On the area-preserving Willmore flow of small bubbles sliding on a domain's boundary
我们考虑的面积保持Willmore的表面是接近一个小半径的半球形的演变，滑动的域的边界S，同时满足它正交。我们证明了流动的存在对于所有的时间，并保持一个“半球”的形状。此外，我们调查的流动的渐近行为，并证明，对于大的时候，表面的重心近似遵循一个明确的常微分方程。在S的中曲率上施加附加条件，然后建立流的收敛性。
2022-03-24 math.AP math.DG
Dimension reduction for Willmore flows of tori: fixed conformal class and analysis of singularities
本文通过固定共形类的 Willmore 流与双曲平面弹性流的维数约化联系，给出奇异性判据并构造新高能 Willmore 环面，同时分析经典流的反悬链面奇异极限及重启收敛。
2025-02-18 math.AP math.DG
On the convergence of the Willmore flow with Dirichlet boundary conditions
本文研究了带 Dirichlet 边界条件曲面的 Willmore flow，针对旋转对称初始数据，证明了在显式尖锐能量阈值下解的全局存在性与收敛性，并通过构造奇点验证了阈值尖锐性，最后证明了 $\mathbb{H}^2$ 中开曲线的 Li-Yau 不等式。
2024-08-30 math.AP math.DG
The Willmore flow with prescribed isoperimetric ratio
提出保持 isoperimetric ratio 的非局部 L^2-梯度流研究 Willmore energy，证明低能球形初始数据下长时间存在且收敛于 Helfrich immersion，避免了局部约束流的有限时间奇点。
2024-01-10 math.AP math.DG
Finite time singularities for the locally constrained Willmore flow of surfaces
在本文中，我们研究了最速下降$L^2$ -梯度流的功能$\SW_{λ_1,λ_2}$，这是总和的Willmore能量，$λ_1$加权表面积，和$λ_2$加权封闭体积，表面浸入$\R^3$。这与零“自发曲率”的Helfrich泛函相吻合。我们的第一个结果是一个浓度紧性替代和内估计的流量。对于小能量的初始数据，我们证明了嵌入性的保持性，并通过直接估计$L^2$中的Euler-Lagrange算子，得到了最大存在时间是有限的.结合这一结果与分析一个合适的爆破，使我们能够表明，对于这样的初始数据流合同在有限的时间一个圆形点。
2012-01-22 math.AP math.DG
The Willmore Flow of Graphs with Boundary Data: Low-Regularity Initial Data and Global Convergence
Otto-von-Guericke-Universität（奥托·冯·古里克大学）
本文研究了具有Dirichlet边界条件的二维有界域上图的Willmore流，发展了低正则性理论，证明了低正则性初始数据和小数据下的全局存在性及收敛性。
2026-03-29 math.AP math.DG
A phase-field approximation of the Willmore flow with volume constraint
建立了体积约束下Willmore流的相场近似的适定性。存在性证明依赖于问题的基本梯度流结构：时间离散逼近由变分最小化原理求解。
2010-04-02 math.AP
A Reverse Isoperimetric Inequality and its Application to the Gradient Flow of the Helfrich Functional
证明了Willmore能量在$8π$外有界的嵌入曲面的一个定量逆等周不等式.我们使用该结果来分析Willmore能量的负$L^2$梯度流加上封闭体积的正倍数。我们证明了Willmore能量小于$8π$且具有正封闭体积的初始曲面在有限或无限时间内收敛于一个圆点。
2020-09-25 math.AP math.DG
"Gradient-free" diffuse approximations of the Willmore functional and Willmore flow
我们引入新的弥漫近似的Willmore功能和Willmore流。它们基于Amstutz-van Goethem [{ \em Interfaces Free Bound. 14（2012）}]。我们确定的候选人的$Γ$ -收敛，证明了$Γ$ -limsup声明和证明收敛到Willmore流的渐近展开。此外，我们提出的数值模拟是基于新的近似。
2022-10-12 math.AP
Real Analytic Solutions to the Willmore Flow
本文给出了Willmore流的一个正则性结果。它是通过截断翻译技术结合隐函数定理建立的。
2013-02-16 math.AP
The surface diffusion and the Willmore flow for uniformly regular hypersurfaces
我们考虑了作用在具有均匀半径的管状邻域的一致正则参考流形上的一般超曲面类（可能是非紧的）上的表面扩散和Willmore流.表面扩散和Willmore流各自产生一个四阶拟线性抛物型方程，其非线性项满足特定的奇异结构。我们建立了两个流动的初始表面是$C^{1+α}$ -正则和参数化的均匀正则超曲面的适定性。对于Willmore流，我们还表明长期存在的初始表面是$C^{1+α}$ -接近一个球体，我们证明，这些解决方案成为球形的时间到无穷大。
2019-01-01 math.AP
A phase-field approximation of the Willmore flow with volume and area constraints
当泛函逼近面积不存在满足面积和体积约束的临界点时，证明了Willmore流的相场近似的适定性.存在性证明依赖于问题的基本梯度流结构：时间离散逼近由变分最小化原理求解。主要困难来自面积约束的非线性。
2012-04-19 math.AP
Global existence for the Willmore flow with boundary via Simon's Li-Yau inequality
本文利用修改后的 Simon 的 Li-Yau 不等式和几何测度论工具，证明了初始能量低于特定阈值的带 Dirichlet 边界数据的圆柱旋转曲面 Willmore 流的全局存在性，并改进了平稳问题中 Willmore 极小化子的存在性结果。
2024-02-16 math.AP math.DG
Hopf Reduction and Multiplicity-Resolved Endpoints for the Classical Willmore Flow of Hopf Tori
Justus-Liebig-Universität Gießen（吉森大学）；Technion–Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文通过将三维球面中 Hopf 环面的经典 Willmore 流精确约化为球面弹性流，结合已知收敛定理，证明了任意初始能量下流线的完全光滑收敛，并给出了未重参数化轨迹的定量收敛结果，包括端点密度与覆盖重数的关系。
2026-09-24 math.AP math.DG
A Li-Yau inequality for the 1-dimensional Willmore energy
本研究将曲面的Li-Yau不等式推广至一维曲线情形，探讨涉及欧拉弹性能量等曲率泛函的类似结果，并应用于相关梯度流。
2023-10-04 math.AP math.DG
The Willmore flow of Hopf-tori in the $3$-sphere
Technion, Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文研究了3球面上Hopf环的Willmore流，证明了流线在全局范围内存在并收敛到共形变换的Clifford环。
2023-05-26 math.AP
Local Well-Posedness for Volume-Preserving Mean Curvature and Willmore Flows with Line Tension
考虑线张力对边界的影响，证明了由保体积中曲率流（MCF）驱动的与固体容器接触的演化超曲面运动解的短时存在唯一性.由于动态边界条件和接触角以及由此产生的二阶非线性偏微分方程的非局部性质，出现了困难。此外，我们证明了同样的结果为Willmore流与线张力，这将导致一个非线性偏微分方程的四阶。对于这两个流，我们将使用Hanzawa变换将流写为固定参考超曲面上的图。
2014-03-25 math.AP
Willmore-Helfrich L^{2}-flow of curves with natural boundary conditions
我们考虑R^n中正则开曲线，其边界点是固定的，并且根据L^{2}-梯度流运动，从而推广了Helfrich泛函.自然边界条件沿演化过程施加。更准确地说，在边界处，曲率向量等于固定给定向量的法向投影。证明了一个长时间存在的结果以及对临界点的次收敛性。
2013-02-03 math.AP
Stability of the free boundary Willmore problem
Institute for Applied Analysis, Ulm University（乌尔姆大学应用分析研究所）；Faculty of Mathematics, University of Vienna（维也纳大学数学学院）；Fachbereich Mathematik, Eberhard-Karls-Universität Tübingen（蒂宾根大学埃伯哈德·卡尔斯数学系）；Mathematics department, Salzburg University（萨尔茨堡大学数学系）
本文通过新的Łojasiewicz-Simon梯度不等式研究自由边界Willmore问题的稳定性，证明了解的存在性与收敛性，并在静态情况下展示了自由边界Willmore浸入的稳定性及局部刚性结果。
2026-01-26 math.AP math.DG
Phase-field approximation of the Willmore flow
我们研究了Willmore流的相场近似。这是一个四阶扩散方程，参数$ε>0$与扩散界面的厚度成正比。我们严格表明，对于准备充分的初始数据，作为$ε$趋向于零的水平集的解决方案将收敛到运动的Willmore流之前的奇异性发生。通过匹配的渐近展开从极限流构造近似解，然后估计其与真实解的差异，从而实现这一点。关键的一步，也是这项工作的主要贡献是显示在最佳配置文件的线性化运营商的频谱条件。这是一个四阶算子，写为平方Allen-Cahn算子和奇异线性扰动的和。
2020-02-18 math.AP
Improved long time existence for the Willmore flow of surfaces of revolution with Dirichlet data
本文研究旋转曲面类中 Willmore 流的长时间存在性，通过结合可能奇点外部部分与 Dirichlet 边界数据，改进了 Li-Yau 不等式提供的能量阈值以避免奇点。
2024-02-19 math.AP
Adiabatic theory for the area-constrained Willmore flow
本文建立了三维渐近Schwarzschild流形中面积约束Willmore流下大闭曲面演化的绝热理论。我们明确地构建一个地图，定义在一定的四维流形的重心，其特征在于关键的静态和动态特性的ACW流。特别是，使用该映射，我们找到了重心的显式四维有效动力学，只要初始表面满足某些温和的几何约束（这决定了有效性），它就可以作为（无限维）ACW流的一致渐进逼近。间隔）。相反，给定任何规定的流的重心演变根据这种有效的动力学，我们构建了一个家庭的表面演变的ACW流，其重心一致接近规定的一个大的时间间隔（其大小取决于初始配置的几何约束）。
2022-03-07 math-ph math.AP math.DG
A new Diffuse-interface approximation of the Willmore flow
Willmore流的标准扩散近似通常导致相交的相边界，在许多情况下，这些相边界不对应于预期的尖锐界面演化。在这里，我们介绍了一个新的两个变量的扩散近似，其中包括一个相当简单，但有效的惩罚的偏离准一维结构的相场。我们证明的近似性能的伽玛收敛结果的能量和匹配的渐近展开的流量。基态的能量被证明是一维的，与通常的扩散近似的鞍形解的存在。最后，我们提出了数值模拟，说明了近似的属性，并将我们的新方法的问题，通常的方法会导致一个不希望的行为。
2019-10-31 math.AP
Willmore Flow of planar networks
Willmore型弹性能量的几何梯度流在数学和许多应用中起着重要的作用。弹性曲线的演化已经详细研究了封闭曲线和开放曲线。虽然网络的弹性流也有许多有趣的特征，但迄今为止还没有从数学分析的角度对它们进行研究。到目前为止，甚至不清楚什么是适当的边界条件在路口。本文给出了不同几何条件下网络Willmore流的一个适定性结果，为进一步的数学分析奠定了基础。证明中的一个要点是检查不同的边界条件是否会导致一个适定问题。在这种情况下，必须检查Lopatinskii-Shapiro条件，以便将Solonnikov理论应用于Hölder空间中的线性抛物系统，这在不动点论证中是需要的。我们还表明，我们得到的解决方案是唯一的，在一个纯粹的几何意义上。
2017-11-30 math.AP
The $L^1$ gradient flow of a generalized scale invariant Willmore energy for radially non increasing functions
我们使用最小化运动理论来研究梯度流与非正则松弛的几何功能来自Willmore能量。利用余面积公式，可以定义L1（Rd）的正则函数上的Willmore能量.该泛函通过取下半连续包络而推广到所有L1函数。我们研究了径向非增函数，即以球为水平集的函数，由这种松弛的能量产生的流。在本文的第一部分，我们证明了这类函数的松弛能量的余面积公式。然后，我们表明，流包括对初始数据的侵蚀。冲蚀速度由一阶常微分方程给出。
2016-07-06 math.AP math.CA
Corrections to: "The Willmore flow of Hopf-tori in the 3-sphere"
本文更正了作者关于3球面中霍普夫环的Willmore流文章中的逻辑错误，并提供反例证明修正后的结论最优。
2026-01-27 math.AP
Colliding Interfaces in Old and New Diffuse-interface Approximations of Willmore-flow
本文研究Willmore流的扩散界面近似，通过数值实验展示标准模型在界面碰撞时出现角点演化，并提出替代近似以获得更规则的行为，其动力学源于收敛到Willmore能量L1下半连续包络的近似能量。
2013-02-12 cs.NA math.AP math.NA
A note on singularities in finite time for the constrained Willmore flow
本文研究了在最陡下降$L^2$ -梯度流的功能$\mathcal W_{λ_1, λ_2}$，总和的Willmore能量，$λ_1$倍的面积，和$λ_2$倍的有符号的体积浸没在$\mathbb R^3$中的封闭表面无边界的奇点的形成。我们表明，在这种情况下，$λ_1>1$和$λ_2=0$任何浸入发展奇点在有限的时间在这个流。如果$λ_1 >0$和$λ_2 > 0$，能量小于$$8π+\min\{(16 πλ_1^3)/(3λ_2^2), 8π\}$$且体积为正的嵌入闭曲面在有限时间内演化奇点。如果在这种情况下，初始表面是一个拓扑球，并且初始能量小于$8 π$，则流在有限时间内收缩为一个圆点。我们进一步讨论了$λ_2$为负的情况下的类似结果。
2018-07-05 math.AP
Uniqueness of Finite-Time Varifold Limits for the Möbius-Invariant Willmore Flow
Justus-Liebig-Universität Gießen（吉森大学）；Technion–Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
该研究在一致定量非脐性等条件下，证明了三维球面中莫比乌斯不变威尔莫尔流有限时间变分曲面极限的唯一性，还将结果推广至无穷时间情形，推进了几何分析中相关流的收敛性研究。
2026-09-02 math.AP math.DG
Singularities and full convergence of the Möbius-invariant Willmore flow in the $3$-sphere
本文研究了莫比乌斯不变的威利流在3球面中的行为，探讨了流线的极限表面及其收敛性，揭示了流线在特定初始条件下的完全收敛性准则。
2025-08-14 math.AP math.DG
Volume Preserving Willmore Flow in a Generalized Cahn-Hilliard Flow
Division of Mathematics, SSE, Chinese University of Hong Kong(Shenzhen)（香港中文大学（深圳）邵逸夫书院数学系）
本文研究了广义Cahn-Hilliard流中质量守恒的Willmore流，通过渐近展开和能量估计证明了扩散界面模型在尖锐界面极限下的收敛性，并扩展了对高维空间的应用。
2025-11-28 math.AP
Phase-field approximations of the Willmore functional and flow
Université de Lyon, CNRS UMR 5208, INSA de Lyon, Institut Camille Jordan（里昂大学、法国国家科学研究中心联合研究单位5208、里昂国立应用科学学院、卡米尔若尔当研究所）；Université de Lyon, CNRS UMR 5208, Université Lyon 1, Institut Camille Jordan（里昂大学、法国国家科学研究中心联合研究单位5208、里昂第一大学、卡米尔若尔当研究所）；Lab. Jean Kuntzmann, Université Joseph Fourier（让孔茨曼实验室、约瑟夫傅立叶大学）
本文研究Willmore能量及其L2流的相场近似，通过匹配渐近展开分析不同近似模型的流动行为，并提出数值方案和模拟展示其在光滑与奇异情况下的表现。
2013-05-23 cs.NA math.AP math.NA
A thresholding algorithm to Willmore-type flows via fourth order linear parabolic equation
本文提出一种基于四阶线性抛物型方程渐近展开的阈值算法，用于模拟 Willmore 型流，证明了新集合边界在初始边界的小邻域内且法向速度近似等于 Willmore 型能量的 L2-梯度，并给出平面曲线数值算例。
2024-11-30 cs.NA math.AP math.NA
Functional analytic properties and regularity of the Möbius-invariant Willmore flow in $\mathbb{R}^n$
Technion: Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文研究Möbius不变Willmore流的函数分析性质和正则性，证明了其演算算子的局部实解析性和Fréchet导数的扩展性。
2022-09-01 math.AP math.FA
Introducing spontaneous curvature to the Helfrich flow: Singularities and convergence
本文研究Helfrich流，发现负自发曲率导致有限时间奇点，而正自发曲率下，局部面积约束流全局收敛到Helfrich浸入，并给出显式能量阈值。
2024-04-19 math.AP math.DG
Geometric flows with rough initial data
对于具有小Lipschitz范数的Lipschitz初值，证明了整图的中曲率流、表面扩散流和Willmore流的整体唯一性和分析解的存在性.我们还证明了在欧几里得空间上的Ricci-DeTurck流的一个整体唯一的分析解的存在性有界的初始度量接近的欧氏度量在$L^\infty$和调和映射流的初始映射的图像包含在一个小测地线球。
2011-04-01 math.AP math.DG
The free elastic flow for closed planar curves
本文研究闭平面曲线的自由弹性流，证明初始曲线接近圆（可多重覆盖）时，适当重缩放后平滑收敛到唯一圆，确定了其渐近形状。
2025-06-23 math.AP math.DG
Long Time Existence of Solutions to an Elastic Flow of Networks
网络弹性能的$L^2$ -梯度流导致具有非平凡非线性边界条件的Willmore型演化律。在自然边界条件下，我们证明了在索伯列夫空间中网络弹性流的局部时间存在性和唯一性。此外，我们还证明了正则化性质和几何存在唯一性。主要结果是用能量方法得到的一个长期存在的结果。
2019-01-28 math.AP
Elastic flow of curves with partial free boundary
本文研究带部分自由边界的平面曲线弹性流问题，确定Navier边界条件下系统适定，结合Solonnikov理论与能量方法证明了流的短时唯一存在性与全局长时存在性。
2024-06-25 math.AP
Error analysis of a finite element scheme for parametric mean curvature flow based on the DeTurck trick
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg（马格德堡奥托·冯·古里克大学）；University of Sussex（萨塞克斯大学）
本文研究了基于DeTurck技巧的参数均曲率流数值方案的误差分析，通过有限元方法证明了空间离散化后位置向量的最优H^1误差估计，并通过数值实验验证了该误差界并展示了该方案在网格点分布方面的良好性质。
2026-05-20 cs.NA math.AP math.NA
