An Efficient Multiplication Algorithm Using Nikhilam Method
乘法是计算机运算中最重要的运算之一。许多整数运算，如平方、除法和计算倒数所需的时间与乘法相同，而其他一些运算，如计算GCD和余数运算所需的时间最多是乘法的$\log n$倍。提出了一种基于吠陀数学中Nikhilam方法的整数乘法算法，可以有效地实现两个二进制数的乘法运算。
2013-07-10 cs.DS cs.SC
Faster Rectangular Matrix Multiplication by Combination Loss Analysis
本文利用组合损失分析方法，结合Coppersmith-Winograd张量四次幂分析，改进了矩形矩阵乘法的指数上界。
2023-12-27 cs.CC cs.DS cs.SC
Even faster integer multiplication
本文给出了位复杂度模型中n位整数乘的代价的Fürer界的一个新的证明。与Fürer不同的是，我们的方法不需要构造特殊的系数环与“快速”的单位根。此外，我们证明了更显式的界限O（n log n K^（log^* n））$，其中K = 8。我们表明，一个优化的变体Fürer的算法实现只有K = 16，这表明新的算法是快于Fürer的一个因素2^（log^* n）。假设关于梅森素数分布的标准假设，我们给出了另一个实现K = 4的算法。
2014-07-12 cs.CC cs.SC math.NT
Probably faster multiplication of sparse polynomials
本文提出一种概率算法，使稀疏多项式乘法效率接近稠密单变量多项式乘法，并给出慢常数倍的非启发式版本。
2025-08-22 cs.SC
Parallel Integer Polynomial Multiplication
我们提出了一种新的算法，以并行方式乘以密集多项式与整数系数，针对多核处理器架构。复杂性估计和实验比较证明了这种新方法的优点。
2016-12-17 cs.MS cs.SC
Faster polynomial multiplication over finite fields
设p是素数，M_p（n）表示F_p[X]中两个次数小于n的多项式相乘的比特复杂度。当n大于p时，我们建立了M_p（n）= O（nlogn8 ^（log^* n）logp）的界，其中log^* 是重对数.这是F_p[X]的第一个已知的Fürer型复杂性界，并且改进了以前最好的界M_p（n）= O（n log n log n log p）。
2014-07-12 cs.CC cs.SC math.NT
Integer multiplication is at least as hard as matrix transposition
本文在多带图灵机模型下，将矩阵转置问题归约为整数乘法问题，证明若转置 $n\times n$ 二进制矩阵需 $\Omega(n^2\log n)$ 步，则 $n$ 位整数相乘需 $\Omega(n\log n)$ 步，表明两者难度相当。
2025-03-28 cs.CC cs.SC
Faster Algorithms for Rectangular Matrix Multiplication
设α是最大值，使得n × n^α矩阵与n^α × n矩阵的乘积可以用n^{2+o（1）}次算术运算来计算。本文证明了α>0.30298，改进了Coppermith（Journal of Complexity，1997）的先前记录α>0.29462。更一般地，我们构造了一个新的算法，用于将n x n^k矩阵乘以n^k x n矩阵，对于任何值k \neq 1。该算法的复杂度优于所有已知的矩形矩阵乘法算法。在方矩阵乘法的情况下（即，对于k=1），我们精确地恢复了Coppermith和Winograd（Journal of符号计算，1990）的算法的复杂性。这些新的上界可以用来改善依赖于矩形矩阵乘法的几个已知算法的时间复杂度。例如，我们直接得到了小整数权值有向图上所有对最短路径问题的O（n^{2.5302}）时间算法，改进了Zwick（JACM 2002）的O（n^{2.575}）时间算法，同时也改进了稀疏方阵乘法的时间复杂度.
2012-04-09 cs.CC cs.DS cs.SC
Compressed Modular Matrix Multiplication
我们建议将几个整数模一个小素数存储到一个机器字中。模加法是通过对包含数倍模的字进行加法和可能的减法来执行的。模乘不能直接访问，但模点积可以通过整数乘以逆整数来执行。模乘一个字包含一个单一的剩余也是可能的。因此，可以在这种压缩存储器上执行矩阵乘法。我们在这里给出了这样的压缩是可能的素数和矩阵的大小的界限。我们还明确了所需的压缩算术例程的细节。
2008-03-13 cs.SC
Faster Algorithms for Structured Matrix Multiplication via Flip Graph Search
本文通过翻转图搜索方法，提出更高效的结构矩阵乘法算法，改进了多种结构格式的渐近复杂度常数。
2025-11-30 cs.DS cs.SC
Fast integer multiplication using generalized Fermat primes
近35年来，Sch{<$}nhage-Strassen的算法一直是已知的最快的整数乘法算法，其时间复杂度为O（n $\times$ log n $\times$ log log n）。在2007年，F{ü}rer证明了存在K > 1和一个算法执行此操作的时间复杂度为O（n $\times$ log n $\times$ K log n）。Harvey、van der Hoeven和Lecerf最近的工作表明，这个复杂性估计可以得到改进，以使K = 8，实际上K = 4。使用另一种算法，它依赖于算术模广义费马素数，我们得到了同样的结果K = 4，通过仔细的复杂性分析，在确定性的多带图灵模型。
2018-04-17 cs.CC cs.DM cs.DS
Quasi-linear Time Multiplication of Sparse Polynomials with Integer Coefficients
Shandong University（山东大学）；State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院；中国科学院大学）；University of Chinese Academy of Sciences
针对整数系数稀疏多项式乘法，通过模块化黑盒插值算法实现拟线性位复杂度，并反驳了此前声称的解决方案。
2026-06-11 cs.CC cs.SC
Output-sensitive algorithms for sumset and sparse polynomial multiplication
我们提出了随机算法来计算两个整数集合的和集（Minkowski和），并乘以两个一元整数多项式的稀疏表示。我们的算法sumset成本软线性的输入和输出的组合大小。这被用作我们稀疏乘法算法的一部分，其成本在输入，输出和输入支持的和集的组合大小中是软线性的。作为一个子程序，我们提出了一个新的方法来计算系数的稀疏多项式，给定一个集包含其支持。我们的乘法算法扩展到多元洛朗多项式有限域和有理数。我们的技术是基于稀疏插值算法和解析数论的结果。
2015-04-24 cs.CC cs.DS cs.SC
A cubic algorithm for computing the Hermite normal form of a nonsingular integer matrix
本研究提出两种计算非奇异整数矩阵Hermite标准形的Las Vegas随机算法，分别基于二次与伪线性整数乘法，给出了对应的三次量级运行时间上界，丰富了该问题的算法理论结果。
2023-08-28 cs.DS cs.SC
Simultaneous Modular Reduction and Kronecker Substitution for Small Finite Fields
我们提出的算法，执行模多项式乘法或模点积有效地在一个单一的机器字。我们将多项式打包成整数，并使用机器整数或浮点运算执行几个模运算。模多项式使用克罗内克代换（在足够大的整数处求值）转换为整数。通过对大小和次数的一些控制，可以直接用机器整数或浮点数来执行对多项式的算术运算，并且可以减少转换的次数。我们还提出了有效的方法来恢复系数的模值。这导致相当大的常数因子的多项式乘法，素域线性代数和小扩张域算术的实际收益。
2008-08-30 cs.SC math.NT
Fast Matrix Multiplication in Small Formats: Discovering New Schemes with an Open-Source Flip Graph Framework
Research Center for TAI（人工智能研究中心）；Institute for System Programming（系统编程研究所）
本文提出了一种开源框架，通过翻转图方法发现新的快速矩阵乘法方案，提升了多个方案的乘法复杂度，并公开了所有发现的方案。
2026-03-02 cs.SC
$XX^{t}$ Can Be Faster
The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；Shenzhen Research Institute of Big Data（深圳市大数据研究院）
本研究提出RXTX新算法，结合基于机器学习的搜索与组合优化，实现矩阵转置乘积$XX^t$运算比现有最优算法减少5%的乘法与总运算量，且大小矩阵均适用。
2025-05-16 cs.AI cs.DS cs.LG
Meta Flip Graph meets Serendipitous Product: new Fast Matrix Multiplication results
Research Center for TAI（TAI研究中心）；Institute for System Programming（系统编程研究所）
通过结合元翻转图框架与偶然乘积构造，在高达16×16×16的680种矩形格式中改进了206种格式的秩，发现了84种三元方案和23种具有指数ω<log₂7的新方案。
2026-06-05 cs.SC
Explicit cost analysis of Toom-4 multiplication for incomplete NTT in lattice-based cryptography
Fukuoka Institute of Technology（福冈工业大学）
本文研究了不完整NTT框架下Toom-4乘法的成本分析，提出了显式操作计数模型，并通过实验验证了Toom-4在特定参数范围内的优势。
2026-05-17 cs.CR cs.SC math.NT
On GPU Implementation for Multi-Precision Integer Division
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；Cheriton School of Computer Science, University of Waterloo（滑铁卢大学切里顿计算机科学学院）
本文提出一种基于牛顿迭代的整数除法算法在GPU上的高效实现，针对$2^{15}$到$2^{18}$位精度，通过算法改进和成本模型实现接近最优性能。
2026-07-14 cs.DC cs.MS cs.SC
Computing Smith Forms Modulo $p^2$ of Sparse Matrices Faster Than Matrix Multiplication
Cheriton School of Computer Science, Faculty of Mathematics, University of Waterloo（滑铁卢大学数学学院切里顿计算机科学学院）
研究在\(R = \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\)环中，当矩阵\(A\)稀疏或有结构时，快速确定其史密斯标准型相关参数\(r_0,r_1,r_2\)的问题。提出随机算法，利用迭代块 - 维德曼技术和结构化预条件器，运算次数优于现有稠密算法。
2026-07-08 cs.SC
