具有 prescribed isoperimetric ratio 的 Willmore flow

H^3中中曲率流的奇性与等周不等式

Singularities of mean curvature flow and isoperimetric inequalities in H^3

本文沿用\cite{PT}中的方法，将Willmore能量与等周不等式相结合，构造了$\mathbb{H}^3$中中曲率流的两个奇点例子.更确切地说，存在一个环面，它必须在MCF下发展一个奇点，然后它所包围的体积减小到零。还存在一个哑铃形状的拓扑球体，它必须在流中发展出奇异性，然后其面积才会缩小到零。同时，利用该流证明了$\mathbb{H}^3$中某些区域的一个等周不等式。

On the Canham Problem: Bending Energy Minimizers for any Genus and Isoperimetric Ratio

Building on work of Mondino-Scharrer, we show that among closed, smoothly embedded surfaces in $\mathbb{R}^3$ of genus $g$ and given isoperimetric ratio $v$, there exists one with minimum bending energy $\mathcal{W}$. We do this by gluing $g+1$ small catenoidal bridges to the bigraph of a singular solution for the linearized Willmore equation $Δ(Δ+2)φ=0$ on the $(g+1)$-punctured sphere $\mathbb{S}^2$ to construct a comparison surface of genus $g$ with arbitrarily small isoperimetric ratio $v\in (0, 1)$ and $\mathcal{W} < 8π$.

带 Dirichlet 边界条件的 Willmore flow 的收敛性

On the convergence of the Willmore flow with Dirichlet boundary conditions

本文研究了带 Dirichlet 边界条件曲面的 Willmore flow，针对旋转对称初始数据，证明了在显式尖锐能量阈值下解的全局存在性与收敛性，并通过构造奇点验证了阈值尖锐性，最后证明了 $\mathbb{H}^2$ 中开曲线的 Li-Yau 不等式。

曲率集中与Willmore能量

The Willmore energy and curvature concentration

本文研究了曲面浸入的Willmore能量下界，通过高斯曲率和Burgers矢量得到曲率集中情况下的能量发散速率，应用于非欧弹性中的薄弹性板能量分析。

最小弯曲能约束结构

Confined structures of least bending energy

本文研究Willmore泛函的一个约束极小化问题。对于规定的表面积，我们考虑光滑嵌入到单位球的球体。我们评估的依赖性的最小Willmore能量的表面上的规定的表面积，并证明相应的上，下界。当规定的表面积刚好超过单位球的表面积时，就会出现有趣的特征。我们表明，（几乎）最小化表面不能是一个$C^2$ -小扰动的领域。事实上，它们必须是非凸的，并且相对于表面积的增加，Willmore能量以平方根速率急剧增加。

环面 Willmore 流的维数约化：固定共形类与奇异性分析

Dimension reduction for Willmore flows of tori: fixed conformal class and analysis of singularities

本文通过固定共形类的 Willmore 流与双曲平面弹性流的维数约化联系，给出奇异性判据并构造新高能 Willmore 环面，同时分析经典流的反悬链面奇异极限及重启收敛。

Adiabatic theory for the area-constrained Willmore flow

In this paper, we develop an adiabatic theory for the evolution of large closed surfaces under the area-constrained Willmore (ACW) flow in a three-dimensional asymptotically Schwarzschild manifold. We construct explicitly a map, defined on a certain four-dimensional manifold of barycenters, which characterizes key static and dynamical properties of the ACW flow. In particular, using this map, we find an explicit four-dimensional effective dynamics of barycenters, which serves as a uniform asymptotic approximation for the (infinite-dimensional) ACW flow, so long as the initial surface satisfies…

Geometric inequalities involving mean curvature for closed surfaces

In this paper we prove some geometric inequalities for closed surfaces in Euclidean three-space. Motivated by Gage's inequality for convex curves, we first verify that for convex surfaces the Willmore energy is bounded below by some scale-invariant quantities. In particular, we obtain an optimal scaling law between the Willmore energy and the isoperimetric ratio under convexity. In addition, we also address Topping's conjecture relating diameter and mean curvature for connected closed surfaces. We prove this conjecture in the class of simply-connected axisymmetric surfaces, and moreover obtain…

具有边界数据的图的Willmore流：低正则性初始数据和全局收敛

The Willmore Flow of Graphs with Boundary Data: Low-Regularity Initial Data and Global Convergence

本文研究了具有Dirichlet边界条件的二维有界域上图的Willmore流，发展了低正则性理论，证明了低正则性初始数据和小数据下的全局存在性及收敛性。

数量曲率非退化临界点附近面积约束Willmore球面的叶层

Foliation by area-constrained Willmore spheres near a non-degenerate critical point of the scalar curvature

设$(M,g)$是三维黎曼流形.本文的目的是表明，如果$P_{0}\in M$是一个非退化的临界点的数量曲率，然后一个邻域的$P_{0}$是由面积限制的Willmore球。这种叶理在Willmore能量小于$32π$的面积受限Willmore球面的叶理中是唯一的，而且在适当的重新缩放光滑收敛到欧几里德三维空间中的圆形球面的意义上，它是正则的。我们还建立了一般的多重面理和第一个多重性的结果，面积限制Willmore领域规定（小）面积在一个封闭的黎曼流形。这个主题与霍金质量有着严格的联系。

连通曲面类中Willmore能量的optimization的相场模型

A phase field model for the optimization of the Willmore energy in the class of connected surfaces

考虑了有限容器中具有给定表面积的Willmore能量连通曲面的极小化问题。为此，我们近似的表面的相位场函数$u$采取的值接近+1的内部的表面和-1的外部。表面的限制现在简单地由$u$的定义域给出。扩散界面近似的面积功能，以及Willmore能源是众所周知的。我们解决的拓扑约束的连通性的嵌套最小化的两个相位字段，第二个被用来识别连接组件的表面。在这篇文章中，我们提供了一个证明我们的模型的伽玛收敛到尖锐的界面极限。

微通道内单向流动的一些等周结果

Some isoperimetric results concerning undirectional flows in microchannels

处理了三个等周结果。(i)在给定的压力梯度下，对于具有给定（横截面）面积的所有通道，使稳定流最大化的通道$Q_{\rm steady}$具有圆形横截面。(ii)考虑从规定的初始条件开始的流动，该初始条件从规定的施加的压力梯度发展，周期性的或稳定的。对于这样的流动，在具有给定面积的所有通道中，通常最慢地接近长期、周期或稳定流动的是圆盘横截面。(iii)对于多边形，$n$ -gon，通道，与优化形状是规则的$n$ -gon的类似结果进行了讨论

含液相等周簇

Isoperimetric clusters with a liquid phase

本文研究湿泡沫的等周问题，提出松弛能量处理液体腔室坍缩为零厚度薄膜的情况，证明极小化序列极限的存在性与正则性，并揭示液体体积消失时能量收敛于干泡沫。

具有竞争非局部项的等周问题。I.平面案例

On an isoperimetric problem with a competing non-local term. I. The planar case

研究了经典的等周问题通过增加一个非局部排斥项而得到的修正。我们的特征存在，不存在和径向对称的极小作为质量的函数的情况下，非本地项是由一个内核所产生的距离的逆幂。我们证明了这个问题的极小值存在足够小的质量，并给出了指定的质量低于一定的阈值，当能量的界面项是占主导地位的磁盘。在同一时间，我们证明，极小值不存在足够大的质量，由于低能量配置分裂成更小的块时，在能量的非本地项占主导地位的趋势。在后者的制度，我们还建立了线性标度的能量与质量表明，大质量的低能量配置包括许多大致相等的大小件相距甚远。在缓慢衰减的内核的情况下，我们给出了一个完整的表征的极小。

弯曲能量的定量估计及其在非局部变分问题中的应用

Quantitative estimates for bending energies and applications to non-local variational problems

研究带电弹性液滴玩具模型的变分问题，通过弯曲能量定量估计证明小电荷下球或同心环为唯一极小化子，大电荷下不存在极小化子。