arXiv 2602.009652026-02math.NT

提升 genus 3 曲线的 L-多项式

Lifting $L$-polynomials of genus 3 curves

Jia Shi

AI总结：

本文提出了一种提升 genus 3 曲线 L-多项式的方法，通过改进算法计算 zeta 函数，时间复杂度为 O(p^{1/2+o(1)})。

摘要：

设 C 是一个定义在有理数域上的光滑平面四次曲线。Costa、Harvey 和 Sutherland 提供了一个算法及其实现，改进了 Harvey 的平均多项式时间算法，用于计算 C 在所有 p ≤ B 的模 p 约简的 zeta 函数分子的约简，其中 p 是一个良好的约简奇素数，在 O(B log^{3+o(1)} N) 时间内完成，即平均每个素数在 O(log^{4+o(1)} p) 时间内完成。或者，他们的算法可以针对一个良好的约简素数 p 在 O(p^{1/2} log^2 p) 时间内完成此任务。尽管该算法可用于计算完整的 zeta 函数，但目前尚无该步骤的实现。在本文中，我们为 C 在 F_p 上的 Jacobian 上的群运算提供了一个算法和实现，其中 p 是一个良好的约简奇素数。我们提供了一个 Las Vegas 算法，该算法利用 Costa、Harvey 和 Sutherland 的算法的模 p 结果，用于计算完整的 zeta 函数。该算法的预期运行时间被限制在 O(p^{1/2+o(1)}) 内，并在启发式假设下，我们证明了其平均运行时间（在所有输入上）为 O(p^{1/4+o(1)})。我们的提升算法也可以应用于 genus 3 的超椭圆曲线。

英文摘要：

Let $C$ be a smooth plane quartic curve over $\mathbb{Q}$. Costa, Harvey, and Sutherland provide an algorithm with an implementation, improving Harvey's average polynomial-time algorithm, to compute the $\bmod \ p$ reduction of the numerator of the zeta function of $C$ at all $p\leq B$, where $p$ is an odd prime of good reduction, in $O(B\log^{3+o(1)} B)$ time, which is $O(\log^{4+o(1)}p)$ time on average per prime. Alternatively, their algorithm can do this for a single prime $p$ of good reduction in $O(p^{1/2+o(1)})$ time. While this algorithm can be used to compute the full zeta function, no implementation of this step currently exists. In this article, we provide an algorithm and an implementation for the group operation on the Jacobian of $C$ over $\mathbb{F}_p$, where $p$ is an odd prime of good reduction. We provide a Las Vegas algorithm that takes the $\bmod \ p$ result of Costa, Harvey, and Sutherland's algorithm and uses it to compute the full zeta function. The expected running time of the algorithm is bounded by $O(p^{1/4+o(1)})$. Our lifting algorithm can also be applied to hyperelliptic curves of genus 3.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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