Partitioning 3-edge-colored complete equi-bipartite graphs by monochromatic trees under a color degree condition
$r$边有色图$G$的单色树划分数，记为$t_r(G)$，是最小整数$k$，使得只要$G$的边用$r$颜色着色，$G$的顶点最多能被$k$顶点不相交的单色树覆盖.一般来说，确定这个数字是非常困难的。对于2-边着色完全多部图，Kaneko，Kano和Suzuki给出了$t_2(K(n_1,n_2,...,n_k))$的精确值.本文证明了：若K（n，n）是3-边着色的，使得每个顶点的色度为3，则$t_3(K(n,n))=3.$
2008-01-03 math.CO
Edge colorings of graphs without monochromatic stars
本文改进了Hoppen，Kohayakawa和Lefmann关于$n$顶点上的一个图所允许的固定大小的星的最大边着色数的结果.我们的结果依赖于一个改进的应用程序的熵不等式的希勒。
2020-07-01 math.CO
Monochromatic disconnection of graphs
对于边有色图$G$，如果$M$的边着色相同，则称$G$的边割$M$为单色图.图$G$称为单色不连通的，如果图$G$的任意两个不同的顶点被单色边割分开.对于连通图$G$，$G$的单色不连通数（用$md(G)$表示）是使$G$单色不连通所需的最大颜色数。我们将证明几乎所有图的单色不连通数都等于1。我们还得到了$md(G)$的Nordhaus-Gaddum型结果。
2019-11-02 math.CO
Any 2-coloring of the plane contains monochromatic unit rhombuses
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究证明平面任意二染色必含同色单位边非单位对角线菱形，回应了Axenovich等人问题。
2026-04-16 math.CO
Linear-time algorithm for vertex 2-coloring without monochromatic triangles on planar graphs
在没有单色三角形的2-着色问题（或三角树2-着色）中，简单，连通，无向图的顶点被着色为“黑”或“白”，使得没有3个相互相邻的顶点具有相同的颜色。在本文中，我们肯定地回答了在我们以前的工作中提出的问题，即，是否存在一个算法解决平面图上的2-着色没有单色三角形线性时间复杂度。
2021-10-09 cs.DS math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-colored bipartite graphs
Gyárfás和Lehel以及独立的Faudree和Schelp证明了在$K_{n,n}$的边的任何2-着色中，至少在$2\lceil n/2\rceil$顶点上存在一条单色路，并且这是紧的。我们证明了这个结果的一个稳定性版本，即使主机图是不完整的;也就是说，如果$G$是$2n$顶点上的平衡二部图，其最小度至少为$(3/4+o(1))n$，则在$G$的边的每一个2-着色中，或者在至少$(1+o(1))n$顶点上存在单色圈，或者$G$的着色接近于极值着色--在这种情况下，$G$在至少$2\lceil n/2\rceil$顶点上具有单色路径，并且在至少$2\lfloor n/2\rfloor$顶点上具有单色循环。此外，我们确定了一个渐近紧界的最长单色圈的长度在2色平衡二部图的$2n$顶点的最小程度$δn$所有$0\leq δ\leq 1$。
2018-06-13 math.CO
Monochromatic Hamiltonian Berge-cycles in colored hypergraphs
证明了对任意固定的r和充分大的n，n阶完全r-一致超图的边的每一个（r - 1）-染色都存在一个单色Hamilton Berge-cycle.本文通过证明对任意固定的r > t >= 2和充分大的n，在Krn的每一个b r-2 / t-1 -边染色中存在一个单色Hamilton t-紧Berge-cycle，证明了该猜想在r-2色（而不是r-1色）下成立.同时，在r = 4（第一个开例）时，给出了该猜想的一个证明.这些结果改进了文献[2，3，4]中已知的结果。
2014-03-12 math.CO
Monochromatic and heterochromatic subgraph problems in a randomly colored graph
设$K_n$是具有$n$顶点的完全图，$c_1, c_2, ..., c_r$是$r$不同颜色的图.假设我们在$c_1, c_2, ..., c_r$中随机均匀地对$K_n$的边缘着色。然后我们得到一个随机图，记为$\mathcal{K}_n^r$。本文研究了$\mathcal{K}_n^r$中几类单色和异色子图的渐近性质。在某些情况下，也得到了精确的门限函数。
2007-11-24 math.CO
A Family of Congruences Modulo 7 for Partitions with Monochromatic Even Parts and Multi--Colored Odd Parts
School of Mathematics, UNSW（新南威尔士大学数学学院）；Department of Mathematics and Statistics, University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学德卢斯分校数学与统计系）
本文推广了Amdeberhan和Merca的整数划分函数a(n)，定义了一个无限族，并通过生成函数和q级数恒等式证明了该族函数满足无穷多个模7同余式。
2026-06-08 math.CO math.NT
Coloring outerplanar graphs and planar 3-trees with small monochromatic components
本文继续研究了图的顶点着色问题，只要每个单色连通分支的基数相对较小，就允许相邻的顶点具有相同的颜色。我们专注于着色与两个和三个可用的颜色，并提出了改进的边界上的单色连通组件的大小为两个有意义的子类的平面图，即最大outerplanar图和完整的平面3-树。
2019-11-25 cs.DS math.CO
Coloring the Real Line with Monochromatic Intervals
设D是正实数的有限集。距离图G（R，D）是顶点集为R（实数集）且两个顶点x，y相邻的图，如果|X-Y|属于D。证明了：对每一个正整数t>1，存在一个距离集D，使得G（R，D）的色数为t，且G（R，D）的t色真染色不允许单色区间.这一结果否定了[2]中的一个猜想。
2016-08-19 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for monochromatic $K_4^{+}$ or $K_{3}$
Gallai $k$ -染色是不含彩虹三角形的完全图的$k$ -边染色.对于两个给定的图$H, G$和具有该$s\leq k$的两个正整数$k,s$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: s\cdot H,~ (k-s)\cdot G)$是最小整数$n$，使得每个Gallai $k$着色的$K_{n}$包含由第一$s$颜色之一着色的$H$的单色副本或由其余$k-s$颜色之一着色的$G$的单色副本。本文确定了当$H=K_{4}^{+}$和$G=K_{3}$满足时的Gallai-Ramsey数.从而得到了Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: K_{4}^{+})$。
2020-07-04 math.CO
Any two-coloring of the plane contains monochromatic 3-term arithmetic progressions
本文证实了Erdős等人关于平面二着色猜想的一个自然开放情形，证明了平面的任何二着色都包含任意3项等差数列的单色全等副本。
2024-07-22 math.CO
Enumeration of monochromatic three term arithmetic progressions in two-colorings of cyclic groups
拉姆齐理论中最困难的问题之一是确定元素被着色的群中单色等差数列的存在性。我们研究更难的问题，不仅要确定单色等差数列的存在性，而且还要计算它们。我们重新制定的枚举在真正的代数几何，然后使用最先进的半定规划和表示论的计算方法，以获得尖锐的，或明确的常数从尖锐的，下界的循环群的任何顺序。
2014-11-10 math.CO
Non-Monochromatic and Conflict-Free Coloring on Tree Spaces and Planar Network Spaces
众所周知，在$\mathbb{R}^1$中的任何n个区间的集合允许两种颜色的非单色着色和三种颜色的无冲突着色。我们调查的推广，这一结果着色的对象在更复杂的1维空间，即所谓的树空间和平面网络空间。
2018-05-07 cs.CG cs.DM math.CO
Monochromatic disconnection: Erdős-Gallai-type problems and product graphs
对于边有色图$G$，如果$M$的边着色相同，则称$G$的边割$M$为单色图.图$G$称为单色不连通的，如果图$G$的任意两个不同的顶点被单色边割分开.连通图$G$的单色不连通数，记为$md(G)$，是使$G$单色不连通的最大颜色数。本文解决了单色不连通的Erdens-Gallai型问题，给出了四种图积的单色不连通数，即笛卡尔积、强积、字典积和张量积。
2020-09-10 math.CO
The half-monochromatic colorings of plane graphs with even polygonal faces
Nihon University（日本大学）
本文研究了平面图中偶多边形面的半单色着色问题，给出了基于独立数的着色颜色数上界。
2026-02-23 math.CO math.GT
A 2-coloring of [1,n] can have (n^2)/22 + O(n) monochromatic Schur triples, but not less!
我们证明了[1，n]的2-着色所能具有的单色Schur三元组的最小数量（渐近）是（n^2）/22 + O（n）.这是由Tomasz Schoen独立解决的。
1998-08-12 math.CO math.LO
Enumeration of monochromatic three term arithmetic progressions in two-colorings of any finite group
群着色中单色等差数列的存在性问题是一个极具挑战性的问题。许多定理只适用于阿贝尔群，因为非阿贝尔群的结果往往更难获得。在这个研究项目中，我们不仅确定存在性，而且研究更一般的计数问题。我们制定的计数问题作为一个问题，在真正的代数几何，然后使用最先进的计算方法在半定规划和表示论推导出的数量的下界单色等差数列在任何有限群。
2014-11-10 math.CO
Coloring so that no Pythagorean Triple is Monochromatic
我们解决了勾股方程a^2+b^2=c^2的“分割正则性”问题;特别是，自然数是否可以被赋予2-着色，使得没有勾股三元组（即，方程的解）是单色的？我们证明了勾股三元组超图不可能包含Steiner三元系，这是2-可染性的一个自然障碍。然后，在将问题转化为关于3-CNF可满足性的问题并应用一些约简之后，使用SAT求解器来找到{1，...，7664}。工作继续，因为我们寻求改善的减少和扩展的计算。
2015-05-09 cs.DM cs.LO math.CO
Vertex-monochromatic connectivity of strong digraphs
强有向图$D$的顶点染色是\emph{strong vertex-monochromatic connection coloring (SVMC-coloring)}，如果对于$D$中的每对$u, v$，都存在一条内部顶点都是同色的$(u,v)$ -路.令$smc_v(D)$表示有向图$D$的SVM-染色中使用的最大颜色数。当$D$是有向图的线图时，本文确定了$smc_v(D)$的值.另外，如果$T$是一个锦标赛，我们给出了条件，找到确切的值的$smc_v(T)$。
2019-02-26 math.CO
Unrolling residues to avoid progressions
我们考虑用$r$颜色着色$[n]={1,2,...,n}$以最小化单色$k$项等差数列（或简称$k$ -AP）的数目的问题。我们展示了如何通过一个展开过程将$\mathbb{Z}_m$的着色扩展到$[n]$的着色，从而避免了非平凡的$k$-AP。特别地，通过使用残基对$\mathbb{Z}_m$进行着色，我们产生了最佳已知的着色，用于最小化单色$k$-AP的数量，用于对$r$和$k$的几个小值用$r$颜色进行着色.
2012-09-12 math.CO math.NT
Coloring planar graphs with three colors and no large monochromatic components
证明了一个函数$f :\mathbb{N} \to \mathbb{N}$的存在性，使得每个可平面图的顶点都是3-着色的，并且使得每个单色分量至多有$Δ$顶点.这是最好的可能性（颜色的数量不能减少，对最大程度的依赖不能避免），并回答了Kleinberg，Motwani，Raghavan和Venkatasubramanian在1997年提出的问题。我们的结果扩展到有界亏格的图。
2014-04-08 cs.DM math.CO
Large monochromatic components in colorings of complete hypergraphs
本文研究完全超图着色中最大单色连通分量的大小，推广了图论中的经典问题，给出了紧至$1+o(1)$因子的上下界，并探讨了顶点$s$-集合计数及两色特殊情形。
2023-12-24 math.CO
Monochromatic Regular Polygons in finitely colored $\mathbb{Z}_2 *\mathbb{Z}_2 *\mathbb{Z}_2$
证明了对群$\mathbb{Z}_2 *\mathbb{Z}_2 *\mathbb{Z}_2$的任意有限着色和任意正整数$k$，在$\mathbb{Z}_2 *\mathbb{Z}_2 *\mathbb{Z}_2$中总存在一个关于标准生成集诱导的字长度量的单色正则$k$ -边形，并估计了其边长.
2018-07-25 math.CO math.DS
Proper vertex-pancyclicity of edge-colored complete graphs without joint monochromatic triangles
在边着色图$(G,c)$中，$d^c(v)$表示与$G$的顶点$v$关联的边上的颜色数，$δ^c(G)$表示$d^c(v)$在所有顶点$v\in V(G)$上的最小值.如果$(G,c)$的循环的任何两个相邻边具有不同的颜色，则该循环被称为真循环。一个$n\geq 3$的顶点被边着色，如果对于每个$\ell$，$(G,c)$的每个顶点都包含在一个长度为$\ell$的真圈中，并且$(G,c)$的每个顶点都有$3 \le \ell \le n$ . Fujita和Magnant证明了$n\geq 3$顶点上的边着色完全图都是点泛圈图，且其顶点数为$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$. Chen，Huang和Yuan通过增加一个额外的条件，即$(G,c)$不包含任何单色三角形，部分地解决了这个猜想。在本文中，我们证明了这个猜想是正确的，如果边着色完全图不包含联合单色三角形。
2020-07-28 math.CO
Variations on Ramsey numbers and minimum numbers of monochromatic triangles in line $2$-colorings of configurations
本文探索了拉姆齐数与单色化配置中单色三角形的最小数变体，通过定义线2-着色配置并计算具体对称示例，扩展并完善了相关图论理论。
2024-04-26 math.CO
Monochromatic vertex-disconnection of graphs
设G是一个点-有色图。如果图G的一个点割S的顶点着色相同，则称S为单色点割。一个图G是单色点不连通的，如果G的任何两个不相邻的顶点有一个单色点割将它们分开。图G的单色顶点不连通数mvd（G）是使图G单色顶点不连通的最大颜色数。本文研究了图的参数之间的关系：mvd（G），连通度和块分解。我们确定了一些著名图的mvd（G）的值，并在n-5 \leq mvd（G）\leq n且G的所有块都是极小2-连通无三角形图时刻画了G.我们得到了满足mvd（G）=k的图G的最大尺寸.进一步，我们研究了mvd（G）的Erdens-Gallai型结果，并完全解决了它们.最后，我们给出了一个计算mvd（G）的算法，并给出了G的mvd-染色。
2022-04-09 math.CO
Total monochromatic connection of graphs
一个图被称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。全着色图中的路径是{ \it全单色路径}，如果路径上的所有边和内部顶点具有相同的颜色。一个图的全染色是一个{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点由图的全单色路连通。对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，记为$tmc(G)$，定义为在$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。这些概念的灵感来自连通图$G$的单色连接数$mc(G)$、单色顶点连接数$mvc(G)$和全彩虹连接数$trc(G)$的概念。令$l(T)$表示树$T$的叶子数，并且令$l(G)=\max\{ l(T) | $ $T$是连通图$G$的$G$ $\}$的生成树。本文证明了存在许多图$G$使得$tmc(G)=m-n+2+l(G)$，并且证明了对几乎所有的图$G$，$tmc(G)=m-n+2+l(G)$成立.进一步，我们将$tmc(G)$与$mvc(G)$和$mc(G)$分别进行了比较，得到了存在图$G$使得$tmc(G)$不小于$mvc(G)$，反之亦然，并且$tmc(G)=mc(G)+l(G)$对几乎所有的图都成立.最后，证明了$tmc(G)\leq mc(G)+mvc(G)$和等式成立当且仅当$G$是完全图.
2016-01-13 math.CO
The (vertex-)monochromatic index of a graph
边着色图$H$中的树$T$称为\emph{monochromatic tree}，如果$T$的所有边具有相同的颜色.对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的\emph{monochromatic $S$-tree}是包含$S$的顶点的$H$的单色树。对于连通图$G$和给定的整数$k$，$G$的\emph{$k$-monochromatic index $mx_k(G)$}是所需的最大颜色数，使得对于$k$顶点的每个子集$S\subseteq V(G)$，存在单色$S$ -树。本文证明了对任意连通图$G$，对每个PDMATHAMT有$mx_k(G)=|E(G)|-|V(G)|+2$，使得$3\leq k\leq |V(G)|$ .顶点着色图$H$中的树$T$称为\emph{vertex-monochromatic tree}，如果$T$的所有内部顶点具有相同的颜色.对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的\emph{vertex-monochromatic $S$-tree}是包含$S$的顶点的$H$的顶点单色树。对于连通图$G$和给定的整数$2\leq k\leq |V(G)|$，$G$的\emph{$k$-monochromatic vertex-index $mvx_k(G)$}是所需的最大颜色数，使得对于$k$顶点的每个子集$S\subseteq V(G)…
2016-03-19 math.CO
On the distribution of monochromatic complete subgraphs and arithmetic progressions
作为统计拉姆齐理论问题，我们研究了（1）完全图的边2-染色上的单色完全子图和（2）区间2-染色上的单色等差数列的个数分布.我们提出了令人信服的证据，这两种分布是非常好的近似Delaporte分布。
2018-01-18 math.CO
Monochromatic boxes in colored grids
$d$维网格是一组形式为$R = [a_1] \times ... \times [a_d]$的网格. $d$维盒是一个形式为$\{b_1,c_1\} \times ... \times \{b_d,c_d\}$的集合.当网格是$c$颜色时，它必须容纳单色框吗？如果是这样，我们说$R$是$c$保证的。这个问题是对范德瓦尔登数边界攻击的放松，也是一个自然的超图Ramsey问题（即超八面体的Ramsey数）。给出了$R$为$c$ -保的$a_i$上渐近紧的条件，并分析了最小$c$ -保的网格集.
2008-10-16 math.CO
Large monochromatic components in almost complete graphs and bipartite graphs
Gyárfas证明了每一个着色的边缘$K_n$与$t+1$颜色包含一个单色连通组件的大小至少$n/t$。后来，Gyárfás和Sárközy询问了$γ=γ(t)$的哪些值对于几乎完全图是加强的：如果$G$是一个$n$ -顶点图，其最小度至少为$(1-γ)n$，则$G$的每个$(t+1)$ -边着色包含一个大小至少为$n/t$的单色分量。我们证明了$γ= 1/(6t^3)$是足够的，改进了DeBiasio、Krueger和Sárközy的结果。
2020-08-27 math.CO
Large Monochromatic Components of Small Diameter
Gyárfás在2011年提出，每个$r$ -边色$K_n$包含一个单色分量，其直径至少在$n/(r-1)$顶点上有界（“也许是三个”）。Letzter用直径4证明了这个猜想。本文改进了$r=3$情形下的结果：证明了在$K_n$的每个$3$ -边染色中，要么在至少$n/2$顶点上存在直径至多为3的单色分量，要么每个色类都是生成的且直径至多为4.
2021-09-10 math.CO
Large almost monochromatic subsets in hypergraphs
我们发现，对于所有的$\ell$和$ε>0$有一个恒定的$c=c(\ell,ε)>0$，使每个$\ell$着色的三元组的$N$元素集包含一个子集$S$的大小$c\sqrt{\log N}$，使至少$1-ε$分数的三元组的$S$具有相同的颜色。这一结果与常数$c$紧密相关，并回答了Erdens和Hajnal在1989年提出的关于超图的差异的一个开放问题.对于$\ell \geq 4$颜色，已知存在$N$元素集的三元组的$\ell$ -着色，该$N$元素集的最大单色子集仅具有基数$Θ(\log \log N)$。因此，我们的结果表明，最大几乎单色子集的$\ell$着色的三元组必须包含的是远远大于相应的单色子集。这与图形形成鲜明对比，在图形中，这两个量具有相同的数量级。为了证明我们的结果，我们得到了完全多部3-一致超图的$\ell$ -色Ramsey数的一个新的上界，它回答了Erdés和Hajnal的另一个公开问题.
2009-01-25 math.CO
Monochromatic products and sums in the rationals
证明了在有理数的任意有限多色着色中，必存在某种颜色包含由非零 $x$ 和 $y$ 构成的形如 $\{x,y,xy,x+y\}$ 的集合。
2022-10-21 math.CO math.DS math.LO
Optimization Tools for Computing Colorings of $[1,\cdots ,n]$ with Few Monochromatic Solutions on $3$-variable Linear Equations
本文借助整数优化与半定优化工具，构造三变量非正则齐次线性方程的最优或近最优二着色，并将 Schur 方程的结果推广到多色情形。
2024-10-29 math.CO
Monochromatic graph decompositions and monochromatic piercing inspired by anti-Ramsey colorings
本研究作为反拉姆齐理论相关三部曲的终篇，针对任意图和图族定义两类推广函数，开发方法推导其渐近紧结果，拓展了反拉姆齐着色的研究范畴。
2025-01-16 math.CO
Monochromatic polynomial sumset structures on $\mathbb{N}$
School of Mathematical Sciences, Xiamen University（厦门大学数学科学学院）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
本文研究了自然数上多项式求和结构的单色存在性，证明了在任意2色着色下，存在特定大小的集合满足加法结构条件。
2026-01-18 math.CO math.DS math.NT
Rainbow and monochromatic circuits and cuts in binary matroids
给定一个拟阵及其基集的一个着色，如果它的元素中没有两个元素具有相同的颜色，则它的元素的子集称为彩虹色。证明了如果秩为$r$的二元拟阵完全用$r$的颜色着色，则$M$要么包含彩虹色回路，要么包含单色割.由于二元拟阵的类在取下是闭的，这直接意味着如果$M$完全用$n-r$颜色着色，则$M$要么包含彩虹色切割，要么包含单色回路。作为一个副产品，我们给出了一个特征的二进制拟阵方面的减少分区拟阵。受Bérczi等人的猜想启发，本文还分析了二元拟阵的覆盖数与其任意彩虹无圈着色中的最大色数或色类的最大尺寸之间的关系。对于简单的图形拟阵，我们发现，存在一个彩虹无回路着色，使用每种颜色最多两次，只有当图是$(2,3)$ -稀疏，即它是独立的$2$维刚性拟阵。此外，我们给出了一个完整的刻画极小刚性图允许这样的染色。
2021-09-01 cs.DM math.CO
Two-colorings of normed spaces without long monochromatic unit arithmetic progressions
该研究构造了配备最大度量的n维欧氏空间的二染色，证明满足特定间距与直径条件的有限实数集无单色等距拷贝，并推论任意赋范空间可二染色使足够长的单位等差数列含双色点。
2022-11-24 math.CO math.MG
Monochromatic Subgraphs in Randomly Colored Graphons
设$T(H, G_n)$是固定连通图$G_n$的顶点均匀随机着色的单色副本数。当$\{G_n\}_{n \geq 1}$是稠密图的收敛序列时，本文给出了$T(H, G_n)$的极限分布的一个完整刻画.当颜色的数量增长到无穷大时，取决于期望值是否保持有界，$T(H, G_n)$要么收敛到独立泊松变量的有限线性组合，要么收敛到正态分布。另一方面，当颜色的数量固定时，$T(H, G_n)$收敛到独立中心卡方随机变量的（可能无限的）线性组合。这将经典的生日问题推广到网络中的一般单色子图，该问题涉及理解$T(K_s, K_n)$的渐近性，即完全图$K_n$中单色$s$ -团的数量（$s$ -在一组$n$朋友中匹配生日）。
2021-03-02 math.CO math.PR
Sharp Same-Color Cycle Covers in Two-Colored Complete Graphs
Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈阿斯联邦大学）
该研究将Erdős与Gyárfás的单色路径覆盖猜想推广到单色环覆盖，证明n顶点完全图的任意2边着色都存在至多⌈√n⌉个同色单色环覆盖所有顶点，且该界阶最优、向上取整对无穷多n必要。
2026-08-28 math.CO
Covering complete $r$-partite hypergraphs with few monochromatic components
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文证明了在特定条件下，通过少量单色组件可以覆盖完整的$r$-部超图，解决了Gyárfás和Király的猜想，并给出了二分图的覆盖结论。
2026-03-05 math.CO
A note on the $k$-defect number: Vertex Coloring with a Fixed Number of Monochromatic Edges
University of the Witwatersrand（威特沃特斯兰德大学）；Albany State University（奥尔巴尼州立大学）
本文提出k-缺陷数概念，用于研究具有固定数量单色边的顶点着色问题，并扩展了色数的性质。
2026-03-01 math.CO
On the minimum number of monochromatic solutions to the strict Schur inequality in 2-colored integer intervals with negative left endpoint
Yokohama National University（横滨国立大学）；Qinghai Normal University（青海师范大学）；Tianjin Chengjian University（天津城建大学）
本文研究了在负左端点的2染色整数区间中严格Schur不等式解的最小数量，解决了k≤-2的情况。
2026-04-06 math.CO
Finding Large Monochromatic Diameter Two Subgraphs
给定n个顶点上的完全图的边的k种颜色的着色，通过考虑任意顶点的邻域，得出在至少1+（n-1）/k个顶点上存在单色直径为2的子图.我们表明，$k \ge 3$这是渐近最佳可能的，并且对于k=2，总是有一个单色直径两个子图上至少$\lceil {3 \over 4} n \rceil$顶点，这再次，是最佳可能的。
1999-08-30 math.CO
Extremal graphs and classification of planar graphs by MC-numbers
连通图$G$的边染色称为{ \em单色连通染色}（简称MC-染色），如果$G$的任意两个顶点通过$G$中的单色路连通.对于连通图$G$，$G$的{ \em单色连接数}（简称MC数），记为$mc(G)$，是使用该颜色数时，保证$G$具有单色连接着色的最大颜色数。这个概念是由Caro和Yuster在2011年提出的。他们证明了如果$G$不是$k$ -连通图，则$mc(G)\leq m-n+k$.在本文中，如果$G$是$k$ -连通图，但不是$(k+1)$ -连通图，我们用$mc(G)=m-n+k+1$和$mc(G)= m-n+k$刻画了所有图.我们还证明了$mc(G)\leq m-n+4$如果$G$是一个平面图，并分类所有的可平面图的单色连通数。
2020-10-14 math.CO
High girth hypergraphs with unavoidable monochromatic or rainbow edges
Erdens和Hajnal的一个经典结果是：对任意整数$k, r, g \geq 2$，存在围长至少为$g$且色数至少为$k$的$r$ -一致超图.这意味着存在稀疏超图，使得在其顶点的任何着色中，至多有$k-1$颜色，存在单色超边。证明了对任意整数$r, g\geq 2$，存在周长至少为$g$的$r$ -一致超图，使得其顶点的任意着色都有单色边或彩虹边.我们给出了一个概率和确定性证明这一结果。
2016-08-17 math.CO
A property on monochromatic copies of graphs containing a triangle
本文证明了每个包含$K_3$且至少有四条边的图都不是strongly common，推广了Jagger等人关于包含$K_4$的图不是common的著名定理。
2023-04-10 math.CO
On minimal colorings without monochromatic solutions to a linear equation
对于环R和线性齐次方程组L，如果L没有单色解，且着色使用尽可能少的颜色，则称R的非零元素的着色对于L是极小的。对于有理数q和正整数n，设E（q，n）表示方程$\sum_{i=0}^{n-2} q^{i}x_i = q^{n-1}x_{n-1}$。本文对方程E（q，3）（q在{3/2，2，3，4}中）、E（2，n）（n在{3，4，5，6}中）和x_1+x_2+x_3=4x_4的非零有理数的极小染色进行了分类。这些结果导致了几个开放的问题和最小着色的实现。
2010-09-21 math.CO
The order of monochromatic subgraphs with a given minimum degree
设$G$是一个图。对于给定的正整数$d$，设$f_G(d)$表示最大整数$t$，使得在$G$的边的每一个双色着色中，都存在最小度至少为$d$且阶至少为$t$的单色子图.对于$n > k > d$，让$f(n,k,d)$表示$f_G(d)$的最小值，其中$G$在所有具有$n$顶点和最小度至少为$k$的图上。在本文中，我们建立$f(n,k,d)$时，$k$或$n-k$是固定的，和$n$是足够大的。我们还考虑了允许两种以上颜色的情况。
2002-12-30 math.CO
Monochromatic cycle covers in random graphs
Erdés，Gyárfás和Pyber的一个经典结果指出，对于$K_n$的边的每一个用$r$颜色着色，存在至多由$f(r) = O(r^2 \log r)$顶点不相交的单色圈集合的顶点覆盖。特别地，这种覆盖循环的最小数目不取决于$K_n$的大小，而仅取决于颜色的数目。我们在$K_n$被随机图$\mathcal G(n,p)$取代的情况下开始研究这种现象。给定一个固定的整数$r$和$p =p(n) \ge n^{-1/r + \varepsilon}$，我们证明了随机图$G \sim \mathcal G(n,p)$具有这样的性质：对于$G$边的每一个$r$ -着色，都有一个覆盖$G$所有顶点的$f'(r) = O(r^8 \log r)$单色圈的集合.我们在$p$上的界在以下意义上接近最优：如果是$p\ll (\log n/n)^{1/r}$，则很有可能存在$G\sim\mathcal G(n,p)$的着色，使得覆盖$G$的所有顶点所需的单色循环的数量随着$n$而增长。
2018-07-17 math.CO
On the monochromatic Schur Triples type problem
本文讨论了Ronald Graham提出的一个问题，即在$[1,n]$的所有2-着色上，对于$a \geq 1$，单色$\{x,y,x+ay\}$三元组的最小数目.本文给出了$a=1$原情形的一个新的证明。我们表明，这样的三元组的最小数目是最多$\frac{n^2}{2a(a^2+2a+3)} + O(n)$时，$a \geq 2$。我们还找到了一个新的上限的最小数目，在所有$r$ -着色的$[1,n]$，单色舒尔三元组，$r \geq 3$。
2016-09-28 math.CO
