The Cohen-Lenstra Heuristic: Methodology and Results
在数论中，人们致力于研究有限交换$p$ -群集合上的Cohen-Lenstra概率测度。另一方面，群论学家已经研究了所有划分的集合上的概率测度，该概率测度是由$\FF_p$上随机选择的$n\times n$ -矩阵包含在与该划分相关联的共轭类中的概率引起的，对于$n \to \infty$。本文证明了这两种概率测度是相同的。因此，大量的结果可以从每一种理论转移到另一种理论。该文件包含一个调查的已知方法来研究的概率测度和有关的结果，已经获得了迄今为止，从两个社区。
2009-12-25 math.GR math.NT math.PR
Cokernels of random matrix products and flag Cohen--Lenstra heuristic
本文肯定回答了随机矩阵乘积余核的旗结构满足 Cohen--Lenstra 启发式，并推广至非方阵情形。
2024-03-14 math.CO math.NT math.PR
Cohen-Lenstra distribution for sparse matrices with determinantal biasing
本文研究带行列式平方偏置的稀疏随机子矩阵，证明当素数p≥5时，其余核的p-Sylow子群渐近服从Cohen-Lenstra分布，为随机二维超树同调群的相应猜想提供支持。
2024-10-04 math.CO math.PR
Cohen--Lenstra heuristics for torsion in homology of random complexes
我们在实验上研究了无规$d$ -复合物$Y \sim Y_d(n,p)$的同调挠率.我们的实验表明，在这个过程中，几乎总是有一个时刻，在同源性$H_{d-1}(Y)$中存在巨大的扭转爆发。这一时刻似乎与\cite{AL,LP,LP3}中研究的相变相一致，其中$H_d(Y)$中的循环首次以高概率出现。本文主要研究小素数$q$的挠子群$H_{d-1}(Y)$的$q$ -部分的极限分布。我们发现强有力的证据限制科恩-Lenstra分布，其中的概率，$q$ -部分是同构的一个给定的$q$ -组$H$是成反比的自同构组$|\mbox{Aut}(H)|$的顺序。我们还研究了一致随机$\Q$ -无环$2$ -复形的同调挠率.这个模型类似于完全图上的均匀生成树，但在拓扑上更复杂，因为Kalai证明了在$n^2$ \cite{Kalai}中扭群的期望阶是指数级的。我们给出了实验证据，在这个模型中，扭矩是科恩-Lenstra分布在极限。
2018-05-04 math.AT math.CO math.PR
Random $p$-adic matrices with fixed zero entries and the Cohen--Lenstra distribution
Institute for Basic Science（基础科学研究所）；Ajou University（亚洲大学）；Yonsei University（延世大学）
本文研究了具有固定零元素的随机p进矩阵的余核分布，确定了使余核收敛到Cohen-Lenstra分布所需的最小随机元素数量，并扩展了Wood关于随机p进矩阵的普遍性定理。
2026-03-28 math.CO math.NT math.PR
Cohen-Lenstra distributions via random matrices over complete discrete valuation rings with finite residue fields
设$(R, \mathfrak{m})$是具有有限剩余域$R/\mathfrak{m} = \mathbb{F}_{q}$的完备离散赋值环.给定一个一元多项式$P(t) \in R[t]$的减少模$\mathfrak{m}$给出了一个不可约的多项式$\bar{P}(t) \in \mathbb{F}_{q}[t]$，我们开始调查的分布$\mathrm{coker}(P(A))$，其中$A \in \mathrm{Mat}_{n}(R)$是随机选择的关于Haar概率测度的添加剂组$\mathrm{Mat}_{n}(R)$ $R$ -矩阵。我们的主要结果之一概括了弗里德曼和华盛顿的两个结果。我们的其他结果是有关的分布的$\bar{P}$ -随机矩阵$\bar{A} \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}_{q})$的一部分，相对于均匀分布，其中之一推广了Fulman的结果。我们将我们的结果与Cohen和Lenstra的著名猜想联系起来，该猜想预测，给定一个奇素数$p$，任何有限阿贝尔$p$ -群（即，$H$作为$\mathbb{Q}$的随机虚二次域扩展的类群的$p$ -部分出现，概率与$|\mathrm{Aut}_{\mathbb{Z}}(H)|$成反比。我们回顾了Cohen和Lenstra猜想的三种不同的证明方法，它们都与我们的主要猜想的特殊情况有关，我们将其…
2019-09-04 math.CO math.NT math.PR
Cohen-Lenstra flag universality for random matrix products
该论文证明随机整数矩阵部分乘积的余核旗在 $n$ 趋于无穷时普遍收敛到 Cohen-Lenstra 型测度，并推广了条件分布公式的普遍性，结合了 Sawin-Wood 技术、矩阵乘积矩计算和 Haar 矩阵结果。
2025-08-13 math.CO math.NT math.PR
The Rank of the Sandpile Group of Random Directed Bipartite Graphs
本文证明了不太不平衡的随机有向二部图的沙堆群的$p$ -秩的渐近分布。我们发现这与Erd{<$}s-R{é}nyi随机有向图模型完全匹配，表明该模型的Sylow $p$ -子群也可能是Cohen-Lenstra分布的。Koplewitz研究了不平衡随机二部图的$p$ -秩分布，并证明了对于充分不平衡的图，$p$ -秩的分布不同于Cohen-Lenstra分布. Koplewitz \cite{K}证明了对于随机平衡二部图，对于任意$p$，$p$ -秩的期望值为$O(1)$.本文证明了他的猜想，并给出了有向图子类的精确分布。
2023-02-17 math.CO math.PR
A random walk on the category of finite abelian $p$-groups
该研究提出有限阿贝尔$p$-群范畴上平稳测度为Cohen-Lenstra分布的不可约马尔可夫链，证明其可逆性并解释该分布在随机矩阵中的出现机制，还显式求出了对应无穷转移矩阵的谱。
2024-08-12 math.AC math.NT math.PR
Distribution of the cokernels of determinantal row-sparse matrices
Ajou University（亚洲大学）；Yonsei University（延世大学）
本文研究了稀疏整数矩阵余核的分布，证明其收敛于Cohen-Lenstra分布，并扩展了先前关于特定参数条件下的结论。
2026-01-07 math.CO math.NT math.PR
Universality for cokernels of partially random integral matrices
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
研究部分随机整数矩阵余核的通用性，放宽元素平衡和独立性条件，证明即使有一定数量元素不满足\(\varepsilon\)-平衡及存在特定依赖关系时，余核分布仍趋近科恩 - 莱斯特拉分布，还证明特定随机带矩阵余核也有此性质，回答了相关问题。
2026-08-04 math.CO math.NT math.PR
Universality for Cokernels of Dedekind Domain Valued Random Matrices
该研究利用Wood的矩方法，针对元素取值于带有限商的可数戴德金整环的随机矩阵，提出并证明了一个可得到余核分布普适性结果的条件，拓展了此前整数矩阵场景下的相关结论。
2023-06-10 math.NT math.PR
Random integral matrices: universality of surjectivity and the cokernel
对于一个随机矩阵的项目独立采样从一个相当普遍的分布Z我们研究的概率，上核同构于一个给定的有限阿贝尔群，或当它是循环的。这包括由矩阵给出的整数格之间的线性映射是满射的概率。我们表明，这些统计量是渐近普遍的（矩阵的大小趋于无穷大），给出了精确的公式，涉及zeta值，并同意科恩和Lenstra定义的分布，即使当矩阵项的分布是非常扭曲的。我们的方法是鲁棒的，并适用于随机有向图和稀疏矩阵的拉普拉斯算子，其条目非零的概率仅为n^{-1+ n}。
2018-06-02 math.CO math.NT math.PR
A phase transition for the cokernels of random band matrices over the p-adic integers
研究了p-adic整数上随机带状矩阵余核的相变现象，证明了其具有Cohen-Lenstra极限分布的充要条件是带宽与log_p(n)的差趋于无穷。
2026-11-10 math.CO math.PR
A dynamic point of view on universality for random matrices over finite local rings
本文通过动态观点证明，在有限局部环上，只要元素分布不集中于子环或理想的平移，独立同分布随机矩阵的角余核过程仍满足遍历定理，从而推广了均匀情形下的Cohen-Lenstra测度普适性。
2026-09-11 math.CO math.NT math.PR
Universality of rational canonical form for random matrices over a finite field
研究有限域上随机矩阵有理规范形的分布，证明其渐进行为符合Cohen-Lenstra分布，恢复Fulman的均匀情况。
2026-09-03 math.NT math.PR
A random walk on p-groups with a symmetric perfect pairing
该研究分析具有对称完美配对的p群上的随机游走，证明随机对称p进矩阵相关过程为马尔可夫链，其生成算子可明确描述且关于Cohen-Lenstra型测度可逆。
2026-08-20 math.CO math.NT math.PR
Probability theory for random groups arising in number theory
我们考虑的概率论，特别是矩问题和普遍性定理，随机组的排序，出现或被证明出现在数论，并在相关的情况下，在拓扑学和组合学。所讨论的随机群的分布包括在Cohen-Lenstra-Martinet算法中被证明是随机数的类群分布的分布、非阿贝尔推广的分布以及被证明是随机椭圆曲线的Selmer群分布的分布。对于有限群和投射有限群上的这类分布，我们综述了矩问题和普适性的已知情况，给出了一些新的结果，包括新的应用，并提出了一些有待解决的问题。
2023-01-23 math.CO math.NT math.PR
The distribution of sandpile groups of random graphs
我们确定了沙堆群的分布（又称沙堆群）。雅可比矩阵）。由于任何特定的群以渐近概率0出现（如我们所示），因此很自然地要求沙堆群的Sylow p-子群的渐近分布。本文证明了Sylow p-子群的分布收敛于Clancy，Leake和Payne给出的分布。这些分布与Cohen-Lenstra分布有关，但又不同。我们的证明首先要找到从沙堆群到任何有限阿贝尔群（有限阿贝尔群中取值的随机变量的“矩”）的满射的期望数。为了实现这一点，我们展示了一个普遍性的结果，随机对称积分矩阵的上核的时刻，是足够强大的处理依赖的对角条目。然后，我们表明，这些时刻确定一个独特的分布，尽管他们的p^{k^2}大小的增长。
2014-06-02 math.CO math.PR
The distribution of sandpile groups of random regular graphs
研究了随机d-正则图的沙堆群的分布。对于有向模型，我们证明了它遵循Cohen-Lenstra定理，即沙堆群的$p$-Sylow子群是给定的$p$ -群$P$的极限概率正比于$|Aut(P)|^{-1}$ .对于多个素数，这些事件在极限中变得独立。类似的结果适用于无向随机正则图，其中奇素数的极限分布是由克兰西，莱克和佩恩。这回答了Frieze和Vu关于随机正则图的邻接矩阵是否可逆的一个公开问题。请注意，对于有向图，这一点最近已由Huang证明。它也给出了Backhausz和Szegedy定理的另一种证明。
2020-01-28 math.CO math.PR
Hall-Littlewood polynomials, boundaries, and $p$-adic random matrices
证明了Gelfand-Tsetlin图的Hall-Littlewood $t$ -变形的边界是由无穷整数签名参数化的，推广了Gorin和Cuenca关于变形的Gelfand-Tsetlin图的边界的结果.在特殊的情况下，当$1/t$是一个总理$p$，我们用这个来恢复Bufetov-Qiu和Assiotis的结果无限$p$ -adic随机矩阵，把它们放在一般的背景下，分支图来自对称函数。我们的方法依赖于某些斜霍尔-利特尔伍德多项式的显式公式。作为一个单独的推论，这些，我们得到了一个简单的表达式的联合分布的上核的产品$A_1, A_2A_1, A_3A_2A_1,\ldots$的独立Haar分布矩阵$A_i$的$p$ -进整数$\mathbb{Z}_p$。这个表达式推广了交换$p$ -群上经典Cohen-Lenstra测度的显式公式。
2022-09-02 math.CO math.NT math.PR
Universality for cokernels of random matrix products
本文研究随机整数矩阵乘积余核的分布，证明其在大规模极限下具有普适性，并刻画了推广的Cohen-Lenstra测度对应的普适分布，同时给出有限域上余秩的显式结果。
2023-11-30 math.CO math.NT math.PR
Sharp Threshold for Universality of Rational Canonical Forms over a Finite Field
该研究确定有限域上稀疏随机矩阵有理典范形式普适性的 sharp 阈值，通过满射矩量法证明阈值与有限域余核、$\mathbb{Z}_p$ 上随机矩阵模型的阈值一致，还构造了对应最小次数不可约多项式的临界稀疏障碍。
2026-10-21 math.NT math.PR math.RT
The moment problem for random objects in a category
本文研究范畴中随机对象的矩问题，以到固定对象的满态射平均数为矩，在矩增长受控时给出分布存在唯一性、测度公式及极限收敛结果，并应用于有限群、模、环等范畴。
2024-05-09 math.CT math.PR
Generalizations of results of Friedman and Washington on cokernels of random $p$-adic matrices
令$p$是素数，$X$是$\mathbb{Z}_{p}$（$p$ -adic整数环）上的Haar随机$n \times n$矩阵。设$P_{1}(t), \dots, P_{l}(t) \in \mathbb{Z}_{p}[t]$是次数至多为$2$的一元多项式，其模$p$的像在$\mathbb{F}_{p}[t]$中是不同的且不可约的。对于每个$j$，设$G_{j}$是$\mathbb{Z}_{p}[t]/(P_{j}(t))$上的有限模。我们发现，$n$趋于无穷大，概率$\mathrm{cok}(P_{j}(X)) \simeq G_{j}$是独立的，每个概率可以描述的Cohen-Lenstra分布。我们还表明，对于任何固定的$n$，$\mathrm{cok}(P_{j}(X)) \simeq G_{j}$为每个$j$的概率是一个常数倍的概率，$\mathrm{cok}(P_{j}(\bar{X})) \simeq G_{j}/pG_{j}$为每个$j$，其中$\bar{X}$是一个$n \times n$均匀随机矩阵在$\mathbb{F}_{p}$。这些结果推广了Friedman和Washington的工作，并证明了Cheong和Huang的一个猜想的新情况.
2022-01-21 math.CO math.NT math.PR
The Distribution of Sandpile Groups of Random Graphs with their Pairings
本文确定了 Erdős-Rényi 随机图沙堆群及其配对在极限下的分布，解决了 2015 年的猜想，并利用矩方法和普适性结果证明了该分布与 Cohen-Lenstra 分布不同。
2023-11-13 math.CO math.NT math.PR
The cokernel of a polynomial push-forward of a random integral matrix with concentrated residue
本文研究了具有集中剩余的随机整数矩阵的多项式前推余核分布，通过建立非交换环上的 Weierstrass 预备定理，显式计算了多项式作用下的余核分布，并推广了随机矩阵的适用范围。
2023-10-23 math.AC math.NT math.PR
The distribution of the cokernel of a polynomial evaluated at a random integral matrix
本文研究了首一多项式在 $p$-adic 整数环上的随机矩阵求值后余核的分布，证明其收敛于类 Cohen-Lenstra 测度的显式乘积，并利用 Sawin 和 Wood 的结果及精细技巧完成了证明。
2023-10-21 math.CO math.NT math.PR
