A hybrid minimizing movement and neural network approach to Willmore flow
University of Bonn（波恩大学）；ENS Paris-Saclay（巴黎萨克雷高等师范学院）
本文提出了一种结合最小化运动和神经网络的混合方法，用于高效模拟Willmore流，通过神经近似平均曲率流提升计算效率，并在表面平滑和形状重建中展现有效性。
2026-02-11 cs.NA math.NA
Colliding Interfaces in Old and New Diffuse-interface Approximations of Willmore-flow
本文研究Willmore流的扩散界面近似，通过数值实验展示标准模型在界面碰撞时出现角点演化，并提出替代近似以获得更规则的行为，其动力学源于收敛到Willmore能量L1下半连续包络的近似能量。
2013-02-12 cs.NA math.AP math.NA
A p-adaptive local discontinuous galerkin level set method for Willmore flow
本文提出一种结合局部不连续Galerkin方法和水平集方法的p自适应方法，用于高效模拟Willmore流，通过高阶隐式Runge-Kutta方法和多网格求解器提升计算效率。
2016-03-14 cs.NA math.NA
Diffusion-redistanciation schemes for 2D and 3D constrained Willmore flow: application to the equilibrium shapes of vesicles
在本文中，我们提出了一种新的算法来模拟几何流，特别是Willmore流，与体积和面积守恒。我们的想法是适应类的扩散redistanciation算法的Willmore流在二维和三维。这些算法依赖于交替扩散的有符号的距离函数的接口和redistanciation步骤，并仔细选择所应用的扩散，最终移动零水平集的距离函数的一些几何量，而不诉诸任何明确的传输方程。通过一个简单的重新缩放方法之间的扩散和redistanciation步骤的约束。能量在每个全局步骤结束时全局减小。该算法的特点是计算效率的阈值方法，而不需要任何自适应重新网格感谢使用一个有符号的距离函数来描述的接口。这打开了他们的应用程序的动态流体结构模拟大型和现实的情况。该方法通过计算二维和三维囊泡的平衡形状以及Clifford环面来验证。
2021-08-27 cs.NA math.NA
Stable fully discrete finite element methods with BGN tangential motion for Willmore flow of planar curves
本文针对平面曲线Willmore流，提出结合BGN曲率公式的稳定有限元方法，实现半离散与全离散格式的能量稳定性及顶点渐近等分布。
2025-09-12 cs.NA math.NA
A convergent evolving finite element algorithm for Willmore flow of closed surfaces
给出了二维封闭曲面Willmore流和表面扩散流的一种新的演化曲面有限元半离散的收敛性证明。这里提出和研究的数值方法离散四阶发展方程的法向量和中曲率，重新制定为一个系统的二阶方程，并使用这些不断变化的几何量的速度法内插到有限元空间。这种数值方法允许在多项式次数至少为二的连续有限元的情况下进行收敛性分析。误差分析结合稳定性估计和一致性估计，以产生最优阶$H^1$ -范数误差界的计算表面的位置，速度，法向量和中曲率。稳定性分析基于有限元法的矩阵-矢量公式，不使用几何参数。几何体仅进入一致性估计。数值实验验证并补充了理论结果。
2020-07-30 cs.NA math.NA
An energy-stable parametric finite element method for Willmore flow with normal-tangential velocity splitting
Universität Regensburg（雷根斯堡大学）；Università di Trento（特伦托大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文提出并分析了一种能量稳定的参数有限元方法，用于计算二维和三维空间中曲面的Willmore流，考虑了自发曲率效应和开放曲面边界，通过新的几何偏微分方程保证了离散解的无条件能量稳定性。
2025-11-20 cs.NA math.NA
Adaptive moving mesh methods for the planar Willmore flow
Zhengzhou University（郑州大学）；Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学）
本文提出两种自适应有限差分方法用于Willmore流模拟，通过监控函数和切向速度实现动态网格适应，提升复杂几何问题的计算精度与效率。
2026-08-04 cs.NA math.NA
A thresholding algorithm to Willmore-type flows via fourth order linear parabolic equation
本文提出一种基于四阶线性抛物型方程渐近展开的阈值算法，用于模拟 Willmore 型流，证明了新集合边界在初始边界的小邻域内且法向速度近似等于 Willmore 型能量的 L2-梯度，并给出平面曲线数值算例。
2024-11-30 cs.NA math.AP math.NA
Error estimates for $A$-stable backward difference full discretizations of Willmore flow of closed surfaces
Institute of Mathematics, Paderborn University（帕德博恩大学数学研究所）
针对闭二维曲面Willmore流，证明了基于$A$-稳定向后差分（一阶和二阶）的全离散格式的最优阶$H^1$范数误差估计，采用空间上至少二次的演化曲面有限元和时域向后差分方法，通过稳定性分析结合能量估计和Dahlquist的$G$-稳定性等技巧。
2026-06-25 cs.NA math.NA
An energy-stable parametric finite element method for the Willmore flow in three dimensions
National University of Singapore（新加坡国立大学）；Universität Tübingen（蒂宾根大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文提出一种能量稳定参数有限元方法（ES-PFEM），通过引入两个新的几何恒等式推导变分公式，实现Willmore流和曲率依赖几何梯度流的能量耗散性质，并首次将PFEM应用于高斯曲率流，同时采用切向速度控制改善网格质量。
2026-06-01 cs.NA math.NA
Phase-field approximations of the Willmore functional and flow
Université de Lyon, CNRS UMR 5208, INSA de Lyon, Institut Camille Jordan（里昂大学、法国国家科学研究中心联合研究单位5208、里昂国立应用科学学院、卡米尔若尔当研究所）；Université de Lyon, CNRS UMR 5208, Université Lyon 1, Institut Camille Jordan（里昂大学、法国国家科学研究中心联合研究单位5208、里昂第一大学、卡米尔若尔当研究所）；Lab. Jean Kuntzmann, Université Joseph Fourier（让孔茨曼实验室、约瑟夫傅立叶大学）
本文研究Willmore能量及其L2流的相场近似，通过匹配渐近展开分析不同近似模型的流动行为，并提出数值方案和模拟展示其在光滑与奇异情况下的表现。
2013-05-23 cs.NA math.AP math.NA
Stable fully practical finite element methods for axisymmetric Willmore flow
Fakultät für Mathematik, Universität Regensburg（雷根斯堡大学数学系）；Dipartimento di Mathematica, Università di Trento（特伦托大学数学系）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
本文提出稳定且实用的轴对称Willmore流有限元方法，通过弱形式结合均曲率演化方程和生成曲线的曲率恒等式，确保离散解的无条件稳定性，并通过数值实验验证其收敛性、稳定性和等分布性质。
2025-05-09 cs.NA math.NA
Comparison study for Level set and Direct Lagrangian methods for computing Willmore flow of closed planar curves
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；Slovak University of Technology（斯洛伐克工业大学）；Comenius University（科默尼乌斯大学）
本文通过构建基于半隐式时间离散和有限/互补体积空间离散的数值格式，比较了水平集与直接拉格朗日方法在计算嵌入平面曲线Willmore流演化中的性能，并证明在精确求解线性系统、偶尔重初始化及消除边界条件影响下两种方法结果一致。
2007-10-28 cs.NA math.NA
A constrained Onsager variational framework for parametric approximations of Willmore and Helfrich flows
School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
该研究提出了一种用于Willmore和Helfrich流参数近似的约束Onsager变分框架，结合PDE约束与松弛-MDR约束，构建了满足能量耗散定律的半离散格式及线性隐式全离散格式，经数值实验验证了其有效性。
2026-08-10 cs.NA math.NA
Learning the Willmore flow with a lightweight neural operator
INSA Lyon, CNRS, Ecole Centrale de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, Université Jean Monnet, ICJ UMR5208（里昂国立应用科学学院，法国国家科学研究中心，里昂中央理工学院，里昂第一大学，让·莫内大学，ICJ联合研究实验室）
本文提出一种轻量级神经算子方法，将相场神经算子扩展到Willmore流，用于二维和三维非定向界面的演化，并通过径向核增强及三维核初始化实现有效的曲线和曲面重建。
2026-10-05 cs.NA math.NA
Energy-stable parametric finite element approximations for regularized solid-state dewetting in strongly anisotropic materials
本文针对强各向异性材料中的固态去湿问题，建立等价正则化尖锐界面模型，提出能量稳定且保面积守恒的参数有限元格式，并通过数值实验验证其精度、效率、网格质量和长时间计算适用性。
2024-07-05 cs.NA math.NA
Parametric finite element approximations of curvature driven interface evolutions
参数有限元为曲面发展方程提供了非常有效的数值方法。我们介绍了几种计算技术的曲率驱动的发展方程的基础上弱制定的中曲率。与许多其他方法相比，所讨论的方法具有良好的网格特性，避免了网格合并和非常不均匀的网格。讨论了中曲率流、表面扩散、各向异性几何流、凝固、两相流、Willmore和Helfrich流以及生物膜。我们展示了稳定性结果以及解释良好网格特性的结果。
2019-12-13 cs.NA math.NA
Structure-preserving numerical methods for constrained gradient flows of planar closed curves with explicit tangential velocities
本文考虑平面闭曲线的约束梯度流的数值逼近，包括Willmore流和Helfrich流。这些方程具有能量耗散，后者由于约束而具有守恒性质。我们将发展这些方程的结构保持方法，保持耗散和约束。为了保持能量结构，我们根据离散梯度法引入离散形式的梯度，并适当地确定拉格朗日乘子。我们直接解决高阶导数使用伽辽金方法与B样条曲线离散曲线。此外，我们将考虑通过增加切向速度来稳定格式。我们引入了一个新的拉格朗日乘子，以获得能量结构和稳定性。数值算例验证了所提出的格式具有良好的能量结构和控制点分布。
2022-08-01 cs.NA math.NA
Error estimates for a surface finite element method for anisotropic mean curvature flow
该研究针对闭曲面各向异性平均曲率流，推导耦合演化律与法向、法向速度抛物方程的系统作为数值方法基础，证明演化曲面有限元半离散格式在$H^1$范数下的最优阶收敛性，并通过数值实验补充验证理论结果。
2025-08-01 cs.NA math.NA
A structure-preserving parametric finite element method for geometric flows with anisotropic surface energy
本文提出并分析了保结构参数有限元法（SP-PFEM），用于求解具有任意各向异性表面能$γ(\boldsymbol{n})$的不同几何流下封闭曲线的演化问题，其中$\boldsymbol{n}\in \mathbb{S}^1$代表向外的单位法向量.通过引入依赖于$γ(\boldsymbol{n})$和Cahn-Hoffman $\boldsymbolξ$ -向量的新的表面能矩阵$\boldsymbol{G}_k(\boldsymbol{n})$以及对称正定矩阵与反对称矩阵之和的非负稳定化函数$k(\boldsymbol{n}):\ \mathbb{S}^1\to \mathbb{R}$，得到了各向异性表面扩散下封闭曲线演化的新的几何偏微分方程及其相应的变分形式.基于新的弱形式，我们提出了一种各向异性表面扩散的参数有限元法，并证明了它在$γ(\boldsymbol{n})$上的一个非常温和的条件下是面积守恒和能量耗散的。然后将SP-PFEM扩展到模拟闭曲线在其他各向异性几何流（包括各向异性曲率流和面积守恒各向异性曲率流）下的演化。大量的数值结果表明，效率和无条件的能量稳定性以及良好的网格质量属性的建议SP-PFEM模拟各向异性几何流动。
2022-11-01 cs.NA math.NA
An inertial minimal-deformation-rate framework for shape optimization
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）
本文提出了一种结合惯性流和最小变形率策略的框架，用于解决PDE约束形状优化和Willmore驱动表面孔填补问题，通过提高收敛速度和网格质量实现高效优化。
2026-01-30 cs.NA math.NA math.OC
An unconditionally stable finite element scheme for anisotropic curve shortening flow
基于最近提出的参数各向异性曲线缩短流的新公式，我们分析了这个几何发展方程的全离散数值方法。该方法使用分段线性有限元在空间和向后欧拉近似时间。我们建立了离散解的存在性和唯一性，以及无条件稳定性。一些数值计算证实了理论结果，并证明了我们的方法的实用性。
2022-11-14 cs.NA math.NA
Some results on anisotropic fractional mean curvature flows
Ecole Polytechnique（巴黎综合理工学院）；University of Pisa（比萨大学）；University of Montpellier（蒙彼利埃大学）
本文研究了带有时间依赖强迫项的各向异性分数均值曲率流阈值动力学算法的一致性，证明了凸集在演化中的保持性及有界凸集演化的唯一性。
2016-03-23 cs.NA math.AP math.NA
Anisotropic dynamic models for Large Eddy Simulation of compressible flows with a high order DG method
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
本文研究了各向异性动态模型在可压缩流体大涡模拟中的影响，采用高阶不连续有限元方法，通过低维子空间投影作为LES滤波器，验证了该模型在近壁区对流动特征的准确捕捉能力。
2014-07-24 cs.NA math.NA physics.comp-ph
