Helfrich's Energy and Constrained Minimisation
对于每一个$g\in\mathbb{N}_0$和$ε>0$，我们构造了一个嵌入到单位球中的光滑亏格$g$曲面，其面积$8π$和Willmore能量小于$8π+ ε$ .由此，我们推出的Willmore的能量在类属$g$表面嵌入在单位球面积$8π$的最小序列收敛到一个双覆盖的所有$g\in\mathbb{N}_0$的领域。我们得到了相同的结果，某些Canham-Helfrich能量与$χ_K\leq 0$没有亏格约束，并表明，Canham-Helfrich能量与$χ_K>0$是没有界的光滑曲面类的面积$S$嵌入到一个域$Ω\Subset \mathbb{R}^3$从下面。进一步证明了嵌入域$Ω\Subset\mathbb{R}^3$中能量和面积一致有界的连通曲面类在变倍收敛下是紧的.
2016-08-09 math.DG
The volume-preserving Willmore flow
我们考虑$\mathbb{R}^3$中的闭曲面在保体积Willmore流的作用下演化，并证明了光滑解存在时间的一个下界.对于Willmore能量低于$8π$的球面初始曲面，通过适当的blow-up和证明一个约束Lojasiewicz-Simon不等式，我们证明了该曲面的长时间存在性和收敛性.
2023-01-28 math.AP math.DG
Gradient Flow for the Willmore Functional in Riemannian Manifolds of bounded Geometry
本文考虑有界几何黎曼流形中Willmore泛函的$L^2$梯度流.在欧几里得情形下，E. Kuwert和R. Schätzle [ \textsl{Gradient flow for the Willmore functional,} Comm. Anal. Geom.，10点整：307-339，2002]建立了这种流动的光滑解的下界，它只取决于初始曲面的曲率在空间中集中了多少。在第二个联合工作[ \textsl{The Willmore flow with small initial energy,} J.\;微分几何，57：409-441，2001]上述作者证明了一个合适的爆破收敛到一个非脐（紧或非紧）Willmore曲面。在第一作者的课堂笔记[ \textsl{The Willmore Functional,}未发表的课堂笔记，ETH Zürich，2007]中，对爆破分析进行了改进。在目前的工作中，我们打算推广上述结果的黎曼设置。
2013-08-28 math.AP math.DG
The biharmonic hypersurface flow and the Willmore flow in higher dimensions
Dongbei University of Finance and Economics（东北财经大学）；The University of Queensland（昆士兰大学）；Peking University（北京大学）
本文通过建立新的Gagliardo-Nirenberg不等式，证明了高维四阶超曲面流和Willmore流的全局存在性。
2025-05-26 math.DG
Eventual Monotonicity of the Willmore Energy under Mean Curvature Flow
Universiti Sains Malaysia（马来西亚理科大学）；Guangxi University（广西大学）
本文证明严格凸曲面沿平均曲率流时Willmore亏量晚期单调递减，细化Huisken的指数收敛，并推论Hawking质量最终非递减，同时探讨三维空间形式中全脐解的单调性方向依赖截面曲率符号。
2026-10-16 math.DG
Asymptotic estimates for the Willmore flow with small energy
Kuwert和Schätzle在2001年证明，如果初始能量很小，Willmore流收敛到一个标准的圆球。在这种情况下，我们证明稳定性估计的重心和二次矩的表面。此外，在余维1中，我们得到了封闭体积和平均中曲率的稳定界。作为直接应用，我们恢复了De Lellis和Müller（2006）的准刚性估计以及Röger和Schätzle（2012）的等周亏损估计，其原始证明使用了不同的方法。
2019-06-06 math.DG
The area preserving Willmore flow and local maximizers of the Hawking mass in asymptotically Schwarzschild manifolds
本文研究了渐近平坦流形上$C^{3}-$接近Schwarzschild的渐近区域中的保面积Willmore流。拉姆、梅茨格和舒尔策指出，这种端部是由威尔莫尔型球体形成的。在本文中，我们证明了这个叶理的叶子是稳定的小面积保持$W^{2,2}-$扰动下的面积保持Willmore流。这意味着，特别是，叶子是严格的局部面积保持最大化的霍金质量相对于$W^{2,2}-$拓扑结构。
2019-06-13 math.DG
The Willmore Flow of Tori of Revolution
研究旋转环面Willmore流的长时间行为，证明能量低于8π时收敛至Clifford环面，并应用于共形约束极小化。
2023-08-13 math.AP math.DG
Willmore flow of surfaces in Riemannian spaces I: Concentration-compactness
本文研究了在Willmore流作用下的黎曼三维流形中的闭曲面的局部正则性。我们建立了流的一对集中-紧性替代方案，给出了流的最大存在时间的下界，该下界与初始时刻的曲率和面积的集中成正比。第一定理的估计纯粹是根据初始时刻曲率的集中度，但仅适用于具有非正截面曲率的周围空间。第二个需要在初始时间的区域的浓度的额外信息，但适用于更一般的背景空间。这些结果的应用将出现在未来的工作。
2013-08-28 math.DG
Global existence and full convergence of the Möbius-invariant Willmore flow in the $3$-sphere
Technion: Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文研究了Möbius不变Willmore流在3球面中的全局存在性和完全收敛性，证明了其在特定条件下对初始浸入的小扰动稳定性。
2022-11-26 math.AP math.DG
The Parametric Approach to the Willmore Flow
我们引入了一个参数框架的Willmore梯度流的研究，使考虑一般类的弱，能级的解决方案，并打开了研究能量量子化和有限时间奇点的可能性。我们限制在这第一项工作中的小能量政权，并证明，对于小能量弱浸入，在这个类的柯西问题承认一个唯一的解决方案。
2022-02-27 math.AP math.DG
The Parametric Willmore Flow
本文证明了参数化 Willmore 流对任意光滑初始数据具有仅依赖几何量的最小正存在时间，并结合守恒律形式为弱 Lipschitz $W^{2,2}$ 初始数据定义 Willmore 流奠定基础。
2023-08-06 math.AP math.DG
On the area-preserving Willmore flow of small bubbles sliding on a domain's boundary
我们考虑的面积保持Willmore的表面是接近一个小半径的半球形的演变，滑动的域的边界S，同时满足它正交。我们证明了流动的存在对于所有的时间，并保持一个“半球”的形状。此外，我们调查的流动的渐近行为，并证明，对于大的时候，表面的重心近似遵循一个明确的常微分方程。在S的中曲率上施加附加条件，然后建立流的收敛性。
2022-03-24 math.AP math.DG
Dimension reduction for Willmore flows of tori: fixed conformal class and analysis of singularities
本文通过固定共形类的 Willmore 流与双曲平面弹性流的维数约化联系，给出奇异性判据并构造新高能 Willmore 环面，同时分析经典流的反悬链面奇异极限及重启收敛。
2025-02-18 math.AP math.DG
On the convergence of the Willmore flow with Dirichlet boundary conditions
本文研究了带 Dirichlet 边界条件曲面的 Willmore flow，针对旋转对称初始数据，证明了在显式尖锐能量阈值下解的全局存在性与收敛性，并通过构造奇点验证了阈值尖锐性，最后证明了 $\mathbb{H}^2$ 中开曲线的 Li-Yau 不等式。
2024-08-30 math.AP math.DG
The Willmore flow with prescribed isoperimetric ratio
提出保持 isoperimetric ratio 的非局部 L^2-梯度流研究 Willmore energy，证明低能球形初始数据下长时间存在且收敛于 Helfrich immersion，避免了局部约束流的有限时间奇点。
2024-01-10 math.AP math.DG
On Willmore Legendrian surfaces in $\mathbb{S}^5$ and the contact stationary Legendrian Willmore surfaces
在本文中，我们研究Willmore Legendrian曲面（即Legendrian曲面，这是临界点的Willmore功能）。利用\cite{Luo}中证明的一个等式，得到了$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian曲面与接触平稳Legendrian曲面之间的一个关系，并利用这个关系证明了$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian球面的一个分类结果.我们还得到了Willmore Legendrian曲面的一个积分不等式，特别证明了如果$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian曲面的第二基本形式的平方长属于$[0,2]$，则它必定是$0$且$L$是全测地线，或者是$2$且$L$是平坦的极小Legendrian环面，推广了\cite{YKM}的一个结果.我们还研究了5维Sasakian流形中Legendrian曲面之间Willmore泛函的变化。设$Σ$是一个闭曲面，$(M,α,g_α,J)$是一个5维Sasakian流形，它具有接触形式$α$，伴随度量$g_α$和几乎复结构$J$ .假设$f:Σ\mapsto M$是Legendrian沉浸。如果$f$是接触形变下Willmore泛函的临界点，则称$f$为接触平稳LegendrianWillmore曲面（简称csLWillmore曲面）.为了研究csL Wi…
2017-05-31 math.DG
Finite time singularities for the locally constrained Willmore flow of surfaces
在本文中，我们研究了最速下降$L^2$ -梯度流的功能$\SW_{λ_1,λ_2}$，这是总和的Willmore能量，$λ_1$加权表面积，和$λ_2$加权封闭体积，表面浸入$\R^3$。这与零“自发曲率”的Helfrich泛函相吻合。我们的第一个结果是一个浓度紧性替代和内估计的流量。对于小能量的初始数据，我们证明了嵌入性的保持性，并通过直接估计$L^2$中的Euler-Lagrange算子，得到了最大存在时间是有限的.结合这一结果与分析一个合适的爆破，使我们能够表明，对于这样的初始数据流合同在有限的时间一个圆形点。
2012-01-22 math.AP math.DG
The Willmore Flow of Graphs with Boundary Data: Low-Regularity Initial Data and Global Convergence
Otto-von-Guericke-Universität（奥托·冯·古里克大学）
本文研究了具有Dirichlet边界条件的二维有界域上图的Willmore流，发展了低正则性理论，证明了低正则性初始数据和小数据下的全局存在性及收敛性。
2026-03-29 math.AP math.DG
Numerical solution for the anisotropic Willmore flow of graphs
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
针对图形上的Willmore流，引入各向异性平均曲率，采用互补有限体积法进行数值求解，并证明了能量等式和稳定性。
2011-11-13 cs.NA math.DG math.NA
A Reverse Isoperimetric Inequality and its Application to the Gradient Flow of the Helfrich Functional
证明了Willmore能量在$8π$外有界的嵌入曲面的一个定量逆等周不等式.我们使用该结果来分析Willmore能量的负$L^2$梯度流加上封闭体积的正倍数。我们证明了Willmore能量小于$8π$且具有正封闭体积的初始曲面在有限或无限时间内收敛于一个圆点。
2020-09-25 math.AP math.DG
Solutions of the Sinh-Gordon Equation of Spectral Genus Two and constrained Willmore Tori I
该研究探讨谱亏格g<3的椭圆型sinh-Gordon方程解的参数化、流轨道性质及等谱集影响，还利用极限情况构造约束Willmore共形映射并计算Willmore泛函。
2024-11-28 math.DG
Adiabatic theory for the area-constrained Willmore flow
本文建立了三维渐近Schwarzschild流形中面积约束Willmore流下大闭曲面演化的绝热理论。我们明确地构建一个地图，定义在一定的四维流形的重心，其特征在于关键的静态和动态特性的ACW流。特别是，使用该映射，我们找到了重心的显式四维有效动力学，只要初始表面满足某些温和的几何约束（这决定了有效性），它就可以作为（无限维）ACW流的一致渐进逼近。间隔）。相反，给定任何规定的流的重心演变根据这种有效的动力学，我们构建了一个家庭的表面演变的ACW流，其重心一致接近规定的一个大的时间间隔（其大小取决于初始配置的几何约束）。
2022-03-07 math-ph math.AP math.DG
On $H^2$-gradient Flows for the Willmore Energy
研究H²梯度流在Willmore能量及其他二次依赖第二基本形式的功能的定义，探讨Sobolev空间中浸入的性质及投影流的存在条件与应用。
2017-03-19 cs.NA math.DG math.NA
Generalized Weierstrass formulae, soliton equations and Willmore surfaces. I. Tori of revolution and the mKdV equation
提出了一种新的方法来研究${\bf R}^3$中曲面的总平方平均曲率$W$的结构和性质。它是基于广义Weierstrass公式诱导曲面。的数量$W$（Willmore功能）被证明是不变的下修改的Novikov-Veselov层次的可积流。的$1+1$ -维的情况下，特别是，Willmore环面的革命，进行了详细的研究。对mKDV-不变Willmore环面证明了Willmore猜想.
1995-06-29 dg-ga math.DG
Global existence for the Willmore flow with boundary via Simon's Li-Yau inequality
本文利用修改后的 Simon 的 Li-Yau 不等式和几何测度论工具，证明了初始能量低于特定阈值的带 Dirichlet 边界数据的圆柱旋转曲面 Willmore 流的全局存在性，并改进了平稳问题中 Willmore 极小化子的存在性结果。
2024-02-16 math.AP math.DG
Hopf Reduction and Multiplicity-Resolved Endpoints for the Classical Willmore Flow of Hopf Tori
Justus-Liebig-Universität Gießen（吉森大学）；Technion–Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文通过将三维球面中 Hopf 环面的经典 Willmore 流精确约化为球面弹性流，结合已知收敛定理，证明了任意初始能量下流线的完全光滑收敛，并给出了未重参数化轨迹的定量收敛结果，包括端点密度与覆盖重数的关系。
2026-09-24 math.AP math.DG
Weighted $\infty$-Willmore Spheres
本文研究球面上固定面积约束下加权平均曲率 $L^\infty$ 范数的极小化问题，证明低能量解满足二阶PDE系统，并揭示平均曲率至多取三个值，刻画了曲面几何行为。
2024-03-20 math.AP math.DG
A Li-Yau inequality for the 1-dimensional Willmore energy
本研究将曲面的Li-Yau不等式推广至一维曲线情形，探讨涉及欧拉弹性能量等曲率泛函的类似结果，并应用于相关梯度流。
2023-10-04 math.AP math.DG
Strain-minimising Stream Surfaces
本文研究在无发散向量场中寻找应变最小流面的问题。这些表面由种子曲线的运动产生，种子曲线以应变最小化的方式传播通过场，即，它们移动时不会拉伸或收缩，保持其任意弧的长度。在一般领域，这样的曲线是不存在的。然而，发散自由的约束产生这些“无应变”曲线，这些曲线在无限小传播时保持局部弧长。几个家庭的无应变曲线被确定，并作为流面生成的初始猜测。这些表面随后进行全局优化，以获得最佳的应变最小化流表面在给定的无发散向量场。我们的算法在基准数据集上进行了测试，证明了其对不可压缩流体流动模拟的适用性，其中我们的应变最小化流表面真实地反映了灵活的单变量对象的流动。
2014-11-05 math.DG
Uniqueness of Finite-Time Varifold Limits for the Möbius-Invariant Willmore Flow
Justus-Liebig-Universität Gießen（吉森大学）；Technion–Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
该研究在一致定量非脐性等条件下，证明了三维球面中莫比乌斯不变威尔莫尔流有限时间变分曲面极限的唯一性，还将结果推广至无穷时间情形，推进了几何分析中相关流的收敛性研究。
2026-09-02 math.AP math.DG
Singularities and full convergence of the Möbius-invariant Willmore flow in the $3$-sphere
本文研究了莫比乌斯不变的威利流在3球面中的行为，探讨了流线的极限表面及其收敛性，揭示了流线在特定初始条件下的完全收敛性准则。
2025-08-14 math.AP math.DG
A minimising movement scheme for the $p$-elastic energy of curves
通过一个最小化运动方案证明了$p$ -弹性能曲线的负$L^2$ -梯度流的短时存在性.为了解释曲线重参数化下能量不变性所引起的退化，我们将演化曲线写成固定平滑曲线上的近似正规图。这使我们能够建立短期存在性，并给出一个下界的解决方案的生命周期，只依赖于初始数据的$W^{2,p}$ -Sobolev规范。
2021-01-25 math.AP math.DG
Schwarzian Derivatives and Flows of Surfaces
本文对如何在n-空间中的共形浸入环面空间上构造可积流族作了一些解释。这些流首先出现在数学物理中--Novikov-Veselov和Davey-Stewartson族--作为Dirac算子的核维保持变形。后来，使用表面的旋量表示，同样的流动被解释为3-和4-空间中保持Willmore能量的表面变形。这最后一个属性表明，正确的几何设置为这个理论是Moebius不变曲面几何。我们发展这一观点在第一部分的文件中，我们推导出的基本不变量-的Schwarzian导数，Hopf微分和正常的连接-共形浸入到n-空间连同其可积性方程。为了证明我们的方法的有效性，我们讨论和证明了各种旧的和新的结果从共形曲面理论。本文的第二部分利用Moebius不变几何变形导出了共形浸入环面上的Novikov-Veselov流和Davey-Stewartson流。我们指出类似的推导的KdV层次的流Schwarzian的亚纯函数。特殊的表面类，如Willmore表面和等温表面，被保存的流动。
2002-03-14 math.DG
Introducing spontaneous curvature to the Helfrich flow: Singularities and convergence
本文研究Helfrich流，发现负自发曲率导致有限时间奇点，而正自发曲率下，局部面积约束流全局收敛到Helfrich浸入，并给出显式能量阈值。
2024-04-19 math.AP math.DG
The Calabi functional on a ruled surface
研究亏格为2的直纹曲面上的Calabi泛函.对于极化不承认一个极值度量，我们描述了一个最小化序列分裂成件的流形的行为。我们还表明，卡拉比流从一个度量与适当的对称性给出了这样一个最小化序列。
2007-03-19 math.AG math.DG
Stability of Self-similar Solutions to Geometric Flows
我们证明了当初始数据具有小Lipschitz范数扰动时，整图的中曲率流、表面扩散和Willmore流的自相似解是稳定的.粗略地说，当时间趋于无穷大时，扰动解是渐近自相似的。我们的结果是建立在Koch和Lamm \cite{KochLamm}构造的全局分析解，Asai和Giga \cite{Giga2014}采用的紧性参数，以及某些加权函数空间上的空间等衰减性质。利用线性化算子的估计，在一个统一的框架内实现了上述所有流的证明。
2021-08-30 math.AP math.DG
Lifespan theorem for constrained surface diffusion flows
我们考虑了$\R^{3}$和$\R^4$中的闭浸入超曲面由一类约束表面扩散流演化。我们的结果，类似于早期的Willmore流的结果，给出了一个正的下界，其中存在一个光滑的解决方案，和一个小的上界的权力的全曲率在这段时间内。通过措辞的曲率在初始表面的浓度方面的定理，我们的结果适用于非常一般的初始数据，并已应用到这些流的渐近分析的进一步发展。
2012-05-26 math.AP math.DG
