On Erdos' extremal problem on matchings in hypergraphs
Tomasz Luczak, Katarzyna Mieczkowska
1965年Erdans证明了n阶k-一致超图中最大匹配有s条边的边数对于两种特殊类型之一的超图是最大化的。当k=3并且n足够大时，我们肯定地解决了这个猜想。
In 1965 Erdős conjectured that the number of edges in k-uniform hypergraphs on n vertices in which the largest matching has s edges is maximized for hypergraphs of one of two special types. We settled this conjecture in the affirmative for k=3 and n is large enough.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Erdos-Faber-Lovasz conjecture for weakly dense hypergraphs
推广了稠密超图的概念，如果在半开区间[2，sqrt（n））中没有k是大于k^2个顶点的度，则称超图是弱稠密的.在我们的主要结果中，我们证明了著名的Erdos-Faber-Lovasz猜想，当超图是弱稠密的。
Degree versions of the Erdos-Ko-Rado Theorem and Erdos hypergraph matching conjecture
我们用代数方法证明了著名的Erd \H os-Ko-Rado定理的一个度版本：给定$n>2k$，每个相交的$k$ -均匀超图$H$在$n$顶点上包含一个顶点，该顶点位于至多$\binom{n-2}{k-2}$边上。这个结果可以看作是一个特殊的情况下的度版本的一个著名的猜想Erdens超图匹配。改进了1976年Bollobás，Daykin和Erd \H os的工作，证明了给定整数$n, k, s$和$n\ge 3k^2 s$，每个$k$ -均匀超图$H$在$n$顶点上的最小顶点度大于$\binom{n-1}{k-1}-\binom{n-s}{k-1}$，包含$s$不交边.
The Brown-Erdős-Sós Conjecture for hypergraphs of large uniformity
我们证明了著名的关于大一致超图的Brown-Erdals-Sós猜想，其形式如下：任何稠密的线性$r$ -图$G$都有$k$边最多跨越$(r-2)k+3$点，只要给定$G$的线性密度，$G$的一致度$r$足够大，并且给定$r$和$k$，$G$的顶点数足够大.
Localized Version of Hypergraph Erdos-Gallai Theorem
本文通过定义与最长 Berge 路相关的边权函数，证明了 n 顶点均匀超图中所有边权之和至多为 n，并刻画了达到该值的极值超图，从而加强并推广了超图 Erdős-Gallai 定理。
A note on the Erdős-Hajnal hypergraph Ramsey problem
我们证明了存在一个绝对常数$c>0$，使得下列成立。对于每个$n > 1$，存在一个在至少$2^{2^{cn^{1/4}}}$顶点上的5-一致超图，其独立数至多为$n$，其中每6个顶点的集合至多导出3条边.顶点数的双指数增长性是急剧的。利用前两个作者建立的一个阶上引理，对$k$ -一致超图证明了类似的尖锐结果。这回答了倒数第二个开放的情况下，一个猜想在拉姆齐理论所提出的埃尔德什和Hajnal在1972年。
Three Proofs of the Hypergraph Ramsey Theorem (An exposition)
Ramsey，Erdos-Rado和Conlon-Fox-Sudakov给出了3-超图Ramsey定理的证明，并给出了3-超图Ramsey数的越来越好的上界. Ramsey和Erdos-Rado也证明了a-超图Ramsey定理。Conlon-Fox-Sudakov注意到他们在3-超图Ramsey数上的上界，以及Erdos-Rado的递归（这是Erdos-Rado证明的关键），产生了a-超图Ramsey数的改进边界。我们提出了所有这些证明和状态明确的界限为2色的情况下和C色的情况下。我们给出了一个更详细的分析Conlon-Fox-Sudakov的结构，从而得到一个稍微好一点的界限。
Perfect Matchings in Hypergraphs and the Erdős matching conjecture
本文证明了当$d$.因此，这确定了当$0.42k \le d < k/2$或当$(k,d)=(12,5)$或$(17,7)$时阈值的精确值。我们的方法是给出一个上界的Erdés匹配猜想和转换的结果的最小$d$度设置的Kühn，Osthus和Townsend的方法。为了获得精确的阈值，我们还应用Treglown和Zhao的结果。
An Erdős-Gallai type theorem for uniform hypergraphs
一个著名的定理Erdés和Gallai断言，一个图，没有路径的长度$k$包含最多$\frac{1}{2}(k-1)n$边缘。最近，Gyamiri，Katona和Lemons将这一结果推广到超图上，确定了$r$ -一致超图中不含长度为$k$的Berge路的最大超边数，对于$r$和$k$的所有值，除了$k=r+1$ .我们解决了剩下的情况下，证明了一个$r$ -一致超图，超过$n$超边必须包含长度为$r+1$的Berge路。
Coloring linear hypergraphs: the Erdős-Faber-Lovász conjecture and the Combinatorial Nullstellensatz
长期存在的Erdens-Faber-Lovász猜想指出，每个具有$n$边的$n$ -均匀线性超图都有一个使用$n$颜色的适当顶点着色。在本文中，我们提出了一个代数框架的问题，并制定了相应的更强的猜想。利用组合零点定理，我们将Erdens-Faber-Lovász猜想归结为某些多项式中存在非零系数。这些系数又与一些辅助图的具有规定入度序列的方向的数量有关。我们证明了某些方向的存在性，这验证了我们的代数方法工作的必要条件。
On Erdős-Ko-Rado for random hypergraphs II
用$\mathcal{H}_k (n,p)$表示随机$k$ -图，其中$\{1... n\}$的每个$k$ -子集以概率$p$存在，与其他选择无关。或多或少地回答了Balogh，Bohman和Mubayi的问题，我们证明：存在一个固定的$\varepsilon >0$，使得如果$n=2k+1$和$p> 1-\varepsilon$，那么w. h. p.（即，概率趋于1的$k\rightarrow \infty$），$\mathcal{H}_k (n,p)$具有“Erdless-Ko-Rado性质.“我们还提到一个类似的随机版本的Sperner定理。
Extremal problems for convex geometric hypergraphs and ordered hypergraphs
有序超图是顶点集线性有序的超图，凸几何超图是顶点集循环有序的超图。有序和凸几何图的极值问题在组合几何中的各种问题中有着丰富的应用历史。本文考虑了一致超图的类似极值问题，并确定了各种有序凸几何路和匹配的极值函数的数量级。我们的结果推广了Braven-Károlyi-Valtr，Capoyleas-Pach和Aronov-Dujmoviov-Morin-Ooms-da Silveira的早期工作。我们还提供了一个新的推广的Erd \H os-Ko-Rado定理在有序设置。
Improved bounds on the extremal function of hypergraphs
模式避免的一个基本问题是描述极值函数及其推广的渐近行为。证明了一类二部图的图极值函数的渐近性与矩阵极值函数的渐近性之间的等价性。利用等价性证明了图的极值函数的几个新的界。本文提出了一种利用多维矩阵的极值函数来确定超图的极值函数界的新方法，将长为$k$的$d$ -置换超图的极值函数界从$O(n^{d-1})$改进为$2^{O(k)}n^{d-1}$ .
Extremal aspects of graph and hypergraph decomposition problems
我们调查最近的进展，在理论的图和超图分解，重点是极端的结果，涉及最低程度的条件。我们还收集了一些有趣的开放问题，并制定新的。
Linear three-uniform hypergraphs with no Berge path of given length
研究了一般超图的Erdens-Gallai定理的推广。本文证明了Erdens-Gallai定理在线性超图上的推广。特别地，我们证明了在$n$ -顶点$3$ -一致线性超图中，如果没有长度为$k$的Berge路作为子图，则对于$k\geq 4$，超边的个数至多为$\frac{(k-1)}{6}n$.
On a problem of Erdos and Moser
一个$r$ -一致超图$\mathcal H$中顶点的集合$A$被$\mathcal H$覆盖，如果存在某个顶点$u\not\in A$使得对于每个$(r-1)$ -集合$B\subset A$，集合$\{u\}\cup B$在$\mathcal H$中. Erdos和Moser（1970）确定了一个图在$n$顶点上的最小边数，使得每个$k$ -集都被覆盖。我们将这个结果推广到顶点数足够多的$r$ -一致超图，并确定了极超图。我们还解决了有向图的问题。
On extremal hypergraphs for hamiltonian cycles
研究超图中存在哈密顿圈的充分条件，得到了Turán-型和Dirac-type结果. Turán型结果给出了一个仅依赖于某条路的极值数的超图中哈密顿圈出现的精确阈值，而Dirac型结果给出了一个仅依赖于最小顶点度的充分条件.
Extremal Numbers for 2 to 1 Directed Hypergraphs with Two Edges Part II: The Degenerate Cases
设一个2到1有向超图是一个3-一致超图，其中每条边都有两个尾点和一个头点。对于任何这样的有向超图F，设F的第n个极值数是任何n个顶点上的有向超图在不包含F的副本的情况下所能拥有的最大边数。实际上有两个版本的有向超图模型为这个问题：标准版本，其中每个顶点的三元组被允许有多达所有三个可能的有向边和定向版本，其中每个三元组可以有最多一个有向边。本文确定了四种不同的有向超图的标准极数和定向极数。每个图都有两条边，在七个有两条边的（非平凡的）2到1图中，只有这四个图的极值数是n的二次数。另外三个有向两边超图的标准极数和定向极数已在另一篇文章中给出。
Extremal Zagreb indices of bicyclic hypergraphs
针对线性双圈一致超图，本文刻画了使其Zagreb指数分别达到最大值和最小值的超图结构。
Extremal Numbers for 2 to 1 Directed Hypergraphs with Two Edges Part I: The Nondegenerate Cases
设一个2到1有向超图是一个3-一致超图，其中每条边都有两个尾点和一个头点。对于任何这样的有向超图F，设F的第n个极值数是任何n个顶点上的有向超图在不包含F的副本的情况下所能拥有的最大边数。这个问题实际上有两个版本：标准版本允许每个顶点的三元组最多有三条可能的有向边，定向版本允许每个顶点的三元组最多有一条有向边。本文确定了三种不同有向超图的标准极值数和定向极值数。每个图都有两条边，在七个有两条边的（非平凡的）2到1图中，只有这三个图的极值数是n的三次。另外四个有向两条边超图的标准极数和定向极数已在本文中给出。
Non-degenerate Hypergraphs with Exponentially Many Extremal Constructions
对于任意整数$t \ge 0$，记点集$\{1,2,\ldots, 5+t\}$上的具有超边的超图为$F_5^t$，超边数为$\{123,124\} \cup \{34k : 5 \le k \le 5+t\}$。我们对每个$t\ge 0$和充分大的$n$确定了$\mathrm{ex}(n,F_5^t)$，并刻画了极$F_5^t$ -free超图.特别地，如果$n$满足一定的可除性条件，那么极$F_5^t$ -free超图就是平衡的完全三部超图，在划分的三个部分$(V_1,V_2,V_3)$中的每一部分都有额外的超边;每个部分$V_i$跨越一个$(|V_i|,3,2,t)$ -设计.这推广了Frankl和Füredi关于$F_5:=F_5^0$的Turán数的早期工作。我们的结果推广了Erdens和Simonovits关于某些固定图的极值结构的理论。特别是，超图$F_5^{6t}$，对于$t\geq 1$，是超图的第一个例子，具有指数许多极值结构和正的图兰密度。
The (p,q)-extremal problem and the fractional chromatic number of Kneser hypergraphs
Kneser超图的色数的计算问题在过去的40年里得到了广泛的研究，而Kneser超图的色数的分数形式只是在特殊情况下才得到解决。\emph{$(p,q)$-extremal problem}是在具有$n$顶点的$k$ -一致超图$\mathcal{H}$上寻找最大边数，使得在任何$p$边中，某些$q$边没有空交.本文找到了Kneser超图的分数色数与$(p,q)$ -极值问题之间的联系，并将$(p,q)$ -极值问题作为极值图论的一个问题提出来，解决了$n$和$p \geq q \geq 3$充分大的图的$(p,q)$ -极值问题.利用这个结果，我们计算了由基数为2的集合构成的Kneser超图的分数色数。
On Erdős-Ko-Rado for random hypergraphs I
一个集合族是相交的，如果没有两个成员是不相交的，并且具有Erdens-Ko-Rado性质（或者是EKR），如果它的每个最大相交子族都有非空交集。用$\mathcal{H}_k(n,p)$表示随机族，其中每个$k$ -$\{1\dots n\}$的子集以概率$p$存在，与其他选择无关。首先由Balogh，Bohman和Mubayi研究的问题是：\[ \mbox{for what $p=p(n,k)$ is $\mathcal{H}_k(n,p)$ likely to be EKR?} \]这里，对于固定的$c<1/4$和$k< \sqrt{cn\log n}$，我们给出了这个问题的精确答案，表征了那些序列$p=p(n,k)$，其中$$ \Pr(\mathcal{H}_k(n,p) \textrm{ is EKR}) \rightarrow 1 \textrm{ as } n\rightarrow \infty. $$
Extremality of graph entropy based on Laplacian degrees of k-uniform hypergraphs
图熵描述了图的结构信息。受一般图的图熵定义的启发，定义了基于拉普拉斯度的超图的图熵。将关于单图的图熵的一些结果推广到k-一致超图。利用边移动操作，分别确定了k-一致超树、单圈k-一致超图、双圈k-一致超图和k-一致化学超树中基于Laplacian度的最大和最小图熵，并确定了相应的极图.
Two Erdős--Hajnal-type Theorems in Hypergraphs
Erdens-Hajnal定理断言，非泛图，即不包含某个固定图$H$的导出副本的图，具有大小明显大于人们通常期望在图中找到的齐次集。在$r$ -一致超图的背景下，我们得到了这类超图的两个结果. Rödl的一个定理断言，如果一个$n$ -顶点图是非泛图，那么它包含一个大小为$Ω(n)$的几乎齐次集（即边密度非常接近$0$或$1$的几乎齐次集）。证明了如果$3$ -一致超图是非泛超图，则它包含一个大小为$Ω(\log n)$的几乎齐次集。1986年Rödl的一个例子表明这个界是紧的。设$R_r(t)$表示最大非泛$r$ -图$G$的大小，使得$G$及其补图都不包含部分大小为$t$的完全$r$ -部子图.我们证明了Erdens-Hajnal型步进引理，展示了如何将$R_{r}(t)$的下界转换为$R_{r+1}(t)$的下界。作为这个引理的应用，我们改进了Conlon-Fox-Sudakov的一个界，证明了$R_3(t) \geq t^{Ω(t)}$ .
An analytic theory of extremal hypergraph problems
本文在遗传性质的一般背景下研究了一致超图的极值问题。事实证明，极值问题的边缘是一个一般的分析问题的特殊情况下，最近推出的图参数。本文建立了一个基础，系统地研究这个参数，并说明了各种证明工具。证明了一致超图的边数极值问题与最大特征值极值问题是渐近等价的，这一结果对于2-图也是新的。几个具体的问题，并提出了解决方案。提出了一些开放的问题，并概述了进一步研究的方向。
A family of extremal hypergraphs for Ryser's conjecture
Ryser猜想指出，对于任何$r$ -部$r$ -一致超图，顶点覆盖数至多是匹配数的$r{-}1$倍.这个猜想只对一般的$r\leq 3$成立，对$r\leq 5$在超图相交时成立。也有相当大的努力，寻找超图是极端的Ryser猜想，即$r$ -部超图的覆盖数是$r-1$倍，其匹配数。除了一些零星的例子，一组一致性$r$，其中Ryser的猜想是已知的紧是有限的，这些整数的顺序$r-1$的射影平面存在。本文构造了一类新的无穷族$r$ -一致超图，它是Ryser猜想的极值，只要有$r-2$阶的射影平面，它就存在.我们的构造是灵活的，足以产生大量的非同构的极值超图。特别地，我们定义了极交$r$ -部$r$ -一致超图的{ \em Ryser偏序集}，并证明了$\sqrt{r}$中极大和极小元的个数是指数的.这进一步证明了Ryser猜想的困难性。
Intersecting and $2$-intersecting hypergraphs with maximal covering number: the Erdős-Lovász theme revisited
Erdés和Lovász注意到具有最大覆盖数的$r$ -一致相交超图$H$，即$τ(H)=r$，必须至少有$\frac{8}{3}r-3$条边. 45年来，这个下限没有任何改善。我们试图通过研究一些小的案例来理解原因，看看真相是否非常接近这个简单的界限。用$q(r)$表示交$r$ -一致超图的最小边数.已知$q(3)=6$和$q(4)=9$。我们得到了以下新结果：一致性4的极值例子是唯一的。有点令人惊讶的是，它无论如何都不是对称的。对于均匀性5，$q(5)=13$，我们发现了3个例子，它们都不是已知的图。我们同时使用理论论证和计算机搜索。在埃尔德什和洛瓦什的足迹，我们还考虑了特殊情况下，当超图是一个有限的射影平面的一部分。我们确定了$r\in \{3,4,5,6\}$的确切答案。对于均匀性6，存在唯一的极值示例。在一个相关的问题中，我们试图寻找具有最大覆盖数的$2$ -交$r$ -一致超图，即$τ(H)=r-1$ .一个无限族的例子是取一个$(2r-2)$ -顶点集的所有可能的$r$ -集。还有一个几何候选者：双平面。这些是使用$λ=2$的对称2-设计。我们确定，只有3个双平面的18个已知的例子是极值。
A Spectral Confirmation of the Erdős Matching Conjecture
研究埃尔德什匹配猜想的谱对应问题，通过移位方法、超图分解等确定匹配数小于\(s\)的\(n\) - 顶点\(r\) - 均匀超图最大谱半径，刻画极值超图，推广结果到一般超图，得出相关定理及推论。
Extremal problems on ordered and convex geometric hypergraphs
有序超图是顶点集线性有序的超图，凸几何超图是顶点集循环有序的超图。有序和凸几何图的极值问题在组合几何中的各种问题中有着丰富的应用历史。本文考虑了一致超图的类似极值问题，发现了一个一般的划分现象，它使我们能够确定各种有序和凸几何超图的极值函数的数量级.一个特殊的情况是有序的$n$ -顶点$r$ -图$F$，它由两个不相交的集合$e$和$f$组成，它们的顶点在顺序上交替。本文证明了对所有的$n \geq 2r + 1$，不含$F$的有序$n$ -顶点$r$ -图的最大边数恰为\[ {n \choose r} - {n - r \choose r}.\]。这可以看作是Erdens-Ko-Rado定理的一个有序版本，推广了Capoyleas和Pach以及Aronov-Dujmovie-Morin-Ooms-da Silveira的早期结果。
A class of Ramsey-extremal hypergraphs
在1991年，McKay和Radziszowski证明了，尽管一个13-集合的每个3-子集被赋予两种颜色中的一种，但存在某个4-子集，其四个3-子集具有相同的颜色。超过25年后，这仍然是唯一的非平凡经典拉姆齐数已知的超图。本文给出了12-集的3-子集的所有极值染色，并给出了它们的一些性质。利用这个目录，我们回答了Dudek，Fleur，Mubayi和Rödl关于超图的size-Ramsey数的一个问题.
The rainbow Erdős-Rothschild problem for the Fano plane
Fano平面是唯一的关于七个顶点和七个超边的线性3-一致超图。最近证明了，对于所有的$n \geq 8$，平衡完全二部3-一致$n$超图（记为$B_n$）是不包含Fano平面副本的具有最大超边数的3-一致$n$超图.对于足够大的$r$和$n$，我们表明，$B_n$承认的最大数量的$r$边着色没有彩虹副本的Fano平面。
Hypergraphs with many extremal configurations
对每一个正整数$t$，我们构造了一个三元系有限族${\mathcal M}_t$，确定了它的Turán数，并证明了存在编辑距离很远的$t$极值${\mathcal M}_t$ -free组态.我们还证明了一个强稳定性定理：每一个无${\mathcal M}_t$的三元系，其大小接近于最大大小，是这些$t$极值配置之一的一个子图后，删除一小部分的顶点。这是第一个稳定性定理的超图问题的任意（有限）数量的极值配置。此外，极值超图有非常不同的阴影大小（不像著名的图兰四面体猜想）。因此，我们的主要结果的一个推论是，${\mathcal M}_t$的可行域的边界正好有$t$的全球最大值。
Extremal problems for ordered hypergraphs: small patterns and some enumeration
本文研究了不含固定超图F的n阶简单超图H的最大边数和最大点-边关联数的极值函数ex_e（F，n）和ex_i（F，n），其包含性与顶点的线性序有关.我们确定这两个功能，如果F只有不同的单点边缘，或者如果F是一个55超图，最多四个发病率（我们只证明了六种情况）。本文证明了具有n个关联的简单超图和全超图的数的一些精确公式和递推公式，并得到了这些数的粗糙对数渐近性。给出了类似于贝尔数的多宾斯基公式的恒等式。
Hypergraphs with infinitely many extremal constructions
本文首次解决了一类具有无穷多个编辑距离上彼此远离的极值构造的超图 Turán 问题，通过构造在单纯形线段上取最大值的多重线性多项式并定义超图运算，得到了 Turán 密度为 2/9 的三元系例子及影子密度为超越数的极值构造。
Tournaments, 4-uniform hypergraphs, and an exact extremal result
考虑具有最大超边数的$4$ -一致超图，条件是每一组$5$的顶点要么跨越$0$要么恰好跨越$2$超边，并利用二次剩余构造了具有最大超边数的这类超图的无限族. Baber以前使用随机竞赛给出了一个渐近最佳可能结果。我们给巴贝尔的结果和我们的建设通过佩利锦标赛之间的连接，并调查一个“开关”操作的比赛，保留超图产生于此建设。
A hypergraph Turán problem with no stability
极值超图理论中的一个基本障碍是存在许多具有非常不同结构的近极值结构。事实上，由于Kostochka的经典结构意味着臭名昭著的极值问题的四面体展示了这种现象假设图兰猜想。我们的主要结果是构造了一个有限族的三元系$\mathcal{M}$，确定了它的Turán数，并证明了存在两个编辑距离很远的近极值$\mathcal{M}$ -free构造.这是第一个极端的结果，一个超图族，没有相应的稳定性定理。
Embedding the Erdős-Rényi Hypergraph into the Random Regular Hypergraph and Hamiltonicity
建立了随机$k$ -图（对于常数$k \ge 2$）在$n$标记顶点上的两个一致模型之间的包含关系：$\mathbb G^{(k)}(n,m)$，具有$m$边的随机$k$ -图，和$\mathbb R^{(k)}(n,d)$，随机$d$ -正则$k$ -图.我们表明，如果$n\log n\ll m\ll n^k$，我们可以选择$d = d(n) \sim {km}/n$和耦合$\mathbb G^{(k)}(n,m)$和$\mathbb R^{(k)}(n,d)$，使后者包含前者的概率趋于一$n\to\infty$。这推广了Kim和Vu关于“随机图的随机化”的一个较早的结果。鉴于已知的阈值定理存在不同类型的Hamilton圈在$\mathbb G^{(k)}(n,m)$，我们的结果使我们能够找到条件下，$\mathbb R^{(k)}(n,d)$是Hamilton。特别地，对于$k\ge 3$，我们得出结论，如果$n^{k-2} \ll d \ll n^{k-1}$，则a.a.s. $\mathbb R^{(k)}(n,d)$包含一个紧Hamilton圈。
Extremal Hypergraphs for Ryser's Conjecture: Home-Base Hypergraphs
Ryser猜想指出任何$r$ -partite $r$ -uniform超图的顶点覆盖的大小至多是最大匹配的大小的$r - 1$倍.对于$r = 2$，这个猜想只是柯尼希定理，并且每个二分图都是它的紧性的证明。Aharoni也用拓扑方法证明了$r = 3$的猜想，但证明没有给出关于极$3$ -一致超图的信息.本文的目的是刻画那些满足Aharoni定理的紧超图。我们的证明这一特征也是基于拓扑机器，特别是利用结果的（拓扑）连通性的独立复杂的线图的链接图的$3$ -均匀Ryser极值超图，在一个单独的文件。当前的文件包含第二，结构超图理论的部分的论点，在那里我们使用的链接图的线图的信息，以钉下来的结构，我们称之为\emph{home-base hypergraph}的元素。虽然对每一个正整数$k \in \mathbb{N}$都存在一个匹配数为$k$的极小家基超图，但匹配数为$k$的家基超图远非唯一.它们有无限多个，每个都是由两种不同基本结构的$k$副本组成，它们的超边可以以各种受限但复杂的方式相交。我们的特征也证明了一个古老的和广泛的开放加强Ryser的猜想，由于Lovász，$3$ -一致极值的情况下，也就是说，超图与$τ= 2 ν$。
Spectral Extremal Results for Hypergraphs
设$F$是一个图。一个超图称为Berge $F$，如果它可以通过用包含它的一个超边替换$F$中的每条边而得到.给定一族图$\mathcal{F}$，我们称一个超图$H$是Berge $\mathcal{F}$ -free的，如果对于每一个$F \in \mathcal{F}$，超图$H$不包含Berge $F$作为子超图.本文研究了线性超图的邻接张量的谱半径与超图的结构性质之间的关系。特别地，我们利用谱方法得到了线性$k$ -一致超图上Turán型问题的一个谱形式，包括关于Berge $C_4$ -free线性$3$ -一致超图的一个紧结果.
A generalization of Erdős' matching conjecture
设$\mathcal{H}=(V,\mathcal{E})$是一个$n$-一致超图，且固定一个正整数$k$使得$1\le k\le r$ . $\mathcal{H}$的$k$ - \emph{matching}是边$\mathcal{M}\subset \mathcal{E}$的集合，使得基数等于$k$的$V$的每个子集最多包含在$\mathcal{M}$的一个元素中。$\mathcal{H}$的$k$匹配数是$k$匹配的最大基数。一个著名的问题，由Erdens提出，要求在一个$r$ -一致超图的$1$ -匹配数的约束下，它的边的最大数目.在这篇文章中，我们研究了在$k$ -匹配数严格小于$a$的约束下，确定$n$上的$r$ -一致超图的最大边数的更一般的问题.这个问题也可以看作是一个推广，众所周知，$k$交叉问题。我们提出了解决这个问题的候选超图，并证明了当$n\ge 4r\binom{r}{k}^2\cdot a$。
Spectral extremal problems for hypergraphs
本文研究超图的谱极值问题。我们给出了两个一般的标准，根据这些结果可以推导出相应的（纯）极值结果的“强稳定性”形式。这些结果适用于用α范数定义的α-谱半径，其中α>1;通常的谱是α=2的情况。我们的结果意味着，任何超图Turán问题，具有稳定性的性质，其极值结构满足一些相当温和的连续性假设，承认相应的谱结果。一个特殊的例子是当n足够大时，确定任意n个顶点上不包含Fano平面的3-一致超图的最大α-谱半径.另一个问题是当n足够大时，确定任意n阶图的最大α-谱半径，其中n阶图中不包含固定的色临界图;这推广了Nikiforov的一个定理，他在α=2的情况下证明了更强的结果。我们还得到了关于t-交k-一致超图的Erdens-Ko-Rado定理的α-谱形式。
Localized versions of extremal problems
我们推广了极值组合学中的几个经典定理，用一个对给定类中的所有对象都成立的不等式来代替全局约束。特别地，我们得到了序列上的Turán定理、Erdens-Gallai定理、LYM-不等式、Erdens-Ko-Rado定理和Erdens-Szekeres定理的推广.
On the König-Hall-Egerváry theorem for multidimensional matrices and multipartite hypergraphs
著名的柯尼希-霍尔-埃格瓦里定理的一个可能的解释是，对于给定权重的分数匹配，所有二部图极值的完全刻画（或者，等价地，对于给定长度的部分分数对角线，$(0,1)$ -矩阵极值的刻画）。在本文中，我们开始研究$d$ -部$d$ -一致超图是极值的分数完美匹配（或，等价地，$d$ -维$(0,1)$ -矩阵是极值的多对角）。为此，我们分析了$2$ -维与多维情形的异同，并对多维极值矩阵（极值超图）的性质提出了一系列问题和证明。我们还证明了这些结构的几个参数，并提供了一些支持的建设和例子。
A problem of Erdos and Sos on 3-graphs
本文证明了对于每个正的n，都存在正的delta和n 0，使得每个n ≥ n 0阶的3-一致超图都包含K4-作为子图，其中K4-是具有3条边的4阶3-一致超图，且每个k-顶点子集至少导出（1/4 + n）*{k \choose 3}条边，其中k ≥ delta*n.这个问题最初是由鄂尔多斯和索斯提出的。常数1/4是最好的。
On Extremal k-Graphs Without Repeated Copies of 2-Intersecting Edges
确定一个给定超图族中某个元素至多包含r个同构副本的极超图的问题首先由Boros等人在2001年研究。除了那些与经典的Turan数等价的超图之外，关于相应的极值超图的大小，没有多少超图族有确切的结果。本文确定了在{3，4}中k至多包含一对2-相交边的极k-一致超图的尺寸。我们给出了一个完整的解决方案时，k=3和一个几乎完全的解决方案（有11个例外）时，k=4。
The intersection spectrum of 3-chromatic intersecting hypergraphs
对于超图$H$，定义其交谱$I(H)$为不同边$E,F\in E(H)$的所有交大小$|E\cap F|$的集合。在1973年的开创性论文中，埃尔德什和洛瓦兹引入了局部引理，他们问道：$k$ -均匀$3$ -色相交超图的交谱必须有多大？他们证明了这样的超图必须至少有三个交叉尺寸，并证明了交叉谱的尺寸随着$k$而趋于无穷大。尽管这个问题多年来被Erdens和其他研究人员多次重申，但三个交叉口大小的下界到现在为止已经显著地经受住了任何改进。本文通过证明至少存在$k^{1/2-o(1)}$交的大小，证明了Erdens-Lovász猜想的强形式.我们的证明包括一个微妙的相互作用之间的拉姆齐型参数和密度增量的方法。
Extremal problems in uniformly dense hypergraphs
对于$k$ -一致超图$F$，设$\textrm{ex}(n,F)$为不含$F$的副本的$k$ -一致$n$ -顶点超图$H$的最大边数.确定或估计$\textrm{ex}(n,F)$是极值组合学中的一个经典和中心问题。虽然图（$k=2$）这个问题是很好理解的，由于工作的曼特尔，图兰，Erdalos，石头，Simonovits和许多其他人，只有很少是已知的$k$ -均匀超图的$k>2$。当$F$是一个在$k+1$顶点上有三条边的$k$ -均匀超图时，即使对于$k=3$也是完全开放的.我们考虑这样的问题的变种，其中大超图$H$享有额外的遗传密度条件。这种类型的问题是由Erdos和Sós在大约30年前提出的。在最近的工作与Rödl和沙赫特它原来的正则性方法为超图，建立了高尔斯和Rödl等人。大约十年前，是一个合适的工具，极值问题的这种类型，我们将讨论一些最近的结果和一些有趣的开放问题在这一领域。
The Erdős Matching Conjecture for 4-uniform hypergraphs
通过有限棋盘归约和精确证书验证，证明了对于匹配数s≥6961的4一致Erdős匹配猜想。
Linear Hypergraph Edge Coloring
基于超图的Erdos-FaberLovasz猜想，我们研究了线性超图的边着色问题。特别是，我们能够增加类的超图EFL是真的。
Large matchings in uniform hypergraphs and the conjectures of Erdos and Samuels
本文研究了一致超图中完美匹配和完美分式匹配存在的条件。我们把这个问题归结为一个古老的猜想，Erdés关于在给定匹配数（分数）时估计超图中的最大边数，在某些特殊情况下，我们能够使用概率技术来解决这个问题。在此基础上，我们得到了保证完美（分数）匹配存在的最小$d$ -度的一些一般定理。特别地，我们渐近地确定了4-一致超图和5-一致超图中保证完美匹配的最小顶点度。我们还讨论了一个应用程序的问题，找到一个最佳的数据分配在分布式存储系统。
Degenerate Turán densities of sparse hypergraphs II: a solution to the Brown-Erdős-Sós problem for every uniformity
对于固定整数$r\ge 3, e\ge 3$和$v\ge r+1$，设$f_r(n,v,e)$表示$n$ -顶点$r$ -一致超图中的最大边数，其中任意$e$不同边的并至少包含$v+1$顶点. 1973年，Brown，Erdés和Sós证明了$f_r(n,er-(e-1)k,e)=Θ(n^k)$，并证明了极限$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f_3(n,e+2,e)}{n^2}$总是存在于所有固定整数$e\ge 3$。在2020年，上官和塔莫证明了极限$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f_r(n,er-(e-1)k,e)}{n^k}$总是存在于所有固定整数$r>k\ge 2$和$e\ge 3$，其中包含BES猜想作为$r=3, k=2$的特殊情况。最近，基于Glock，Joos，Kim，Kühn，Lichev和Pikhurko的结果，Delcourt和Postle证明了BES猜想。推广了他们的结果，证明了极限$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f_r(n,er-2(e-1),e)}{n^2}$总是存在的，从而证明了BES猜想对任何一致性。
On the random version of the Erdős matching conjecture
Kneser超图${\rm KG}^r_{n,k}$是一个$r$ -一致超图，其顶点集由$\{1,\ldots,n\}$的所有$k$ -子集组成，且任何$r$顶点的集合构成一条边，如果它们对应的$k$ -集是两两不相交的.随机Kneser超图${\rm KG}^r_{n,k}(p)$是${\rm KG}^r_{n,k}$的生成子超图，其中${\rm KG}^r_{n,k}$的每条边以概率$p$彼此独立地保留。${\rm KG}^2_{n,k}$的随机子图的独立数最近在Bollob{á}s，Narayanan，and Raigorodskii（2016），Balogh，Bollob{á}s，and Narayanan（2015），Das and Tran（2016），and Devlin and Kahn（2016）的一系列作品中得到了解决。证明了即使对于非常小的$p$值，Erdens-Ko-Rado定理的随机对应物仍然有效。本文推广了这一结果，研究了随机Kneser超图${\rm KG}^r_{n,k}(p)$的独立数.广义地说，当$k$比$n$小得多时，我们将证明，即使对于$p$的极小值，Erdés匹配猜想的随机模拟也是正确的。
Intersecting extremal constructions in Ryser's Conjecture for r-partite hypergraphs
Ryser猜想指出，对于任何$r$ -部$r$ -一致超图，顶点覆盖数至多是匹配数的$r-1$倍。这个猜想只对$r\leq 3$成立。对于交超图，Ryser猜想归结为：每个$r$ -部交超图的边都能被$r-1$顶点覆盖。这个猜想的特殊情况只在$r \leq 5$中得到了证明。研究在Ryser猜想中是极值的超图，即顶点覆盖数恰好是匹配数的$r-1$倍的超图是一个有趣的问题。很少有已知的结构这样的图。对于大$r$，唯一已知的构造来自投影平面，并且仅当$r-1$是素数幂时才存在。Mansour、Song和Yuster研究了一个超图的边数是如何满足Ryser猜想的极值的。他们定义$f(r)$为最小整数，使得存在一个$r$ -部交超图$\mathcal{H}$，它有$τ({\mathcal{H}}) = r -1$和$f(r)$边.结果显示，$f(3) = 3, f(4) = 6$、$f(5) = 9$和$12\leq f(6)\leq 15$。在本文中，我们专注于$r=6$和7。我们表明，$f(6)=13$改善以前的界限。我们还表明，$f(7)\leq 22$，给出了第一个已知的极端超图的$r=7$情况下的Ryser猜想。这些结果是由Aharoni、Barat和Wanless独立获得的。
Erdős-Ko-Rado for random hypergraphs: asymptotics and stability
研究随机$k$ -一致超图$\mathcal{H}^k(n,p)$的Erdens-Ko-Rado定理的渐近形式.对于$2 \leq k(n) \leq n/2$，记为$N=\binom{n}k$和$D=\binom{n-k}k$。我们证明了当概率趋于1时，$n\to\infty$的最大相交子超图的大小为$(1+o(1))p\frac kn N$，对于任何$p\gg \frac nk\ln^2\!\left(\frac nk\right)D^{-1}$。$p$上的这个下限对于$k=Θ(n)$是渐近最佳可能的。对于这个范围的$k$和$p$，我们也能够显示稳定性。当$k = o(n)$。在这种情况下，$p$的下限几乎是最优的。进一步地，对于小区间$D^{-1}\ll p \leq (n/k)^{1-\varepsilon}D^{-1}$，$\mathcal{H}^k(n,p)$的最大相交子超图的大小为$Θ(\ln (pD)N D^{-1})$，条件是$k \gg \sqrt{n \ln n}$。加上以前的工作Balogh，Bohman和Mubayi，这些结果解决了最大的交叉家庭在$\mathcal{H}^k(n,p)$的渐近大小，基本上所有的值$p$和$k$。
Generalizations of the Erdős Matching Conjecture for the $t$-Matching Number
研究\(k\)-均匀超图中规定\(t\)-匹配数时超边的最大数量，给出埃尔德什匹配猜想的超图类似物，确定第二大最大结构，还得到广义克内泽尔图的极值\(G\)-自由诱导子图。
Extremal hypergraphs for matching number and domination number
超图$\mathcal{H}$中的匹配是一组两两不相交的超边。$\mathcal{H}$的匹配数$ν(\mathcal{H})$是$\mathcal{H}$中的最大匹配的大小。$\mathcal{H}$的顶点子集$D$是$\mathcal{H}$的控制集，如果对于每个$v\in V\setminus D$，存在$u\in D$使得$u$和$v$位于$\mathcal{H}$的超边中。$\mathcal{H}$的最小控制集的基数是$\mathcal{H}$的控制数，记为$γ(\mathcal{H})$。证明了$r$-一致超图的$γ(\mathcal{H})\leq (r-1)ν(\mathcal{H})$和达到相等$γ(\mathcal{H})=ν(\mathcal{H})$的2-一致超图（图）的特征.本文将不等式$γ(\mathcal{H})\leq (r-1)ν(\mathcal{H})$推广到任意秩为$r$的超图，并完全刻画了秩为$3$的极超图$\mathcal{H}$达到等式$γ(\mathcal{H})=(r-1)ν(\mathcal{H})$.
The extremal $p$-spectral radius of Berge-hypergraphs
设$G$是一个图。我们说超图$H$是Berge- $G$，如果存在一个双射$ϕ: E(G)\to E(H)$使得对所有$e\in E(G)$都有$e\subseteq ϕ(e)$.对任意的$r$ -一致超图$H$和实数$p\geq 1$，定义$H$的$p$ -谱半径$λ^{(p)}(H)$为\[ λ^{(p)}(H):=\max_{{\bf x}\in\mathbb{R}^n,\,\|{\bf x}\|_p=1} r\sum_{\{i_1,i_2,\ldots,i_r\}\in E(H)} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_r}. \]本文研究Berge- $G$超图的$p$ -谱半径.当$G$是路、圈或星时，我们在Berge- $G$超图中确定了$p\geq 1$的具有最大$p$ -谱半径的$3$ -一致超图.
Towards the Erdős matching conjecture for 4-uniform hypergraphs: stability and applications
本文证明了对于n≥5s且n足够大时，4一致超图的Erdős匹配猜想成立，主要技术贡献是一个独立的稳定性结果，并应用于解决5和6一致超图中匹配的最小d度阈值猜想。
The Erdos-Szekeres problem and an induced Ramsey question
受$R^d$中Erdos-Szekeres凸多胞体猜想的启发，我们开始研究超图的Ramsey问题.给定整数$ n > k \geq 5$，最小整数$g_k(n)$是多少，使得任何在$g_k(n)$顶点上的$k$ -一致超图具有如下性质：任何$k + 1$顶点集诱导0，2或4条边，包含一个独立的大小为$n$的集。我们的主要结果表明，$g_k(n) > 2^{cn^{k-4}}$，其中$c = c(k)$。
Hamilton cycles in graphs and hypergraphs: an extremal perspective
作为最基本和最著名的NP完全问题之一，Hamilton圈问题一直是人们研究的热点。最近在该领域的发展突出了膨胀和准随机性的概念所发挥的关键作用。这些概念和其他最新技术已导致解决该领域的几个长期存在的问题。新的方面也出现了，如弹性，鲁棒性和超图中的Hamilton圈的研究。我们调查这些发展，并突出开放的问题，强调极值和概率的方法。
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