arXiv 2602.030442026-02math.AP

关于某些带有双重相增长的椭圆系统非常弱解的

On very weak solutions of certain elliptic systems with double phase growth

Yoshiki Kaiho

备注：: 62 pages

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AI总结：

本文研究了双重相增长的高阶椭圆系统非常弱解的更高积分性，提出了基于 Lipschitz 截断技术的证明方法，并获得了加权平均值多项式估计和尖锐 Sobolev-Poincaré 型不等式。

摘要：

在本文中，我们证明了对于涉及双重相算子作为主部的高阶椭圆系统非常弱解的更高积分性结果。作为模型情况，我们考虑方程 $\int_Ω \left( |D^m u|^{p-2}D^m u + a(x)|D^m u|^{q-2}D^m u \right) \cdot D^m φ= 0 $ 对于任何 $ φ\in C_c^{\infty}(Ω) $，其中 $n,m \in \mathbb{N},\ n\ge 2,\,1 < p \le q < \infty,\,Ω\subset \mathbb{R}^n$ 是一个开集，且 $a:Ω\rightarrow [0,\infty)$ 是一个可测函数。证明基于通过 Lipschitz 截断技术构造适当测试函数，推导反 Hölder 不等式，并应用 Gehring 的引理。我们的贡献包括加权平均值多项式估计和双重相算子的尖锐 Sobolev-Poincaré 型不等式。我们的结果可以看作是最近由 Baasandorj、Byun 和 Kim（Trans. Amer. Math. Soc. 376:8733-8768,2023）论文的推广，涉及导数阶、系数函数和增长条件。

英文摘要：

In this paper, we prove a higher integrability result for very weak solutions of higher-order elliptic systems involving a double phase operator as the principal part. As a model case, we consider \begin{equation} \int_Ω \left( |D^m u|^{p-2}D^m u + a(x)|D^m u|^{q-2}D^m u \right) \cdot D^m φ= 0 \quad \text{for any } φ\in C_c^{\infty}(Ω), \end{equation} where $n,\,m \in \mathbb{N},\ n\ge 2,\,1 < p \le q < \infty,\,Ω\subset \mathbb{R}^n$ is an open set and $a:Ω\rightarrow [0,\infty)$ is a measurable function. We extend the result of Baasandorj, Byun and Kim (Trans. Amer. Math. Soc., 2023) with respect to the derivative order, the coefficient class and the growth conditions. The proof is based on a construction of an appropriate test function by the Lipschitz truncation technique, a deduction of a reverse Hölder inequality and an application of Gehring's lemma. To this end, we establish estimates for weighted mean value polynomials and sharp Sobolev--Poincaré-type inequalities for the double phase operator.

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AI总结：

摘要：

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