Characteristically nilpotent Lie algebras : a survey
Jose Maria Ancochea, Otto Rutwig Campoamor
本文综述了特征幂零复李代数的已有结果，并对近年来的理论发展进行了评述。
We review the known results about characteristically nilpotent complex Lie algebras, as well as we comment recent developements in the theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The classification of non-characteristically nilpotent filiform Leibniz algebras
本文研究了丝状Leibniz代数的导子。回想一下，固定维数的丝状莱布尼兹代数的集合被分解为三个非线性族。我们得到了第一类丝状Leibniz代数特征幂零的充分条件。此外，对于第一类非特征幂零代数代数，我们利用Catalan数对它们进行了分类。另外，对于其余两类丝状Leibniz代数，我们描述了非特征幂零代数，即，这些丝状Leibniz代数位于那些特征幂零代数的补集中。
On maximal solvable extensions of a pure non-characteristically nilpotent Lie algebra
本文引入了纯非特征幂零李代数的概念，并在一定条件下证明了有限维纯非特征幂零李代数的复极大扩张同构于其零根与其极大环面的半直和.我们还证明了这样的可解李代数是完备的，并给出了具有平凡上同调群的纯非特征幂零李代数的极大可解扩张的一个子类。给出了与以前得到的结果的一些比较。
Nonfiliform characteristically nilpotent Lie algebras
通过考虑Q_{n}型李代数g_{m,m-1} ^{4}的变形，构造了特征幂零李代数的大类，它是丝状李代数L_{n}的中心扩张.通过对分次上同调空间的研究，我们得到了Sill代数同构于可解完备李代数律的零根。对于极值上循环，这些定律也是严格的。考虑到补充上圈，我们构造了维数n>8的非丝状特征幂零李代数，并证明了对于某些变形，它们与中心扩张相容.
On the product by generators of characteristically nilpotent Lie S-algebras
引入了复幂零李代数的生成元积，它是由李代数的直和的中心扩张得到的交换积。证明了当乘代数是$S$ -代数时，乘积也保持特征零。特别地，这表明存在非分裂特征幂零李代数$\frak{h}$，使得商$\frac{\dim \frak{h}-\dim Z(\frak{h})}{\dim Z(\frak{h})} $尽可能小。
Characteristically nilpotent Lie algebras and symplectic structures
通过计算某些李代数$\Lg$的上同调空间$H^2(\Lg,k)$，研究了特征幂零李代数（CNLA）上的辛结构。在这些李代数中有维数为$n\le 14$的丝状CNLA。事实证明，有许多CNLA的例子，其中承认一个辛结构。辛结构的推广是李代数上的仿射结构。
The Grunewald-O'Halloran conjecture for nilpotent Lie algebras of rank >= 1
Grunewald和O 'Halloran在1993年证明了每一个复幂零李代数都是另一个非同构李代数的退化。证明了关于允许半单导子的幂零李代数类的猜想，对于特征幂零李代数类仍是开放的。在第一个特征幂零李代数出现的7维空间中，证明了猜想，并证明了每个7维幂零李代数的非平凡退化。
Characteristically nilpotent Lie groups with flat coadjoint orbits
针对模中心平方可积但中心商不允许伸缩族的情形，本文构造了维数11、具有平坦余伴随轨道的特征幂零李群$G(α,β)$双参数族。
Pre-derivations and description of non-strongly nilpotent filiform Leibniz algebras
本文研究了丝状Leibniz代数的预导子。回想一下，固定维数的丝状莱布尼兹代数的集合可以分解为三个非线性族。本文描述了第一和第二族丝状Leibniz代数的预导子。给出了丝状Leibniz代数是强幂零代数的充分条件。此外，对于第一类和第二类，我们给出了非强幂零的特征幂零代数的描述。
Degenerations to filiform Lie algebras of dimension 9
对于大多数复的9维丝状李代数，我们发现另一个退化到它的非同构李代数，因为这对于秩为$\geq 1$的幂零李代数是已知的，所以只考虑特征幂零李代数。
A distinguished example of filiform deformation
我们展示了一个例子的filiform（复）李代数的13维余维1的所有理想是特征幂零的，我们构建了一个非平凡的filiform变形。
Almost inner derivations of Lie algebras II
本文继续对特征为零的域上的李代数的几乎内导子进行了代数研究，确定了自由幂零李代数、几乎阿贝尔李代数、可解根为阿贝尔的李代数和几类丝状幂零李代数的几乎内导子.我们发现一类$n$维特征幂零丝状李代数$\mathfrak{f}_n$，对所有的$n\ge 13$，其导子几乎都是内导子.最后，我们比较了有限维域扩张下两个不同域$K\supseteq k$上的李代数的几乎内导子。
Frattinian nilpotent Lie algebras
引入了Frattinian幂零李代数的概念。结合一些例子，我们证明了每一个Frattinian幂零李代数的理想都有一个中心分解.
On $2$-Nilpotent Multiplier of Lie Superalgebras
本文定义了有限维李超代数的$c$ -幂零乘子.刻画了有限维幂零李超代数的$2$ -幂零乘子的结构，其中有限维幂零李超代数的导子代数的维数不超过1.然后给出了有限维幂零李超代数的$2$ -幂零乘子维数的一个上界。此外，我们还讨论了特殊的以及奇的Heisenberg李超代数和交换李超代数的$2$ -能力。
Commutative Post-Lie algebra structures on nilpotent Lie algebras and Poisson algebras
给出了几类幂零李代数上交换后李代数结构的一个明确描述.对于非亚交换丝状幂零李代数和严格上三角形矩阵的李代数，证明了所有CPA结构都是结合的，并诱导出一个结合的Poisson容许代数.
Nilpotentizers and the Nilpotent Graphs: Structural Insights into Lie Superalgebras
本文研究了李超代数的nilpotentizer和nilpotent graph，揭示了其结构特性，并引入了nilpotency measure来量化nilpotency，同时利用范畴论建立了与nilpotent子结构的联系。
Low dimensional nilpotent n-Lie algebras
本文对n + 3维幂零n-李代数和n + 4维2类幂零n-李代数进行了分类。
Some characterizations of nilpotent $n$-Lie superalgebras
研究了幂零$n$ -李超代数.更具体地说，我们首先证明了$n$ -李超代数的Engel定理。其次，研究了幂零$n$ -李超代数的一些性质，最后给出了$n$ -李超代数是幂零的几个充分条件.
Free nilpotent and nilpotent quadratic Lie algebras
本文引入了具有d个生成元的t-幂零二次李代数范畴与具有d个生成元的t-幂零自由李代数上的对称不变双线性型范畴之间的等价性。考虑到这个等价性，我们对具有d个生成元的t-幂零二次李代数进行了分类（直到等距同构，并且在特征为零的域上），在下列情况下：d=2和t<6，d=3和t<4.
Lie Algebra Prederivations and strongly nilpotent Lie Algebras
我们研究了李代数预导。允许非奇异预导子的李代数是幂零的。对只允许一个非奇异预导子但不允许非奇异导子的丝状李代数进行了分类。证明了任意四步幂零李代数都存在非奇异预导子。所得结果可用于构造李代数上的仿射结构。
Image of Lie polynomial of degree $2$ evaluated on Nilpotent Lie algebra
本文给出了$2$次多线性李多项式在$L$上的象，其中$L$是域$k$上的有限维幂零李代数，有$\dim L' \leq 4$ .
Computational experiments with nilpotent Lie algebra
本文给出了一般矩阵幂零李代数的一些实验结果
Characterising Semi-Simple Lie Algebras by Their Borel Nilpotent Radical
证明了半单李代数可以用极大幂零子代数来刻画，这与Borel子代数的幂零根相同。
Lie algebras with associative structures. Applications to the study of 2-step nilpotent Lie algebras
研究了李括号也是结合乘法或三次结合乘法的李代数，刻画了幂零李代数的幂零指数为2或3。特别是我们研究类的2步幂零李代数，他们的变形，我们计算的上同调参数化的变形在这个类。
Free Nilpotent Lie Algebras Admitting Ad-Invariant Metrics
本文给出了自由幂零或自由亚交换幂零李代数具有ad-不变度量的充要条件。研究了允许ad-不变度量的幂零李代数的自同构群。
Generating Hypergraphs, Decomposability and Classification of Two-Step Nilpotent Lie Algebras
1973年，Gauger提出了两步幂零李代数的生成元关系方法和对偶理论。在此基础上，他对维数为$8$的两步幂零李代数进行了分类。在1999年，Galitski和Timashev继续这个方法来分类维数为$9$的两步幂零李代数。他们的结果在2011年的Ren和Zhu，以及2013年的Yan和Deng中得到了部分改善。在维数为$8$的情况下，排除了一些可分解的两步幂零李代数.本文定义了两步幂零李代数的生成超图。两步幂零李代数是可分解的当且仅当它的生成超图在某些基下是不连通的。利用这个结果，我们确定了$9$维上的可分解两步幂零李代数。给出了Ren和Zhu在2011年分类的五个$8$维两步幂零李代数都是不可分解的直接证明.我们还介绍了由任、朱、严、邓等人分类的$n = 8, 9$维两步幂零李代数的一个常规命名法。
The algebraic and geometric classification of nilpotent Lie triple systems up to dimension four
本文推广了用于幂零李代数分类的Skjelbred Sund方法，使之能用于具有非零化子的三元系的分类。我们发展了这种方法，目的是对幂零李三元系进行分类，由此得到了四维幂零李三元系的代数分类。此外，我们还得到了四维以下幂零李三元系簇的几何分类。
The c-Nilpotent Shur Lie-Multiplier of Leibniz Algebras
引入了Leibniz代数的c-幂零Schur Lie-乘子的概念。我们得到了Leibniz代数Q的c-幂零Schur Lie乘子与其商通过双边理想所对应的向量空间的维数的精确序列和公式。这些工具被用来刻画Leibniz代数的Lie-幂零性和c-Lie-stem覆盖。证明了有限维Leibniz代数的c-李干覆盖的存在性和具有非平凡c-幂零Schur Lie乘子的李幂零Leibniz代数的c-覆盖的不存在性，并利用c-李特征理想和c-幂零Schur Lie乘子给出了Leibniz代数的c-李能力的刻画.
The geometric classification of nilpotent Lie-Yamaguti, Bol and compatible Lie algebras
本文对复 4 维幂零 Lie-Yamaguti 代数、Bol 代数及相容 Lie 代数进行几何分类，系统给出其完整分类结果。
On one-sided Lie nilpotent ideals of associative rings
证明了结合环$R$的李幂零单边理想包含在$R$的李可解双边理想中.根据$R.$的李幂零单侧理想的李幂零类，得到了这类李可解理想的导出长度的估计。还研究了由$[... [ [r_1, r_{2}], ... ], r_{n-1}], r_{n}]$形式的分解子生成的理想所包含的单侧李幂零理想。
A characterisation of nilpotent Lie algebras by invertible Leibniz-derivations
Jacobson证明了，如果一个李代数允许一个可逆导子，那么它一定是幂零的。他还怀疑，虽然不正确，相反的可能是正确的：每一个幂零李代数有一个可逆的导子。证明了一个李代数是幂零的当且仅当它允许可逆的Leibniz导子。证明是基本的性质，是基于众所周知的技术。
Varieties of Nilpotent Lie Superalgebras of dimension $\leq 5$
本文研究了维数为$\leq 5$的幂零李超代数簇.给出了这些超代数的代数分类，并得到了每一簇的不可约分支。作为副积，我们构造了任意维数的刚性幂零李超代数。
On the dimension of the Schur multiplier of nilpotent Lie algberas
本文给出了有限维幂零李代数的Schur乘子维数的一个界，它使以前已知的界变得尖锐。
Injective hulls of simple modules over finite dimensional nilpotent complex Lie superalgebras
本文证明了：单U（g）-模的内射壳是局部Artin的有限维幂零复李超代数g，恰好是偶数部分g_0同构于具有余维1的交换理想的幂零李代数，或同构于交换李代数与某个5维或某个6维幂零李代数的直积的有限维幂零复李超代数g。
Classification of 6-dimensional nilpotent Lie algebras over fields of characteristic not 2
首先，我们描述了分类幂零李代数的Skjelbred-Sund方法。然后利用它对特征不为2的域上的6维幂零李代数进行了分类。这种分类的证明本质上是构造性的：对于给定的6维幂零李代数L，按照证明的步骤，可以找到出现在列表中的李代数M和同构L --> M。
Degenerations of 8-dimensional 2-step nilpotent Lie algebras
本文考虑$\mathbb{C}$上8维2步幂零李代数之间的退化，得到了簇$\mathcal{N}^2_8$的几何分类.
On characterizing nilpotent Lie algebra by their multiplier, $ s(L)=6, 7
设$ L $是$ n $维非交换幂零李代数，$ \mathcal{M}(L) $是李代数$ L. $的Schur乘子，给出了当$ s(L)\in \lbrace 0,1,2,3,4,5\rbrace $成立时幂零李代数$ L $的结构.本文给出了当$ L $
A computer-based approach to the classification of nilpotent Lie algebras
我们采用$p$群生成算法对小域上的小维幂零李代数进行分类。利用这个算法的一个实现，我们列出了$\F_2$上维数至多为9的幂零李代数和$\F_3$及$\F_5$上维数至多为7的幂零李代数.
A class of nilpotent Lie algebras whose center acts nontrivially in cohomology
证明了具有余维1交换理想的幂零李代数的所有一维中心扩张的中心表示都是非平凡的。
Degenerations of binary Lie and nilpotent Malcev algebras
本文描述了\mathbb{C}上四维二元李代数和五维、六维幂零Malcev代数的退化.特别是，我们描述了这些品种的所有不可约组件。
The classification of p-nilpotent restricted Lie algebras of dimension at most 4
本文给出了特征为p的完满域上维数至多为4的$p$ -幂零限制李代数的分类。
Degenerations of 7-dimensional nilpotent Lie algebras
研究了李代数律的簇和幂零李代数律的子簇。我们对（几乎所有的）五步和六步幂零七维复李代数的退化进行了分类。其中一个主要的工具是利用这些代数的平凡和伴随上同调。此外，我们还给出了低维复李代数律簇的一些新结果。
Commutative post-Lie algebra structures and linear equations for nilpotent Lie algebras
我们证明了对于给定的幂零李代数$Z(\mathfrak{g})\subseteq [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$，所有的交换后李代数结构，或CPA-结构，在$\mathfrak{g}$上是完备的.这意味着代数中所有的左和右乘法算子都是幂零的。然后我们研究了自由幂零李代数$F_{g,c}$上的CPA-结构，发现了它与生成元对$x,y\in F_{g,c}$的$[x,u]+[y,v]=0$型线性方程的求解有很强的关系。我们利用Remeslennikov和Stöhr关于这些方程的结果证明，对于某些$g$和$c$，自由幂零李代数$F_{g,c}$只有中心CPA-结构.
Simple completable contractions of nilpotent Lie algebras
研究了幂零李代数$\frak{g}_{m}$的一类非极大秩压缩，证明了这类压缩是可完备的李代数。作为结果，给出了任意维非极大秩的可解完备李代数族。
Lie nilpotent Novikov algebras and Lie solvable Leavitt path algebras
本文首先研究了Novikov代数的下中心链的性质。证明了对任意李幂零Novikov代数~ $\mathcal{N}$，由集合~ $\{ab - ba\mid a, b\in \mathcal{N}\}$生成的~ $\mathcal{N}$的理想是幂零的.其次给出了图$E$和域$K$上的Leavitt路代数$L_K(E)$是Lie可解的充要条件。从而得到了李幂零Leavitt路代数的完整刻画，并证明了~ $L_K(E)$的李可解性与$[L_K(E),L_K(E)]$的李幂零性是相同的.
On nilpotent generators of the special linear Lie algebra
考虑特征不同于$2$的无限域上的特殊线性李代数$\mathfrak{sl}_n(\mathbb {K})$.证明了对任意非零幂零$X$，存在一个幂零$Y$使得矩阵$X$和$Y$生成李代数$\mathfrak{sl}_n(\mathbb {K})$ .
Classification of finite dimensional nilpotent Lie superalgebras by their multiplier
令$L$是维度为$(m\mid n)$和$s(L) = \frac{1}{2}[(m + n - 1)(m + n -2)]+ n+ 1 - \dim \mathcal{M}(L)$的幂零李超代数，其中$\mathcal{M}(L)$表示$L$的Schur乘子。这里$s(L)\geq 0$和所有具有$s(L)=0$的非交换幂零李超代数的结构是已知的（（\cite{Nayak2019}）。本文研究了当$s(L) \leq 2$时所有的幂零李超代数.进一步，我们应用这些结果列出了所有的非交换幂零李超代数$L$与$ t(L) \leq 4$。
On Malcev algebras nilpotent by Lie center and corresponding analytic Moufang loops
本文讨论了实数域$\mathbb{R}$上的有限维Malcev代数的结构，这些代数是其Lie中心的幂零模.证明了相应的解析整体Moufang环是其核的幂零模.
On the dimension of the Schur multiplier of nilpotent Lie superalgebras
本研究针对有限维幂零李超代数的Schur乘子维数问题，提出了一个比已有李超代数Schur乘子维数界更精确的界，改进了相关结果。
Capability of Nilpotent Lie algebras with small derived Subalgebra
本文分类了所有导子代数维数不超过1的能幂零李代数。
Nilpotent Lie and Leibniz algebras
本文将有限维幂零李代数的结果推广到Leibniz代数，并找到了反例，在这些例子中使用了一个生成代数，并进一步研究了它们.
Almost Lie nilpotent varieties of associative algebras
考虑域上的结合代数。一个代数簇被称为{ \em李幂零}，如果它满足$[x_1, x_2, ..., x_n] = 0$类的多项式恒等式，其中$[x_1,x_2] = x_1x_2 - x_2x_1$和$[x_1, x_2, ..., x_n]$由$[x_1, x_2, ..., x_n]=[[x_1, x_2, ..., x_{n-1}],x_n]$归纳定义。根据佐恩引理，每一个非李幂零簇包含一个极小的这样的簇，称为{ \em几乎李幂零}，作为一个子簇。特征为0的域上的代数的几乎李幂零簇是由Yu.Mal'cev给出的。我们发现了一个列表的非素几乎李幂零簇代数在一个领域的积极特征。
On the rigidity of k-step nilpotent graph Lie algebras
研究k步nilpotent图李代数的刚性，发现k=2且顶点数不超过4时存在非平凡变形
Post-Lie algebra structures for nilpotent Lie algebras
研究了$(\mathfrak{g},\mathfrak{n})$上幂零李代数的后李代数结构.首先证明了如果$\mathfrak{g}$是幂零的，使得$H^0(\mathfrak{g},\mathfrak{n})=0$，那么$\mathfrak{n}$也一定是幂零的，有界类.对于$2$ -步幂零李代数$(\mathfrak{g},\mathfrak{n})$对上的后李代数结构$x\cdot y$，给出了$x\circ y=\frac{1}{2}(x\cdot y+y\cdot x)$在$\mathfrak{g}$或$\mathfrak{n}$上定义CPA-结构的充要条件.作为推论，我们得到了维数为PDMATHAMT的Heisenberg李代数上的每一个LR-结构都是完备的。最后我们对$\mathfrak{g}\cong \mathfrak{n}\cong \mathfrak{n}_3$上的所有后李代数结构进行了分类，其中$\mathfrak{n}_3$是$3$维Heisenberg李代数.
Extraction Algorithm of Hom-Lie Algebras Based on Solvable and Nilpotent Groups
本文借鉴群论中成熟的可解群、幂零群性质研究，构建了对应的可解与幂零Hom-Lie代数理论，并辅以示例说明，为Hom-Lie代数研究提供了新方向。
Structure of nilpotent Lie algebra by its multiplier
对于有限维李代数$L$，已知$s(L)=\f{1}{2}(n-1)(n-2)+1-\mathrm{dim} M(L)$是非负的.进一步刻画了当$s(L)=0,1$在\cite{ni,ni4}中时，所有有限幂零李代数的结构.本文刻画了当$s(L)=2.$
The index of nilpotent Lie poset algebras
建立了一类矩阵形式用严格偏序编码的矩阵李代数的指数的组合公式。
Certain functors of nilpotent Lie algebra with the derived subalgebra of dimension two
考虑导子代数维数为$ 2$的幂零李代数，计算了这些李代数的Schur乘子、外平方和张量平方等函子.我们还给出了这类李代数的余秩。
The algebraic and geometric classification of nilpotent binary Lie algebras
本文给出了特征不是$2$的任意基域${\mathbb{F}}$上的$\leq 6$维幂零二元李代数李代数的完全代数分类和$\mathbb C.$上的$6$维幂零二元李代数李代数的完全几何分类。作为应用，我们给出了$\leq 6.$维幂零反交换$\mathfrak{CD}$ -代数的代数分类和几何分类
Finite-dimensional nilpotent Lie superalgebras of class two and skew-supersymmetric bilinear maps
本文讨论了以有限维二阶幂零李超代数为对象的范畴$\mathcal{SN}_2$和以斜超对称双线性映射为对象的范畴$\mathcal{SSKE}$.建立了$\mathcal{SN}_2$与$\mathcal{SSKE}$之间的关系。作为结果，我们讨论了第二类幂零李超代数的能力。
Capability of Nilpotent Lie Superalgebras of Small Dimension
该研究引入部分可容李超代数概念，并据此完成维数不超过五的可容幂零李超代数的完整分类。
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