On the tetracanonical map of varieties of general type and maximal Albanese dimension
证明了一般型簇的4-标准映射的双合理性和极大Albanese维数
2011-11-29 math.AG
Severi inequality for varieties of maximal Albanese dimension
设$X$是一般型的投射、正规、极小、Gorenstein $n$维复簇.假设$X$具有最大Albanese维数。我们证明了$K^n_X \ge 2 n! χ(K_X)$
2013-03-17 math.AG
Pluri-canonical maps of varieties of maximal Albanese dimension in positive characteristic
证明了：如果X是正特征的代数闭域k上的一般型非奇异投射簇，且X具有极大Albanese维数，且Albanese映射是可分的，则|4K_X|诱导出一个双有理映射.
2014-04-21 math.AG
On the Iitaka fibration of varieties of maximal Albanese dimension
证明了最大Albanese维数簇$X$的四正则映射诱导Iitaka纤维化.此外，如果$X$是一般型的，则三正则映射是双有理的.
2012-04-18 math.AG
On the birational geometry of varieties of maximal Albanese dimension
研究了极大Albanese维数簇的双有理几何.特别是我们讨论了最大Albanese维数的簇的一般有限态射是双有理的准则;我们给出了Theta因子的一个新的刻画;我们研究了Albanese映射并改进了Kollár的一些结果;最后我们用这些结果对$P_3(X)=2$和$q(X)=dim (X)$簇进行了双有理分类。我们的方法结合了一般的消灭定理的绿色和Lazarsfeld，傅立叶Mukai变换的理论和Kollàr的结果的对偶层的高直像。
2001-05-09 math.AG
Almost homogeneous varieties of Albanese codimension one
我们分类几乎齐次正规簇的阿尔巴尼亚余维$1$，定义在任意领域。我们证明了这样的簇有唯一的正规等变完备化。在一个完满域，该完成的自同构群计划是顺利的，除了在一种情况下，在特征$2$，我们确定其（减少）中性组件。
2020-03-19 math.AG
When is the Albanese morphism an algebraic fiber space in positive characteristic?
本文研究了具有正特征的Albanese态射。在一般纤维是$F$ -纯的假设下，我们证明了具有nef反典范除子的簇的Albanese态射是代数纤维空间。此外，我们考虑了态射的$F$ -分裂的概念，并研究了Albanese态射的$F$ -分裂。证明了$F$ -分裂簇具有$F$ -分裂Albanese态射，并且$F$ -分裂Albanese态射是代数纤维空间.作为应用，我们给出了阿贝尔簇的一个新的刻画。
2020-07-22 math.AG
A complete answer to Albanese base change for incomplete varieties
本文研究非本征概型的Albanese簇基变换问题，证明了几何连通几何既约有限型概型的Albanese簇在可分域扩张下稳定，并用纯不可分扩张的L/K-像解释了一般基变换失效的原因，完善了Albanese基变换理论。
2024-06-25 math.AG
Twists of Albanese varieties over function fields with large ranks
本文构造了函数域上大Mordell-Weil秩的阿贝尔簇。我们实现这一点，通过使用一个推广的概念Prym品种更高的维度和结构定理的Mordell-Weil群的阿贝尔簇在我们以前的作品证明的功能领域。我们考虑了射影空间的阿贝尔覆盖和二面体覆盖，并将上述结果应用于它们的Albanese簇的扭曲。
2021-05-11 math.AG
Pluricanonical maps of varieties of Albanese fiber dimension two
本文证明了对于任意的Albanese纤维维为2的一般型光滑射影簇，其6-标准映射是双有理的。并且证明了5-正则映射对任何具有几何限制的簇都是双有理的。
2014-02-23 math.AG
Derived equivalence, Albanese varieties, and the zeta functions of 3-dimensional varieties
我们表明，任何派生的等价光滑，射影品种的3维有限域$\mathbb{F}_q$有相等的zeta函数。这一结果是一个应用程序的扩展，以顺利，投影品种在任何领域的波帕和施奈尔的证明，派生的等价顺利，投影品种在$\mathbb{C}$有isogenous阿尔巴尼亚torsors;这一结果是证明了在附录中的Achter，Casalaina-马丁，Honigs和小瓶。
2017-02-06 math.AG
Description of generalized Albanese varieties by curves
设X是代数闭基域上的射影簇，可能是奇异的。本文的目的是证明，如果基场的特征为0，则Esnault-Srinivas-Viehweg的广义Albanese簇可以由X中的一条一般曲线C计算。我们通过一个例子来说明这一点，我们还用这个例子来解开埃斯诺特-斯里尼瓦斯-维埃维格的阿尔巴尼亚人的一些神秘属性。
2011-06-15 math.AG
Cohomological support loci of varieties of Albanese fiber dimension one
设$X$是Albanese纤维维数为1的一般型光滑射影簇.证明了$V^0(ω_X)$的所有分量的0平移生成$\Pic^0(X)$。然后我们研究了$X$的多重正则映射.证明了$|4K_X|$诱导出一个双有理映射.
2013-01-04 math.AG
The Albanese morphism for hyperelliptic varieties
本文用阿贝尔簇A和有限群G具体刻画了超椭圆簇X的Albanese态射及其纤维结构，证明纤维为阿贝尔簇或超椭圆簇，并由此在某些情形下证明X的导出范畴不可分解。
2024-11-22 math.AG
On varieties of maximal Albanese dimension
设$f: X\to Y$是光滑$n$维投射簇的满射，其中$Y$具有最大Albanese维数. Hacon和Pardini研究了$f$的结构，假设某些$m\geq 2$具有$P_m(X)=P_m(Y)$。我们推广了他们的结果，证明了在上述条件下，$f$与有限阿贝尔群的商是双有理等价的.我们还研究了极大Albanese双元数簇的复正则映射。主要结果是线性序列$|5K_X|$包含$X$的Iitaka模型。
2010-10-19 math.AG
On the Existence of Good Minimal Models for Kähler Varieties with Projective Albanese Map
Department of Mathematics, University of Utah（犹他大学数学系）
本文研究了凯勒变种在阿尔巴因映射为投影时的良好最小模型存在性，基于KLT对和一般纤维的良好最小模型。
2026-04-16 math.AG
The continuous rank function for varieties of maximal Albanese dimension and its applications
在本文中，我回顾了最近与Miguel Ángel Barja和Rita Pardini合作引入的一些新技术的一个方面：连续秩函数的构造。给出了如何利用该函数证明最大Albanese维数簇的Barja-Clifford-Pardini-Severi不等式，并得到满足不等式的簇的分类.
2021-02-08 math.AG
On the Albanese map for smooth quasi-projective varieties
设k是一个代数闭域，X是光滑的k-簇. A. A. Roitman指出，从X上零圈的Chow群的零度部分到其Albanese簇的k点群的正则映射诱导了一个关于挠素的k的特征同构。在本文中，我们证明了一个推广到拟射影簇允许一个光滑紧化。正如第一次观察到的拉玛钱德朗，这样一个概括应该取代周组零周期的Suslin的第0代代数奇异同调群和阿尔巴尼亚品种的广义阿尔巴尼亚塞尔。证明的方法是新的，即使在投射的情况下，使阿尔巴尼亚的动机性质透明。证明了当k是有限域的代数闭包时，广义Albanese映射是同构的.
2000-09-01 math.AG
Stability manifolds of varieties with finite Albanese morphisms
对于Albanese态射为有限的光滑射影复簇，证明了其相干层的有界导出范畴上的Bridgeland稳定性条件是几何的，即所有摩天大楼层在相同相位下都是稳定的.此外，我们描述了Picard秩为1的不规则曲面和交换三重曲面的稳定流形，并证明了它们是连通的和可收缩的。
2022-01-20 math.AG
On the Euler characteristic of weakly ordinary varieties of maximal Albanese dimension
本文证明了极大 Albanese 维数的光滑紧合弱常型簇的欧拉示性数非负，并在非一般型情形下刻画其为零且 Albanese 像由阿贝尔簇纤维化，主要工具是正特征generic vanishing理论与Witt向量版Grauert-Riemenschneider消失定理。
2025-07-02 math.AG
Syzygies, Pluricanonical Maps, and the Birational Geometry of Varieties of Maximal Albanese Dimension
在这篇论文中，我们研究了三个不同的问题，作为一个公共因子，它们都广泛地使用了傅里叶-向井变换作为研究工具。在第一部分中，我们研究了Kummer簇的合冲（即由群运算引起的$\mathbb{Z}/2\Z$作用的阿贝尔簇的合冲），将Sasaki，Kempf和Khaled关于方程的射影正规性和度的结果推广到更高的合冲。本文的第二部分（部分是与江志和M. Lahoz）致力于研究最大Albanese维数簇上的多正则线性系。最后，在本文的最后一部分，我们考虑了具有小不变量的簇的分类问题。本文的最终目的是通过证明每一个具有最大Albanese维数、欧拉示性数等于1且其Albanese像不被环面纤维化的光滑射影簇$X$是一个θ因子乘积的双有理簇，从而给出θ因子乘积的一个完整的上同调刻划.在这些假设下，我们证明了Albanese映射是一次的。此外，我们提出了一个新的刻画$Θ$ -因子的主要极化阿贝尔簇。
2012-10-01 math.AG
Continuous families of divisors, paracanonical systems and a new inequality for varieties of maximal Albanese dimension
给定光滑复射影簇X，X的线丛L，H^1（O_X）的元素v，H^0（L）中的截面s在v方向上变形为一阶，我们给出了v的一阶变形扩展为解析变形的Koszul上同调的充分条件.我们应用这一结果，以改善已知的结果的paracanonical系统的各种最大的Albanese尺寸，由于Beauville的情况下，表面和Lazarsovie-波帕在更高的维度。特别地，我们证明了不等式p_g（X）>=χ（K_X）+q（X）-1，其中X的极大Albanese维数不含Albanese一般型非正则纤维化.
2012-07-18 math.AG
Varieties with nef anticanonical divisors and Albanese morphisms of relative dimension one in positive characteristic
本文研究正特征代数闭域上具有 nef 反典范除数的光滑射影簇，并在其到 Albanese 簇的态射相对维数为一时给出精确结构。
2025-10-20 math.AG
Albanese varieties of cyclic covers of the projective plane and orbifold pencils
本文研究了平面奇异曲线的补曲线的基本群与包含它的Orbifold束之间的关系，主要工具是利用沿这类曲线分歧的循环覆盖的Albanese簇。我们的结果给出了平面奇异曲线属于orbifold束的充分条件，即具有多个纤维的平面曲线束诱导映上orbifold基本群非平凡的orbifold曲线上.我们构造一个例子的循环覆盖的射影平面，这是一个阿贝尔曲面同构的雅可比曲线的亏格2说明在何种程度上，这些条件是必要的。
2017-02-23 math.AG
On quasi-Albanese maps
本文详细讨论了Iitaka的拟Albanese映射理论，并对对数Kodaira维数为零的簇的Kawamata定理给出了详细证明，指出该理论是Deligne混合Hodge理论的应用。
2024-03-21 math.AG
On the Albanese morphism of varieties with Frobenius stable Kodaira dimension zero
本文证明了在正特征下，Frobenius 稳定 Kodaira 维数为零的正规固有簇的 Albanese 态射具有可分、满射和连通纤维等性质，并由此推导出阿贝尔簇上纤维化 Iitaka 次可加性猜想的一个新情形。
2025-06-27 math.AG
Derived invariance of the Albanese relative canonical ring
我们显示派生的不变性的各种几何不变量的光滑复杂的投影品种所管辖的Albanese地图，包括相对典型的环和类的相对典型的模型在一个合适的变体的Grothendieck环的品种。然后，我们得到了一些应用，导出的不变性的霍奇数。
2023-03-04 math.AG
Log canonical pairs over varieties with maximal Albanese dimension
设$(X,B)$是具有最大Albanese维数的正规簇$Z$上的对数典型对.如果$K_X+B$相对于$Z$是丰富的（例如，$K_X+B$相对于$Z$是大的），那么我们证明$K_X+B$是丰富的。特别地，Kodaira维数$κ(K_X+B) \geq κ(K_F+B_F)+ κ(Z)$的次可加性成立，其中$F$是一般纤维，$K_F+B_F= (K_X+B)|_F$，并且$κ(Z)$表示$Z$的光滑模型的Kodaira维数。我们将在第4节讨论这个结果的几个变体。在第五节中，我们还对对数典范对的对数Iitaka猜想作了一个注记。
2018-05-26 math.AG
Varieties with vanishing holomorphic Euler characteristic II
本文继续研究了满足$χ(X, ω_X)=0$的最大Albanese维数的一般型光滑复射影簇$X$。我们制定了这样的品种和证明这一猜想时，Albanese品种只有三个简单的因素的几何特征。
2013-11-18 math.AG
Twists of the Albanese varieties of cyclic multiple planes with large ranks over higher dimension function fields
在[17]中，我们证明了函数域上的阿贝尔簇的Mordell-Weil群的一个结构定理，该函数域作为阿贝尔簇被投射簇的循环覆盖的扭曲，根据与覆盖相关的Prym簇。本文给出了一种构造高维函数域上大秩阿贝尔簇的显式方法。为此，我们将上述定理应用于循环多重平面的Albanese簇的扭曲。
2020-08-25 math.AG math.NT
The unipotent Albanese map and Selmer varieties for curves
讨论了正亏格曲线的$p$ -adic幂幺Albanese映射，推广了$p$ -adic多重多项式的理论.这个结构，然后使用到有关的线性丢番图'桦树和Swinnerton-Dyer型'的非线性定理的Faltings-Siegel型。
2006-09-28 math.AG math.NT
The relative Green-Griffiths-Lang conjecture for families of varieties of maximal Albanese dimension
本文将Green-Griffiths-Lang猜想推广至相对情形，并利用Nevanlinna理论中的截断第二主定理型估计，证明了该猜想的强形式对极大Albanese维数簇族成立。
2023-05-16 math.AG math.CV
Pluricanonical maps of varieties of maximal Albanese dimension
设$X$是具有极大Albanese维数的光滑复射影代数簇.我们给出了$κ(X)$的一个特征，在集合$V^0(X,ω_{X})$ $:=\{P\in {\text{\rm Pic}}^0(X)|h^0(X, ω_X \otimes P) \ne 0\}$。一个直接的结果是Kodaira维度$κ(X)$在光滑变形下是不变的。然后我们研究了多正则映射$ϕ_m:X -> \Bbb{P} (H^0(X,mK_X))$ .证明了若$X$是一般型的，则$ϕ_m$对于$m\geq 5$是一般有限的，对于$m\geq 5 \text{\rm dim} (X) +1$是双有理的.更一般地说，我们证明了$m\geq 6$的$ϕ_m$的图像的尺寸等于$κ(X)$和$m\geq 6κ(X)+2$，$ϕ_m$是稳定的正则映射。
2000-05-20 math.AG
Albanese maps and fundamental groups of varieties with many rational points over function fields
研究了函数域上具有多个有理点的复射影簇的Albanese映射和基本群的性质，证明了这类簇的基本群的每一线性商都是虚交换的，并且证明了它的Albanese映射是满射的，有连通纤维，在余维1中没有重纤维.
2021-08-19 math.AG math.NT
Derived invariants arising from the Albanese map
设$a_X:X\rightarrow \mathrm{Alb}\, X$是光滑复射影簇的Albanese映射.粗略地说，本文证明了对所有的$i \geq 0$和$α\in \mathrm{Pic}^0\, X$，上同调秩$h^i(\mathrm{Alb}\, X, \,{a_X}_* ω_X\otimes P_α)$都是导出不变量.在最大阿尔巴尼亚维的品种的情况下，这证明了Popa和Lombardi-Popa的不变性-包括霍奇数$h^{0,j}$的导出不变性-以及它们对任意品种的较弱版本。最后，我们提供了一个应用程序，导出某些不规则纤维化的不变性。
2018-12-16 math.AG
Para-abelian varieties and Albanese maps
Heinrich Heine University Düsseldorf（杜塞尔多夫海因里希·海涅大学）
本研究为基域上满足 Stein 分解条件的本征代数空间构造了到 para-abelian 簇的唯一 Albanese 映射，该映射在族情形及群概形作用下保持等变，依赖 para-abelian 簇族与相对 Picard 群 tau 部分可表性等理论。
2023-11-09 math.AG
Slope Inequalities for fibrations of non-maximal Albanese dimension
研究并得到了非极大Albanese维数的非正则簇的斜率不等式。我们给出了这类纤维化的Clifford-Severi不等式与Slope不等式的一个比较定理。考虑到Albanese映射的几何性质，我们还得到了一组Slope不等式。
2020-12-28 math.AG
Varieties with vanishing holomorphic Euler characteristic
研究了满足全纯欧拉示性数为零的一般型的最大Albanese维数的光滑复射影簇$X$.证明了$X$的Albanese簇至少有三个单因子.例子是由艾因和Lazarsfeld，我们证明，在3维，这些例子是唯一的（直到阿贝尔的童话覆盖）。由上野的结果，另一个例子的来源是由品种$X$的最大Albanese维数和一般类型与$p_g(X)=1$。例子是由陈和Hacon，并再次，我们证明，在3维，这些例子是唯一的（直到阿贝尔的etale覆盖）。我们还制定了一个猜想的一般结构，这些品种在所有方面。
2011-05-17 math.AG
Albanese varieties with modulus and Hodge theory
设X是复数上的真光滑簇.考虑X的模为Y的广义Albanese簇Alb（X，Y），它是Rosenlicht-Serre模的广义雅可比矩阵簇的高维类似.注意除数Y可以有重数，所以代数群Alb（X，Y）可以有加法部分。本文的目的是给出Alb（X，Y）的Hodge理论表示.
2009-05-30 math.AG math.NT
Singer Conjecture for Varieties with Semismall Albanese Map and Residually Finite Fundamental Group
University of Florida（佛罗里达大学）；Università degli Studi di Milano Statale（米兰州立大学）
本文证明了在半小Albanese映射和残余有限基本群条件下，Singer猜想成立。
2024-04-12 math.AG math.DG math.GT
On the characterization of abelian varieties for log pairs in zero and positive characteristic
设$(X,Δ)$为一对。研究了条件$κ(K_X + Δ)=0$如何在特征$0$和特征$p > 0$中引起Albanese映射的满射性或双有理性以及$X$的Albanese态射.特别是在特征$0$中，我们将Kawamata的结果推广到对数正则对的情况，在特征$p>0$中，我们将Hacon-Patakfalvi的结果推广到对数对的情况。证明了若$X$是特征$p>0$中的正规三重投射，$Δ$的分支系数是$\le 1$，$-(K_X+Δ)$是半样本，则在对$p$和Albanese态射的一般纤维的奇异性的合理假设下，$X$的Albanese态射是满射.这是Zhang关于Demailly-Peternell-Schneider猜想的一个结果在3维上的正特征类比。
2018-01-22 math.AG
Albanese and Picard 1-motives
我们描述代数定义的上同调和同调Albanese和Picard 1-动机（或混合动机）的任何代数品种的特征为零，推广经典的Albanese和Picard品种。我们计算Hodge，l-adic和De Rham实现证明德利涅猜想有关的混合Hodge结构。研究了射影丛的函子性、普适性、同伦不变性和在射影丛形成下的不变性。我们比较我们的上同调和同调1-动机正常计划。对于适当的方案，我们得到了从零圈的（Levine-Weibel）Chow群到上同调Albanese 1-motive的Abel-Jacobi映射，其中Albanese 1-motive是半阿贝尔簇的泛正则同态.利用这个泛性质，我们得到了射影局部完全交态射的motivic Gysin映射.本文是我们的初步Comptes Rendus Note的扩展版本，Academie des Sciences，Paris，Vol.326，1998。
1999-06-24 math.AG
Albanese varieties with modulus over a perfect field
设X是任意特征的完满域k上的光滑真簇.设D是X上的一个重数有效因子。本文引入了模为D的X的Albanese簇Alb（X，D），作为Rosenlicht-Serre的具有模的广义雅可比矩阵的高维类比.基于1-模的幂幺部分的对偶性（本文引入了1-模的幂幺部分），我们得到了这些广义Albanese簇及其对偶函子的显式和函子刻画.我们定义了一个零圈相对Chow群。模D和表明Alb（X，D）是这个Chow群的泛商.作为应用，我们可以用显式的形式改写Lang关于有限域上簇的函数域的类域理论。
2013-10-08 math.AG math.NT
Generic Vanishing Index and the Birationality of the Bicanonical Map of Irregular Varieties
证明了一般消失指数大于或等于2的光滑复射影簇具有双有理双标准映射。因此，如果X是一个具有极大Albanese维数和非双有理双标准映射的光滑复射影簇X，则X的Albanese象被AlbX的一个交换子簇的余维数至多为1的子簇纤维化.
2011-11-27 math.AG
Notes sur l'application d'Albanese pour les zéro-cycles
本文研究任意域上光滑射影簇零循环 Chow 群到 Albanese 簇有理点群的映射满射性，并借助 Severi–Brauer 纤维化与函数域扩张联系普遍零循环及三维簇有理性。
2025-06-08 math.AG
On the bicanonical map of irregular varieties
从复正则映射的双有理性的一致界的观点出发，一般型的非正则簇和极大Albanese维数表现出与曲线相似的性质。事实上，Chen-Hacon证明，至少当它们的全纯欧拉示性数为正时，这类簇的三正则映射总是双有理的。本文研究双标准映射。我们考虑由Albanese一般型的本原簇构成的最大Albanese维数簇的自然子类。我们证明了只有这样的品种与非双有理双正则映射是自然的高维推广到这方面的曲线属2：品种双有理等价于θ-因子的不可分解的主要极化阿贝尔簇。证明是基于（广义）傅立叶-向井变换。
2009-10-08 math.AG
The nilpotent quotients of normal quasi-projective varieties with proper quasi-Albanese map
本文研究拟 Albanese 映射为真的正规拟射影簇及光滑拟 Kähler 簇，证明其基本群的无挠幂零商由拟 Albanese 像控制，并推出 special 簇的相应商为 Abel。
2023-04-19 math.AG
Orbits in stability manifolds and categorical entropy: applications to varieties with finite Albanese morphisms
Waseda University（早稻田大学）
本文证明具有有限 Albanese 态射的光滑射影簇满足 Gromov--Yomdin 性质，通过轨道逃逸原理和有限平展覆盖归约，并构造正范畴熵自等价，其存在性等价于非一般型。
2026-09-24 math.AG math.DS
On the bicanonical maps of primitive varieties with $q(X) = dim(X)$: the degree and the Euler number
本文用$q(X) = dim(X)$和非双有理双标准映射研究了一般型本原簇。让$X$成为这样一个变种。我们给出了它的双正则映射的度的界。如果Albanese簇$Alb(X)$是简单的，证明了欧拉数$χ(ω_X) = 1$和$|2K_X|$可分离通过Albanese映射映射到同一一般点的点.
2014-01-12 math.AG
Semi-abelian reduction of Albanese varieties
National Cheng Kung University（国立成功大学）
该研究证明离散赋值环分式域上满足特定模型条件的射影几何正规簇的阿尔巴内塞簇具有半阿贝尔约化，并将Fontaine与Abrashkin的经典定理推广到奇异代数几何情形。
2026-08-17 math.AG math.NT
Characterization of products of theta divisors
我们从两个角度研究了不可约θ因子的乘积。一方面，我们把它们刻画为阿贝尔簇的正规子簇，使得去奇异化具有全纯欧拉示性数1。另一方面，我们确定它们之间的所有品种的最大Albanese维数的双有理等价。我们还刻画了具有全纯欧拉示性数1和不规则2dim X-1的极大Albanese维数簇X的结构.
2013-12-26 math.AG
Moving Seshadri Constants, and Coverings of Varieties of Maximal Albanese Dimension
设$X$是具有极大Albanese维数的光滑射影复簇，$L \to X$是大线丛.我们证明了$L$的拉回到$X$的适当有限阿贝尔代数覆盖的移动Seshadri常数是任意大的.作为一个应用，给定任意整数$k\geq 1$，存在一个阿贝尔代数覆盖$p\colon X' \to X$，使得伴随系统$\big|K_{X'} + p^*L \big|$将$k$ -喷流从$p^*L$的增广基轨迹和$p$下的$X$的Albanese映射拉回的例外轨迹中分离出来.
2020-09-03 math.AG math.CV math.GT
Albanese maps for open algebraic spaces
Heinrich-Heine-Universität（海因里希·海涅大学）
本研究将Serre关于代数簇到阿贝尔簇泛态射的经典结果推广到开代数空间，证明满足条件的代数空间存在到仿阿贝尔簇的泛态射，给出证明依赖的技术，并分析了曲线与群的情况及非完满基域情形。
2023-07-31 math.AG
Kodaira dimension of irregular varieties
设$f:X\to Y$是具有一般纤维$F$的代数纤维空间.如果$Y$是最大Albanese维数，我们证明了$κ(X)\geq κ(Y)+κ(F)$ .
2010-08-14 math.AG
