Proof of the Brown-Erdős-Sós conjecture in groups
Brown，Erdés和Sós在1973年的猜想中指出，对于任何$k \ge 3$，如果一个具有$n$顶点的$3$ -一致超图$H$不包含一个至少跨越$k$边的$k+3$顶点集，则它有$o(n^2)$边.这个猜想的$k=3$情况是著名的$(6,3)$ -定理Ruzsa和Szemerédi这意味着罗斯定理$3$ -长期算术级数密集集的整数。Solymosi观察到，为了证明这个猜想，我们可以假设$H$由某个有限拟群$Γ$的三元组$(a, b, ab)$组成。由于这个问题仍然开放的所有$k \geq 4$，他进一步提出研究三重系统来自有限的群体。在这种情况下，他证明了猜想也适用于$k = 4$。在这里，我们完全解决了Brown-Erdens-Sós猜想的所有有限群和$k$值。此外，我们证明了超图来自群包含集的大小为$Θ(\sqrt{k})$的$k$边缘跨越。这是最好的可能性，远远超出了猜想。
2019-05-05 math.CO
Intersecting and $2$-intersecting hypergraphs with maximal covering number: the Erdős-Lovász theme revisited
Erdés和Lovász注意到具有最大覆盖数的$r$ -一致相交超图$H$，即$τ(H)=r$，必须至少有$\frac{8}{3}r-3$条边. 45年来，这个下限没有任何改善。我们试图通过研究一些小的案例来理解原因，看看真相是否非常接近这个简单的界限。用$q(r)$表示交$r$ -一致超图的最小边数.已知$q(3)=6$和$q(4)=9$。我们得到了以下新结果：一致性4的极值例子是唯一的。有点令人惊讶的是，它无论如何都不是对称的。对于均匀性5，$q(5)=13$，我们发现了3个例子，它们都不是已知的图。我们同时使用理论论证和计算机搜索。在埃尔德什和洛瓦什的足迹，我们还考虑了特殊情况下，当超图是一个有限的射影平面的一部分。我们确定了$r\in \{3,4,5,6\}$的确切答案。对于均匀性6，存在唯一的极值示例。在一个相关的问题中，我们试图寻找具有最大覆盖数的$2$ -交$r$ -一致超图，即$τ(H)=r-1$ .一个无限族的例子是取一个$(2r-2)$ -顶点集的所有可能的$r$ -集。还有一个几何候选者：双平面。这些是使用$λ=2$的对称2-设计。我们确定，只有3个双平面的18个已知的例子是极值。
2020-11-09 math.CO
On the $(6,4)$-problem of Brown, Erdős and Sós
设$f^{(r)}(n;s,k)$是一个$r$ -一致超图在$n$顶点上的最大边数，该超图不包含一个有$k$边的子图和至多一个$s$顶点. 1973年，Brown、Erdés和Sós证明了所有$k$都存在极限$$\lim_{n\to \infty} n^{-2} f^{(3)}(n;k+2,k)$$，并证实了$k=2$也是如此。最近，Glock为$k=3$展示了这一点。我们解决了下一个开放的情况下，$k=4$，通过显示$f^{(3)}(n;6,4)=\left(\frac{7}{36}+o(1)\right)n^2$作为$n\to\infty$。更一般地，对于所有的$k\in \{3,4\}$，$r\ge 3$和$t\in [2,r-1]$，我们计算极限$\lim_{n\to \infty} n^{-t}f^{(r)}(n;k(r-t)+t,k)$的值，这解决了上官和塔莫的问题。
2023-03-14 math.CO
A Ramsey variant of the Brown-Erdős-Sós conjecture
如果一个$r$ -均匀超图（简称$r$ -图）的每对顶点最多属于一条边，则该超图称为线性的。一个线性$r$ -图是完全的，如果每对顶点恰好在一条边上。著名的Brown-Erdens-Sós猜想指出，对于每个固定的$k$和$r$，每个具有$Ω(n^2)$边的线性$r$ -图包含至多由$(r-2)k+3$点张成的$k$边.作为这个猜想的中间步骤，Conlon和Nenadov最近建议证明它的自然Ramsey松弛。也就是说，对于每个固定的$k$，$r$和$c$，在完全线性$r$ -图的每个$c$ -着色中，可以找到至多由$(r-2)k+3$顶点所跨越的$k$单色边.我们证明，这拉姆齐版本的猜想下，额外的假设，$r \geq r_0(c)$，我们表明，$c=2$，它适用于所有$r\geq 4$。
2021-04-21 math.CO
A New Bound for the Brown--Erdős--Sós Problem
设$f(n,v,e)$表示$3$ -一致超图中不包含至多由$v$顶点所跨越的$e$的边的最大边数.极值组合学中最有影响力的开放问题之一，然后问，对于给定的边缘数$e \geq 3$，什么是最小的整数$d=d(e)$，使$f(n,e+d,e) = o(n^2)$？这个问题有它的起源在工作的布朗，Erdés和Sós从70年代初和标准的猜想是，$d(e)=3$为每一个$e \geq 3$。Sárközy和Selkow在2004年获得了关于这个问题的最新结果，他们证明了$f(n,e + 2 + \lfloor \log_2 e \rfloor,e) = o(n^2)$。唯一的改进是Solymosi和Solymosi最近的突破，他们将$d(10)$的边界从5提高到4。我们得到了Sárközy-Selkow界的第一个渐近改进，表明$$ f(n, e + O(\log e/ \log\log e), e) = o(n^2). $$
2022-06-09 math.CO
The Erdős Matching Conjecture for 4-uniform hypergraphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
通过有限棋盘归约和精确证书验证，证明了对于匹配数s≥6961的4一致Erdős匹配猜想。
2026-09-15 math.CO
The limit in the $(k+2, k)$-Problem of Brown, Erdős and Sós exists for all $k\geq 2$
本文通过结合近期 $k=4$ 情形的工作与一种新的归约方法，彻底证明了 Brown, Erdős 和 Sós 于 1973 年提出的极限猜想对所有正整数 $k\ge 2$ 均成立。
2023-09-14 math.CO
On the $(k+2,k)$-problem of Brown, Erdős and Sós for $k=5,6,7$
本文针对Brown、Erdős和Sós提出的$(k+2,k)$问题，确定了$k=5,6,7$时的极限值及更一般情形下的结果，并结合现有研究得到了广义Ramsey数的新渐近值。
2025-02-14 math.CO
On the quadratic 8-edge case of the Brown-Erdős-Sós problem
University of Warwick（华威大学）
本文研究了Brown-Erdős-Sós问题中$k=8$的情形，确定了所有$r\ge 4$的极限值，并给出了$k=3$时的一个猜想为紧的下界。
2025-10-16 math.CO
On a problem of Brown, Erdős and Sós
本文研究 Shangguan–Tamo 对 Brown–Erdős–Sós 超图极值问题的推广，在偶数 $k$ 且 $r$ 充分大时确定极限值，并证明 $k=5,7$ 时极限存在。
2024-04-09 math.CO
The quadratic Brown--Erdős--Sós problem for 3-uniform hypergraphs with 8 and 9 edges
University of Warwick（华威大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文研究3-一致超图的Brown--Erdős--Sós问题，证明π(9)=1/5，并给出π(8)的上界5053/26544，通过线性规划与有限域构造实现。
2026-10-05 math.CO
Asymptotics of the Brown--Erdős--Sós problem at integer exponents
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Institute for Basic Science (IBS)（韩国基础科学研究所）
该研究确定了 Brown--Erdős--Sós 问题在整数指数下的渐近首项系数，发现其仅依赖于奇偶性，并解决了若干广义 Ramsey 问题情形。
2026-09-30 math.CO
Power saving for the Brown-Erdős-Sós problem
本文研究 Brown-Erdős-Sós 问题，证明对每个 e≥3，存在 ε>0 使得 f(n, e+⌊log₂e⌋+38, e)=O(n^{2-ε})，即在 Sárközy-Selkow 界附近以加性常数 38 为代价实现幂次节省。
2025-07-09 math.CO
The Manickam-Miklós-Singhi Property in Graphs and Hypergraphs
Department of Applied Mathematics, Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院应用数学系）
本文研究图和超图中的Manickam-Miklós-Singhi (MMS)性质，通过2-均匀情况的结构刻画构造新的正则图族，分析Erdős–Rényi随机图模型$\mathbf{G}(n,p)$中高概率满足MMS性质的参数区域，并利用伪匹配将基于匹配的充分条件推广到更高均匀性，通过爆裂构造从低均匀性例子生成具有MMS性质的高均匀性超图。
2026-05-29 math.CO
On the $(k+2,k)$-problem of Brown, Erdős and Sós for even integers $k$
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交大数学科学学院）
本文研究了$(k+2,k)$问题，确定了对于偶数$k≥4$和$r≥2+\sqrt{\frac{3}{2}k-4}$时，极限值为$\frac{1}{r^2-r}$。
2026-03-19 math.CO
Constructing Dense Grid-Free Linear $3$-Graphs
我们证明了存在具有$n$顶点和$Ω(n^2)$边的线性$3$ -一致超图，并且这些超图不包含$3 \times 3$网格的副本。这使得重大进展的猜想Füredi和Ruszinkó。我们还讨论了证明$(9,6)$ Brown-Erdoss-Sós问题下界以及Solymosi和Solymosi问题的联系。
2021-04-01 math.CO
On the existence of dense substructures in finite groups
修复$k \geq 6$。我们证明了任何足够大的有限群$G$包含$k$元素，这些元素跨越二次许多三元组的形式$(a,b,ab) \in S \times G$，给定任何稠密集$S \subseteq G \times G$。二次界是渐近最优的。特别是，这提供了一个初等证明的一个特殊情况下的猜想布朗，Erdés和Sós。我们注意到，这个结果最近由Nenadov，Sudakov和Tyomkyn独立发现。
2019-02-21 math.CO
The extremal number of surfaces
1973年，Brown，Erdés和Sós证明了：如果$\mathcal{H}$是一个在$n$顶点上的3-一致超图，且不包含球面的三角剖分，则$\mathcal{H}$至多有$O(n^{5/2})$边，并且这个界是一个常数因子下的最佳可能界。解决一个猜想的Linial，也重申Keevash，长，Narayanan，和斯科特，我们表明，同样的结果适用于三角形的环面。进一步地，我们将所得结果推广到所有闭可定向曲面$\mathcal{S}$ .
2020-10-14 math.CO
A hypergraph bipartite Turán problem with odd uniformity
本文针对奇均匀度$r\geq5$的超图二部Turán问题，利用识别正则稠密子结构的新技术，证明了对应Turán数存在带额外$ε$阶衰减的上界，给出Bradač等人相关猜想的肯定回答，揭示了解依赖均匀度奇偶性的罕见特性。
2024-03-10 math.CO
Erdős-Rogers functions for arbitrary pairs of graphs
本文研究任意图对的Erdős-Rogers函数，证明了无三角形图F在K3约束下达到平方根量级，而对含圈的K4-free图F则严格大于立方根量级，并刻画了一般图G下函数呈多项式衰减的条件。
2024-07-03 math.CO
A Simple Counting Argument for Dense Linear Hypergraphs
University of Toronto（多伦多大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Óbuda University（奥比乌斯大学）
针对Brown-Erdős-Sós猜想，通过局部平均论证证明线性一致超图的密度定理，给出渐近密度阈值并简化Keevash-Long的证明，对三一致超图改进了Santos-Tyomkyn的界。
2026-06-25 math.CO
Small Cores in 3-uniform Hypergraphs
本文的主要结果是：对任意的$c>0$，且对足够大的$n$，如果3-一致超图的边数至少为$cn^2$，则在至多15个顶点上存在核（最小度至少为2的子图）。我们猜想我们的结果是不尖锐的，15可以用9代替。这样的改进似乎是遥不可及的，因为它将意味着布朗，埃尔德\H os和Sós的一个长期猜想的以下情况：如果没有9个顶点的集合跨越至少6条边的3-一致超图，那么它是稀疏的。
2016-06-20 math.CO
Uniform Turán density -- palette classification
Leipzig University（莱比锡大学）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学研究所）；Masaryk University（马萨里克大学）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）
本文针对Erdős与Sós提出的3-均匀超图一致Turán密度问题，给出了超图可着色的充要条件，并将其用于证明具有特定一致Turán密度的超图的存在性。
2026-08-28 math.CO
On an Extremal Hypergraph Problem Related to Combinatorial Batch Codes
令$n, r, k$是正整数，使得$3\leq k < n$和$2\leq r \leq k-1$。设$m(n, r, k)$表示$r$ -一致超图在$n$顶点上所能拥有的最大边数，条件是$i$边的任何集合对于所有$1 \leq i \leq k$至少跨越$i$顶点.我们感兴趣的是固定$r$和$k$为$n \rightarrow \infty$的$m(n, r, k)$的渐近性质。这个问题与Brown、Erdés和Sós提出的禁止超图问题有关，最近在组合批处理码的背景下讨论过。在这篇简短的论文中，我们得到了以下结果。{enumerate}[（i）]使用Erdos的结果，我们能够显示$7\leq k$和$3 \leq r \leq k-1-\lceil\log k \rceil$的$m(n, k, r) = o(n^r)$。这一结果是最好的可能性方面的上限$r$，因为我们随后通过明确的建设，$6 \leq k$，和$k-\lceil \log k \rceil \leq r \leq k-1, m(n, r, k) = Θ(n^r)$。这种明确的建设改善了非建设性的一般下界布朗，Erdés，和Sós所考虑的参数值。对于2-均匀CBCs，我们得到以下结果。{enumerate}我们为$n \geq 5$提供$m(n, 2, 5)$的精确值。利用Lazebnik等人关于具有大围长的图的最…
2012-10-04 cs.DM math.CO
Hypergraphs with uniform Turán density equal to 8/27
Institute of Computer Science, Czech Academy of Sciences（捷克科学院计算机研究所）；Universität Heidelberg（海德堡大学）；Faculty of Informatics, Masaryk University（马萨里克大学信息学院）；Leipzig University（莱比锡大学）；University of Warwick（华威大学）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进会数学研究所）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极值组合与概率组）
本文研究了具有均匀Turán密度等于8/27的3-均匀超图的构造与条件。
2025-10-23 math.CO
Generalized Ramsey numbers at the linear and quadratic thresholds
本研究改进了线性与二次阈值下广义拉姆齐数$f(n,p,q)$的已知估计，强化了其与一类经典极值问题的关联，并借助禁止子匹配等新方法推导出更优的上界结果。
2024-08-13 math.CO
Sparse hypergraphs: new bounds and constructions
设$f_r(n,v,e)$表示$r$ -一致超图中$n$顶点上的最大边数，其中任何$e$不同边的并至少包含$v+1$顶点. $f_r(n,v,e)$的研究是由Brown，Erd{Ign}s和S{ó}s在四十多年前发起的。在文献中，下面的猜想是众所周知的。猜想：$n^{k-o(1)}<f_r(n,er-(e-1)k+1,e)=o(n^k)$对所有固定整数$r>k\ge 2$和$e\ge 3$成立为$n\rightarrow\infty$。对于$r=3, e=3, k=2$，利用著名的Ruzsa和Szemer{é}di的（6，3）-定理证明了有界$n^{2-o(1)}<f_3(n,6,3)=o(n^2)$.在本文中，我们增加了更多的证据的有效性猜想。一方面，利用超图移除引理证明了猜想的上界部分对所有固定整数$r\ge k+1\ge e\ge3$成立。另一方面，使用工具，从加法数论，我们提出了几个建设表明，下界部分的猜想是正确的$r\ge3$，$k=2$和$e=4,5,7,8$。在我们的结果之前，所有已知的结构，匹配的约束下限满足$r=3$或$e=3$。我们的结构是文献中第一个打破这一障碍的结构。
2020-10-22 math.CO
