Time-fractional diffusion of distributed order
通过使用分布阶数在0和1之间的时间分数阶导数，在Riemann-Liouville（R-L）和Caputo（C）意义上推广了高斯扩散的偏微分方程。对于一般分布的时间顺序，我们提供的基本解决方案，这仍然是一个概率密度，在拉普拉斯型积分。核依赖于所假设的分数阶导数的类型，除了单阶的情况下，这两种方法是等价的。我们考虑了两种情况下的订单分布的一些细节：双订单和均匀分布的订单。对于这些情况下，我们展示了相应的基本解和它们的方差图，指出了两种方法之间的显着差异小，大的时间。
2007-09-30 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Computational solutions of distributed oder reaction-diffusion systems associated with Riemann-Liouville derivatives
本文是前一篇文章[37]的继续，其中导出了一个统一的分布阶反应扩散方程的计算解，其中Caputo导数作为时间导数，Riesz-Feller导数作为空间导数。本文给出了以分数阶Riemann-Liouville导数为时间导数，Riesz-Feller分数阶导数为空间导数的分布阶分数反应扩散方程的计算解.推导该解所遵循的方法是联合拉普拉斯变换和傅里叶变换。该解决方案是在一个封闭的和计算的形式，在熟悉的Mittag-Leffler函数。它提供了Chen等人[1]、Debnath [3]、Saxena等人[36]、Haubold等人[15]和Pagnini和Mainardi [30]给出的结果的优雅扩展。所得结果以两个定理的形式给出。一些有趣的结果与分数Riesz衍生物也衍生作为我们的研究结果的特殊情况。可以看出，在分布阶分数反应扩散的情况下，解以紧凑和封闭的形式出现，这是Srivastava和Daoust [46]定义的二元Kampé de Fériet超几何级数的推广（也参见附录B）。并给出了解中出现的二重级数的收敛性。
2012-10-02 math-ph math.AP math.CA
Distributed order reaction-diffusion systems associated with Caputo derivatives
研究了一类以Caputo导数为时间导数，Riesz-Feller分数阶导数为空间导数的统一分布阶分数阶反应扩散方程的解.该解决方案是通过应用程序的联合拉普拉斯和傅立叶变换在紧凑和封闭的形式的H-函数。导出的结果具有一般性，包括其他作者早期研究的结果，特别是Mainardi等人[23，24]，用于时空分数方程的基本解，包括Haubold等人[13]和Saxena等人[38]用于分数反应扩散方程。使用Riesz-Feller导数的优点在于，包含该导数的分数阶反应扩散方程的解包括时空分数阶扩散的基本解，其本身是分数阶扩散、时空分数阶扩散和时间分数阶扩散的推广。这些特殊类型的扩散可以被解释为随时间演化的空间概率密度函数，并且可以用紧凑形式的H函数表示。研究了解中二重级数的收敛条件。有趣的是，观察到二重级数是本文附录B中给出的二元Srivastava-Daoust超几何函数的特殊情况。
2011-09-22 math-ph math.MP
Computable Solutions of Fractional Reaction-Diffusion Equations Associated with Generalized Riemann-Liouville Fractional Derivatives of Fractional Order
本文是作者最近发表的论文（Journal of数学物理55（2014）083519）的延续，其中导出了与作为时间导数的Caputo导数和作为空间导数的Riesz-Feller导数相关联的分布阶统一反应扩散方程的计算解。研究了以分数阶广义Riemann-Liouville导数为时间导数，Riesz-Feller导数为空间导数的分布阶分数阶反应扩散方程的可计算解.本文给出了分数阶反应扩散方程的解。推导解所遵循的方法是联合拉普拉斯变换和傅里叶变换。所得到的解是一个封闭的和可计算的形式在熟悉的广义Mittag-Leffler函数。它们提供了优雅的文献中给出的结果的扩展。
2015-02-21 math-ph math.MP
Some aspects of fractional diffusion equations of single and distributed order
通过用$β\in (0,1)$阶的分数阶导数替换一阶时间导数，从标准扩散方程获得时间分数阶扩散方程。柯西问题的基本解被解释为一个自相似的非马尔可夫随机过程的概率密度与亚扩散现象（方差随时间次线性增长）。通过考虑阶数小于1的分数阶时间导数的连续或离散分布，得到了进一步的推广。那么基本解仍然是一个非马尔可夫过程的概率密度，然而，它不再是自相似的，而是表现出相应的时间尺度分布。
2007-11-27 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Petrov-Galerkin and Spectral Collocation Methods for distributed Order Differential Equations
Michigan State University（密歇根州立大学）；Brown University（布朗大学）
本文提出两种谱准确方法，用于求解分布式阶分数微分方程，基于分数Sturm-Liouville特征问题，采用非多项式基函数和插值函数，进行离散稳定性分析和数值测试。
2016-04-28 cs.NA math-ph math.MP
Distributed Order Calculus and Equations of Ultraslow Diffusion
考虑了时间变量具有分布阶导数的扩散型方程.该导数被定义为具有某个正权函数的$α\in (0,1)$阶Caputo-Dzhrbashian分数阶导数在$α$中的积分。这种方程在物理文献中用于模拟具有均方位移的对数增长的扩散。本文建立了这类方程的数学理论，研究了分布阶导数和分布阶积分。
2007-08-14 math-ph math.AP math.MP
Heat Kernel Estimates for Fractional Heat Equation
本文研究了分数阶发展方程基本解的Cesaro平均的长时间行为，该方程对应于布朗运动和其它马尔可夫过程的随机时间变化.我们认为稳定从属导致方程的Caputo-Djrbashian分数阶导数和更一般的情况下对应的微分卷积算子，特别是，分布阶导数。
2019-06-24 math-ph math.MP math.PR
Fractional Fokker-Planck-Kolmogorov equations associated with stochastic differential equations in a bounded domain
本文研究了有界区域上随机微分方程所对应的Fokker-Planck方程的分数阶推广。随机微分方程的驱动过程是服从于Lévy混合稳定从属子的逆的Lévy过程。Fokker-Planck方程由广义Waldenfels算子给出，而边界条件由广义Wentcel边界条件给出。作为分数阶算子，考虑了具有Borel混合测度的分布阶微分算子.本文导出了Fokker-Planck方程的分数阶推广，并证明了相应的初边值问题的唯一解的存在性。
2016-10-25 math-ph math.MP
The fractional Poisson process and the inverse stable subordinator
分数泊松过程是一个具有Mittag-Leffler等待时间的更新过程。它的分布解决了泊松过程的Kolmogorov向前方程的时间分数模拟。本文证明了一个传统的泊松过程，当时间变量被一个独立的逆稳定从属子所代替时，也是一个分数泊松过程。这一结果统一了时间分数阶扩散方程随机理论中的两种主要方法。等价性扩展到更新过程的广泛类别，包括回火分数扩散模型和分布阶（例如，超低）分数扩散。本文还建立了分数泊松过程和布朗时间之间的一个有趣的联系。
2011-02-23 math-ph math.MP math.PR
Chernoff approximation for semigroups generated by killed Feller processes and Feynman formulae for time-fractional Fokker-Planck-Kolmogorov equations
本文研究了由离开给定领域时被杀死的Feller过程生成的半群，这些半群对应于一类演化方程的Cauchy-Dirichlet型初始-外部值问题。通过Chernoff定理对这些半群进行近似，并将构造的Chernoff近似转化为Feynman公式，即n重积分的极限。此外，提出了一种近似时间分数阶（包括分布阶时间分数阶）演化方程解的方法，该方法基于时间分数阶与时间非分数阶演化方程之间的联系以及Chernoff近似。进一步，该方法导致时间分数阶演化方程解的Feynman公式。通过考虑一类分布阶时间分数阶扩散方程，获得了对应的Cauchy和Cauchy-Dirichlet问题的Feynman公式。
2017-08-08 cs.NA math-ph math.AP
Distributed Order Derivatives and Relaxation Patterns
我们考虑方程的形式$(D_{(ρ)}u)(t)=-λu(t)$，$t>0$，其中$λ>0$，$D_{(ρ)}$是一个分布阶导数，这是Caputo-Dzhrbashyan分数阶导数$α$，集成在$α\in (0,1)$关于一个积极的措施$ρ$。这些方程用于建模异常，非指数松弛过程。在这项工作中，我们研究上述方程的解的渐近行为，依赖于测量$ρ$的性质。
2009-05-05 math-ph math.CA math.MP
Fractional Klein-Gordon equations and related stochastic processes
本文研究由$α\in (0,1]$阶分数阶Klein-Gordon方程驱动的有限速度随机运动。分析中的一个关键工具是McBride理论，它将分数阶超Bessel算子转化为Erdelyi-Kober积分算子。特别注意的分数电报过程，其空间相关的分布解决了非齐次分数Klein-Gordon方程。$α= 1$的分数电报过程的分布与经典电报过程的分布一致，其驱动方程转化为齐次Klein-Gordon方程。研究了有限速度下的分数平面随机运动，得到了相应的分布和控制方程的显式形式。分数被反映到潜在的随机运动中，因为在每个时间间隔中，考虑了偏离$B(n,α)$（具有均匀分布的取向）的二项式数。$B(n,α)$的参数$n$本身是具有分数泊松分布的随机变量，使得分数性充当方向变化的子采样。最后，检查平面运动的每个坐标的行为，并获得相应的密度。扩展到$N$维分数随机航班的设想，以及分数对应的欧拉-泊松-达布方程，我们的理论适用。
2014-03-05 math-ph math.MP math.PR
A certain class of Laplace transforms with applications to reaction and reaction-diffusion equations
本文研究了一类拉普拉斯变换，指出这类变换的特殊情况与物理学中的产生-破坏和反应-扩散问题、独立分布随机变量的差异研究和统计学中的拉普拉斯性概念、α-拉普拉斯和Mittag-Leffler随机过程、概率论中的无穷可除性和几何无穷可除性问题的概念以及某些分数次积分和分数次导数。指出了一些应用，特别是分数反应和反应扩散方程及其推广的解决方案。
2007-01-03 math-ph math.CA math.MP
The role of fractional time-derivative operators on anomalous diffusion
具有分数阶导数的广义扩散方程已被证明是描述复杂系统中扩散的非常有效的方法，其优点是能给出基本扩散性质的精确表达式。最近，研究人员提出了不同的分数时间算子（即：Caputo-Fabrizio和Atangana-Baleanu），与著名的Riemann-Liouville算子不同，它们由非奇异记忆核定义。在这里，我们建议使用这些新的运营商推广通常的扩散方程。通过分析连续时间随机游走框架下相应的分数阶扩散方程，得到了具有指数、拉伸指数和幂律函数特征的等待时间分布，以及两种行为之间的交叉.对于均方位移，我们发现通常和受限扩散之间的交叉，通常和子扩散之间。我们得到的概率分布，其中出现非高斯和平稳分布的精确表达式。前一个特征是显着的，因为分数扩散方程是在没有外力的情况下求解的，并且受到自由扩散边界条件的约束。我们进一步证明了这些新的分数阶扩散方程与具有随机重置的扩散过程和具有分布阶导数的分数阶扩散方程有关。因此，我们的研究结果表明，这些新的运营商是一个简单而有效的方法，将不同的结构方面的系统，开辟新的可能性建模和调查异常扩散过程。
2017-08-08 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Generalised Diffusion and Wave Equations: Recent Advances
我们提出了一个简短的概述，最近的结果在扩散和波动方程的理论与广义导数算子。我们给出了一般的例子，这样的广义扩散和波动方程，其中包括时间分数，分布顺序，回火时间分数扩散和波动方程。这样的方程表现出多尺度的时间行为，这使得它们适合于描述不同的扩散制度和特性的交叉动力学在复杂系统。
2019-03-04 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
A stochastic solution with Gaussian stationary increments of the symmetric space-time fractional diffusion equation
当$0 < β< α\le 2$，其中$0 < β\le 1$和$0 < α\le 2$分别是分数阶导数在时间和空间上的阶数时，建立了对称时空分数阶扩散方程的高斯平稳增量随机解.该解是通过在两个概率密度函数之间施加恒等式来提供的，这两个概率密度函数（i）来自对称时空分数扩散方程的基本解的新积分表示公式，以及（ii）来自两个独立随机变量的乘积。这是一个替代方法相对于以前的方法，如标度限制的连续时间随机游动，参数从属和从属朗之万方程。首先导出了时空分数阶扩散方程基本解的一个新的积分表示公式。然后，它表明，在对称的情况下，随机解可以得到一个高斯过程与平稳增量和随机宽度尺度变量分布根据两个极值Lévy稳定密度的安排。这个随机解是自相似的，具有平稳的增量，并且在统计意义上由均值和协方差结构唯一定义。选择分数阶布朗运动作为高斯过程进行了数值模拟。样本路径和概率密度函数的对称时空分数阶扩散方程的基本解是一致的。
2016-03-16 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
