Hopf群余代数

乘子Hopf群余代数的代数和分析

Multiplier Hopf group coalgebras from algebraic and analytical point of views

乘子Hopf群余代数是Hegazi在2002年[7]引入的，它是Turaev在2000年[5]引入的Hope群余代数在非幺正情形下的推广。本文证明了A.Van Daele在构造乘子霍普夫代数\cite{4}时引入的概念可以适用于我们的构造.一个乘子Hopf群余代数是一个代数族$A=\{A_α\}_{α\in π}$（$π$是一个离散群），它具有一个同态族$Δ=\{Δ_{α,β}:A_{αβ}\longrightarrow M(A_α\otimes A_β)\}_{α,β\in π}$，在一定条件下称为余乘，其中$M(A_α\otimes A_β)$是$A_α\otimes A_β$的乘子代数. 2003年A. Van Daele提出了一种新的方法来研究相同的结构，通过考虑代数$A_p$的直和，这将是一个乘数霍普夫代数，后来称为群余分次乘数Hope代数\cite{11}。因此，乘子Hopf群余代数与群余分次乘子霍普夫代数之间存在一一对应关系.利用这种一一对应，我们研究了乘子Hopf群余代数

Turaev的Hopf群余代数的范畴化方法

A categorical approach to Turaev's Hopf group-coalgebras

证明了Turaev群余代数和Hopf群余代数是对称幺半范畴中的余代数和霍普夫代数，我们称之为Turaev范畴.一个类似的结果也适用于群代数和Hopf群代数。作为应用，我们给出了Virelizier版本的霍普夫代数基本定理的另一种方法.利用中心构造方法引入了Hopf群余代数上的Yetter-Drinfeld模.

A note on connected cofiltered coalgebras, conilpotent coalgebras and Hopf algebras

This notes gives a proof that a connected coaugmented cofiltered coalgebra is a conilpotent coalgebra and thus a connected coaugmented cofiltered bialgebra is a Hopf algebra. This applies in particular to a connected coaugmented cograded coalgebra and a connected coaugmented cograded bialgebra.

Hopf群余代数的几何与归纳约化

Geometry and reducibility of induction of Hopf group co-algebras

本文研究了Hopf群余代数的诱导（诱导和余诱导）理论.定义了一个Hopf群余代数$H$的子结构B，称为子Hopf群余代数.同时，我们还引入了$H$的Hopf群子代数和群余迷向量子子群的定义.给出了诱导和余诱导的代数结构的性质。此外，还研究了这种表示结构的几何解释框架和简单性理论。

余代数、双代数和霍普夫代数的极限

Limits of Coalgebras, Bialgebras and Hopf Algebras

本文给出了任意余代数、双代数和霍普夫代数的乘积的显式构造：证明了任意余代数族（分别为.双代数，霍普夫代数）是一族余代数（分别是双代数、霍普夫代数）。给出了余代数的两个态射的均衡器（分别为双代数，霍普夫代数）也被明确地描述。从而证明了余代数、双代数和霍普夫代数的范畴是完备的，并给出了上述范畴中极限的明确描述.

Hom-李容许Hom-余代数与Hom-霍普夫代数

Hom-Lie admissible Hom-coalgebras and Hom-Hopf algebras

本文将Goze和Remm引入的Lie-可容许余代数的概念推广到Hom-余代数，并引入具有某些性质的Hom-霍普夫代数.这些结构是基于作者所介绍的Hom-代数结构。

Hopf群余代数上的微分学

Differential calculus on Hopf Group Coalgebra

本文在Turaev [10]引入的Hopf群余代数上构造了一个微分学。本文证明了S. L. Woronowicz在构造Hopf紧矩阵伪群（量子群）上的微分学[7]中引入的概念可以适用于我们的构造.

Partial Actions of Weak Hopf Algebras on Coalgebras

In this work the notions of partial action of a weak Hopf algebra on a coalgebra and partial action of a groupoid on a coalgebra will be introduced, just as some important properties. An equivalence between these notions will be presented. Finally, a dual relation between the structures of partial action on a coalgebra and partial action on an algebra will be established, as well as a globalization theorem for partial module coalgebras will be presented.

3-流形上的对合Hopf群余代数与平坦丛

Involutory Hopf group-coalgebras and flat bundles over 3-manifolds

给定一个群G，我们利用对合Hopf G-余代数定义了3-流形上平坦G-丛的一个标量不变量.当G=1时，这个不变量等于Kuperberg由对合霍普夫代数构造的3-流形的不变量.我们给出的例子表明，这个不变量是不平凡的。

紧余代数、紧量子群与正对极

Compact coalgebras, compact quantum groups and the positive antipode

在这篇文章中-也有意图调查一些已知的结果在理论上的紧凑量子群使用的方法不同的标准和具有强烈的代数风味-我们考虑紧凑的o-余代数和霍普夫代数。在o-Hopf代数的情况下，我们证明了紧性的特征在于正定积分的存在性，并利用我们的方法给出了文献[4]中出现的紧对合的唯一性的初等证明--直到霍普夫代数的自同构共轭为止.研究了对极平方的正平方根的基本性质，它是一个霍普夫代数的自同构，我们称之为正对极。我们使用它-以及酉对极和中山自同构-以加强我们对对极本身的理解。

余代数生成的自由Poisson霍普夫代数

Free Poisson Hopf algebras generated by coalgebras

在Poisson霍普夫代数的背景下，构造了Takeuchi自由霍普夫代数的模拟.更确切地说，我们证明了在任何余代数上存在一个自由Poisson Hopf代数，或者等价地证明了从Poisson霍普夫代数范畴到余代数范畴的遗忘函子有一个左伴随.特别地，我们还证明了Poisson霍普夫代数范畴是Poisson双代数范畴的一个反射子范畴。一路上，我们描述的余积和余均衡器的泊松霍普夫代数的范畴，因此，后者的范畴是余完备的。

分次量子群

Graded quantum groups

从一个霍普夫代数出发，通过霍普夫自同构赋予群G的作用，用扭二重方法构造了一个拟三角霍普夫G-余代数.这种方法使我们能够得到任意有限群G和无限群G如GL（n，K）的拟三角Hopf G-余代数的非平凡例子。特别地，我们定义了分次量子群。

关联代数的霍普夫代数结构

Hopf algebra structure of incidence algebras

偏序集的关联代数也自然地支持余代数结构，使得它成为m-弱双代数甚至是以默比乌斯函数为对极的m-弱霍普夫代数.这里的m-弱表示乘法和余乘法不需要分别是余代数态射或代数态射。在偏序集的区间集上计算模等价关系得到了丰富的理论。

余代数的Nakayama函子与Hopf代数积分理论的范畴论视角

Nakayama functor for coalgebras and a categorical perspective of the integral theory for Hopf algebras

本研究回顾余代数的Nakayama函子的基本性质并介绍其在张量范畴的应用，同时给出带预对极的余拟双代数存在非零余积分的等价条件。

关于向量积霍普夫代数

On cross product Hopf algebras

设$A$和$B$是辫子幺半范畴$\Cc$中的代数和余代数，并假设在$A\ot B$上有一个向量积代数和一个交余积余代数结构.给出了$A\ot B$是双代数的充要条件和$A\ot B$是霍普夫代数的充分条件.讨论了这样一个向量积霍普夫代数何时是双叉积、双积或更一般的Smash（co）积霍普夫代数.在这些情况下，我们提供了一个明确的描述相关的霍普夫代数投影。

系数代数与余代数的Hopf-循环上同调对

Pairings in Hopf-cyclic cohomology of algebras and coalgebras with coefficients

本文研究了代数和余代数的Hopf型循环上同调的杯积理论。在这里，我们给出了详细的证据的声明，宣布在我们以前的文件。我们证明了一个余代数的循环上同调可以从涉及非交换Weil代数的构造中得到。然后我们使用Quillen和Crainic构造的推广来定义杯积。讨论了循环上同调上引入的杯积与$S$ -运算之间的关系。在此之后，我们描述了这类乘积与双变循环上同调的关系。在最后一节中，我们简要地讨论了我们的结构与Khalkhali和Rangipour的关系。

霍普夫代数的余代数分裂扩张的分类

Classifying coalgebra split extensions of Hopf algebras

对于给定的Hopf代数$A$，我们将所有的霍普夫代数$A$通过$H_4$进行余代数分裂扩张，其中$H_4$是Sweedler的四维Hopf代数.等价地，我们通过明确计算两个分类对象：上同调“群”${\mathcal H}^{2} (H_4, A)$和所有交叉积的同构类型集$A # H_4$的$\textsc{C}\textsc{r}\textsc{p} (H_4, A) :=$，对霍普夫代数代数$A # H_4$的所有交叉积进行分类.所有的交叉积$A #H_4$由生成元和关系描述并分类：它们由$A$的所有中心本原元素的集合${\mathcal Z}{\mathcal P} (A)$参数化。几个例子的详细工作：特别是，在一个领域的特征$p \geq 3$一个无限的家庭的非同构霍普夫代数的尺寸$4p$的构造。本文还描述了这些霍普夫代数的自同构群。

Module traces and Hopf group-coalgebras

Let H be a finite-dimensional pivotal and unimodular Hopf algebra over a field k. It was shown in [BBGa] that the projective tensor ideal in H-mod admits a unique non-degenerate modified trace, a natural generalisation of the categorical trace. This paper provides an extension of this result to a much more general setting. We first extend the notion of the modified trace to the so-called module trace for a given k-linear module category M over a pivotal category C equipped with a module endofunctor. We provide a non-trivial class of examples of such module traces. In particular, we show that a…

具有余代数投影的霍普夫代数的余循环变形

Cocycle deformations for Hopf algebras with a coalgebra projection

设$H$是特征为$0$的域$K$上的一个Hopf代数，$A$是一个双代数或Hopf代数，使得$H$同构于$A$的一个子Hopf代数，并且存在一个从$A$到$H$的$H$ -双线性余代数投影$π$，它分裂包含.然后是$A \cong R \#_ξH$，其中$R$是共不变量的预双代数。本文研究了$A$通过$H$ -双线性上循环的变形.如果$γ$是$A$的上循环，则$γ$可以被限制为$R$的上循环$γ_R$和$A^γ\cong R^{γ_R} \#_{ξ_γ} H$。作为例子，我们考虑了$\mathcal{B}(V) \# K[Γ]$的提升，其中$Γ$是有限阿贝尔群，$V$是量子平面，$\mathcal{B}(V)$是它的Nichols代数，并显式构造了将Radford双积扭转到提升中的上循环。

代数中的抽象积分：余代数、霍普夫代数和紧群

Abstract integrals in algebra: coalgebras, Hopf algebras and compact groups

推广了纯（余）代数下紧群和霍普夫代数积分的存在唯一性的结果，得到了（拟）-余Frobenius和半完全余代数的一系列新结果.对于余代数$C$，我们引入了与右$C$ -余$M$相关联的广义积分空间$\int_M=\Hom^C(C,M)$，研究了对于所有$M$的“积分唯一性”$\dim(\int_M)\leq \dim(M)$与“积分存在性”$\dim(\int_M)\geq \dim(M)$之间的联系，以及$C$的表示论性质：（拟）-co-Frobenius，半完全.证明了余代数是余Frobenius的充要条件是对任意有限维$M$，积分的存在唯一性成立.我们给出了解释$\int_M$的余代数的代表性功能的一个紧凑的群体-他们将是“量子”不变的向量积分。作为应用，给出了余Frobenius余代数和霍普夫代数的一些著名特征的新证明，以及霍普夫代数中积分的唯一性.我们也给出了无限维代数的表示论的结论。我们给出了一个广泛的类的例子表明，该文件的结果是最好的可能。这些例子然后被用来给所有以前未知的各种重要类的余代数之间的连接出现在文献中。

关于余代数和Hopf代数胚的谱表示

On spectral representation of coalgebras and Hopf algebroids

本文建立了一类具有Hopf代数体结构的非必然交换代数与标准李群胚之间的对偶。对流形M上的任意标准李群胚G，G上紧支集的光滑函数群胚代数C_c（G）在C_c（M）上具有自然余代数结构，使之成为Hopf代数胚.反之，对于C_c（M）上的任意Hopf代数胚A，我们构造了M上的谱标准李群胚G_sp（A），使得G_sp（C_c（G））自然同构于G.这两种构造都是函子的，并且C_c是G_sp的完全左伴随.我们给出了Hopf代数胚同构于标准李群胚G的Hopf代数胚C_c（G）的显式条件.我们还证明了M上的层与C_c（M）上的一类余代数之间存在类似的对偶。

Partial corepresentations of Hopf Algebras

We introduce the notion of a partial corepresentation of a given Hopf algebra $H$ over a coalgebra $C$ and the closely related concept of a partial $H$-comodule. We prove that there exists a universal coalgebra $H^{par}$, associated to the original Hopf algebra $H$, such that the category of regular partial $H$-comodules is isomorphic to the category of $H^{par}$-comodules. We introduce the notion of a Hopf coalgebroid and show that the universal coalgebra $H^{par}$ has the structure of a Hopf coalgebroid over a suitable coalgebra.

群余分次乘子Hopf（*-）代数

Group-cograded multiplier Hopf (*-)algebras

设$G$是一个群，并假定$(A_p)_{p\in G}$是一族有单位元的代数。我们有一个{ \it Hopf $G$ -余代数}（在Turaev意义下），如果对于每一对$p,q\in G$，给出一个满足某些性质的酉同态$\co_{p,q}:A_{pq}\to A_p \ot A_q$.现在考虑这些代数的直和$A$。它是一个代数，没有单位元，除了当$G$是一个有限群，但产品是非退化。映射$\co_{p,q}$可用于定义$A$上的余积$\co$，并且这些映射上的条件给出$(A,\co)$是乘子Hopf代数.如本文所述，它是$G$ -共分级的。我们研究了这些所谓的{ \it群余分次乘子霍普夫代数}。他们是，如上所述，更普遍的比霍普夫群coalgebras介绍Turaev。此外，我们的观点使得有可能使用的结果和技术，从理论的乘子霍普夫代数在研究的霍普夫群余代数（和推广）。在另一篇论文中，我们在这种情况下处理量子双，我们恢复，在一个简单和自然的方式（和推广）的结果得到的Zunino。在本文中，我们研究积分，在一般情况下，在组件是有限维的情况下。利用这些思想，我们得到了Virelizier关于这个问题的大部分结果，并在乘子霍普夫代数的框架下考虑它们。

项链李余代数与重整化代数

The necklace Lie coalgebra and renormalization algebras

我们给出了一个自然的单态从项链李余代数，定义为任何一个，Connes和Kreimer的李余代数的树，并延长这一映射从一定的箭理论的Hopf代数Connes和Kreimer的重整化Hopf代数，以及前李版本。这些结果与Turaev在2004年的结果直接类似，通过用箭图上的路径代数替换曲面上的循环代数。我们还因素的态射通过代数的弦图和解释的几何版本。然后，我们解释了所有霍普夫代数如何由预李结构唯一确定，并讨论了霍普夫代数的非交换版本。

霍普夫颤动

Hopf quivers

本文利用类似于Cayley图的Hopf箭图对路余代数上的分次霍普夫代数结构进行了分类.描述除了涉及余积的规范公式外，还涉及乘积的公式。这使得明确的量子洗牌产品利用自然元素在一个霍普夫双模有一个简单的“几何”的解释，在广义上，而不是系统地工作与右或左coinvariants。

辫子余自由霍普夫代数与量子多支撑代数

Braided cofree Hopf algebras and quantum multi-brace algebras

给出了辫余自由余代数上霍普夫代数结构的系统构造.相关的底层结构是辫代数和辫余代数。我们提供了这些代数和余代数与量子群有关的一些有趣的例子。我们引入量子多支撑代数作为自然框架，它是辫子代数和$\textbf{B}_\infty$ -代数的推广。这门新学科使人们能够用统一的方法来表示一些重要的代数结构。特别有趣的例子是量子拟洗牌代数。

Epimorphic quantum subgroups and coalgebra codominions

We prove a number of results concerning monomorphisms, epimorphisms, dominions and codominions in categories of coalgebras. Examples include: (a) representation-theoretic characterizations of monomorphisms in all of these categories that when the Hopf algebras in question are commutative specialize back to the familiar necessary and sufficient conditions (due to Bien-Borel) that a linear algebraic subgroup be epimorphically embedded; (b) the fact that a morphism in the category of (cocommutative) coalgebras, (cocommutative) bialgebras, and a host of categories of Hopf algebras has the same cod…

Modified symmetrized integral in $G$-coalgebras

For $G$ a commutative group, we give a purely Hopf $G$-coalgebra construction of $G$-colored $3$-manifolds invariants using the notion of modified integral.

分次点霍普夫代数的覆盖

Coverings of graded pointed Hopf algebras

引入了分次点霍普夫代数的覆盖的概念。该理论表明，玻色化Nichols代数的复盖可以用Nichols代数的泛余代数覆叠群的商来具体表示.如果有足够的二次关系，泛余代数覆盖是由玻色化的基础机架的包络群。

从扩张论的观点看余代数-伽罗瓦扩张

Coalgebra-Galois extensions from the extension theory point of view

余代数-伽罗瓦扩张推广了霍普夫-伽罗瓦扩张，它可以被看作是非交换的torsors。本文分析了余代数-伽罗瓦扩张是可分扩张、分裂扩张或强可分扩张的条件。

Hopf双模代数上的无树霍普夫代数

Cofree Hopf algebras on Hopf bimodule algebras

以包含Clifford代数和量子群的普遍形式的Hopf双模代数为例，研究了其余张量余代数上的一个霍普夫代数结构.它被证明是建立在其右共不变空间上的量子准洗牌代数的玻色化。建立了新代数的泛性质和Rota-Baxter代数结构。

拟霍普夫代数的Doi-Hopf模和Yetter-Drinfeld模

Doi-Hopf modules and Yetter-Drinfeld modules for quasi-Hopf algebras

对于拟霍普夫代数$H$，左$H$ -余代数$\mf{B}$和右$H$ -模余代数$C$，我们用模刻画了Doi-Hopf模范畴${}^C{\cal M}(H)_{\mf{B}}$.我们还将证明，对于$H$ -双模余代数$\mb{A}$和$H$ -双模余代数$C$，广义Yetter-Drinfeld模范畴${}_{\mb{A}}{\cal YD}(H)^C$同构于某个Doi-Hopf模范畴.利用这个同构，我们将把Doi-Hopf模范畴的性质转移到广义Yetter-Drinfeld模范畴。

拟三角（G-余分次）乘子霍普夫代数

Quasitriangular (G-cograded) multiplier Hopf algebras

将一般拟三角Hopf代数的对极上的已知结果推广到乘子霍普夫代数的框架中。我们举例说明，不能得到使用经典的霍普夫代数。本文的主要研究对象是所谓的群余分次乘子霍普夫代数。通过这样做，我们把准三角Hopf群余代数（如Turaev介绍）的结果，更一般的框架乘子霍普夫代数。

广义Frobenius代数与霍普夫代数理论

Generalized Frobenius Algebras and the Theory of Hopf Algebras

“Co-Frobenius”余代数是Frobenius代数的对偶。最近，\cite{I}证明了它们承认类似于Frobenius代数的左右对称特征：一个余代数$C$是co-Frobenius当且仅当它与它的有理对偶同构。我们考虑更一般的拟余Frobenius（QCF）余代数;在第一个主要结果中，我们表明，这些也承认对称特征：一个余代数是QCF，如果它是弱同构的（左，或等价右）有理对偶$Rat(C^*)$，在这个意义上，某些余产品或产品的权力，这些对象是同构的。这表明QcF余代数可以看作是余Frobenius余代数和Frobenius代数的推广。令人惊讶的是，这些原来有许多应用程序的基本结果的霍普夫代数。由这些结果可以直接得到具有左（或右）非零积分的霍普夫代数的等价刻画：左（或右）余Frobenius，或QcF，或半完全，或具有非零有理对偶.此外，著名的积分唯一性同时也是另一个等价的陈述。此外，作为我们的方法的副产品，我们观察到一个简短的证明的双射的霍普夫代数的对极的非零积分。这给了一个纯粹的表示理论的方法，许多基本的基本结果在理论的霍普夫代数。

Ω群的余代数模型

Coalgebraic models of Omega-groups

该研究在域上余交换余代数范畴中研究代数理论模型，建立相关范畴性质，引入带余交换Hopf代数结构的半阿贝尔范畴并将其刻画为Ω群代数理论的余代数模型。

对合Hopf群-余代数与4-流形上平坦丛的不变量

Involutory Hopf group-coalgebras and invariants of flat bundles over 4-manifolds

本文通过引入对合Hopf G-三元组结构，利用着色三剖分图构造了4-流形上平坦丛的不变量，推广了Chaidez-Cotler-Cui及Mochida的已有构造。

连通（分次）霍普夫代数

Connected (graded) Hopf algebras

研究了特征为零的代数闭域k上两类无穷维霍普夫代数的代数和同调性质。第一类是由那些连通的阶化代数组成的Hopf k-代数，第二类是那些连通的余代数组成的Hopf k-代数。对于这里给出的许多但不是所有结果，假设霍普夫代数具有有限的Gel'fand-Kirillov维数.证明了：如果霍普夫代数H是有限Gel'fand-Kirillov维数n的连通分次代数，则H是整体维数n的Cohen-Macaulay，Artin-Schelter正则和Auslander正则的Noether整环.它有S^2 = Id_H，是卡拉比-丘。还提供了关于H的Hilbert级数的详细信息。我们的结果留下开放的可能性，第一类代数是（正确）包含在第二。对于第二类，有限Gel'fand-Kirillov维数为n且具有连通余代数的Hopfk-代数，其基础余代数是整体维数为n的Artin-Schelter正则的.这两类霍普夫代数与有限维李代数的包络代数有许多共同的特征。例如，这两类中的任一个代数仅当它是交换多项式代数时才满足多项式恒等式。然而，作为我们的主要结果之一，我们构造了一个Gel'fand-Kirillov维数为5的Hopf k-代数H的例子，它作为代数是连通的，作为余代数是连通的，但对于任何李代数g，它作为代数与U（g）不是同构的.

树木的霍普夫代数

Les algebres de Hopf des arbres enracines decores

在\cite{Kreimer1,Connes,Broadhurst,Kreimer2}中，引入了（装饰）有根树的交换、非余交换霍普夫代数HR.它与在\cite{Moscovici}中引入的霍普夫代数H_CM有关。它的对偶霍普夫代数是有根树L^1的李代数的包络代数。本文引入了一个非交换、非余交换的平面有根树的霍普夫代数H_PR.我们首先证明了H_PR是自对偶的。然后利用这个结果构造了H_PR上的一个非退化的双线性型（，），它考虑了H_PR的霍普夫代数结构，并给出了该双线性型（，）的一个组合表达式.这使得我们能够给出H_PR的本原元的基的直接公式。在接下来的部分中，我们证明了H_PR同构于\cite{Frabetti, Brouder}中引入的平面二叉树的霍普夫代数，并构造了形式非交换的同构的子代数。然后对H_PR的霍普夫代数自同态和余代数自同态进行了分类，最后给出了张量余代数的一些结果，并将它们应用到H_PR和H_R上。给出了如何由H_PR的本原元构造H_R的本原元，并证明了L ^1是自由李代数.

从纠缠codopterous余代数到余结合流形

From entangled codipterous coalgebras to coassociative manifolds

我们从余结合余代数、双代数、霍普夫代数、Poisson代数、Loday和M. Ronco和探索的概念coassociative流形。

霍普夫代数的统一积与分裂扩张

Unified products and split extensions of Hopf algebras

在与霍普夫代数的限制扩张结构问题相关的\cite{am3}中定义了统一积：一个霍普夫代数$E$通过一个霍普夫子代数$A$和一个子余代数$H$分解，使得$1\in H$当且仅当$E$同构于一个统一积$A \ltimes H$ .利用Andruskiewitsch和Devoto意义下余代数态射的正规性概念，从霍普夫代数的分裂态射的角度证明了对统一积的一个等价刻画.一个Hopf代数$E$同构于一个统一积$A \ltimes H$当且仅当存在一个霍普夫代数$i: A \rightarrow E$的态射，它的收缩$π: E \to A$是一个正规的左$A$ -模余代数态射。对Yetter-Drinfel'd模范畴$_{A}^{A}{\mathcal YD}$中的双代数$L$，证明了规范态射$i : A \to A\ltimes H$是双代数的分裂单态射的一个充要条件，即统一积$A\ltimes H$同构于Radford双积$L \ast A$的一个条件.因此，我们提出了一个一般的方法来构造统一的产品所产生的酉不一定结合双代数$H$，这是一个右$A$ -模余代数和酉余代数映射$γ: H \to A$满足四个兼容性条件。针对组$G$、指向的右$G$集合$(X, \cdot, \lhd)$和映射$γ: G \to X$详细地计算出这样的示例。

扩展结构II：量子版本

Extending Structures II: The Quantum Version

设A是霍普夫代数，H是余代数.我们将描述和分类到一个同构的所有霍普夫代数E通过A和H分解：即E是一个霍普夫代数，使得A是E的一个Hopf子代数，H是E中的一个子余代数，具有1_{E} \in H，乘法映射$A\otimes H \to E$是双射的.我们使用的工具是一种新的积，我们称之为统一积，在这种积的构造中，A和H由三个余代数映射连接：两个作用和一个广义上圈。一个Hopf代数作用在另一个代数上的交叉积和两个霍普夫代数的双交叉积都是统一积的特殊情况。一个霍普夫代数E通过A和H分解当且仅当E同构于A和H的一个统一积。所有这样的霍普夫代数E被分类到一个同构，该同构通过Schreier型分类定理稳定A和H。由Bichon和Kassel定义的懒惰1-上圈的余代数版本在分类定理中起着关键作用。

群余分次乘子霍普夫代数的Drinfel'd double

The Drinfel'd double for group-cograded multiplier Hopf algebras

设$G$是任意群，$K(G)$表示$G$中有限支集复变函数的乘子Hopf代数. $K(G)$中的乘积是逐点的。对于所有$f \in K(G)$和$p, q \in G$，通过公式$(Δ(f)) (p,q) = f(pq)$用乘子代数$M(K(G) \otimes K(G))$中的值定义$K(G)$上的余乘。本文考虑乘子霍普夫代数$B$（over $\Bbb C$）使得存在嵌入$I: K(G) \to M(B)$ .这个嵌入是一个非退化的代数同态，它尊重余乘，并将$K(G)$映射到$M(B)$的中心。这些乘子霍普夫代数称为{ \it $G$ -余分次乘子霍普夫代数}。它们是Turaev和Virelizier研究的Hopf群余代数的推广。本文还考虑了群$G$在$G$ -余分次乘子Hopf代数$B$上的一个{ \it容许}作用$π$.当$B$与一个乘子Hopf代数$A$配对时，我们构造了Drinfel'd double $D^π$，其中余积和积依赖于作用$π$ .我们还处理$^*$ -代数的情况下。如果$π$是平凡动作，我们恢复与对$<A, B>$关联的通常的Drinfel'd double。另一方面，Drinfel'd double，如Zunino为有限型Hopf群余代数所构造的，也是上述构造的一个例子。在这种情况下，作用是非平凡的，但与群对自身的伴随作用有关。现在，double又是一…

由匹配群偶生成的辫子霍普夫代数

Braided Hopf algebras arising from matched pairs of groups

设k是一个域。设（F，G）是一对匹配的群。给出了2-上圈对（σ，τ）的交叉积代数与交叉上积余代数k^G{}^τ#_σ kF合成辫子霍普夫代数的充要条件.我们还讨论了这类辫子霍普夫代数在有限群上的Yetter-Drinfeld模范畴中的对角实现.

量子群余积与标量扩张下的普适性

Quantum group coproducts and universality under scalar extensions

本文刻画了域上双代数、Hopf代数及余代数族乘积有限维的条件，并纠正了标量扩张保持乘积的文献错误，明确了有限与代数扩张的普适性特征。

平方Hopf代数与重构定理

Squared Hopf algebras and reconstruction theorems

给定一个交换的k-线性刚性monoidal范畴V，其中k是一个完美域，我们定义平方余代数为余完备V张量V（Deligne范畴的张量积）的对象，并赋予其相应的余乘概念.在此基础上，定义了（平方）双代数和Hopf代数.如果V是k-向量空间的范畴，平方（余）代数与传统代数一致。如果V是辫状的，则辫状Hopf代数可以从平方的得到。重构定理给出了V中的平方余（双，霍普夫）代数和对应于V的纤维函子的等价性（这与其他定义不同）。最后，平方拟三角Hopf余代数是辫子范畴中量子群定义问题的一个解决方案.

量子主丛的余张量积

Cotensor products of quantum principal bundles

研究了H-HopfGalois扩张A和C-余代数Galois扩张P的余张量积A \Box_H P，使得P是（H，C）-双余代数.给出了A \Box_H P是C-余代数Galois扩张的条件和A \Box_H P上存在强联络的条件，并给出了两个例子：A和P都是Matsumoto球面，H=C=C（U（1））.

扭曲、交叉余积与Hopf-Galois余扩张

Twistings, crossed coproducts and Hopf-Galois coextensions

设$H$是一个霍普夫代数. Ju和Cai引入了$H$ -模余代数的扭曲概念。本文研究了扭曲、交叉余积和Hopf-Galois余扩张之间的关系。特别是，我们表明，扭曲的$H$ -伽罗瓦coextension仍然是$H$ -伽罗瓦，如果扭曲是可逆的。

The coalgebra extension problem for $\mathbb Z/p$

For a coalgebra $C_k$ over field $k$, we define the "coalgebra extension problem" as the question: what multiplication laws can we define on $C_k$ to make it a bialgebra over $k$? This paper answers this existence-uniqueness question for certain coalgebras called "circulant coalgebras". We begin with the trigonometric coalgebra, comparing and contrasting with the group-(bi)algebra $k[\mathbb Z/2]$. This leads to a generalization, the dual coalgebra to the group-algebra $k[\mathbb Z/p]$, which we then investigate. We show connections with other questions, motivating us to answer to the coalgebr…

具有Chevalley性质的拟量子群的箭图方法

A quiver approach to quasi-quantum groups with the Chevalley property

本文通过引入修正广义路余代数，给出具有对偶Chevalley性质的余拟Hopf代数的箭图刻画，并分类了有限表示型的Chevalley性质积分张量范畴。

由余张量余拟Hopf代数产生的拟量子群

Quasi-quantum groups arising from cotensor coquasi-Hopf algebras

本文证明余张量余代数具有分次余拟Hopf结构，并建立其与余拟三角、余ribbon性质的保持及嵌入态射，同时证明余拟对映体的双射性并构造分次拟余拟Hopf配对。

约旦矩阵量子群$GL_{g,h}(2)$的对偶性

Duality for the Jordanian Matrix Quantum Group $GL_{g,h}(2)$

我们发现Hopf代数$U_{g,h}$与约旦矩阵量子群$GL_{g,h}(2)$是对偶的.作为一个代数，它只依赖于两个参数的和，并分为两个子代数：$U'_{g,h}$（有三个生成元）和$U(Z)$（有一个生成元）。子代数$U(Z)$是$U_{g,h}$的中心Hopf子代数。子代数$U'_{g,h}$不是一个Hopf子代数，它的余代数结构依赖于这两个参数。我们还讨论了两个单参数的特殊情况：$g =h$和$g=-h$。子代数$U'_{h,h}$是一个霍普夫代数，与Ohn作为$SL_h(2)$的对偶引入的代数一致。子代数$U'_{-h,h}$作为代数同构于$U(sl(2))$，但具有非平凡余代数结构，并且也不是$U_{-h,h}$的Hopf子代数。

对角化群概形的等变顶点余代数、$C_2$-余代数与对偶

Equivariant vertex coalgebras, $C_2$-coalgebras and duality for diagonalisable group schemes

本文在阿贝尔群定义的对角化群概形有理模范畴中建立顶点代数与顶点余代数之间的对偶，并借此联系 $C_2$-代数与 $C_2$-余代数及其模与余模。

模的Frobenius性质和Maschke型定理

Frobenius properties and Maschke-type theorems for entwined modules

包围模起源于余代数-伽罗瓦论。它们是统一Doi-Hopf模的推广。本文将Doi-Hopf模中的Frobenius性质和Maschke型定理推广到了扩张模的情形。

双交叉积Hopf代数的拟三角结构和微分结构

Quasitriangular and differential structures on bicrossproduct Hopf algebras

设X=GM是有限群分解。证明了相伴双交叉积Hopf代数$H=kM\cobicross k(G)$的量子双D（H）本身是相伴于群YX的双交叉积$kX\cobicross k(Y)$，其中$Y=G\times M^{op}$ .这就给出了一类拟三角的双交叉积Hopf代数.我们还构造了一个子群$Y^θX^θ$，它对应于X的每一个反序自同构$θ$.相应的Hopf代数$kX^θ\cobicross k(Y^θ)$具有与H相同的余代数。利用相关结果，我们利用X的某个商空间中的轨道对H上的一阶双共变微分演算进行了分类。