The Abelian Sandpile Model on Fractal Graphs
我们研究阿贝尔沙堆模型（ASM），一个过程中，沙粒被放置在一个图的顶点。当一个顶点上的颗粒数至少是它的度数时，一个颗粒被分布到每个相邻的顶点。这个模型已被证明可以在整数格上形成分形图案，并以这些分形图案为动机，我们考虑后临界有限（p.c.f）分形的图形近似模型。我们确定的渐近行为的网站倾倒和表征图，表现出一个周期性的数量的晶粒相对于初始位置的直径。
2019-01-17 math.CO math.PR
The distribution of sandpile groups of random regular graphs
研究了随机d-正则图的沙堆群的分布。对于有向模型，我们证明了它遵循Cohen-Lenstra定理，即沙堆群的$p$-Sylow子群是给定的$p$ -群$P$的极限概率正比于$|Aut(P)|^{-1}$ .对于多个素数，这些事件在极限中变得独立。类似的结果适用于无向随机正则图，其中奇素数的极限分布是由克兰西，莱克和佩恩。这回答了Frieze和Vu关于随机正则图的邻接矩阵是否可逆的一个公开问题。请注意，对于有向图，这一点最近已由Huang证明。它也给出了Backhausz和Szegedy定理的另一种证明。
2020-01-28 math.CO math.PR
The Rank of the Sandpile Group of Random Directed Bipartite Graphs
本文证明了不太不平衡的随机有向二部图的沙堆群的$p$ -秩的渐近分布。我们发现这与Erd{<$}s-R{é}nyi随机有向图模型完全匹配，表明该模型的Sylow $p$ -子群也可能是Cohen-Lenstra分布的。Koplewitz研究了不平衡随机二部图的$p$ -秩分布，并证明了对于充分不平衡的图，$p$ -秩的分布不同于Cohen-Lenstra分布. Koplewitz \cite{K}证明了对于随机平衡二部图，对于任意$p$，$p$ -秩的期望值为$O(1)$.本文证明了他的猜想，并给出了有向图子类的精确分布。
2023-02-17 math.CO math.PR
A natural stochastic extension of the sandpile model on a graph
我们引入了一个新的模型的随机沙堆上的图$G$包含一个sink。当不稳定时，站点以概率$p \in (0,1]$独立地向其每个邻居发送一个粒度。对于$p=1$，这与标准阿贝尔沙堆模型相吻合。一般来说，对于$p\in(0,1)$，这个沙堆模型的递归配置集不同于阿贝尔沙堆模型的递归配置集。我们给出了这个集的一个特征方面的方向图$G$。我们还定义了缺乏多项式$L_G$作为生成函数计数这一组根据颗粒的数量，并表明，该多项式满足类似的Tutte多项式的递归。
2012-09-10 cs.DM math.CO math.PR
Sandpiles and unicycles on random planar maps
本文研究了随机平面映射上的阿贝尔沙堆模型和一致生成幺正映射。我们表明，沙堆密度收敛到5/2的地图变得大。对于生成的幺半群，我们证明了圈的长度和面积收敛于简单随机游动在第一象限的首中时和位置。计算使用的“汉堡包奶酪汉堡包”建设Fortuin-Kasteleyn随机集群配置随机平面地图。
2015-08-13 math.PR
Combinatorial aspects of sandpile models on wheel and fan graphs
我们研究组合方面的沙堆模型的车轮和扇形图，寻求双射characterisations模型的经常性配置对这些家庭。对于轮图，我们表现出这些经常性的配置和一组子图的循环图映射的配置的水平的子图的边缘的数量之间的双射。这种双射依赖于两个关键因素。第一个包括在考虑一个随机变量的标准阿贝尔沙堆模型（ASM），而不是ASM本身。第二个成分是从一个给定的常返状态映射到一个典型的最小常返状态，利用类似的想法，以前的研究的ASM上的完全二部图和费勒斯图。我们还证明了在具有$2n$顶点的轮图上，具有$n$水平的常返状态的数目由中心Delannoy数的第一差给出。最后，利用类似的工具，我们展示了扇图上ASM的递归配置集和包含路径最右顶点的路径图的子图集之间的双射，我们证明了这些集合也与某些格路径相等，我们将其命名为Kimberling路径，以在线百科全书中相应条目的作者命名。
2022-09-16 math.CO math.PR
The looping rate and sandpile density of planar graphs
给出了有限可平面图上环擦除随机游动的环率的一个简单公式。循环速率与图上循环沙堆中的预期砂量密切相关。循环率公式非常适合于在图趋于无限格的情况下取极限，并且我们使用它来给出（先前计算的）正方形、三角形和蜂窝晶格的循环速率和沙堆密度，并计算（第一次）许多其他晶格的循环率和沙堆密度，例如Kagome晶格，骰子晶格，截顶六边形晶格（其值都是有理数）和正方形-八边形晶格（其值是超越的）。
2015-05-06 math.PR
Sandpile groups of random bipartite graphs and families of distributions with the same moments
University of Southern California（南加州大学）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；The University of Queensland（昆士兰大学）
研究应用矩方法构建具有相同矩的分布族，涉及随机图沙堆群的西罗\(p\)子群，通过组合工具计算矩，发现随机二分图在\(p = 2\)时的特殊情况，其分布虽异于他人但矩相同。
2026-07-10 math.CO math.NT math.PR
Abelian and stochastic sandpile models on complete bipartite graphs
本研究针对完全二部图上的阿贝尔沙堆模型（ASM）与随机沙堆模型（SSM），提出线性复杂度的随机版Dhar燃烧算法检验SSM常返构型，建立两类模型常返构型与组合结构的双射关系。
2024-09-18 cs.DM math.CO math.PR
Abelian sandpiles: an overview and results on certain transitive graphs
本文讨论了Abel沙堆模型的常返状态与生成树之间的Majumdar-Dhar双射。本文将Athreya和Jarai关于Z^d，d >= 2的沙堆模型的平稳分布的无限体积极限的结果推广到一大类图上.这包括：（i）连线生成森林连通且有一端的图;（ii）体积增长至少为Cn ^5且所有有界调和函数为常数的传递图。我们还扩展了Maes，Redig和Saada的结果沙堆的固定分布在无限的正规树，任意的枯竭。
2011-07-26 math.PR
The approach to criticality in sandpiles
自组织临界性的一个流行理论将驱动耗散系统的临界行为与守恒系统的临界行为联系起来。特别地，该理论预测阿贝尔沙堆模型的稳态密度应该等于相应的固定能量沙堆的阈值密度。这个“密度猜想”已被证明的基础图Z。我们证明了（通过模拟或证明）当基础图是Z^2、完全图K_n、Cayley树、梯形图、手镯图或花形图中的任何一个时，密度猜想是错误的.驱动耗散沙堆继续发展，即使在一个恒定的分数的沙子已经失去了在汇。这些结果使人怀疑使用固定能量沙堆来探索阿贝尔沙堆模型在平稳性下的临界行为的有效性。
2010-03-17 cond-mat.stat-mech math.PR
Distribution of Sandpile groups of random directed bipartite graphs
本文证明了Bhargava等人关于随机有向二部图沙堆群的p-Sylow子群极限分布的猜想，通过限制到高概率子集并应用Wood的普适性定理。
2026-06-08 math.CO math.PR
Divisible sandpiles via random walks in random scenery
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京应用数学与计算科学研究所）；University of Innsbruck（因斯布鲁克大学）
研究随机游走于随机场景中的最优停止问题，确定其有限最优条件，并扩展Levine等人关于可除沙堆稳定性的定理，探讨不同图结构下的稳定性与爆炸性。
2026-04-15 math.PR
Stochastic Sandpile Model: exact sampling and complete graph
Sapienza Università di Roma（罗马第一大学）；CEREMADE, CNRS, Université Paris-Dauphine, Université PSL（巴黎第九大学数学与决策研究中心，法国国家科学研究中心，巴黎文理研究大学）
该研究提出了一种在有限图上精确采样的方法，并证明在完全图上模型的平稳密度趋于1/2。
2026-02-20 math.PR
Random walks in a field of soft traps and criticality for the dissipative Abelian Sandpile Model
该研究受耗散阿贝尔沙堆模型启发，分析一维随机游走在间距递增软陷阱景观中的轨迹，确定了连续陷阱间区间大小的临界增长率，揭示其对应沙堆模型的临界性转变，精确量化了破坏原始模型临界性所需的耗散量。
2025-07-08 math-ph math.MP math.PR
The stochastic sandpile model on complete graphs
本文研究完全图上的随机沙堆模型，刻画其常返态为阿贝尔沙堆模型常返态的凸和，提出线性时间的随机版Dhar燃烧算法，并分析部分随机沙堆模型的常返态特性。
2024-09-12 math.CO math.PR
The limit shape of the Leaky Abelian Sandpile Model on isoradial graphs
研究等角图上渗漏沙堆模型边界的极限形状，利用Green函数渐近性证明显式公式，并在椭圆模量趋于0时得到圆形普适极限。
2025-09-08 math.PR
Sandpiles on the Vicsek fractal explode with probability 1/4
该研究证明 Vicsek 分形图上的阿贝尔沙堆在无限体积极限下以概率 3/4 稳定、以概率 1/4 爆炸，并通过概率与代数两种方法给出证明，同时确定了有限逼近沙堆群的不变因子。
2024-08-21 math.CO math.GR math.PR
Cut-off for sandpiles on tiling graphs
沙堆动力学被认为是从周期性的平面和空间平铺通过分配一个不断增长的块的平铺环或开放的边界条件构建的图形。给出了求镶嵌格林函数的一般方法，并证明了一般条件下的全变差截止现象。结果表明，边界条件不影响混合时间的平面平铺，也不改变渐近混合时间的立方晶格$\zed^d$所有足够大的$d$。在配套文件中，计算方法被用来证明，混合时间被改变的$\Dfour$晶格在4维。
2019-05-12 math.PR
Absorbing-state transition for Stochastic Sandpiles and Activated Random Walks
本文研究了90年代初在物理学文献中提出的两种d维超立方晶格上的守恒晶格气模型：活化随机游动（ARW）和随机沙堆模型（SSM）的动力学行为。理论论证和数值分析预测，当初始密度超过临界阈值时，ARW和SSM经历吸收相和活性相之间的相变。然而，只有一维系统的吸收相存在的严格证明是已知的。在目前的工作中，我们建立了在任何维的存在这样的相变。此外，我们得到了几个定量的界限如何快速的活动停止在一个给定的网站或有限的系统。多尺度分析可以扩展到其他情况下提供一个有效的工具来研究非平衡相变。
2014-12-22 math.PR
Distribution of Sandpile groups of random bipartite graphs
研究随机厄多斯 - 雷尼二分图\(G_{\alpha}(n,u)\)的沙堆群\(p\)-西罗子群极限分布，通过舍弃特定图解决满射矩发散问题，证明了奇素数\(p\)时的猜想，\(p = 2\)时计算矩与猜想匹配但不唯一确定分布。
2026-07-14 math.CO math.PR
Minimal configurations and sandpile measures
在G上的有线均匀生成森林中的每棵树几乎必定有一端的条件下，给出了无限图G上沙堆测度的一个新的简单构造。对于所谓的广义极小组态，即使没有这个假设，G上的极限概率也存在。我们还给出了一般图上最小构型的转移流矩阵的行列式公式。
2012-06-19 math.PR
Stochastic Sandpile on a Cycle
在图上的随机沙堆模型中，粒子按如下方式成对交互：如果两个粒子占据同一个顶点，则它们必须各自以一定概率$0<p<1$不移动地进行独立的随机游动。这些相互作用持续到每个站点上不超过一个粒子。我们提供了随机沙堆和激活的随机游动模型之间的正式耦合，并且我们使用耦合来表明，对于循环图$\mathbb{Z}_n,$上的$n$粒子的随机沙堆，对于所有初始粒子配置，系统在$O(n^3)$时间内稳定，条件是$p(n)$趋向于$1$的速度与$n \rightarrow \infty$相当。
2021-12-19 cond-mat.stat-mech math.PR
The abelian sandpile model on a random binary tree
研究了随机二叉树上的阿贝尔沙堆模型。使用Dhar和Majumdar引入的传递矩阵方法，我们证明了相关性的指数衰减，并且在一个小的超临界区域（即，其中分支过程以正概率存活）雪崩大小的指数衰减。这显示了雪崩尺寸的指数衰减和幂律衰减之间的相变现象。我们的主要技术工具是：（1）证明了弱和强允许组态个数之比的递推公式，并证明了该公式具有一个定义良好的随机解;（2）给出了$n$随机转移矩阵乘积的特征值的淬火和退火估计。
2012-04-25 cond-mat.dis-nn math-ph math.MP
Non-criticality criteria for Abelian sandpile models with sources and sinks
我们证明了阿贝尔沙堆模型的随机二叉和二叉树，介绍了在\cite{rrs}，是不是关键的所有分支概率$p<1$ ;通过估计尾部的退火生存时间的随机游动的二叉树上随机放置的陷阱，我们得到了一些更多的信息雪崩半径的指数尾部。接下来，我们研究了$\mathbb{Z}^d$上的沙堆模型与一些额外的耗散网站：我们提供的例子和充分条件的非临界性，我们也作出了与抛物型安德森模型的连接。最后，我们开始研究具有源和汇的沙堆模型，并利用与均匀钉扎模型的联系，给出了有限个源存在时非临界的一个充分条件。
2019-10-30 math-ph math.MP math.PR
The divisible sandpile with heavy-tailed variables
本文研究了初始构形服从重尾分布时的可分沙堆模型。扩展Levine et al.（2015）和Cipriani et al.（2016）的结果，我们确定了无限图稳定和不稳定的充分条件。进一步确定了环面上里程计的标度极限是一个$α$稳定的广义过程分布。
2016-10-31 math.PR
The Distribution of Sandpile Groups of Random Graphs with their Pairings
本文确定了 Erdős-Rényi 随机图沙堆群及其配对在极限下的分布，解决了 2015 年的猜想，并利用矩方法和普适性结果证明了该分布与 Cohen-Lenstra 分布不同。
2023-11-13 math.CO math.NT math.PR
Sandpile models
本调查是康奈尔大学概率暑期学校2013年讲座的扩展版本。介绍了有限图上阿贝尔沙堆模型的基本事实及其与相关模型的联系。我们讨论了通过Majumdar和Dhar的方法精确可计算的结果。Priezzhev的计算的高度概率在2D的主要思想也被提出，包括明确的误差估计涉及通过到无限晶格的限制。我们还讨论了各种问题所产生的无限图，如收敛到一个沙堆措施，和稳定性的无限配置。
2018-09-12 math-ph math.MP math.PR
Abelian Sandpile Model on Randomly Rooted Graphs and Self-Similar Groups
本文的主要结果是一个严格的临界性证明和显式计算的临界指数的衰减的阿贝尔沙堆模型（ASM）上的一个大家庭的无限图。首先引入了有限图极限的ASM在局部收敛中的临界性概念，这就引出了ASM在随机弱极限中的临界性问题。我们的主要技术成分是有限仙人掌序列上ASM的几乎必然临界性的充分条件（即，可分图的块是圈或单边）的假设下，随机弱极限几乎必然是1-结束。允许显式计算临界指数的例子来自有限生成群在规则有根树上通过自同构的作用。限制行动的连续水平的树定义了一个序列的有限图，其限制在局部收敛的轨道Schreier图的行动组的边界上的树。在复多项式的迭代单值群的情况下，这些图是仙人掌，我们表明，对于1-结束的，临界指数的雪崩的质量衰减依赖于图形的增长。与$z^2-1$相关的著名的Basilica群产生了无数个4正则单端二次增长图，其雪崩质量的临界指数等于1;以及无数个新的非临界二次增长的例子（因此不是$\mathbb{Z}$的准等距）。另一个迭代单值群，我们认为提供了不可数许多图的临界指数等于$2\log 2/\log 3 >1$。最后，我们还展示了图的多项式增长任意小的临界指数。
2012-10-31 math.PR
Sandpile avalanches in two dimensions are finite
本文针对二维阿贝尔沙堆模型，证明其雪崩几乎必然有限，雪崩到达距离R的概率至多为log R的负幂次，通过多尺度电动力学论证完成均匀生成树估计。
2026-10-15 math.PR
The divisible sandpile at critical density
可分的沙堆从i.i.d.开始。随机变量（“质量”）在一个无限的顶点，顶点传递图的顶点，并重新分配质量的局部倾倒规则，试图使所有的质量最多为1。当m = <1 and it almost surely does not stabilize if m>1，其中$m$是每个顶点的平均质量时，该过程几乎肯定稳定.本文的主要结果是，在临界情况下，m=1，如果初始质量有有限的方差，那么过程几乎肯定不稳定。为了给出有限图上的定量估计，我们将topplings的数量与离散双拉普拉斯高斯场相关联。
2015-08-13 cond-mat.stat-mech math.AP math.PR
Ladder Sandpiles
本文研究了$G \times I$型图上的阿贝尔沙堆，其中$G$是任意有限连通图，$I \subset \Z$是有限区间图.我们证明了对于任何固定的至少有两个顶点的$G$，平稳测度$μ_I = μ_{G \times I}$有两个极值弱极限点如$I \uparrow \Z$ .极值极限是无穷递归构形集上唯一的最大熵遍历测度。我们表明，在任何限制措施下，可以添加1000多个颗粒，几乎可以肯定所有的网站倾倒无限频繁的方式。我们还表明，极值极限措施承认一个马尔可夫编码。
2007-08-13 math-ph math.MP math.PR
The spectrum of the abelian sandpile model
在他们以前的工作中，作者研究了阿贝尔沙堆模型的图构造从一个不断增长的一块平面或空间平铺，给定周期性或开放的边界条件，并确定了谱因子，支配的渐近谱间隙和渐近混合时间。本文给出了计算或渐近确定谱因子的一般方法，并在具体例子中进行了确定。
2019-05-16 math-ph math.MP math.PR
Universality of high-dimensional spanning forests and sandpiles
我们证明了有线均匀生成森林在很大一类图上表现出平均场行为，包括每个至少五次体积增长的传递图和每个有界度不服从图。甚至在$\mathbb{Z}^d$、$d\geq 5$的情况下，我们的几个结果也是新的。特别地，我们证明了森林中的每棵树几乎必然具有谱维数$4/3$和行走维数$3$，并且森林中顶点的固有直径和体积的临界指数分别为$1$和$1/2$. (The在均匀生成森林中，顶点的过去是当该顶点从森林中删除时与无穷大断开的有限分量。作为推论，我们得到了在任意5维以上多项式增长的传递图上，控制过去的外直径的临界指数是$2$，在任意有界度不服从图上，控制过去的外直径的临界指数是$1$.我们推导出在阿贝尔沙堆模型中，对于维数至少为5的多项式增长的传递图，描述雪崩中的顶点直径和顶点总数的临界指数分别为$2$和$1/2$;对于有界度不服从图，分别为$1$和$1/2$.在$\mathbb{Z}^d$，$d\geq 5$的情况下，我们关于临界指数的一些结果恢复了Bhupatiraju，Hanson和Járai（2017）的早期结果。在这种情况下，我们改进了他们的结果表明，尾部概率的问题是由适当的幂律描述的常数阶乘法误差，而不是在该工作中的多阶乘法误差。
2019-05-30 math-ph math.CO math.MP
Limit Theorems for Internal Aggregation Models
我们研究了整数格Z^d上三种不同聚集模型的标度极限：内部DLA，其中粒子执行随机游动，直到到达一个未被占用的站点;转子路由器模型，其中粒子执行确定性类似的随机游动;和可分的沙堆，其中每个站点将其多余的质量均匀地分配给其邻居。当晶格间距趋于零时，我们发现三种模型具有相同的尺度极限，我们将其描述为R^d中某个PDE自由边界问题的解。特别是，内部DLA具有确定性的缩放限制。我们发现标度极限是在位势论和流体力学等许多领域独立出现的求积域。我们的结果既适用于重点源的情况，也适用于Diaconis-Fulton smash和域。在特殊情况下，当所有的粒子开始在一个单一的网站，我们表明，标度限制是一个欧几里德球在R^d，并给出了定量的界限上的收敛速率的球。对于经典阿贝尔沙堆模型的形状，我们还改进了以前最著名的Le Borgne和Rossin在Z^2中的边界以及Fey和Redig在高维中的边界。最后，我们研究了叶子被折叠到单个汇点的正则树的沙堆群，并确定了满沙堆群的分解为循环群的乘积。例如，对于高度为n的正则三元树，沙堆群同构于（Z_3）^{2^{n-3}} x（Z_7）^{2^{n-4}} x. x Z_{2^{n-1}-1} x Z_{2^n-1}。我们用这个结果来证明，转子路由器聚集在定期树产生一个完美的球。
2007-12-28 math.AP math.CO math.PR
Asymptotics of the single-source stochastic sandpile model
在单源沙堆模型中，多个$N$沙粒位于二维网格$\mathbb{Z}^2$的中心顶点。我们研究了基于参数$M \in \mathbb{N}$的随机沙堆模型的稳定性。在这个模型中，如果一个顶点至少有$4M$沙粒，它就会倾倒，将$k$沙粒发送给它的四个邻居中的每一个，其中$k$是根据支持$\{1,\cdots,M\}$的随机分布$γ$绘制的。拓扑继续，每次都绘制一个新的随机数$k$，直到我们达到一个稳定的配置，其中所有顶点的粒度都小于$4M$。这个模型是一个轻微的变化介绍了金和王。我们分析了上述稳定过程，因为对于各种概率分布$γ$，$N$趋于无穷大（对于固定的$M$）。我们专注于两个全局参数的系统，称为半径和雪崩数。半径数是在稳定过程中从原点发送颗粒的最大距离，而雪崩数是倾倒的总数。我们的模拟表明，这两个数字有相当简单的渐近行为的$γ$，$N$和$M$的功能，因为$N$趋于无穷大。我们还提供了一个更详细的分析的情况下，$γ$是二项分布的参数$p$，特别是当$p$往往$1$。我们展示了在该制度的规模$p \sim 1/N$的相变。
2022-08-22 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Existence and uniqueness of the stationary measure in the continuous Abelian sandpile
设Λ是Z^d的有限子集。我们研究了Λ上的沙堆模型。Λ的任意给定顶点x处的高度是正实数，加法均匀分布在某个区间[a，b]上，该区间是[0，1]的子集。门限值为1;当一个顶点的高度超过1时，它会倾倒，也就是说，它的高度减少1，而它在Λ中的所有邻居的高度增加1/2d。我们首先证明了所谓的“允许组态”上的一致测度μ在动力学下是不变的。当a < b时，我们用耦合的思想证明，从任何初始高度配置开始，过程按分布收敛到μ，因此μ是过程的唯一不变测度。当a = b时，也就是说，当加法量是非随机的，并且a是有理数时，仍然是μ是唯一不变的概率测度的情况，但是在这种情况下，我们使用随机遍历理论来证明这一点;这个证明以一种非常不同的方式进行。事实上，耦合方法在这种情况下不能工作，因为我们还显示了一个有点令人惊讶的事实，即当a = b是合理的，该过程不收敛于分布从任何初始配置。
2009-11-19 math-ph math.MP math.PR
Strong Spherical Asymptotics for Rotor-Router Aggregation and the Divisible Sandpile
转子路由器模型是随机游动的确定性模拟。它可以用来定义一个类似于内部DLA的确定性增长模型。我们证明了这个模型的渐近形状是一个欧几里得球，在某种意义上，这是强于我们以前的工作。对于由$n=ω_d r^d$位点组成的形状，其中$ω_d$是$\R^d$中单位球的体积，我们证明了对于任何$α> 1-1/d$，占据位点的集合的内径至少为$r-O(\log r)$，而外径至多为$r+O(r^α)$。对于一个相关的模型，可分的沙堆，我们表明，该域的占领网站是一个欧几里得球的半径误差一个常数独立的总质量。对于经典的二维阿贝尔沙堆模型，当粒子为$n=πr^2$时，我们证明了内半径至少为$r/\sqrt{3}$，外半径至多为$(r+o(r))/\sqrt{2}$ .这改进了Le Borgne和Rossin的边界。类似的界限适用于更高的维度。
2008-10-14 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
The rate of escape of random walks on polycyclic and metabelian groups
利用子群畸变来确定一类多环群上简单随机游动的逃逸率，并证明了逃逸率在生成集变化时不变.对于亚阿贝尔群，我们定义了一种更强的子群畸变形式，它适用于非非线性生成的子群。在此假设下，我们计算的逃逸率为某些随机游动的亚阿贝尔群通过比较的耗散阿贝尔沙堆倾倒。
2011-09-13 math.GR math.PR
