Faster integer multiplication using short lattice vectors
我们证明了$n$位整数可以在$O(n \log n \, 4^{\log^* n})$位运算中相乘.这个复杂性界限以前已经实现了几个作者，假设各种未经证明的数论假设。我们的证明是无条件的，并在一个基本的方式依赖于闵可夫斯基定理关于对称凸集的格向量。
2018-02-22 cs.DS cs.SC math.NT
Semidirect Products and Functional Equations for Quantum Multiplication
量子整数[n]_q是多项式1 + q + q^2 +. + q^{n-1}，多项式序列{ [n]_q }_{n=1}^{ \infty }是函数方程f_{mn}（q）= f_m（q）f_n（q^m）的解。本文利用半群的半直积来产生函数方程族，从而推广了量子乘法的函数方程。
2006-11-20 math.NT math.QA
Faster integer and polynomial multiplication using cyclotomic coefficient rings
我们提出了一个算法，计算两个n位整数的产品在O（nlog n（4 \sqrt 2）^{log^* n}）位操作。最好的算法是O（n log n ^{log^* n}）。我们还证明了，对于一个固定的素数p，多项式在F_p[X]的次数n可以乘以O（n log n 4^{log^* n}）位操作;以前的最佳界是O（n log n 8^{log^* n}）。
2017-12-11 cs.DS cs.SC math.NT
Multiplication Tables for Integers with Restricted Prime Factors
Université de Montréal（蒙特利尔大学）
本文研究了具有受限素因子的整数在区间[1,x]内的计数问题，确定了当素因子集Q的相对密度δ∈(0,1]时的渐进行为，并揭示了在临界点δ=1/log4处的相变现象。
2026-03-20 math.NT math.PR
On the $p$-part of the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for elliptic curves with complex multiplication by the ring of integers of $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$
研究了椭圆曲线$E = X_0(27)$的二次和三次扭曲的无限族。对于二次扭曲族，我们建立了复$L$ -级数在$s=1$上的值的代数部分的$2$ -adic赋值的下界，对于三次扭曲族，我们建立了同一$L$ -值的代数部分的$3$ -adic赋值的下界.我们表明，我们的下界正是那些预测的著名猜想的伯奇和Swinnerton-Dyer。
2017-11-08 math.NT
A Multiplication Formula and Its Application
本文给出了任意两个多位整数相乘的纵乘公式，它不仅可用于乘法器的设计，而且可用于心算乘法。我们的算法是Karatsuba和Offman算法的推广，但由于后者不适合于大整数乘法的口算，所以我们的算法优于后者。这两种算法都是垂直乘法，但由于正负数负数可能相互抵消，所以我们的算法用水平减法代替了Kartsuba算法中的水平加法，使得所涉及的数小得多，它们的代数和也小得多。由于上述优点，我们的垂直乘法公式允许设计更实用和有效的乘法器。
2021-10-05 math.NT
Even faster integer multiplication
本文给出了位复杂度模型中n位整数乘的代价的Fürer界的一个新的证明。与Fürer不同的是，我们的方法不需要构造特殊的系数环与“快速”的单位根。此外，我们证明了更显式的界限O（n log n K^（log^* n））$，其中K = 8。我们表明，一个优化的变体Fürer的算法实现只有K = 16，这表明新的算法是快于Fürer的一个因素2^（log^* n）。假设关于梅森素数分布的标准假设，我们给出了另一个实现K = 4的算法。
2014-07-12 cs.CC cs.SC math.NT
Erdős' Multiplication Table Problem for Function Fields and Symmetric Groups
Erdés首先证明了$x$以下的正整数的密度为零，这些正整数可以写成两个小于$\sqrt{x}$的数的乘积。然后，福特找到了所有这些整数的集合的正确增长顺序。我们将使用Ford开发的工具来回答功能字段设置中的类似问题。最后，我们将使用一个经典的结果有关因式分解的多项式因式分解的排列恢复Eberhard，福特和绿色的结果的一个类似的乘法表问题的排列。
2018-05-06 math.NT
Diagonal Condition in Multiplication Table of $\displaystyle {\, \mathbb{Z} [i] / (α) }$
School of Mathematical Sciences and Geoinformatics, Institute of Science, Suranaree University of Technology（苏拉纳瑞科技大学理学院数学科学与地理信息学院）
本文研究高斯整数环 $\mathbb{Z}[i]$ 的乘法表中的对角条件，并找出使得模 $\alpha$ 的高斯整数环满足该条件的 $\alpha$。
2026-06-02 math.NT math.RA
Quantum integers and cyclotomy
函数序列{f_n（q）}_{n=1}^{ \infty }满足量子整数乘法的函数方程，如果对所有正整数m和n，有f_{mn}（q）= f_m（q）f_n（q^m）.本文描述了满足该函数方程的有理系数有理函数序列的结构。
2003-10-01 math.NT math.QA
Three integers arising from Bézout's identity and resultants of integer polynomials
South China Normal University（华南师范大学）；Central South University（中南大学）
本文研究了由贝祖恒等式、两个互质整数多项式的余式及简化余式自然产生的三个整数，建立了新的整除关系，并提出两个猜想。
2026-04-15 math.NT
On the number of integers in a generalized multiplication table
受Erdos乘法表问题的启发，我们研究了如下问题：给定数N_1，...，N_{k+1}，有多少不同的产品的形式n_1. n_i<N_i的n_{k+1}对所有i都有吗？调用A_{k+1}（N_1，.，N_{k+1}）相关数量。Ford建立了A_2（N_1，N_2）的数量级和A_{k+1}（N，.，N），对于所有k>1。本文通过建立A_{k+1}（N_1，.，N_{k+1}）对于N_1，.，当k为2、3、4或5时，计算N_{k+1}。此外，当k>5时，我们得到了问题的部分答案。最后，我们开发了一个启发式的参数，解释了为什么我们的方法的限制是k=5一般，我们建议的方法，提高本文的结果。
2013-05-17 math.NT
Formal power series arising from multiplication of quantum integers
对于量子整数[n]_q = 1+q+q^2+. + q^{n-1}存在自然多项式乘法使得[mn]_q = [m]_q \otimes_q [n]_q。这个乘法由函数方程f_{mn}（q）= f_m（q）f_n（q^m）给出，定义在多项式序列{f_n（q）}上，使得对于所有n，f_n（0）=1。证明了如果{fn（q）}是该函数方程的解，则序列{fn（q）}收敛于形式幂级数F（q）.量子乘法还导致函数方程f（q）F（q^m）= F（q），其中f（q）是固定多项式或具有常数项f（0）=1的形式幂级数，并且F（q）=1+ \sum_{k=1}^{\infty} b_kq^k是形式幂级数。证明了该函数方程对每一个多项式或形式幂级数f（q）都有唯一解F（q）。若f（q）的次数至多为m-1，则F（q）的系数b_k可用f（q）的系数和k的m-adic表示来表示.本文还对系数在任意域或整数域上的形式幂级数级数的收敛性质进行了讨论。
2003-04-27 math.CO math.NT
Digit Preserving Multiplication in Continued Fraction Representations
置换数是一个数，它是它的数字的某种置换的整数倍。一个著名的例子是9801，因为它是它的反转1089的整数倍。在本文中，我们考虑在一个完全不同的设置：连分数的重数问题。我们提出的问题时，简单连分数表示的有理数是一个整数倍的置换，其部分同分之一（或数字，我们将称之为）。我们开发了一些一般性的结果，并将其应用于寻找新的例子。在这样做的时候，我们试图分类所有的2，3，和4位数的连分数permulple的基本permulple类型，我们发现沿途。我们还生成新的例子，从旧的条件，保证数字串串联产生其他permutiples。
2017-02-15 math.NT
Normality preserving operations for Cantor series expansions and associated fractals part I
众所周知，有理乘法在基$b$中保持正规性。我们研究了$Q$ -Cantor级数展开式的相关保正态运算。特别是，我们表明，虽然整数乘法保持$Q$ -分布的正态性，它不能保持$Q$ -正常的一个特别强大的方式。我们还表明，$Q$ -分布的正态性是不保持非整数有理数乘法的零措施和充分的豪斯多夫维数。
2014-07-08 math.NT
Generalized Legendre curves and Quaternionic Multiplication
本文研究了由广义Legendre曲线生成的阿贝尔簇。特别是，我们考虑其相应的伽罗瓦表示，周期和自同态代数。对于这类2维阿贝尔簇的某些单参数族，我们确定了定义在$\Bbb Q$的代数闭包上的每个纤维的自同态代数何时包含一个四元数代数.
2015-11-19 math.NT
Primality proving using elliptic curves with complex multiplication by imaginary quadratic fields of class number three
本文将Abatzoglou等人的复乘椭圆曲线素性证明框架推广到类数为三的虚二次域，利用2分裂的类数三虚二次域得到更高效的素性证明算法，并给出基于Q(√-23)和Q(√-31)的两个特殊整数序列及计算结果。
2024-08-09 math.NT
Algebra of overpartitions
Michigan Technological University（密歇根理工大学）
本文研究超越划分的代数结构，证明其在划分乘法下构成阿贝尔群，并与正有理数在乘法群下同构。
2025-07-28 math.CO math.NT
Optimal Representations of Gaussian and Eisenstein Integers using digit sets closed under multiplication
本文研究高斯整数和爱森斯坦整数在特定基与数字集下的最优表示，给出最优表示个数的上界并刻画达到上界的整数，推广了有符号二进制记数系统的相关结果。
2024-10-03 math.NT
Arithmetic matrices for number fields I
我们提供了一个简单的方法来添加，乘法，反转，并采取迹和范数的代数整数的数域使用整数矩阵。利用至少相当比例数域的整数环的整基公式，得到了这类矩阵的显式公式，并讨论了它们的推广。这些结果是有用的，在证明有关他们工作的特定数域的声明。我们给出了一个有意义的对角化，在这方面是有帮助的，可以用来定义这样的矩阵一般。所提供的矩阵恒等式表明，在线性代数中考虑数值方法可能在代数数论中有应用。使用有效矩阵乘法的方法可以更有效地实现一次几个代数整数的乘法。如果我们将次数为$n$的域中的一个代数整数乘以每个$n$代数整数，那么这可以在$O \left( n^{\log_2(7)} \right)$乘法中完成。这里给出的矩阵恒等式推广了Brahmagupta的恒等式，它是乘法的。
2018-09-25 math.NT
Steinitz class of Mordell groups of elliptic curves with complex multiplication
设E是一条椭圆曲线，它与K=Q（\sqrt{-D}）的整数全环O_K相乘，H=K（j（E））是K的Hilbert类域.则Mordell-Weil群E（H）是一个O_K-模，其结构依赖于它的Steinitz类St（E），本文研究了它的Steinitz类。当D为素数时，证明了当D为素数时，若D \equiv 3（mod 4），则St（E）=1;若D \equiv 1（mod 4），则St（E）=[P]^t，其中[P]为K的理想类，由K中为2的素因子P表示，t为固定整数.讨论了St（E）和戴德金整环上模的一般结构.这些结果发展了D. Dummit和W. Miller对于D=10和某些椭圆曲线到更一般的D和一般的椭圆曲线。
1998-09-03 math.NT
On graded Lie algebras associated to once-punctured elliptic curves with complex multiplication
Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University（京都大学数学科学研究所）
本文研究具有复乘法的单 punctured 椭圆曲线的格雷德李代数，并在适当条件下提供有理化李代数的最小生成集。
2026-09-22 math.NT
The multiplication table constant and sums of two squares
本研究给出不大于x的整数平方加素数平方表示的整数计数的主项为$\fracπ{2}\frac{x}{\text{log}x}$，推导了含乘法表常数δ的次级项量级，并通过启发式分析得到次级项的渐近形式。
2023-08-28 math.NT
Method for constructing elliptic curves using complex multiplication and its optimizations
利用复乘理论，在有限域上按一定的阶数构造椭圆曲线。该方法中计算时间最长的一步是重构整系数多项式。我们将证明理论结果，并详细说明方法本身，以及如何使用上述多项式的系数在有理数领域的某些扩展的除数。
2012-07-30 math.NT
Simultaneous Modular Reduction and Kronecker Substitution for Small Finite Fields
我们提出的算法，执行模多项式乘法或模点积有效地在一个单一的机器字。我们将多项式打包成整数，并使用机器整数或浮点运算执行几个模运算。模多项式使用克罗内克代换（在足够大的整数处求值）转换为整数。通过对大小和次数的一些控制，可以直接用机器整数或浮点数来执行对多项式的算术运算，并且可以减少转换的次数。我们还提出了有效的方法来恢复系数的模值。这导致相当大的常数因子的多项式乘法，素域线性代数和小扩张域算术的实际收益。
2008-08-30 cs.SC math.NT
A Geometric Interpretation of the $p$-adic Littlewood Conjecture
利用几何结构研究了连分数的整数乘法。特别地，本文证明了连分数的整数乘法可以通过用另一个三角剖分代替轨道的一个三角剖分来表示。这种方法被用来表明，最终周期连分数有偏导数具有指数增长性时，迭代乘以$n$，$n$任何固定的，自然数。
2018-09-27 math.GT math.NT
Additive bases arising from functions in a Hardy field
经典的加性基问题是华林问题。它已被推广到整数多项式和非整数幂序列。在本文中，我们将考虑一个更广泛的功能，即功能从一个Hardy域，并表明他们是渐近的基础。
2009-03-02 math.NT
Intersective Polynomials Arising from Sums of Powers
给定一个自然数$n \geq 2$，一个整数$k$和一个明智地选择的$l = l(n)$，我们给出了多项式$f_{n,k} = \big( \sum_{i=1}^{l} x_{i}^{n} \big) - k$有模每个正整数的根的充要条件.
2021-03-05 math.NT
Ternary arithmetic, factorization, and the class number one problem
通过考虑六边形格的离散体积，可以将自然数的普通二进制乘法以非平凡的方式推广到三进制运算。通过这种操作，定义了一个自然的“3-素数”概念--关于三进制乘法的素数，结果是3-素数很少。它们对应于虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$，$n>0$，具有奇判别式，其整数环允许唯一因子分解.我们还描述了如何确定数字作为三进制积的表示以及用于通常的素性测试和整数因式分解的相关算法。
2020-12-25 math.NT
On factorizations of certain Kummer characters associated to once-punctured elliptic curves with complex multiplication
Keio University（庆应义塾大学）；RIKEN Center for Advanced Intelligence Project (AIP)（理化学研究所先进智能研究中心）
本文研究了带有复乘的单 punctured 椭圆曲线的 Kummer 特征分解，通过 Soulé 特征和广义 Bernoulli 数的组合，给出了特征 surjectivity 判据和 Coleman-Ihara 公式类比。
2025-03-26 math.NT
The multiplication table problem in large dimensions
Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）；Institute of Mathematics, Statistics and Computer Science University of São Paulo（圣保罗大学数学、统计和计算机科学研究所）
该论文研究高维乘法表问题，确定了足够大 $k$ 时 $k$ 维乘法表大小的渐近表达式，还证明了因子限制为 $y$ 光滑整数时的类似渐近结果。
2026-08-18 math.CO math.NT
Height four formal groups with quadratic complex multiplication
本文构造了谱序列，用于计算$p$ -adic数环上具有复乘的形式群的自同构群的上同调。然后，我们计算的自同构群的高度4正式组法律，通过域$\mathbb{Q}_p(\sqrt{p})$中的整数环的复乘交换的上同调，素数$p>5$。这是高度4严格的摩拉瓦稳定器组的一个大子群。这自同构群的群上同调有上同调维数$8$和总秩$80$。然后我们运行$K(4)$ -局部$E_4$ -Adams谱序列来计算这个群在Lubin-Tate/Morava谱$E_4$上作用的同伦不动点谱的同伦群。
2016-07-14 math.AT math.NT
Sets Arising as Minimal Additive Complements in the Integers
阿贝尔群$G$的子集$C$是$W \subseteq G$的最小加法补，如果对任意真子集$C' \subset C$，$C + W = G$和$C' + W \neq G$都是。在本文中，我们研究了哪些整数集合作为最小加法补出现。我们证实了Kwon的一个猜想，证明了具有任意大间隙的有界下集是作为最小的加法补充而出现的。此外，我们的建设表明，任何这样的集合属于一个共同的最小对，加强了一个结果的Biswas和Saha的空缺序列。我们绑定的上，下Banach密度的syndetic集，作为最小的添加剂补充有限集。本文给出了最终周期集成为极小可加补集的若干必要条件，并证明了这些必要条件对于某些类最终周期集也是充分的.最后，我们给出了关于极小可加补数结构的几个定理和问题。
2020-07-09 math.CO math.NT
