具有行列式偏置的稀疏矩阵的Cohen-Lenstra分布
Cohen-Lenstra distribution for sparse matrices with determinantal biasing
AI总结：
本文研究带行列式平方偏置的稀疏随机子矩阵，证明当素数p≥5时，其余核的p-Sylow子群渐近服从Cohen-Lenstra分布，为随机二维超树同调群的相应猜想提供支持。
摘要：
考虑如下矩阵 $B_n$。$B_n$ 的列以 $[n]=\{1,2,\dots,n\}$ 为指标，行以 $[n]^3$ 为指标。对应于 $(x_1,x_2,x_3)\in [n]^3$ 的行由 $\sum_{i=1}^3 e_{x_i}$ 给出，其中 $e_1,e_2,\dots,e_n$ 是 $\mathbb{R}^{[n]}$ 的标准基。设 $A_n$ 为 $B_n$ 的随机 $n\times n$ 子矩阵，其中选取子矩阵 $C$ 的概率正比于 $|\det(C)|^2$。设 $p\ge 5$ 为素数。我们证明 $A_n$ 的余核的 $p$-Sylow 子群的渐近分布由 Cohen-Lenstra 启发式给出。我们的结果受到如下猜想的启发：随机二维超树的第一个同调群也服从 Cohen-Lenstra 分布。
英文摘要：
Let us consider the following matrix $B_n$. The columns of $B_n$ are indexed with $[n]=\{1,2,\dots,n\}$ and the rows are indexed with $[n]^3$. The row corresponding to $(x_1,x_2,x_3)\in [n]^3$ is given by $\sum_{i=1}^3 e_{x_i}$, where $e_1,e_2,\dots,e_n$ is the standard basis of $\mathbb{R}^{[n]}$. Let $A_n$ be random $n\times n$ submatrix of $B_n$, where the probability that we choose a submatrix $C$ is proportional to $|\det(C)|^2$. Let $p\ge 5$ be a prime. We prove that the asymptotic distribution of the $p$-Sylow subgroup of the cokernel of $A_n$ is given by the Cohen-Lenstra heuristics. Our result is motivated by the conjecture that the first homology group of a random two dimensional hypertree is also Cohen-Lenstra distributed.
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