$L^p$ improving bounds for averages along curves
Terence Tao, Jim Wright
我们建立了局部$(L^p,L^q)$映射性质的平均曲线。除端点外，指数都是尖锐的。
We establish local $(L^p,L^q)$ mapping properties for averages on curves. The exponents are sharp except for endpoints.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Uniform $L^p$-improving for weighted averages on curves
我们定义了可变参数的仿射弧长曲线上的措施，并证明了近最佳的$L^p$ -相关的多线性广义Radon变换的改进估计。我们的一些结果是新的，即使在卷积的情况下。
On $L^{p}$-improving bounds for maximal operators associated with curves of finite type in the plane
本文研究平面中有限型曲线极大算子的 $L^{p}$-改进性质，揭示其改进区域由曲线有限型阶数与伸缩集分形维数共同决定，并进一步分析非各向同性伸缩的影响。
Universal L^p improving for averages along polynomial curves in low dimensions
我们证明了尖锐的$L^p-L^q$估计平均算子沿一般多项式曲线在二维和三维。这些运营商是convention-invariant，给出了卷积与所谓的仿射弧长措施的曲线，我们得到普遍的界限一类曲线的多项式有界度。我们的方法依赖于一般向量多项式的几何不等式以及由于M的组合参数。基督几乎尖锐的洛伦兹空间估计以及获得。
A note about the $l^p$-improving property of the average operators
本文给出了沿平方整数和更一般的二次多项式的平均算子的$\ell^p$ -改进性质的一个简短证明。此外，对某些高次多项式也得到了类似的结果。我们还证明了平均算子沿素数的$\ell^p$ -改进性质。
$L^p$-improving estimates for averages on polynomial curves
在由Christ（IMRN，1998）开创的$L^p$的组合方法证明中-改进了对沿曲线的平均值的估计，期望仅使用函数或其导数在某个指定点处的值从下面估计多项式样函数的平均模（相对于集合上的某个一致测度）。在本文中，它表明，总是有一个相对较大的一组点（独立的特定功能集成），这种估计是可能的。然后，这种类型的不等式被应用到扩展陶和赖特（JAMS，2003）的结果，以获得端点限制的弱型估计的平均多项式给定的曲线。
Uniform $L_x^p - L^q_{x,r}$ Improving for Dilated Averages over Polynomial Curves
在欧几里得空间中，许多作者都考虑了由仿射弧长测度卷积得到的算子$\mathcal{A}$在多项式曲线上的Lebesgue空间映射性质的确定问题。本质上，$\mathcal{A}$采用曲线平移的加权平均值。在本文中，这个问题的一个变种进行了讨论，平均在两个平移和膨胀的固定曲线被认为是。除了端点之外，在所有维度上都可以获得所得算子的估计值的锐范围。所使用的技术与以前在$\mathcal{A}$研究中使用的技术相似。特别是，参数是基于基督的细化方法，虽然这种方法需要一个显着的适应，以充分理解额外的平滑平均膨胀提供。
$\ell^p(\mathbb{Z}^d)$-Improving Properties and Sparse Bounds for Discrete Spherical Maximal Averages
我们表现出一系列的$\ell ^{p}(\mathbb{Z}^d)$ -改善性能的离散球形最大平均在每个维度$d\geq 5$。用于显示这些改进性能的策略，然后适应建立稀疏的界限，扩展的离散极大值定理的Magyar，斯坦，和Wainger加权空间。特别地，稀疏边界意味着离散球面最大平均是从$\ell^2(w)$到$\ell^2(w)$的有界映射，只要对于某些$δ>0.$，$w^{\frac{d}{d-4}+δ}$属于Muckenhoupt类$A_2$
Subcritical paucity and $\ell^p$-improving estimates for finite-type polynomial curves
我证明了新的次临界界的$\ell^p$，改善问题沿限制子集的退化曲线。关键的输入是一个新的稀缺估计相关联的非齐次方程，这是证明使用消元法由于Wooley和Parsell-Wooley。
Sobolev improving for averages over curves in $\mathbf{R^4}$
本文研究了非退化曲线上的平均算子$A_γ$与紧支撑光滑密度$μ_γ$的卷积的$L^p$ -Sobolev改进.特别是，在4维，我们表明，$A_γ$映射$L^p(\mathbb{R}^4)$的Sobolev空间$L^p_{1/p}(\mathbb{R}^4)$的所有$6 < p < \infty$。这意味着$L^p$ -Sobolev估计值的完整最佳范围，某些终点情况可能除外。证明依赖于一个家庭的锥分解波前集的$μ_γ$解耦不等式。在高维情形下，得到了$L^p(\mathbb{R}^n) \to L^p_{1/p}(\mathbb{R}^n)$有界的一个新的非平凡必要条件，并给出了相应的估计.
$\ell^p$-improving for discrete spherical averages
提出了超曲面及其极大函数上的算术平均值的$\ell^p$ -改进不等式理论。特别是，我们证明了$\ell^p$ -改进估计的离散球平均和他们的一些推广。作为我们的并元离散球极大函数的$\ell^p$ -改进不等式的应用，我们给出了四维全离散球极大函数的一个新的估计.我们的证明是类似于Littman的结果欧几里德球平均。我们的证明的一个关键方面是Littlewood-Paley分解在算术和分析方面。在算法方面，这是一种优弧-劣弧分解圆法。
On $L^p$-improving for averages associated to mixed homogeneous polynomial hypersurfaces in $\mathbb{R}^3$
建立了$\mathbb{R}^3$中混合齐次多项式超曲面的平均算子的$L^p-L^q$估计.这些描述的混合均匀性和消失的多项式超曲面和它的高斯曲率横向于他们的零集的顺序。
Averages over curves with torsion
我们建立了$L^p$ Sobolev映射性质的平均数在某些曲线的$\R^3$，这改善了$L^2-L^\infty$插值得到的估计。
Averaged decay estimates for Fourier transforms of measures over curves with non vanishing torsion
研究了测度的傅里叶变换在挠率不为零的空间曲线上取平均时的平均衰减估计。我们将以前已知的结果扩展到更高的维度，并讨论估计的锐度。
Some subcritical estimates for the $\ell^p$-improving problem for discrete curves
我们应用基督的方法的改进$\ell^p$ -改进问题的离散平均值$\mathcal{A}_N$沿多项式曲线在$\mathbb{Z}^d$。结合某些特殊丢番图方程组解的个数的初等估计，得到了次临界区平均值$\mathcal{A}_N$的限制弱型$p \to p'$估计.这里得到的常数对$N$的依赖性是尖锐的，除了可能的$ε$ -损失。
Maximal estimates for averages over space curves
令$M$为与$\mathbb R^3$中具有非零曲率和挠率的平滑曲线相关的最大算子。证明了$M$在$L^p$上有界的充要条件是$p>3$ .
Endpoint Lebesgue estimates for weighted averages on polynomial curves
我们建立了一类广义Radon变换的最优Lebesgue估计，该变换由沿多项式曲线平均函数定义。一个基本上最佳的权重的存在下，我们可以证明统一的估计，其中勒贝格指数是完全独立的曲线和运营商的规范只依赖于多项式的程度。此外，我们的加权估计具有相当强的同态不变性，使我们能够获得一致的边界上的平均曲线满足自然幂零性假设。
$\ell^p$-improving inequalities for Discrete Spherical Averages
令$ λ^2 \in \mathbb N $，并且在维度$ d\geq 5$中，令$ A_{λ} f (x)$表示在以$x$为中心的半径为$λ$的球体上的晶格点上的$ f \;:\; \mathbb Z ^{d} \to \mathbb R $的平均值。我们证明了$ \ell ^{p}$改善了PDMATHAMT的性能。\begin{equation*} \lVert A_{λ}\rVert_{\ell ^{p} \to \ell ^{p'}} \leq C_{d,p, ω(λ^2 )} λ^{d ( 1-\frac{2}p)}, \qquad \tfrac{d-1}{d+1} < p \leq \frac{d} {d-2}. \end{equation*}它在维度$ d =4$中对于奇数$ λ^2 $成立。该依赖性是根据$ ω(λ^2 )$，$ λ^2 $的不同素因子的数量。这些不等式是离散版本的经典不等式的Littman和Litthartz上的$ L ^{p}$改进性质的球形平均$ \mathbb R ^{d}$，特别是他们的尺度自由，在一个自然的意义。证明使用相应的乘数的分解，其性质由Magyar-Stein-Wainger和Magyar建立。然后，我们使用的证明策略Bourgain，它占主导地位的每个部分的分解的端点估计。
Averages Along the Primes: Improving and Sparse Bounds
考虑由\begin{equation*} \mathcal{A}_N f (x) = N ^{-1} \sum_{ p \in \mathbb P \;:\; p\leq N} (\log p) f (x-p). \end{equation*}给出的素数$ \mathbb P $的平均值。这些平均值满足统一的无标度$ \ell ^{p}$改进估计。对于所有$ 1< p < 2$，存在常数$ C_p$，使得对于$ [0,N]$上支持的所有整数$ N$和函数$ f$，存在保持\begin{equation*} N ^{-1/p' }\lVert \mathcal{A}_N f\rVert_{\ell^{p'}} \leq C_p N ^{- 1/p} \lVert f\rVert_{\ell^p}. \end{equation*}最大函数$ \mathcal{A}^{\ast} f =\sup_{N} \lvert \mathcal{A}_N f \rvert$对于所有$ 1< p < 2$满足$ (p,p)$稀疏边界。后者是无标度边界的自然变体。作为推论，对于Muckenhoupt $A_p$类中的所有权重$ w$，$ \mathcal{A}^{\ast} $在$ \ell ^{p} (w)$上有界。$ \mathcal{A}^{\ast} $的先验加权不等式未知。
Quantitative $l^p$-improving for discrete spherical averages along the primes
我们展示了定量（在半径方面）$l^p$ -改进估计的离散球平均沿素数。这些平均算子是由Anderson、Cook、Hughes和Kumchev定义的，是Stein球面平均的离散素变体。证明使用傅立叶乘数的精确分解。
Average decay estimates for Fourier transforms of measures supported on curves
我们考虑R^d中曲线上密度的傅里叶变换。我们得到了L^q衰变率的尖锐的下界和接近尖锐的上界。
Averages along the Square Integers: $\ell^p$ improving and Sparse Inequalities
令$f\in \ell^2(\mathbb Z)$。通过$ A_N f(x):=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N f(x+k^2) $定义$ f$在平方整数上的平均值。我们发现，$ A_N$满足当地的无标度$ \ell ^{p}$-改善估计，$ 3/2 < p \leq 2$：\begin{equation*} N ^{-2/p'} \lVert A_N f \rVert _{ p'} \lesssim N ^{-2/p} \lVert f\rVert _{\ell ^{p}}, \end{equation*}提供$ f$支持在一定的区间长度$ N ^2 $，和$ p' =\frac{p} {p-1}$是共轭指数。对于$ 1< p < 3/2$，上述不等式失败。极大函数$ A f = \sup _{N\geq 1} |A_Nf| $满足类似的稀疏边界。新的加权和向量值不等式$ A$如下。证明中的一个关键步骤需要控制$G(q,x)$函数的$ q$上的对数平均数，计算$x$ mod $q$的平方根数。需要一个统一的$x$估计。
Space curve Fourier restriction for orthonormal functions
本文通过希尔伯特空间方法和高低方法变体，证明了正交函数系下非退化曲线的$L^2$傅里叶限制不等式，并建立了相关卷积算子的$L^p$改进界。
A counterexample for local smoothing for averages over curves
本文构造光滑非退化曲线上平均算子局部光滑化估计的反例，给出新的必要条件，并揭示其在 n≥5 时推导极大函数界的局限。
A framework for discrete bilinear spherical averages and applications to $\ell^p$-improving estimates
本文提出离散双线性球面平均算子的分解框架，推广至单纯形平均算子，并应用于算子有界性估计。
Improving estimates for discrete polynomial averages
对于将整数映射为整数的多项式$P$，定义作用于整数上的函数的平均运算符$A_{N} f(x):=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N f(x+P(k))$。证明了$\ell^{p}$改进不等式\begin{equation*} \|A_N f\|_{\ell^q(\mathbb{Z})} \lesssim_{P,p,q} N^{-d(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})} \|f\|_{\ell^p(\mathbb{Z})}, \qquad N \in\mathbb{N}, \end{equation*}成立的充分条件，其中$1\leq p \leq q \leq \infty$ .对于一系列的二次多项式，所建立的不等式是尖锐的，直到允许的$(p,q)$对的边界。对于三度及更高，不等式接近尖锐。在二次的情况下，我们呼吁离散分数次积分的研究斯泰因和Wainger。在高次情形下，我们求助于最近由Bourgain、Demeter和Guth建立的Vinogradov中值定理。
Average intersection number of trigonometric plane curves in $L_2$ and $W_2^r$ statistics
计算由$N$和有界$L_2$ -或$W_2^r$ -模的三角多项式映射给出的两条平面曲线的交点数的平均值
Sharp variational inequalities for average operators over finite type curves in the plane
本文研究了平面上有限型曲线的平均算子对应的变分算子，建立了其$L^p(\mathbb{R}^2)$有界性及必要条件，并通过建立不满足电影曲率条件的Fourier积分算子的混合范数局部平滑估计完成证明。
$\ell^p(\mathbb{Z}^d)$-Improving Properties and Sparse Bounds for Discrete Spherical Maximal Means, Revisited
我们证明了$\ell ^{p}(\mathbb{Z}^d)$的一个扩展范围-改进的性能和稀疏界的离散球面最大平均值在每一个维度$d\geq 6$。证明的基本要素是Ramanujan和限制Kloosterman和的高指数平均的界。
$L^p$ improving properties and maximal estimates for certain multilinear averaging operators
本文研究曲率超曲面上多线性 lacunary 极大平均的 $L^p$ 估计，利用 $L^1$ 改进估计与非线性 Brascamp-Lieb 不等式获得新结果，并给出双线性球面极大函数的新证明。
$L^p$-improving bounds of maximal functions along planar curves
本文研究沿平面曲线的极大函数的$L^p$改进界，在一般光滑性和曲率条件下给出了$L^p\rightarrow L^q$估计的充分条件，并证明结果在除边界情形外是尖锐的。
L^p regularity of averages over curves and bounds for associated maximal operators
证明了对于$\mathbb R^3$中的有限型曲线，当$p$足够大时，由扩张生成的极大算子在$L^p$上有界.我们还显示了端点$L^p \to L^{p}_{1/p}$正则性结果的平均算子大$p$。证明利用了Thomas Wolff关于锥乘子分解的一个深入结果。
Sharp smoothing properties of averages over curves
证明了光滑非退化曲线$γ$在$\mathbb R^d$，$d\ge 3$上的平均算子的光滑性质.尽管这种曲线的几何结构简单，但除了低维的曲线外，尖锐的平滑估计在很大程度上仍然是未知的。设计了一种新的归纳策略，得到了最优的$L^p$ Sobolev正则性估计，解决了Beltran-Guo-Hickman-Seeger的猜想.此外，我们给出了每个$d$的局部光滑估计。作为结果，我们建立，第一次，非平凡的$L^p$有界的最大平均膨胀的$γ$ $d\ge 4$。
Sharp local smoothing estimates for curve averages
研究曲线平均的精确局部平滑估计，通过一种适用于矩曲线的新型波包络估计进行证明，得到了所有维度下曲线平均的精确局部平滑估计，还证明了\(\mathbb{R}^4\)中螺旋极大算子的精确\(L^p\)有界性等成果。
Sharp $\ell^p$-Improving Estimates for Fixed-Radius Discrete Spherical Averages
该研究针对d≥4的整数维空间，证明了固定半径离散球平均的Sharp ℓ^p改进估计，将相关经典估计扩展到了Sharp下限p=(d+2)/d，丰富了调和分析中格点球平均的估计理论。
Averages over the Gaussian Primes: Goldbach's Conjecture and Improving Estimates
本文证明了任意扇形区域内Gaussian primes的Goldbach猜想版本，包括三素数求和表示及二进制Goldbach猜想的密度版本。
Endpoint $ \ell ^{r}$ improving estimates for Prime averages
该研究针对von Mangoldt函数定义的素数平均算子，证明了其精确的$\ell^p$改进性质与极大函数的稀疏界，给出了依赖集合大小的不等式，在广义黎曼假设下得到更优结果，证明基于圆法与Bourgain插值论证。
Improving and Maximal Inequalities for Primes in Progressions
假设$ y < N$是整数，并且$ (b,y) =1$ .定义一个沿直径$ y$级数中素数的平均值，由整数$ (b,y)=1 $给出。\begin{align*} A_{N,y,b} := \frac{ϕ(y)}{N} \sum _{\substack{n <N\\n\equiv b\pmod{y}}} Λ(n) f(x-n) \end{align*}在上面，$Λ$是von Mangoldt函数，$ϕ$是totient函数。我们建立这些平均值的改进和极大不等式。这些界限在级数的选择上是一致的。例如，对于$ 1< r < \infty $，存在整数$N _{y, r}$，使得\begin{align*} \lVert \sup _{N>N _{y,r}} \lvert A_{N,y,b} f \rvert \rVert_{r}\ll \lVert f\rVert_{r}. \end{align*}隐含常数仅是$ r$的函数。级数的一致性在证明中加入了几个新的元素。
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