Fractional Schrödinger Equation with Zero and Linear Potentials
本文研究了用Caputo时间分数阶导数和量子Riesz-Feller空间分数阶导数表示的粒子在势场中运动的分数阶薛定谔方程。考虑了自由粒子（零势）和线性势的情况。对于自由粒子，用Fox $H$ -函数求解。对于线性势，分离变量法可将分数阶薛定谔方程分解为空间分数阶和时间分数阶。对空间方程采用Fourier变换和Mellin变换，对时间方程采用围道积分技术，得到了Fox $H$函数形式的解.此外，对最近有关时间分数阶方程的一些结果进行了修正和重新考虑。作为特例，本文所得结果包含了分数阶薛定谔方程在量子Riesz空间分数阶导数和标准Laplace算子下的已知结果.
2017-12-28 math-ph math.MP
Solutions of time fractional anomalous diffusion equations with coefficients depending on both time and space variables
该研究推导了系数同时依赖时空变量的时间分数阶反常扩散方程的显式解，采用Fox-H与广义Wright函数表达，深化了反常扩散的理论认知，具备多领域应用潜力。
2024-05-12 math-ph math.AP math.MP
Fractional Quantum Mechanics
量子物理学的路径积分方法已经发展起来。定义了Lévy飞行路径上的分数阶路径积分。如果布朗轨道的分形性导致标准的量子力学和统计力学，那么Lévy路径的分形性导致分数量子力学和分数统计力学。通过我们的分数路径积分方法，发展了分数量子和统计力学。找到了薛定谔方程的分数阶推广，建立了非相对论量子力学粒子的能量和动量之间的关系。得到了分数阶平面波函数的方程。我们利用Fox的H函数导出了一个自由粒子量子力学核。建立了海森堡测不准关系的分数阶推广。分数阶统计力学是通过路径积分方法发展起来的。本文给出了密度矩阵运动方程的分数阶推广，自由粒子的密度矩阵可用Fox H函数表示。我们还讨论了分数和著名的费曼路径积分方法量子和统计力学之间的关系。
2008-11-11 math-ph math.MP quant-ph
Fractional Green's function for the time-dependent scattering problem in the Space-time-fractional quantum mechanics
研究了分数阶量子力学中散射问题的时空分数阶薛定谔方程的积分形式。定义了时空分数阶薛定谔方程的分数阶格林函数，并将其表示为Fox H函数和可计算级数形式。得到了大宗量格林函数的渐近公式，并将其应用于分数阶量子散射问题的研究。得到了经过各阶修正的近似散射波函数。
2013-02-24 math-ph math.MP quant-ph
On solutions of linear fractional differential equations and systems thereof
众所周知，一维变系数分数阶扩散波方程通过尺度变换可以化为一般的分数阶微分方程和线性分数阶微分方程组.然后，我们推导出精确解方案的线性分数阶微分方程和系统表示的Mittag-Leffler功能，广义赖特功能和福克斯H-功能。这些解是通过某些变换得到的扩散波方程的不变解，本文对此作了简要的讨论。我们表明，在这项工作中给出的解决方案包含以前已知的结果作为特殊情况。
2018-03-24 math-ph math.CA math.MP
On the Consistency of the Solutions of the Space Fractional Schrödinger Equation
最近有人指出，文献中关于空间分数阶薛定谔方程的分段解是错误的，除了δ势的情况。我们重新分析这个问题，并表明，一个确切的和适当的治疗有关的积分证明，否则。讨论了有效势方法，给出了一般坐标系下时空分数阶薛定谔方程的Fox H函数自由粒子解.
2012-03-19 math-ph math.MP quant-ph
Solutions of the Fractional Reaction Equation and the Fractional Diffusion Equation
考虑到反应方程在物理问题中的作用，本文导出了一个具有一般性质的分数阶反应方程的显式解，统一和推广了以前的结果。在此基础上，给出了一种求解分数阶扩散方程的方法。Fox函数和Mittag-Leffler函数用于各自微分方程的解的封闭形式表示。
2010-01-13 math-ph math.MP
Generalized distributed order diffusion equations with composite time fractional derivative
本文利用Fourier-Laplace变换方法研究了具有复合时间分数阶导数的广义分布阶扩散方程的解。我们用Fox $H$ -函数的无穷级数表示解。利用Mittag-Leffler函数导出了分数阶矩和二阶矩。我们观察到减速异常亚扩散的情况下，两个复合时间分数阶导数。利用Tauberian定理分析了具有强反常行为的广义均匀分布阶扩散方程。一些以前得到的结果是本文所提出的那些的特殊情况。
2016-07-16 math-ph math.MP
On invariant solutions of linear time-fractional diffusion-wave equations with variable coefficients
National University of Mongolia（蒙古国立大学）；Kyushu University（九州大学）
本文通过李对称分析研究了具有变量系数的时间分数扩散-波方程的不变解，利用Mittag-Leffler函数、广义Wright函数和Fox H函数求得精确解。
2026-04-23 math-ph math.MP
The fractional Dodson diffusion equation: a new approach
在本文中，在简要回顾了一般理论的正则导数和积分的一个函数关于另一个函数，我们提供了一个特殊的分数推广的$(1+1)$维Dodson的扩散方程。对于后者，我们然后计算基本解，这原来是表示在一个M-Wright函数的两个变量。最后，我们总结了这篇文章，给出了一些非线性分数阶Dodson型方程的有趣结果。
2018-01-22 cond-mat.mtrl-sci math-ph math.MP
Characterizations and simulations of a class of stochastic processes to model anomalous diffusion
在本文中，我们研究了一类随机过程的参数模型的快速和缓慢的反常扩散。这类运动称为广义灰色布朗运动（ggBm），它是由具有平稳增量的自相似过程（H-sssi）构成的，并且依赖于两个实参数α（0，2）和β（0，1）.它包括α在（0，2）和β =1时的分数布朗运动和α = β在（0，1）时的时间分数扩散随机过程。后者的边际概率密度函数由时间分数阶的Beta扩散方程控制。ggBm通过下划线概率空间的显式构造来定义。然而，在本文中，我们表明，它是可能的定义在一个未指定的概率空间。为此，我们明确地写下所有的有限维概率密度函数。此外，我们提供了不同的ggBm特征。与时间分数阶扩散方程的基本解相关的M-Wright函数的作用是高斯分布的自然推广。此外，我们表明，ggBm可以表示在一个随机变量的产品，这是相关的M-Wright函数，和一个独立的分数布朗运动。该表示突出了ggBM的$H$ -{ \bf sssi}性质，并提供了研究和模拟轨迹的方法。为此，我们建立了一个基于分数阶偏积分微分方程有限差分近似的随机游动模型。
2008-06-24 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Solutions of a particle with fractional $δ$-potential in a fractional dimensional space
定义了分数维$\la$（$0<\la\leq 1$）空间中的傅里叶变换来求解具有$\a$阶Riesz分数阶导数的薛定谔方程.这种新方法适用于粒子的分数$δ$势阱定义为$V(x) =- γδ^{\la}(x)$，其中$γ>0$和$δ^{\la}(x)$是分数狄拉克δ函数。用Fox H函数给出了能量值和波函数的完整解。证明了当$0< \la<\a$满足条件时，本征解的存在性.对$\la= 1$和$\a=2$的计算结果与标准量子力学的结果完全一致。
2010-01-26 math-ph math.MP quant-ph
Fractional Helmholtz and fractional wave equations with Riesz-Feller and generalized Riemann-Liouville fractional derivatives
用分数阶Riesz-Feller导数和Hilfer最近定义的广义Riemann-Liouville分数阶导数代替整数阶偏导数，从相应的二维标准方程出发，导出了二元分数阶Laplace、Poisson和Helmholtz方程的解析解.利用Fourier-Laplace变换方法，得到了Mittag-Leffler函数、Fox $H$ -函数和核中含有Mittag-Leffler函数的积分算子的解.给出了分数阶波动方程的计算结果。这些方程的一些有趣的特殊情况被认为是。详细分析了解的渐近性态和级数表示。许多以前得到的结果可以作为本文所提出的结果的特例。
2014-06-14 math-ph math.MP
Fractional calculus and generalized Mittag-Leffler type functions
研究了两个广义Mittag-Leffler型函数的广义分数次积分算子.我们感兴趣的特殊情况包括广义Fox-Wright函数和广义M-级数与K-函数。在下一节中，我们首先回顾了在分数阶微积分中最广泛使用的几种广义分数次积分算子。第三节给出了M-级数和K-函数的定义及其与特殊函数的关系。第四节和第五节给出了广义M-级数和K-函数的有效分数阶微积分。最后一节简要总结并开辟了新的视角。本文所建立的结果推广了广义Mittag-Leffler型函数利用左右边广义分数次微分积分算子的近期性质。该说明的结果也在物理学和数学工程的重要应用。
2017-03-21 math-ph math.CA math.CV
Anomalous diffusion for mass transport phenomena I: Analytic solutions to time fractional diffusion
本研究针对物理工程领域普遍的质量输运问题，提出以Mittag-Leffler等函数表示的时间分数阶扩散解析解，证明其为双参数拉伸时间分数阶扩散的推广，并给出将菲克扩散标准解推广至反常扩散系统的方法。
2025-06-16 math-ph math.MP
On Mittag-Leffler function and associated polynomials
Mittag-Leffler函数在分数阶导数理论中起着至关重要的作用。在这个简短的说明中，我们讨论这个函数的性质及其与赖特-贝塞尔函数和一个新的家庭的相关热多项式的连接。
2012-06-15 math-ph math.MP
On the fractional Poisson process and the discretized stable subordinator
分数阶泊松过程和Wright过程及其扩散极限在分数阶扩散过程的理论和模拟中起着重要的作用。这里我们分析了这两个过程，具体地说是对应的计数过程和厄兰过程，后者是前者的逆过程。通过对等待时间和跳跃的尺度细化，我们得到了所有这些过程的扩散极限
2016-01-13 math-ph math.MP math.PR
Heat kernel for higher-order differential operators and generalized exponential functions
研究了$d$维欧氏时空中高阶导数非局部算子的热核及其渐近行为。作为这种类型的运营商的积木，我们考虑的最小运营商的热核-通用功率的拉普拉斯算子-并表明，它是由表达本质上不同于传统的指数Wentzel-Kramers-Brillouin（WKB）anasteries。相反，它由广义指数函数（GEF）表示，该函数与数学中已知的Fox-Wright $\varPsi$函数和Fox $H$函数直接相关。它的本质奇异性在适当的时间参数的结构是不同的，从通常的指数算子，这使以前的尝试，直接推广Schwinger-DeWitt热核技术的高导算子。特别是，与传统的指数衰减的热核在空间中，我们显示了高导数算子的GEF的振荡行为。我们给出了广义指数函数的几种积分表示，找到了它的渐近性和半经典展开式，证明了它对于非整数阶的局部算子和非局部算子是有本质区别的.最后，我们简要地讨论了GEF技术在弯曲时空中的一般高阶导数和伪微分算子的进一步应用，这对于Horava-Lifshitz和其他UV可重整化量子引力模型的应用可能是至关重要的。
2019-11-08 hep-th math-ph math.MP
Unified Fractional Kinetic Equation and a Fractional Diffusion Equation
Saxena等人（2002，2003）在早期的论文中，用广义Mittag-Leffler函数导出了一些分数动力学方程的解，扩展了Haubold和Mathai（2000）的工作。本文的目的是研究自由项包含任意可积函数f（t）的分数阶动力学方程的统一形式的解，它统一和推广了Saxena等人（2002，2003）的结果.用拉氏变换的方法，以封闭形式的赖特函数为基础，导出了该问题的解。进一步，我们得到了一个分数阶扩散方程的封闭解。本文还讨论了导出解关于空间变量的渐近展开。所得结果是适合于数值计算的形式。
2004-06-22 math-ph math.CA math.MP
Fractional Calculus: Some Basic Problems in Continuum and Statistical Mechanics
本文综述了作者（部分是与他人合作）提出的分数阶微积分在处理连续介质力学和统计力学中的一些基本问题上的应用。连续介质力学中的问题涉及粘弹性体的数学模型（第1节）和粘性流体中质点的非定常运动，即Basset问题（第2节）。在前面的分析中，分数阶微积分使我们引入了粘弹性的中间模型，它推广了经典的弹簧-阻尼器模型。后一种分析促使我们引入一种流体动力学模型，该模型适合于在第3节中重温布朗运动的经典理论，这是统计力学中的一个相关主题。用分数阶微积分的方法解释了速度相关和位移方差中的长尾现象。在第四节中，我们考虑分数阶扩散波方程，它是由经典扩散方程通过用$0< β<2$阶分数阶导数代替一阶时间导数得到的。在我们的分析的引导下，我们用相似变量中的两个相互关联的辅助函数来表示基本解（格林函数），这两个辅助函数是Wright型的（见附录），并区分慢扩散过程（$0 < β< 1$）和中间过程（$1 < β< 2$）。
2012-01-04 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Lie symmetry classification and invariant solutions of time-fractional telegraph systems with variable coefficients
National Intelligence University（国家情报大学）；Department of Mathematics, National University of Mongolia（蒙古国立大学数学系）；Department of Electronics and Communication Engineering, National University of Mongolia（蒙古国立大学电子与通信工程系）
本文研究了含变系数的时间分数电报系统的对称分类，通过李对称分析和Riemann-Liouville分数导数，确定了系数函数的对称扩展形式，并获得闭合形式的不变解。
2026-04-28 math-ph math.MP
Spectral Theory of the Weighted Fourier Transform with respect to a Function in $\mathbb{R}^n$: Uncertainty Principle and Diffusion-Wave Applications
Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura, Universidad Nacional del Nordeste（东北国立大学精确科学与自然及测量学院数学系）
本文提出了一种加权傅里叶变换的谱理论，用于定义加权分数阶拉普拉斯算子，并应用于求解广义时间-空间分数扩散-波方程。
2025-12-11 math-ph math.AP math.CA
Seismic pulse propagation with constant Q and stable probability distributions
具有常数Q的地震波的一维传播被证明是由分数阶时间演化方程控制的，该方程插值热方程和波动方程。柯西和信号问题的基本解决方案表示在整个功能（赖特型）的相似性变量和他们的行为变成中间的极限情况下的一个完美的粘性流体和一个完美的弹性固体。考虑到地震脉冲所表现出的小耗散，考虑了近弹性限度。此外，基本解决方案的柯西和信号问题是有关的稳定概率分布的指数的稳定性决定的阶的分数时间导数的发展方程。
2010-08-07 math-ph math.MP math.PR
Expansion of fractional derivatives in terms of an integer derivative series: physical and numerical applications
Colorado School of Mines（科罗拉多矿业学院）；United Arab Emirates University（阿联酋大学）
本文通过位移算子推导出格runwald-letnikov分数导数的整数阶导数无穷级数，并展示其与riemann-liouville和caputo分数导数的对应关系，证明三种定义导至相同级数，且函数的整数导数级数具有无限收敛半径。
2018-01-04 cs.NA math-ph math.MP
One dimensional stable probability density functions for rational index $\bf 0<α\leq 2$
Fox的H函数提供了一个统一而优雅的框架来处理几种物理现象。在实数线上求解具有δ分布初始条件的空间分数阶扩散方程，并通过研究解的小$x$展开式来确定相应的H函数.对于指数$α$的有理值，用广义超几何函数的有限级数表示了零和无穷大附近的渐近展开式。在$x$ -空间中，通过适当选择时间平移的无穷小生成元求解反常扩散方程，得到了$α=1$稳定律。我们提出了一个新的分类方案的稳定的法律，根据该稳定的法律，现在的特点是生成概率密度函数。知道了这个基本概率密度函数，并考虑到无穷可分的性质，我们可以重建相应的稳定律。最后，利用H-函数关于超几何函数的渐近性质，计算出依赖于参数$α, β, c, τ$的概率密度函数的封闭表达式.已知的情况下，然后再现和新的概率密度函数。
2008-04-25 hep-th math-ph math.MP
