Matrix valued discrete-continuous functions with the prolate spheroidal property and bispectrality
本文建立了离散-连续双谱函数与长球形现象的内在联系，在矩阵值函数框架下，利用非交换矩阵值 Fourier 代数，构造性地证明了自伴 Darboux 变换可生成具有交换微分算子和平移算子的积分算子，并给出了阶数与带宽的显式上界。
2024-02-14 math-ph math.CA math.MP
Darboux transformations for CMV matrices
我们发展了一个理论的达布变换CMV矩阵，规范表示的酉算子。在完美的类比与他们的自伴版本-雅可比矩阵的达布变换-他们相当于洛朗多项式修改的基本措施。我们解决其他问题，强调雅可比和CMV矩阵的达布变换之间的相似性，像他们的（几乎）isospectrality或关系，他们之间建立相应的正交多项式，也表明这两个变换连接的Szegö映射。然而，我们发现的CMV矩阵的达布变换的一些功能是在与雅可比的情况下形成鲜明对比。特别是，当应用到CMV矩阵，矩阵实现的逆达布变换-我们称之为“达布变换参数”-导致虚假的解决方案，其解释值得今后的研究。这样的伪解既不是酉矩阵也不是带状矩阵，所以CMV矩阵的达布变换比它们的雅可比变换更容易受到无限矩阵代数的微妙影响。无限矩阵的Cholesky分解在我们的理论中扮演了一个关键的角色。实际上，本文所介绍的达布变换是基于CMV矩阵上的一阶厄米特洛朗多项式的Cholesky分解。我们还展示了如何这些变换可以推广到更高程度的洛朗多项式，以及CMV矩阵的扩展到准定泛函-我们称之为“准CMV”矩阵。
2016-09-05 math.CA
Integral operators, bispectrality and growth of Fourier algebras
在80年代中期，人们证明了每一个双谱亚纯函数$ψ(x,y)$都产生一个积分算子$K_ψ(x,y)$，该积分算子具有一个可交换的微分算子。这已被验证了几个家庭的功能$ψ(x,y)$，其中交换微分算子的顺序为$\leq 6$的直接计算。我们证明了这个猜想的一般版本的所有自伴双谱函数秩1和所有自伴双谱达布变换秩2贝塞尔和艾里函数。该方法是基于一个定理，给出一个精确的估计的第二和第一阶项的增长的傅立叶代数的每个这样的双谱函数。从它，我们得到一个尖锐的上界的顺序交换微分算子的积分核$K_ψ(x,y)$和一个快速的算法程序，用于构建的微分算子，不像以前的例子，其顺序是任意高。我们证明了上述类别的双谱函数参数化的无限维格拉斯曼，这是拉格朗日轨迹的威尔逊adelic格拉斯曼及其类似物在秩2。
2018-10-24 math.CA math.RA math.SP
Singular examples of the Matrix Bochner Problem
本文首次构造了矩阵 Bochner 问题中不能由经典标量权直和的非交换双谱 Darboux 变换得到的奇异解，为理解该问题的一般解提供了新例证。
2024-10-19 math.CA math.RA
Exceptional Laguerre and Jacobi polynomials and the corresponding potentials through Darboux-Crum Transformations
简单的推导，提出了四个家庭的无穷多个形状不变的哈密顿相应的例外拉盖尔和雅可比多项式。应用达布-克拉姆变换将径向振子的形状不变哈密顿量和达布-珀施尔-特勒势与大岳-佐佐木势的形状不变势联系起来。Dutta和Roy用这种方法导出了例外Laguerre多项式的两个最低成员。该方法扩展到其充分的一般性和许多其他的分支，包括方面的广义Bochner问题和特殊的正交多项式的双谱性质，进行了讨论。
2010-04-27 hep-th math-ph math.CA
Scaling Limits of Jacobi Matrices and the Christoffel-Darboux Kernel
我们研究确定性Jacobi矩阵在一个固定点，$x_0$，和他们的连接的缩放限制的Christoffel-Darboux内核在这一点上的缩放限制。我们证明了在正交多项式有界于$x_0$的情况下，一个连续极限总是存在的，并且可以表示为一个标准系统。我们进一步表明，在弱条件下的相关措施，散装普遍性的CD核是等价的存在一个特定的显式的限制。
2018-12-18 math-ph math.CA math.MP
Solutions of Darboux Equations, its Degeneration and Painlevé VI Equations
本文研究了经典形式和系统形式的Darboux方程，利用等单点变形方法得到了椭圆型Painlevé VI方程.然后我们建立了特殊的Darboux方程和特殊的Painlevé VI方程之间的完全对应。我们特别关注标量形式的达布方程，而不是系统形式，它是经典Lamé方程的推广。本文对Darboux方程的解在四个正则奇点的每一个周围引入一个新的无穷级数展开式（用超几何函数和雅可比椭圆函数的合成表示），并将Darboux方程的特解作为这些终止级数.达布方程的特点是以这种方式有一个几乎（但不完全）完全对应的特殊类型的Painlevé VI方程。最后讨论了这些无穷级数展开式的收敛性。
2019-01-10 math.CA
Complex Jacobi matrices generated by Darboux transformations
本文研究了由非实复数上的Christoffel变换和Geronimus变换得到的复Jacobi矩阵，包括相应的正交多项式序列的性质.给出了Jacobi矩阵在这种变换下的不变和半不变性质。例如，我们证明了Nevai类在所讨论的变换下是不变的，这在一般情况下是不正确的，并且比率渐近仍然在相应的对称复Jacobi矩阵的谱之外成立，但是谱可以包括一个额外的点。原则上，这些变换可以迭代，例如，我们演示了如何Geronimus变换可以导致$R_{II}$ -递归关系，这反过来又与正交有理函数和铅笔的雅可比矩阵。
2022-06-22 math.CA math.CV math.SP
Darboux transformations of Jacobi matrices and Padé approximation
设J是一个与概率测度的柯西变换F相关联的首一Jacobi矩阵.本文构造了一对上、下三角分块矩阵L和U，使得J=LU，矩阵J_c=UL是与函数F_c（z）=zF（z）+1有关的一阶广义Jacobi矩阵。证明了有界幺Jacobi矩阵J的Christoffel变换J_c可以是无界的。这一现象与函数F_c的Padé逼近的极点在无穷远处的累积效应有关，尽管F_c在无穷远处是全纯的。也考虑了J的UL-因子分解的情况。
2011-06-06 math-ph math.CA math.MP
The algebra $\mathcal{D}(W)$ via strong Darboux transformations
本文引入权矩阵的强 Darboux 变换，建立 $\mathcal D(W)$ 与 $\mathcal D(\widetilde W)$ 的关系，并由经典标量权直和的已知代数计算变换权矩阵的微分算子代数。
2025-03-14 math.CA math.RA
Asymptotic behaviour of Christoffel-Darboux kernel via three-term recurrence relation I
对于Jacobi参数的渐近周期，周期调制和这两者的混合，我们研究了Christoffel函数的渐近行为和Christoffel-Darboux核的尺度极限.我们假设Jacobi参数的Stolz类的正则性。我们强调，第一类只产生具有紧支集的测度。
2020-09-16 math-ph math.CA math.MP
Asymptotic behaviour of Christoffel-Darboux kernel via three-term recurrence relation II
研究了当$0$位于相应周期雅可比矩阵谱的软边时，雅可比参数周期调制的正交多项式.我们确定的正交性措施时，是绝对连续的，我们提供了一个建设性的公式，它的限制图兰决定。其次，我们考虑相关的二阶差分方程的解的渐近性。最后，我们研究了Christoffel-Darboux核的标度极限。
2020-10-15 math-ph math.CA math.MP
Bidiagonal factorization of tetradiagonal matrices and Darboux transformations
最近给出了允许正双对角分解的有界带状下Hessenberg矩阵的谱Favard定理。这些类型的矩阵是振荡的。本文利用四对角矩阵的这种双对角分解讨论了Lima-Loureiro超几何多重正交多项式和Jacobi-Piñiro多重正交多项式.研究了四对角Hessenberg矩阵的Darboux变换，给出了双对角分解元素的Christoffel公式，根据在原点处求值的递归多项式给出双对角因式分解。
2022-10-20 math.CA nlin.SI
The spectral matrices associated with the stochastic Darboux transformations of random walks on the integers
考虑整数上随机游动的转移概率矩阵的UL和LU随机因子分解，该随机游动是一个双无限三对角随机Jacobi矩阵。我们给出的条件的自由参数的两个因子分解在某些连分数，使这种随机因子分解总是可能的。通过反转因子的顺序（也称为达布变换），我们得到整数上的新的随机游动族。我们确定与这些达布变换（在这两种情况下），基本上是共轭的矩阵多项式的Geronimus变换的原始谱矩阵的程度之一的谱矩阵。最后，我们将我们的结果应用到具有恒定转移概率的随机游动，有或没有吸引力或排斥力。
2019-07-12 math.CA math.PR
Two-step Darboux transformations and exceptional Laguerre polynomials
最近发现，Sturm-Liouville正交多项式族是Hermite、Laguerre和Jacobi等经典多项式族的特例。在本文中，我们展示了如何新的家庭例外正交多项式可以通过多步代数达布变换。以经典Laguerre多项式的两步达布变换为例说明了该构造，从而得到了一个新的由两个整数参数索引的正交多项式系统.对于这些参数的特定值，经典的Laguerre和II型$X_\ell$ -Laguerre多项式恢复。
2011-08-21 math-ph math.CA math.MP
On the relation between Darboux transformations and polynomial mappings
设dμ（t）是[0，+ \infty）上的概率测度，使得它的矩是有限的.则dμ（t）的Cauchy-斯蒂尔切斯变换S是一个斯蒂尔切斯函数，它可以展开成一个斯蒂尔切斯连分数.本文考虑从S（λ）到λS（λ^2）的展开变换的矩阵解释，它与多项式映射的最简单情形密切相关.更确切地说，它表明，这种变换本质上是一个达布变换的基础雅可比矩阵。此外，在该方案中，Carlitz问题解的Chihara构造表现为移动的达布变换。
2012-12-05 math-ph math.CA math.MP
Krall-Jacobi commutative algebras of partial differential operators
我们构造了一大类旋转不变的偏微分算子交换代数。这些代数是由Grunbaum和Yakimov引入的普通微分算子代数的同构扩展，对应于雅可比多项式的递归算子谱的一端的达布变换。建设是基于一个新的证明他们的结果，导致更详细的描述的一维理论。特别是，我们的方法建立了一个猜想海涅关于明确的特征的Krall-Jacobi代数的普通微分算子。
2011-03-22 math.CA math.QA
Exceptional Legendre Polynomials and Confluent Darboux Transformations
特殊正交多项式是一类作为Sturm-Liouville本征值问题的解而出现的正交多项式。他们推广了经典的埃尔米特，拉盖尔，和雅可比多项式的家庭，允许多项式序列，错过了有限数量的“例外”程度。本文利用经典Legendre算子的等谱变形，构造了一种新的多参数例外勒让德多项式。使用合流达布变换和逆散射理论的技术，我们得到一个完全明确的描述的运营商和多项式的问题。该文件的主要新颖之处是新的建设，允许特殊的多项式家庭与任意数量的真实参数。
2021-02-20 math-ph math.CA math.MP
Biorthogonal Polynomial System Composed of X-Jacobi Polynomials from Different Sequences
本文研究了Jacobi方程的有理达布变换（RDTs），重点讨论了无穷区间两端Dirichlet边界条件下的Sturm-Liouville问题（SLP）[1，inf].为了能够将分析扩展到达布-克拉姆网的有理SL方程（SLEs）下所引用的DBCs多指标正交例外Romanovski-Jacobi（XR-Jacobi）多项式的解决方案，我们只考虑种子功能，代表主Frobenius解决方案（PFS）附近的奇异端点之一。.有三种不同类型的解决方案，没有零内选定的间隔：两个无穷序列形成的PFS附近的下端点和一个有限序列形成的PFS附近的无穷大。证明了以经典的雅可比多项式为种子函数，得到了由正交的X_m-雅可比多项式以相反的幅角构成的双指标流形.作为推论，我们断言，只要X_m-Jacobi多项式的指数受导出的XR-雅可比多项式的指数约束的限制，每个m + n次的X_m-Jacobi多项式在-inf和-1之间恰好有m个例外零点。
2018-01-26 math-ph math.CA math.MP
Algebras of commuting differential operators for integral kernels of Airy type
微分算子与积分算子可交换是在C. Tracy和H. Widom [37，38]的方法，并用于推导随机矩阵理论中出现的积分算子的弗雷德霍姆行列式的渐近展开。最近，人们已经证明，所有合理的，对称达布变换的贝塞尔，艾里和指数双谱函数产生交换积分和微分算子[6，7，8]，大大推广了已知的例子在文献中。本文利用作用在（无限维）Airy Adelic Grassmannian的Lagrange轨迹上的微分伽罗瓦群的不动点子流形，对Airy函数的有理对称Darboux变换进行了分类，并开始了与每一个积分算子交换的微分算子的全代数的研究.利用文献[8]的一般理论，我们得到了两个最低阶的微分算子的显式公式，这些微分算子与达布过程中得到的第一级和第二级积分算子中的每一个可交换.证明了每对微分算子都是可交换的。在第一级的情况下，交换算子满足一个代数关系定义的椭圆曲线。
2021-12-22 math-ph math.CA math.MP
Stochastic Darboux transformations for quasi-birth-and-death processes and urn models
考虑离散时间拟生灭过程的一步转移概率矩阵的随机UL和LU块分解，即随机块三对角矩阵。仅具有最近邻跃迁的随机游动的更简单情况给出了唯一的LU分解和UL情况下的单参数分解族。这里考虑的块结构产生了更多可能的因子分解，从而产生了更大的一类潜在应用。通过反转因子的顺序（也称为达布变换），我们得到了新的拟生灭过程族，其中可以根据原始过程的Geronimus（UL）或Christoffel（LU）变换来识别矩阵值谱测度。我们将我们的结果应用到一个例子去与矩阵值雅可比多项式在组表示论中出现。我们也给出了一些特殊情况下的瓮模型。
2018-02-14 math.CA math.PR
Exceptional Askey-Wilson type polynomials through Darboux-Crum transformations
一个替代推导无限多例外威尔逊和Askey-Wilson多项式，这是介绍了本作者在2009年。Darboux-Crum变换将原始多项式和例外多项式的离散量子力学系统交织在一起，起着重要的作用。许多连续的哈恩多项式都是以同样的方式推导出来的。本方法提供了一个简单的证明，这些系统的形状不变性的例外拉盖尔和雅可比多项式的相应情况下。
2010-06-29 hep-th math-ph math.CA
Darboux transformations from the Appell-Lauricella operator
定义了两个同构的微分算子代数：第一个代数由常微分算子组成，包含超几何微分算子;第二个代数由$d$变量的偏微分算子组成，包含Appell-Lauricella偏微分算子.利用这个同构，我们构造了部分微分算子，这是达布变换从多项式的Appell-Lauricella操作。我们证明了这些算子可以嵌入到交换偏微分交换代数中，其中包含相互交换且代数独立的部分微分算子的$d$，可以认为它们是量子完全可积系统.此外，这些代数可以同时对角化的空间上的多项式导致的雅可比多项式的扩展正交的Dirichlet分布的单纯形。
2019-09-17 math-ph math.CA math.MP
Associated orthogonal polynomials of the first kind and Darboux transformations
设$\un,$是定义在多项式空间$\mathbb{P}.$上的拟定线性泛函，对于这样的泛函，我们可以定义一个满足三项递归关系的单正交多项式序列（简称SMOP）$(P_n)_{n\geq 0},$.移动一个单位的递归系数指数给定的序列的相关的多项式的第一类是正交的关于一个线性泛函表示为$\un^{(1)}$。在文献中研究了泛函$\un$的两种特殊变换，即规范Christoffel变换$\widetilde \un=(x-c)\un$和规范Geronimus变换$\widehat \un=\frac{\un}{(x-c)}+M\deltan_c$，其中$c$是固定复数，$M $是自由参数，$\deltan_c$是定义在$\mathbb{P}$上的线性泛函$\prodint{\deltan_c,p(x)}=p(c).$。本文研究了线性泛函$ \un^{(1)}$和$\widetilde{\un}^{(1)}.$之间的关系。其中，超指数分别表示与第一类正交多项式序列$(P_n^{(1)})_{n\geq 0}$和$(\widetilde P_n^{(1)})_{n\geq 0},$相关的线性泛函。这个问题也研究了Geronimus变换。本文利用LU分解和UL分解给出了它们对应的幺Jacobi矩阵之间的密切关系。为了得到这个结果，我们首先需要研究$\un^{-1}$（逆泛函）和$\un^{(…
2021-03-03 math.CA
Transmutation kernels for the little q-Jacobi function transform
小q-Jacobi函数变换依赖于三个参数。对于不同参数集下的小q-Jacobi函数变换的对偶变换核（一种非对称的泊松核），导出了两个平衡良好的8 W ~ 7-级数之和的显式表达式.得到了对偶嬗变核的乘积公式。对于逆变换，给出了3个\phi的2-级数的嬗变核，并导出了作为有限和的乘积公式。嬗变核产生了二阶超几何q-差分算子的交织算子，它推广了由达布因子分解产生的交织算子。
2000-11-01 math.CA math.QA
Simplified Expressions of the Multi-Indexed Laguerre and Jacobi Polynomials
多指标Laguerre多项式和雅可比多项式构成了一个完整的正交多项式集。它们满足二阶微分方程，但不满足三项递推关系，因为它们的度中存在“洞”。多指标Laguerre和雅可比多项式具有源自多个达布变换的朗斯基表达式。为了便于应用，基于不同的恒等式，导出了多指标Laguerre多项式和雅可比多项式的两种不同形式的简化表达式.在雅可比多项式的奇偶变换性质的基础上，导出了多指标雅可比多项式的奇偶变换性质.
2017-03-29 hep-th math-ph math.CA
Non-polynomial extensions of solvable potentials a la Abraham-Moses
在一维量子力学中，除了达布变换外，Abraham-Moses变换也是产生可解势延拓的著名方法。在这里，我们提出了显式形式的无限多种子解决方案添加本征态在任意实能量通过亚伯拉罕-摩西变换典型的可解势，如径向振荡器，达布-Pöschl-Teller和其他一些。这些种子解是虚态波函数的简单概括，虚态波函数是通过势的离散对称性从本征函数获得的。虚态波函数是通过多重Darboux-Crum变换构造多指标Laguerre和Jacobi多项式的重要组成部分。与达布变换相反，虚态波函数通过Abraham-Moses变换产生可解势的非多项式扩展。
2013-07-03 hep-th math-ph math.CA
The generic quantum superintegrable system on the sphere and Racah operators
本文考虑具有势$V(y)=\sum_{k=1}^{d+1}\frac{b_k}{y_k^2}$的$d$ -球上的一般量子超可积系统，其中$b_k$是参数.适当规范化，对称运营商的哈密顿定义的一个表示的Kohno-Drinfeld李代数上的多项式空间正交的狄利克雷分布。由Jucys-Murphy元生成的Gaudin子代数被单形上的$d$变量的Jacobi多项式族对角化.我们定义了一组发电机的对称代数，我们证明了他们的行动的雅可比多项式表示的多变量Racah运营商介绍arXiv：0705.1469。的建设也产生一个新的李理论解释的双谱性质的Tratnik的多变量拉卡多项式。
2017-06-12 math-ph math.CA math.MP
Classification of exceptional Jacobi polynomials
本文为例外 Jacobi 算子和多项式提供了完整分类方案，基于参数取整数值划分六个退化类，通过谱图建立一一对应关系并给出显式构造公式，揭示了完全退化类中存在任意数量连续参数的算子。
2025-05-30 math-ph math.CA math.MP
Structure of operator algebras for matrix orthogonal polynomials
本文研究矩阵正交多项式的微分算子代数及其中心在Darboux变换下的结构，建立了等价权中心间的显式关系，并通过可约与不可约矩阵权（含Jacobi型）加以验证。
2025-09-10 math.CA math.OA
The Koornwinder--Kostenko--Teschl Conjecture for Jacobi Polynomials and the Discrete Laguerre Phase Transition
School of Mathematics and Statistics, Nanfang College（南方学院数学与统计学院）
该研究证明了改进的Koornwinder-Kostenko-Teschl猜想，通过结合中心围道估计等方法得到雅可比函数的界，将其应用于离散拉盖尔演化得到最优正参数衰减，确定了长时间衰减指数的最优值。
2026-09-01 math.CA math.SP
Casoratian Identities for the Wilson and Askey-Wilson Polynomials
本文导出了Wilson多项式和Askey-Wilson多项式的许多Casoratian恒等式，并与作者最近报道的Hermite多项式、Laguerre多项式和Jacobi多项式的Wronskian恒等式并行地导出了许多Casoratian恒等式。这些恒等式构成了可解（离散）量子力学系统本征态增删达布变换等价性的基础。类似的恒等式适用于威尔逊多项式和阿斯基-威尔逊多项式的各种简化形式的多项式，例如连续的q-Jacobi，连续的（对偶）（q-）Hahn，Meixner-Pollaczek，Al-Salam-Chihara，连续的（大）q-Hermite等。
2014-04-17 hep-th math-ph math.CA
