AI 中文总结
该论文研究高维乘法表问题，确定了足够大 $k$ 时 $k$ 维乘法表大小的渐近表达式，还证明了因子限制为 $y$ 光滑整数时的类似渐近结果。
AI 中文摘要
对于 $N\geq 2$ 且 $k\geq 1$，令 $M_k(N):=\\#\{x_1\cdots x_k: x_i\in\{1,\ldots,N\}\text{ for all } i\}$ 为 $k$ 维乘法表。给定 $N$，霍万斯基定理（Khovanskii's theorem）表明，对于所有足够大的 $k$，$M_k(N)$ 与次数为 $\pi(N)$ 的 $k$ 的多项式一致。我们确定了其首项系数的渐近大小，证明当 $N\to\infty$ 且 $k$ 相对于 $N$ 足够大时，\\[ M_k(N) = \exp\bigg((2\pi+o(1))\frac{\sqrt{N}}{\log N}\bigg)\frac{k^{\pi(N)}}{\pi(N)!}. \\] 我们还研究了当因子限制为 $y$ 光滑整数时的类似问题。对于 $y=o(\log N)$，我们证明，$k$ 个此类整数的不同乘积（不超过 $N$）的数量渐近等于不超过 $N^k$ 的 $y$ 光滑整数的数量，且对所有 $k\geq 1$ 均一致成立。
英文摘要
For $N\geq 2$ and $k\geq 1$, let $M_k(N):=\#\{x_1\cdots x_k : x_i\in\{1,\ldots,N\}\text{ for all } i\}$ be the $k$-dimensional multiplication table. Given $N$, Khovanskii's theorem implies that $M_k(N)$ agrees, for all sufficiently large $k$, with a polynomial in $k$ of degree $π(N)$. We determine the asymptotic size of its leading coefficient, proving that, as $N\to\infty$, with $k$ sufficiently large relative to $N$, \[ M_k(N) = \exp\bigg((2π+o(1))\frac{\sqrt{N}}{\log N}\bigg)\frac{k^{π(N)}}{π(N)!}. \] We also study the analogous problem when the factors are restricted to $y$-smooth integers. For $y=o(\log N)$, we prove that the number of distinct products of $k$ such integers up to $N$ is asymptotic to the number of $y$-smooth integers up to $N^k$, uniformly for $k\geq 1$.
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