个非退化的紧连通（不一定是不变的）子集都有正熵。证明了一个闭曲面的每个$C^{1+α}$同胚通过一个纤维为零熵的半共轭分解为一个广义角形（大致为一个有节点的曲面）的紧同胚。
Periodic Beurling-Ahlfors Extensions and Quasisymmetric Rigidity of Carpets
本文研究了周期性准等距自同胚在准圆或准圆地毯上的刚性问题，证明了在特定条件下自同胚必须为恒等映射。
Minimal hyperspace actions of homeomorphism groups of h-homogeneous spaces
设X是h-齐次零维紧T2空间，即X是齐次布尔代数的Stone对偶.利用对偶Ramsey定理和我们称之为有限集的子集的稳定集合的详细组合分析，我们得到了紧凑动力系统的最小子系统的完整列表（Exp（Exp（X）），Homeo（X）），其中Exp（X）代表由配备Vietoris拓扑的X的闭子集组成的超空间。这个动力系统的重要性源于Uspenskij对G = Homeo（X）的普遍范围的刻画。结果适用于X = C的康托尔集，广义康托尔集X = {0，1}^kappa的不可数基数kappa，和其他几个空间。一个特别有趣的例子是X = beta（omega）\ omega，其中beta（omega）表示自然数的Stone-Cech紧化。这个空间被称为日冕或欧米茄的余项，在集合论和拓扑学领域已经得到了广泛的研究。
Dynamical comparison for local homeomorphisms
本文证明了紧可度量化空间上极小满射非单射局部同胚对应的Deaconu–Renault群胚的动力学比较性质，由此得到相关C*-代数的性质、验证了Matui AH猜想，还证明了极小群作用的经典小边界性质。
We prove that every dynamical system $X$ with free action of a countable amenable group $G$ by homeomorphisms has a zero-dimensional extension $Y$ which is faithful and principal, i.e. every $G$-invariant measure $μ$ on $X$ has exactly one preimage $ν$ on $Y$ and the conditional entropy of $ν$ with respect to $X$ is zero. This is a version of an earlier result by T. Downarowicz and D. Huczek, which establishes the existence of zero-dimensional principal and faithful extensions for general actions of the group of integers.
Continuous 2-colorings and topological dynamics
本文研究了零维空间上连续色数至少为3的图类K，利用里程计证明了其基的大小为连续统且不存在反链基，并将Cantor空间极小同胚的翻转共轭等价关系Borel归约至相关拟序。
A generalization of classical action of Hamiltonian diffeomorphisms to Hamiltonian homeomorphisms on fixed points
本文在亏格为$g\geq1$的闭定向曲面上定义了恒等同伦的时一映射的可缩不动点集上的有界性。在辛几何中，一个经典的对象是作用函数的概念，定义在哈密顿合痕的时间1映射的可收缩不动点的集合上。我们给这个功能，使我们能够推广它的同胚同位素的情况下，保持一个博雷尔有限的旋转向量为零的措施，只要满足有界性条件的身份。我们给出了广义作用的一些性质。特别地，我们推广了Schwarz [Pacific J. Math.，2000]关于作用函数是非常数的，这一点已经用弗洛尔同调得到了证明。作为应用，我们推广了Polterovich [Invent.数学、2002]关于闭定向曲面上的辛和Hamilton同构群是无畸变的，这使我们能够给出闭定向曲面上Zimmer猜想的$C^1$ -版本的另一种证明.
Minimum periods of homeomorphisms of orientable surfaces
动力系统理论的主要问题之一是确定自映射的周期轨道的存在性，更一般地说，是确定周期集的结构。定义一个固定集合的自映射类的最小周期为使得该类中每个映射都有一个周期至多为该数的周期点的正整数的最小值。从1910年到1996年，闭曲面的同胚类的最小周期的确定问题在连续的步骤中完全解决了。我们的工作的目的是，对于每个紧的，连通的，可定向曲面，确定其同胚类的最小周期。如果所考虑的曲面的亏格为零或为上，那么问题可以通过简单的技术来解决。对于亏格至少为2的情形，我们找到了最小周期的两个上界，它们可以表示为亏格与曲面边界分量个数的线性函数。我们给出了达到这些上界的某些充分条件。特别是，我们已经证明，最小周期成为常数的每个属，提供的边界组件的数量是足够大的。我们还研究了有限阶映射类的最小周期。本论文分为三个分支，三个分支相互联系。其中一个与不动点理论的应用有关。最小周期的一个上界就是这个理论的结果。为了得到另一个上界，我们还应用了曲面同胚的Thurston-Nielsen分类及其一些结果。这是第二个分支。最后，第三个分支与平面不连续群理论有关，它为我们构造证明最小周期下界存在性的例子提供了必要的工具。
Removing quasiconformal orbits
该研究证明移位及其他零维系统上的一般连续线性上同调无拟共形轨道，部分回答相关问题，其证明依赖的零维空间同胚塔新结果具独立价值。
Geodesic tracking and the shape of ergodic rotation sets
证明闭可定向双曲曲面上同胚于恒同映射的同胚的遍历同调旋转集的结构定理，其由一维或几乎凸的片段组成，后者产生马蹄；零熵情形下存在测地线层指示典型轨道的转动方向，证明基于测地线追踪思想。
Rational Mode Locking for Homeomorphisms of the 2-Torus
设$f:{\rm T^2\rightarrow T^2}$是恒等式的同胚同伦，$\widetilde{f}:{\rm I}\negthinspace {\rm R^2\rightarrow I} \negthinspace {\rm R^2}$是固定提升，$ρ(\widetilde{f})$是它的旋转集，我们假设它有内部。我们还假设某个合理的点$(\frac pq,\frac rq)\in \partial ρ(\widetilde{f})$，我们想了解这种情况有多稳定。为了更准确地说，我们想知道是否有可能找到两个不同的同胚，这是任意小的$C^0$ -扰动的$f,$表示$f_1$和$f_2,$的方式，$(\frac pq,\frac rq)$不属于旋转集的$f_1$和$(\frac pq,\frac rq)$是包含在内部的旋转集的$f_2.$我们给两个例子在这个方向。第一种是$C^\infty $ -同构$f_{dissip},$，使得$(0,0)\in \partial ρ(\widetilde{f}_{dissip}),$ $f_{dissip}$只有一个旋转向量为零的不动点，并且存在满足上述条件的映射$f_1$和$f_2$.第二个是上述的区域保留版本，但在这个保守的设置中，我们只得到一个$C^0$示例。我们还提出了两个相反方向的定理。第一个说，如果$f$是面积保持和分析，那么…
Creating pseudo-Anosov Maps from Permutations and Matrices
本文给出了亏格g>1闭可定向曲面上伪Anosov映射的整数组合刻画，证明其可由2g+v-1个正整数的容许有序块置换（OBP）唯一编码与重构，并构造了所有不变的可定向叶状结构。
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