发表机构
Massachusetts Institute of Technology; University of Science and Technology of China; Institute for Basic Science (IBS)（麻省理工学院; 中国科学技术大学; 韩国基础科学研究所）
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该研究确定了 Brown--Erdős--Sós 问题在整数指数下的渐近首项系数，发现其仅依赖于奇偶性，并解决了若干广义 Ramsey 问题情形。
AI 中文摘要
Brown--Erdős--Sós 问题是稀疏超图 Turán 理论中的一个基本问题。对于整数 $r,k\ge 2$ 和 $s\ge r$，该问题要求确定 $n$ 顶点 $r$ 一致超图中不包含 $k$ 条跨越至多 $s$ 个顶点的不同边的最大边数 $f^{(r)}(n;s,k)$。1971 年，Brown、Erdős 和 Sós 证明了对于所有 $r>t\ge 2$ 和 $k\ge 2$，有 $f^{(r)}\bigl(n;(r-t)k+t,k\bigr)=\Theta(n^t)$。然而，首项系数的存在性及其取值在很大程度上仍是未解问题。我们确定了对于所有这样的 $r,t,k$，系数 $\pi(r,t,k):=\lim_{n\to\infty}n^{-t}f^{(r)}\bigl(n;(r-t)k+t,k\bigr)$ 的值，除了 $(r,t)=(3,2)$ 且 $k\ge 4$ 为偶数的情况。特别地，\\[ \pi(r,t,k) = \begin{cases} \frac{2}{t!\bigl(2\binom{r}{t}-1\bigr)}, & \text{若 $k$ 为奇数},\\\\ \frac{1}{t!\binom{r}{t}}, & \text{若 $k$ 为偶数且 $r\ge4$}. \end{cases} \\] 令人惊讶的是，对于 $r\ge4$，极限 $\pi(r,t,k)$ 仅依赖于 $k$ 的奇偶性，而不依赖于其具体值。对于剩余情况，我们证明了对于所有偶数 $k\ge 4$，$\pi(3,2,k)>1/6$，这表明自然的打包构造永远不会是渐近最优的。作为应用，我们将 Bennett、Cushman 和 Dudek 的一个联系推广到任意一致性，从而解决了 Erdős--Gyárfás--Shelah 广义 Ramsey 问题的若干情形。
英文摘要
The Brown--Erdős--Sós problem is a fundamental problem in sparse hypergraph Turán theory. For integers $r,k\ge 2$ and $s\ge r$, the problem asks for the maximum number $f^{(r)}(n;s,k)$ of edges in an $n$-vertex $r$-uniform hypergraph containing no $k$ distinct edges spanning at most $s$ vertices. In 1971, Brown, Erdős, and Sós proved that $f^{(r)}\bigl(n;(r-t)k+t,k\bigr)=Θ(n^t)$ for all $r>t\ge 2$ and $k\ge 2$. However, the existence and the value of the leading coefficient have remained largely open. We determine the coefficient $π(r,t,k):=\lim_{n\to\infty}n^{-t}f^{(r)}\bigl(n;(r-t)k+t,k\bigr)$ for every such $r,t,k$, except when $(r,t)=(3,2)$ and $k\ge 4$ is even. In particular, \[ π(r,t,k) = \begin{cases} \frac{2}{t!\bigl(2\binom{r}{t}-1\bigr)}, & \text{if $k$ is odd},\\ \frac{1}{t!\binom{r}{t}}, & \text{if $k$ is even and $r\ge4$}. \end{cases} \] Surprisingly, for $r\ge4$, the limit $π(r,t,k)$ depends on $k$ only through its parity, not its value. For the remaining case, we prove that $π(3,2,k)>1/6$ for all even $k\ge 4$, showing that the natural packing construction is never asymptotically optimal. As an application, we extend a connection of Bennett, Cushman, and Dudek to arbitrary uniformity to resolve several cases of the Erdős--Gyárfás--Shelah generalized Ramsey problem.
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