An Analogue of the Gallai-Edmonds Structure Theorem for Nonzero Roots of the Matching Polynomial
Godsil观察到一个简单的事实，即0作为图的匹配多项式的根的多重性与经典的亏数概念相吻合。从这一事实，他问到什么程度的经典结果在匹配理论的推广，取代“不足”与多重性的$θ$作为根的匹配多项式。我们证明了一个类似的稳定性引理的任何给定的根，它描述了如何删除一个单一的顶点后，图的匹配结构的变化。一个类似的Gallai引理如下。这两个结果意味着一个类似的Gallai-Edmonds结构定理。因此，点传递图的匹配多项式有单根。
2008-06-27 math.CO
Graphs with few matching roots
我们确定所有的图，其匹配多项式有最多五个不同的零。因此，我们发现了新的家庭的图，这是由他们的匹配多项式。
2012-04-23 math.CO
Maximum Multiplicity of a Root of the Matching Polynomial of a Tree and Minimum Path Cover
本文给出了树的匹配多项式的根的最大重数等于覆盖它所需的顶点不相交路的最小数目的一个充要条件。
2008-10-28 math.CO
Structure of the largest subgraphs of $G_{n,p}$ with a given matching number
本文研究了Erdens-Rényi随机图$G_{n,p}$在给定匹配数下的最大子图的结构.这扩展了Erdens和Gallai的结果，他们在1959年给出了$K_n$的最大子图的结构的分类，并给出了一个匹配数。我们表明，他们的结果扩展到$G_{n,p}$与高概率时，$p\ge \frac{8 \ln n}{n}$或$p \ll \frac{1}{n}$，但它不扩展（再次与高概率）时，$\frac{4\ln(2e)}{n} < p< \frac{\ln n}{3n}$。
2019-04-25 math.CO
A Motivated Rendition of the Ellenberg-Gijswijt Gorgeous proof that the Largest Subset of $F_3^n$ with No Three-Term Arithmetic Progression is $O(c^n)$, with $c=\root 3 \of {(5589+891\,\sqrt {33})}/8=2.75510461302363300022127...$
受Croot-Lev-Pach突破的启发，Jordan Ellenberg和Dion Gijswijt最近证明了没有3项等差数列的$F_3^n$的子集的最大尺寸以指数方式小于$F_3^n$的尺寸$3^n$（更一般地说，是$F_q^n$的$q^n$）。在这里，我们给出了一个有动机的，自上而下的，他们美丽的证明，旨在使它被更广泛的观众欣赏。
2016-07-06 math.CO
Subdivisions of root polytopes, generalized tropical oriented matroids, and generalized matching ensembles
本文研究了根多项形的细分与广义热带定向矩阵oids的对应关系，揭示了其一一映射的数学结构。
2026-08-04 math.CO
Extensions of Barrier Sets to Nonzero Roots of the Matching Polynomials
在匹配理论中，障碍集（也称为Tutte集）由于其与图中的最大匹配的联系而得到了广泛的研究。本文首先定义了$θ$ -障碍集。我们对$θ$ -障碍集的定义与障碍集的定义略有不同。然而，我们表明，$θ$ -障碍集和障碍集有类似的性质。特别地，我们证明了一个推广的Berge公式，并给出了图中所有$θ$ -特殊点的集合的一个刻画。
2009-09-29 math.CO
On the largest real root of the independence polynomial of a unicyclic graph
图$G$的独立多项式，记为$I(G,x)$，是每个大小的独立集的数目的生成多项式。$I(G,x)$的根称为$G$的\textit{independence roots}。已知对于每个图$G$，最小模的独立根（记为$ξ(G)$）是实数.所有图的集合上的关系$\preceq$定义如下：$H\preceq G$当且仅当$I(H,x)\ge I(G,x)\text{ for all }x\in [ξ(G),0].$我们找到关于$\preceq$的给定阶的最大和最小连通单圈图以及连通良好覆盖单圈图。这扩展了Csikvári在2013年的工作，其中确定了给定顺序的最大和最小树，并回答了同一工作中提出的一个开放问题。我们的结果的推论给出的图，最小化和最大化$ξ(G)$之间的所有连接（覆盖良好）单圈图。我们还回答了Oboudi在2018年提出的更多相关的开放性问题，并反驳了Levit和Mandrescu在2008年提出的一个猜想。
2022-06-28 math.CO
Maximality of Seidel matrices and switching roots of graphs
本文讨论了具有固定最大特征值的Seidel矩阵的极大性。给出了最大特征值$3$的最大Seidel矩阵的一个分类，从而给出了欧几里得空间中具有角$\arccos1/3$的最大等角直线的一个分类.受特殊根系$E_8$极大性的启发，定义了Seidel矩阵的强极大性，证明了达到绝对上界的Seidel矩阵都是强极大的.
2021-02-24 math.CO
On the multiplicity of matching polynomial roots and $θ$-critical graphs
本文研究匹配多项式非零根的最大重数及达到该界的图，将其推广至任意 $θ$ 并联系 $θ$-临界图，构造性回答 Godsil 问题，同时证明各阶 $1$-临界树与图的存在性。
2025-09-28 math.CO
Largest bipartite sub-matchings of a random ordered matching or a problem with socks
本文研究随机有序匹配的袜子数（最大二部子匹配大小），证明其渐近为 n/2，并给出等待配对袜子期望平均数为 (2n+1)/6，同时推广到 r-匹配并尝试枚举。
2024-05-23 math.CO
A note on the real part of complex chromatic roots
一个{ \em色根}是一个图的色多项式的根。虽然实色根已被广泛研究和理解，但对色根的{ \em实部}知之甚少。不难看出，一个顶点为$n$的图的最大实色根是$n-1$，而且确实，已知一个图的最大实色根至多是该图的树宽。类似于这些事实，文献[8]中指出，色根的实部也是由图的$n-1$和树宽上界的。本文证明了对所有的$k\geq 2$，存在无穷多个具有树宽$k$的图$G$，使得$G$具有非实色根$z$，且$\Re(z)>k$具有$\Re(z)>k$ .我们还讨论了较弱的猜想，并证明了它的图$G$与$χ(G)\geq n-3$。
2016-11-30 math.CO
On the second largest eigenvalue of certain graphs in the perfect matching association scheme
本文研究了完美匹配关联方案中特定划分标记的矩阵的第二大特征值，提出并验证了关于其特征空间的猜想。
2025-11-19 math.CO
Graphs with Integer Matching Polynomial Roots
本文研究了匹配多项式只有整数零点的图。一个图是匹配整的，如果它的匹配多项式的零点都是整数。我们刻画了所有匹配的积分可迹图。我们证明，除了K7 n（E（C3）[E（C4））有没有连通的k-正则匹配积分图，如果k？2.本文还证明了如果G是一个完美匹配图，则它的匹配多项式在区间（0，1]内有一个零.最后，我们描述了所有的无爪匹配整图。
2017-02-05 cs.DM math.CO
Approximating the Largest Root and Applications to Interlacing Families
研究了用实根$n$的顶$k$系数逼近其最大根的问题，给出了近似匹配的上、下界。我们提出的算法与运行时间多项式在$k$，使用顶部$k$系数近似的最大根内的一个因素$n^{1/k}$和$1+O(\tfrac{\log n}{k})^2$时，$k\leq \log n$和$k>\log n$分别。我们还证明了相应的信息理论下界的$n^{Ω(1/k)}$和$1+Ω\left(\frac{\log \frac{2n}{k}}{k}\right)^2$，并显示出强大的下界噪声版本的问题，其中一个是访问近似系数。该问题在交错多项式族方法的背景下有应用，该方法用于证明所有次数的拉马努金图的存在性、Kadison-Singer问题的解以及限制非对称旅行推销员问题的完整性差距。所有这些都涉及计算某些实根多项式的最大根，对于这些多项式，顶部的几个系数可以在次指数时间内访问。我们的结果产生一个算法的运行时间为$2^{\tilde O(\sqrt[3]n)}$的所有这些。
2017-04-12 cs.DS math.CO
Characterization of saturated graphs related to pairs of disjoint matchings
研究了有限图中具有最大边数和最大可能匹配的任意一对不相交匹配中最大匹配的大小之比。以前，它被证明，这个比例是4/5和1之间，并实现4/5的图类是完全特征。在本文中，我们首先表明，图分解为路径甚至圈提供了一种研究该比率的新方法。然后，我们使用这种技术来表征的图形实现比例1之间的所有图形，可以覆盖一定的选择的最大匹配和最大不相交的匹配。
2021-12-20 math.CO
Distribution of the Size of a Largest Planar Matching and Largest Planar Subgraph in Random Bipartite Graphs
我们解决了以下问题：当一个随机选择的正则二部多图在平面上画在“标准方式”，什么是它的最大尺寸平面匹配（一组不相交的边）和最大尺寸平面子图（一组不相交的边，可以共享端点）的分布？该问题是最长递增序列（LIS）问题（也称为Ulam问题）的推广。我们提出的组合身份的$r$ -正则二部多-图的数量与最大平面匹配（最大平面子图）的最多$d$边缘的限制格行走的有符号和$\ZZ^d$，和对标准的杨tableaux的数量相同的形状和"下降-类型“的属性。我们的结果是通过两个组合的证明，通过Gessel的身份可以获得（身份是至关重要的二元生成函数的推导与分布的LIS，关键的分析攻击乌拉姆的问题）的推广。
2005-03-22 math.CO math.PR
Generalizations of the Matching Polynomial to the Multivariate Independence Polynomial
推广了无向单图匹配多项式的两个主要定理，即实根性和Heilmann-Lieb根界。将图$G$的匹配多项式看作是图$G$的线图的独立多项式，给出了将这些定理推广到任意图的独立多项式的条件.特别是，我们表明，一个稳定的多元独立多项式的性质表征爪自由。最后，我们给出并推广了与$G$有关的树的匹配多项式整除性的Godsil定理的多元版本。
2019-02-19 math.CO
Reducing Maximum Weighted Matching to the Largest Cardinality Matching in CONGEST
本文将最大加权匹配问题归结为{ \bf CONGEST}中的最大基数匹配问题。本文提出了两项技术贡献。第一个是一个简单的$poly(\log n, \frac{1}{\varepsilon}, t, \ln w_t)$轮{ \bf CONGEST}算法，用于减少最大加权匹配问题的最大基数匹配问题。这是在假设所有顶点都知道所有边权重$\{w_1,....,w_t\}$（具体地，它们知道$t$，不同边权重的数量）的情况下实现的，尽管特定顶点可能不知道特定边的权重。我们的第二个成分是一个简单的舍入算法（类似于装箱问题的近似算法），允许减少一般情况下的最大加权匹配问题的第一个成分，其中$t\leq poly'(\log n, \frac{1}{\varepsilon})$的假设满足。最后，我们简要讨论了实现我们的算法在{ \bf CONGEST}的文件。我们的主要结论是，我们只需要常数轮的减少。
2023-01-03 cs.DC cs.DS math.CO
Generalized $D$-graphs for Nonzero Roots of the Matching Polynomial
最近，Bauer等人（J Graph Theory 55（4）（2007），343- 358）介绍了一种图算子$D(G)$，称为$G$的$D$ -图，其在研究具有完美匹配的$G$中的最大Tutte集的结构方面是有用的。在其他结果中，他们证明了最大Tutte集在图$D(G)$中的最大独立集和$G$中的最大极值集方面的特征。这后来被Busch等人扩展到没有完美匹配的图（Discrete Appl.Math.155（2007），2487- 2495）。设$θ$为实数，$μ(G,x)$为图$G$的匹配多项式.令$\textnormal{mult} (θ, G)$是作为$μ(G,x)$的根的$θ$的重数。我们观察到$D$ -图的概念与$θ=0$是隐式相关的.本文对任意实数$θ$给出了$G$的$D$ -图的一个自然推广，并用$D_θ(G)$表示这个新算子，使得当$θ=0$时，$D_θ(G)$与$D(G)$重合.证明了极大$θ$ -Tutte集是$G$中极大Tutte集的$θ$ -模拟集的一个特征.特别地，我们证明了对于任何$X \subseteq V(G)$，$|X|>1$和任何实数$θ$，$\m(θ, G \setminus X)=\m(θ, G)+|X|$当且仅当$\m(θ, G \setminus uv)=\m(θ, G)+2$对于任何$u, v \in X$，$u \not = v$，…
2009-09-29 math.CO
Perfect matchings, Fano planes, and orthogonal bases of type $E_8$
利用完美匹配和标记Fano平面构造并研究$E_8$根系中的2025个正交基，这些基构成一个Bruhat型偏序集，通过广义Rothe图的基数计算秩函数，并给出组合刻画与秩生成函数。
2026-06-17 math.CO
On the equality of the induced matching number and the uniquely restricted matching number for subcubic graphs
对于图$G$中的匹配$M$，设$G(M)$是由$G$中与$M$中的边关联的顶点诱导的$G$的子图。如果$G(M)$是$1$ -正则的，则导出匹配$M$;如果$M$是$G(M)$的唯一完美匹配，则$M$是唯一限制的. $G$的诱导匹配数$ν_s(G)$是$G$中诱导匹配的最大大小，而$G$的唯一限制匹配数$ν_{ur}(G)$是$G$中唯一限制匹配的最大大小。Golumbic，Hirst，and Lewenstein（Uniquely restricted matchings，Monumica 31（2001）139-154）提出了用$ν_s(G)=ν_{ur}(G)$刻画图$G$的问题。利用$ν_s(G)=ν_{ur}(G)$给出了阶数足够大的$2$ -连通次三次图$G$的一个完全刻画.因此，我们能够证明，具有$ν_s(G)=ν_{ur}(G)$的次三次图$G$可以在多项式时间内被识别。
2018-07-24 math.CO
Towards the Distribution of the Size of a Largest Planar Matching and Largest Planar Subgraph in Random Bipartite Graphs
我们解决了以下问题：当一个随机选择的正则二部多图在平面上画在“标准方式”，什么是它的最大尺寸平面匹配（一组不相交的边）和最大尺寸平面子图（一组不相交的边，可以共享端点）的分布？该问题是最长递增序列（LIS）问题（也称为Ulam问题）的推广。我们提出了一个组合恒等式，它把最多d条边的最大平面匹配（最大平面子图）的r-正则二部多重图的个数与Z^d中限制格行走的符号和，以及具有相同形状和"下降型“性质的标准Young tableaux的对数联系起来。我们的结果是通过两个组合的证明，通过Gessel的身份可以获得（身份是至关重要的二元生成函数的推导与分布的LIS，关键的分析攻击乌拉姆的问题）的推广。我们还开始研究的模式避免在二部多重图，并得出一个广义Gessel身份的数量的二部2-正则多重图避免一个特定的（单调）模式。
2007-06-15 math.CO math.PR
On the location of roots of graph polynomials
图的多项式的根，如特征多项式，色多项式，匹配多项式，和许多其他的广泛研究。在本文中，我们研究在何种程度上这些根的位置反映了底层图的图论性质。
2013-10-07 math.CO
The distributions under two species-tree models of the number of root ancestral configurations for matching gene trees and species trees
对于由基因树和物种树组成的一对，物种树内部节点处的祖先构型是可以存在于该节点处的基因谱系的不同集合。祖先配置出现在进化模型下的基因树概率的计算条件下固定的物种树，和根祖先配置的枚举-祖先配置在根的物种树-协助描述这些计算的复杂性。在基因树与物种树拓扑结构匹配的情况下，研究了随机标记树拓扑结构在两种模型下的根祖先构型数的分布。
2020-06-16 math.CO q-bio.PE
Cyclic Matching Sequencibility of Graphs
我们定义一个图的循环匹配可序性为最大整数$d$，使得它的边存在循环序，使得循环序中的每一条$d$连续边都构成一个匹配.我们证明了$K_{2m}$和$K_{2m+1}$的循环匹配可序性等于$m-1$ .
2011-09-29 math.CO
Graphs which their certain polynomials have few distinct roots- a survey
设G =（V;E）是一个单图.我们考虑G的控制多项式、匹配多项式和边覆盖多项式。多项式的根很少的图有时可以给出关于图的结构的非常令人惊讶的信息。本文研究了控制多项式、独立多项式和边覆盖多项式根少的图。
2011-12-05 math.CO
Generalizations and Variants of the Largest Non-crossing Matching Problem in Random Bipartite Graphs
本文研究了按不同分布族D =（D_n）_n选取的二行字典序排列数组的最长递增子序列的长度的统计特性，以及当n趋于无穷大时的统计特性。这个框架包括研究的问题，如所谓的最长增加子序列问题，最长的共同子序列问题，问题有关的直接债券渗流模型，等等。我们定义了几个不同分布的自然族，并刻画了根据它们选择的最长递增子序列的期望长度的渐近行为。特别是，我们考虑推广到d-行阵列以及对称限制的两行阵列。
2011-05-03 cs.DM math.CO
A lower bound on the acyclic matching number of subcubic graphs
图$G$的无环匹配数是指$G$中无环匹配的最大值，即$G$中的匹配$M$使得由$M$中的边所关联的顶点所导出的$G$的子图是森林。我们证明了除两个小的例外外，具有$m$边的连通次立方图$G$的无圈匹配数至少为$m/6$.
2017-10-27 math.CO
On Erdos' extremal problem on matchings in hypergraphs
1965年Erdans证明了n阶k-一致超图中最大匹配有s条边的边数对于两种特殊类型之一的超图是最大化的。当k=3并且n足够大时，我们肯定地解决了这个猜想。
2012-02-19 math.CO
The cyclic matching sequenceability of regular graphs
单图$G$的循环匹配可序性，记作$\mathrm{cms}(G)$，是指最大整数$s$，对于该最大整数，存在$G$的边的循环序，使得每一组$s$连续边形成一个匹配.本文研究$k$ -正则图的最小循环匹配序列性。我们完全确定了$2$ -正则图的这一点，并给出了$k \geq 3$的界。
2021-06-22 math.CO
On the largest real root of independence polynomials of graphs, an ordering on graphs, and starlike trees
设$G$是阶为$n$的简单图。图中的独立集是两两不相邻的顶点的集合. $G$的独立多项式是多项式$I(G,x)=\sum_{k=0}^{n} s(G,k) x^{k}$，其中$s(G,k)$是大小为$k$和$s(G,0)=1$的$G$的独立集合的数目。显然$I(G,x)$的所有实根都是负数。设$ξ(G)$是$I(G,x)$的最大实根。让$H$是一个简单的图。通过$G \succeq H$，我们表示对于间隔$[ξ(G),0]$中的每个$x$的$I(H,x)\geq I(G,x)$。我们注意到$G\succeq H$意味着$ξ(G)\geq ξ(H)$。当且仅当$G\succeq H$和$I(G,x)\neq I(H,x)$时，我们也让$G\succ H$。我们证明了对于每一棵树$T$的顺序$n$，$S_n\succeq T\succeq P_n$，其中$S_n$和$P_n$是明星和道路的顺序n，分别。$T=T(n_1,\ldots,n_k)$是指树$T$，其顶点$v$的度为$k$，使得$T\setminus v=P_{n_1-1}+\cdots+P_{n_k-1}$，即$T\setminus v$是路径$P_{n_1-1},\ldots,P_{n_k-1}$的不相交并集。设$X=(x_1,\ldots,x_k)$和$Y=(y_1,\ldots,y_k)$，其中$x_1\geq \cd…
2013-03-13 math.CO
On the largest eigenvalue of a mixed graph with partial orientation
设$G$是连通图，$T$是$G$的生成树. $G$相对于$T$的部分方向$σ$是$G$的边的方向，除了$T$的那些边之外，与之相关联的所得图由$G_T^σ$表示。本文证明了存在$G$关于$T$的部分定向$σ$，使得$G_T^σ$的Hermite邻接矩阵的最大特征值至多是$G$的匹配多项式的根的最大绝对值.
2020-03-18 math.CO
Strictly Interlaced Spectral Data for the Weighted Matching Polynomial of a Graph
University of Regina（里贾纳大学）
研究图的加权匹配多项式实根交错问题，通过特定图构造对图分类，给出含哈密顿路径的图等的特征，还刻画了特定加权和顶点下具有SRSI_w(v)性质的图及相关树。
2026-07-07 math.CO
Ordering of bicyclic graphs by matching energy
设$G$是阶为$n$的单图，$μ_{1},μ_{2},\ldots,μ_{n}$是其匹配多项式的根.匹配能量定义为$\sum^{n}_{i=1}|μ_{i}|$之和，由Gutman和Wagner在2012年引入。本文确定了$n>5$阶双圈图中前五个匹配能量最小的图。
2017-04-07 math.CO
An algebraic proof of the Erdős-Ko-Rado theorem for intersecting families of perfect matchings
本文证明了任意两个包含公共边的完美匹配的最大集合是所有包含固定边的完美匹配的集合。这是著名的完美匹配的Erdens-Ko-Rado定理的一个版本。本文给出的证明是代数的，我们首先确定完美匹配乱序图的最小特征值，并利用完美匹配多胞形的性质。我们还证明了完美匹配乱序图不是Cayley图。
2015-06-29 math.CO
Atoms of the matching measure
证明了点传递连通图的匹配测度不含原子。推广Salez的结果，我们证明了对于度一致有界的遍历非顺从单模随机有根图，匹配测度只有200个原子。Ku和Chen证明了有限图匹配多项式的非零根的Gallai-Edmonds结构定理的类似定理。我们将他们的结果推广到无限图。我们还表明，相应的Gallai-Edmonds分解是兼容的零温度单体-二聚体模型。
2020-05-25 math.CO math.PR
Chromatic Bounds On Orbital Chromatic Roots
给定一个图$Γ$的自同构群$G$，轨道色多项式$OP_{Γ,G}(x)$是其值在正整数$k$处的多项式，该多项式的值是$G$在\cite{Cameron}的适当$k$ -着色上的轨道数。等人探索了轨道色多项式的根，特别证明了轨道色根在$\mathbb{R}$中是稠密的，从而推广了Lassen关于色根在$[\frac{32}{27},\infty)$中是稠密的著名结果（见\cite{Thomassen}）. Cameron等人\cite{Cameron}进一步证明了任何图的轨道色多项式的实根都由其色多项式的最大实根上界。我们解决这个猜想的负面影响，并提供了一个过程中产生的家庭的反例。我们还表明，答案是真实的各类图，包括许多outerplanar图。
2014-09-09 math.CO
Generalized Turán results for matchings
本文研究了当$H$或$F$为匹配时，广义Turán数$\nmathrm{ex}(n,H,F)$的渐近与精确结果。
2024-04-20 math.CO
On Maximum Induced Matching Numbers of Special Grids
如果给定任意两个$e_1,e_2 \in M$，$e_1$上的顶点都不与$e_2$上的顶点相邻，则图$G$的边集的子集$M$是$G$的导出匹配.假设正整数$MIM_G$是$G$中$M$的最大可能大小，则$M$是$G$的最大诱导匹配$MIM$，$MIM_G$是$G$的最大诱导匹配数。我们得到了一些特定网格的最大诱导匹配数的上界。
2016-11-07 math.CO
On the location of zeros of the Laplacian matching polynomials of graphs
图$G$的拉普拉斯匹配多项式记为$\mathscr{L\hspace{-0.7mm}M}(G,x)$，它是一个新的图多项式，其所有根都是非负实数.本文研究了拉普拉斯匹配多项式零点的位置问题。设$G$是一个连通图.证明了$0$是$\mathscr{L\hspace{-0.7mm}M}(G, x)$的根当且仅当$G$是树.证明了$\mathscr{L\hspace{-0.7mm}M}(G,x)$的不同正零点个数至少等于$G$中最长路的长度.还建立了对于$G$的每个边缘$e$，$\mathscr{L\hspace{-0.7mm}M}(G,x)$和$\mathscr{L\hspace{-0.7mm}M}(G-e,x)$的零交错。利用$G$的路径树，我们提出了一种线性代数方法来研究$\mathscr{L\hspace{-0.7mm}M}(G,x)$的最大零点，特别是给出了它的严格上界和下界。
2021-06-22 math.CO
Uniqueness for 2-Intersecting Families of Permutations and Perfect Matchings
Technion — Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文刻画了所有n≥2时{1,2,…,n}的最大2-相交排列族和完全图K_{2n}的最大2-相交完美匹配族。
2026-06-17 math.CO
An approach to the girth problem in cubic graphs
我们提供了一个新的，渐进的方法来解决三次图的最大围长问题。很容易观察到，所有$n$ -顶点三次图的最大可能围长是由一个$2$ -连通图$G=(V,E)$获得的。根据Petersen图定理，$E$是一个$2$ -因子和一个完美匹配$M$的不交并.我们将$M$的边称为和弦，并根据和弦的数量对$G$中的循环进行分类。我们定义$γ_k(n)$为最大整数$g$，使得每一个具有给定完美匹配$M$的立方$n$ -顶点图具有长度至多为$g$且至多为$k$弦的圈.在这里，我们确定这个函数，直到小的加法常数为$k= 1, 2$和小的乘法常数为较大的$k$。
2022-06-29 math.CO
Derivatives and real roots of graph polynomials
图多项式是分配给图的多项式。有趣的是，它们也出现在图论之外的许多领域。图多项式的许多性质已经得到了广泛的研究。本文综述了图多项式的导数和实根的一些结果，这些结果在化学、控制理论和计算机科学中有重要的应用。与图多项式的导数有关，还介绍了匹配多项式的多项式重构。
2016-01-12 math.CO
The matching energy of graphs with given edge connectivity
设G是阶为$n$的简单图，$μ_1,μ_2,\ldots,μ_n$是其匹配多项式的根. $G$的匹配能量定义为$\sum_{i=1}^n|μ_i|$之和。令$K_{n-1,1}^k$是通过在$V(K_1)$和$V(K_{n-1})$之间添加$k$边而从$K_1\cup K_{n-1}$获得的图。本文证明了$K_{n-1,1}^k$在具有序$n$和边连通度$k$的所有连通图中具有最大匹配能量.
2014-05-07 math.CO
Independent set and matching permutations
设$G$是一个图$G$，它的最大独立集的大小为$m$ . $\{1, \ldots, m\}$的置换$π$是$G$的{ \em独立集置换}，如果$$ a_{π(1)}(G) \leq a_{π(2)}(G) \leq \cdots \leq a_{π(m)}(G) $$，其中$a_k(G)$是$G$中大小为$k$的独立集的数目。1987年Alavi，Malde，Schwenk和Erdens证明了$\{1, \ldots, m\}$的每一个置换都是某个具有$α(G)=m$的图的独立集置换，即最大的独立集的大小为$m$。他们提出的问题，确定，为每个$m$，最小数目$f(m)$，使每个置换$\{1, \ldots, m\}$是一个独立集置换的一些图与$α(G)=m$和与最多$f(m)$顶点，他们给了一个上限约$m^{2m}$。在这里，我们解决的问题，确定$f(m)=m^m$，并取得进展的一个相关的问题，即确定最小的顺序，使$\{1, \ldots, m\}$的每一个置换是{ \em唯一}独立集置换的一些图的最多的顺序。更一般地，我们考虑的独立集置换弱序的扩展，并扩展Alavi等人。的主要结果，证明了$\{1, \ldots, m\}$上的每一个弱序都可以由具有$α(G)=m$且顶点数至多为$m^{m+2}$的图的独立集序列来实现. Alavi等人还考虑了{ \em匹配排列}，其定义类似于…
2021-07-13 math.CO
Spectral radius and maximum matching covered graphs with bounded matching number
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
本文给出了具有有界匹配数的图成为最大匹配覆盖图的尖锐谱半径条件。
2026-06-04 math.CO
Matching Energy of Unicyclic and Bicyclic Graphs with a Given Diameter
Gutman和Wagner提出了匹配能量（ME）的概念，并指出ME的化学应用可以追溯到20世纪70年代。令$G$是$n$阶的单图，而$μ_1,μ_2,\ldots,μ_n$是其匹配多项式的根。$G$的匹配能量定义为$μ_{i}\ (i=1,2,\ldots,n)$的绝对值之和。本文刻画了具有给定直径$d$的单圈图和双圈图中匹配能量最小的图。
2014-09-06 math.CO
Remarks on the Erdős Matching Conjecture for Vector Spaces
在1965年，Paul Erdans提出了关于$\{ 1, \ldots, n \}$中$k$ -集的最大家族$Y$的问题，使得$Y$不包含$s+1$成对不交集。这个问题通常被称为Erdans匹配猜想。我们研究了这个问题的$q$ -类比，即我们想确定$\mathbb{F}_q^n$中$k$ -空间的最大族$Y$的大小，使得$Y$不包含$s+1$成对不相交的$k$ -空间.在这里，我们称两个子空间不相交，如果他们相交平凡。我们的主要结果是，稍微简化，如果$16 s \leq \min\{ q^{\frac{n-k}{4}},$ $q^{\frac{n-2k+1}{3}} \}$，那么$Y$是小的或相交的家庭的联合。因此，我们显示了这个范围的Erd \H{os}匹配猜想。证明使用的方法由于Metsch。我们也讨论建筑。特别是，我们表明，对于较大的$s$，有大的例子，这是在大小上接近相交的家庭联盟，但结构不同。作为一个应用，我们讨论了向量空间的Erdums匹配猜想和Cameron-Liebler线类（及其到$k$ -空间的推广）之间的密切关系，这是近30年来有限几何中的一个热门话题.更具体地说，我们提出了Erdés匹配猜想（向量空间）作为一个有趣的变化的经典研究Cameron-Liebler线类。
2020-07-20 math.CO
The matching energy of random graphs
图的匹配能量是由Gutman和Wagner提出的，定义为图的匹配多项式的根的绝对值之和。对于具有固定概率$p\in (0,1)$的$n$阶随机图$G_{n,p}$，Gutman和Wagner [I. Gutman，S. Wagner，The matching energy of a graph，Discrete Appl.Math.160（2012），2177- 2187]提出了$G_{n,p}$的匹配能量几乎必然收敛于$\frac{8\sqrt{p}}{3π}n^{\frac{3}{2}}$的猜想。本文用分析的方法证明了这个猜想是成立的。
2014-12-30 math.CO
The number of maximum matchings in a tree
我们确定最大匹配数的上界和下界（即，最大基数的匹配）给定顺序的树$T$的$m(T)$。虽然达到下界的树很容易描述，但具有最大匹配数最多的树显示出非常微妙的结构。我们给出了这类树的一个完整的刻画，并导出了$n$阶树的最大匹配数至多为$O(1.391664^n)$（精确常数为14度的代数数）.作为一个推论，我们改进了最近的结果Górska和Skupiestan的最大匹配的数量（最大的关于集合包含）。
2010-11-30 math.CO
Signless Laplacian spectral radius and matching in graphs
图$G$的无符号拉普拉斯矩阵由$Q(G)=D(G)+A(G)$给出，其中$D(G)$是顶点度的对角矩阵，$A(G)$是邻接矩阵。$Q(G)$的最大特征值称为无符号拉普拉斯谱半径，用$q_1=q_1(G)$表示。本文建立了图的无符号拉普拉斯谱半径与完美匹配之间的一些性质。设$r(n)$是方程$x^3-(3n-7)x^2+n(2n-7)x-2(n^2-7n+12)=0$的最大根。我们表明，$G$有一个完美的匹配$n=4$或$n\geq10$，如果$q_1(G)>r(n)$，和$n=6$或$n=8$，如果$q_1(G)>4+2\sqrt{3}$或$q_1(G)>6+2\sqrt{6}$，其中$n$是一个正的偶数。此外，存在图$K_{n-3}\vee K_1 \vee \overline{K_2}$使得$q_1(K_{n-3}\vee K_1 \vee \overline{K_2})=r(n)$是$n\geq4$，存在图$K_2\vee\overline{K_4}$使得$q_1(K_2\vee\overline{K_4})=4+2\sqrt{3}$，存在图$K_3\vee\overline{K_5}$使得$q_1(K_3\vee\overline{K_5})=6+2\sqrt{6}$。这些图都没有完美的匹配。
2021-11-10 math.CO
Largest planar graphs of diameter $3$ and fixed maximum degree -- connection with fractional matchings
针对直径3、最大度固定的平面图，本文借助分数最大匹配证明最大顶点数上界为9/2Δ+c，并刻画极值图。
2025-07-24 cs.DM math.CO
Root geometry of polynomial sequences II: Type (1,0)
我们考虑由递归$W_n(x)=(ax+b)W_{n-1}(x)+dW_{n-2}(x)$定义的多项式序列$W_n(x)$，初始值为$W_0(x)=1$和$W_1(x)=t(x-r)$，其中$a,b,d,t,r$是实数，$a,t>0$和$d<0$。我们证明了每个多项式$W_n(x)$是异实根的，并且多项式$W_n(x)$的根与多项式$W_{n-1}(x)$的根交错。我们发现，作为$n\to\infty$，多项式$W_n(x)$的最小根序列递减地收敛到一个实数，最大根序列递增地收敛到一个实数。利用Dirichlet逼近定理，证明了对任意正整数$i\ge2$，多项式$W_n(x)$的$i$次最小根序列收敛于某个数.类似地，对于每个正整数$i\ge2$，多项式$W_n(x)$的第$i$个最大根的序列收敛到一个数。事实证明，这两个收敛点独立于数字$t$和$r$以及$i$。我们推导出这四个极限点的显式表达式，我们完全确定当这些极限点重合。
2015-03-10 math.CA math.CO
