Monochromatic connected matchings in 2-edge-colored multipartite graphs
图$G$中的匹配$M$是连通的，如果$M$的所有边都在$G$的相同分量中。继Jubuczak之后，已经有许多结果使用簇图中关于大图的规则划分的大连通匹配的存在性来证明这些图中存在长路径和其他结构。证明了$2$ -边着色多部图中单色连通匹配的大小的Ramsey型精确界。此外，我们证明了这样的匹配的稳定性定理。
2021-10-13 math.CO
Monochromatic and heterochromatic subgraph problems in a randomly colored graph
设$K_n$是具有$n$顶点的完全图，$c_1, c_2, ..., c_r$是$r$不同颜色的图.假设我们在$c_1, c_2, ..., c_r$中随机均匀地对$K_n$的边缘着色。然后我们得到一个随机图，记为$\mathcal{K}_n^r$。本文研究了$\mathcal{K}_n^r$中几类单色和异色子图的渐近性质。在某些情况下，也得到了精确的门限函数。
2007-11-24 math.CO
Decompositions of edge-colored infinite complete graphs into monochromatic paths
图或超图$G=(V,E)$的$r$ -边染色是映射$c:E\to \{0, \dots, r-1\}$ .推广了Rado的结果，回答了Rado，Gyárfás和Sárközy的问题，证明了（1.）每个$r$ -边着色的可数无限完全$k$ -一致超图的顶点集可被划分为具有不同颜色的$r$单色紧路（$k$ -一致超图中的紧路是不同顶点的序列，使得每个$k$连续顶点的集合形成边），（2.）对于所有自然数$r$和$k$，存在一个自然数$M$，使得每个$r$ -边着色的可数无限完全图的顶点集可以被划分为除有限集之外的路径的$M$单色$k^{th}$幂（路径的$k^{th}$幂是不同顶点的序列$v_0, v_1, \dots$，使得$1\le|i-j| \le k$暗示$v_iv_j$是边），（3）每个$2$ -边着色的可数无限完全图的顶点集都可以划分为$4$单色路平方，但不一定划分为$3$，（4）$ω_1$上的每个$2$ -边着色完全图的顶点集都可以被划分为具有不同颜色的$2$单色路.
2016-01-06 math.CO
Proper vertex-pancyclicity of edge-colored complete graphs without joint monochromatic triangles
在边着色图$(G,c)$中，$d^c(v)$表示与$G$的顶点$v$关联的边上的颜色数，$δ^c(G)$表示$d^c(v)$在所有顶点$v\in V(G)$上的最小值.如果$(G,c)$的循环的任何两个相邻边具有不同的颜色，则该循环被称为真循环。一个$n\geq 3$的顶点被边着色，如果对于每个$\ell$，$(G,c)$的每个顶点都包含在一个长度为$\ell$的真圈中，并且$(G,c)$的每个顶点都有$3 \le \ell \le n$ . Fujita和Magnant证明了$n\geq 3$顶点上的边着色完全图都是点泛圈图，且其顶点数为$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$. Chen，Huang和Yuan通过增加一个额外的条件，即$(G,c)$不包含任何单色三角形，部分地解决了这个猜想。在本文中，我们证明了这个猜想是正确的，如果边着色完全图不包含联合单色三角形。
2020-07-28 math.CO
Monochromatic boxes in colored grids
$d$维网格是一组形式为$R = [a_1] \times ... \times [a_d]$的网格. $d$维盒是一个形式为$\{b_1,c_1\} \times ... \times \{b_d,c_d\}$的集合.当网格是$c$颜色时，它必须容纳单色框吗？如果是这样，我们说$R$是$c$保证的。这个问题是对范德瓦尔登数边界攻击的放松，也是一个自然的超图Ramsey问题（即超八面体的Ramsey数）。给出了$R$为$c$ -保的$a_i$上渐近紧的条件，并分析了最小$c$ -保的网格集.
2008-10-16 math.CO
The absence of monochromatic triangle implies various properly colored spanning trees
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
研究探讨了在无单色三角形的完全图中存在适当着色生成树的条件，证明了星型树的猜想，并探讨了相关Ramsey数的量化估计。
2024-04-15 math.CO
Partitioning 2-edge-colored graphs by monochromatic paths and cycles
给出了$2$ -边-有色图的顶点划分为单色路和圈的结果.我们渐近地证明了Sárközy猜想的双色情形：每个$2$ -边着色图的顶点集最多可划分为$2α(G)$单色圈，其中$α(G)$表示$G$的独立数.另一个方向，最近出现的一个猜想Schelp，是考虑着色的图与给定的最低程度。证明了除$o(|V(G)|)$顶点外，任何最小度至少为$(1+\eps){3|V(G)|\over 4}$的$2$ -边着色图$G$的顶点集都能被两个顶点不相交的不同颜色单色圈的顶点所覆盖.最后，在假设$\overline{G}$不包含固定二部图$H$的条件下，证明了在$G$的每一个$2$ -边染色中，$|V(G)|-c(H)$顶点可以被两条不同颜色的顶点不相交路覆盖，其中$c(H)$是一个只依赖于$H$的常数.特别是，我们证明了$c(C_4)=1$，这是最好的可能。
2015-09-18 math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-colored bipartite graphs
Gyárfás和Lehel以及独立的Faudree和Schelp证明了在$K_{n,n}$的边的任何2-着色中，至少在$2\lceil n/2\rceil$顶点上存在一条单色路，并且这是紧的。我们证明了这个结果的一个稳定性版本，即使主机图是不完整的;也就是说，如果$G$是$2n$顶点上的平衡二部图，其最小度至少为$(3/4+o(1))n$，则在$G$的边的每一个2-着色中，或者在至少$(1+o(1))n$顶点上存在单色圈，或者$G$的着色接近于极值着色--在这种情况下，$G$在至少$2\lceil n/2\rceil$顶点上具有单色路径，并且在至少$2\lfloor n/2\rfloor$顶点上具有单色循环。此外，我们确定了一个渐近紧界的最长单色圈的长度在2色平衡二部图的$2n$顶点的最小程度$δn$所有$0\leq δ\leq 1$。
2018-06-13 math.CO
Monochromatic Hamiltonian Berge-cycles in colored hypergraphs
证明了对任意固定的r和充分大的n，n阶完全r-一致超图的边的每一个（r - 1）-染色都存在一个单色Hamilton Berge-cycle.本文通过证明对任意固定的r > t >= 2和充分大的n，在Krn的每一个b r-2 / t-1 -边染色中存在一个单色Hamilton t-紧Berge-cycle，证明了该猜想在r-2色（而不是r-1色）下成立.同时，在r = 4（第一个开例）时，给出了该猜想的一个证明.这些结果改进了文献[2，3，4]中已知的结果。
2014-03-12 math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-edge-colored multipartite graphs
我们解决了四个类似的问题：对于每个固定的$s$和大的$n$，我们描述了$n_1,\ldots,n_s$的所有值，使得对于完全$s$ -部图$K_{n_1,\ldots,n_s}$的每个$2$ -边染色，存在单色的（i）具有$2n$顶点的圈$C_{2n}$，（ii）至少具有$2n$顶点的圈$C_{\geq 2n}$，（iii）具有$2n$顶点的路$P_{2n}$，以及（iv）具有$2n+1$顶点的路径$P_{2n+1}$。这意味着Gyárfás，Ruszinkó，Sárkozy和Szemerédi猜想的一个推广，即对于完全$3$ -部图$K_{n,n,n}$的每个$2$ -边染色，都有一条单色路$P_{2n+1}$。一个重要的工具是我们最近的稳定性定理单色连接匹配。
2019-05-12 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for monochromatic $K_4^{+}$ or $K_{3}$
Gallai $k$ -染色是不含彩虹三角形的完全图的$k$ -边染色.对于两个给定的图$H, G$和具有该$s\leq k$的两个正整数$k,s$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: s\cdot H,~ (k-s)\cdot G)$是最小整数$n$，使得每个Gallai $k$着色的$K_{n}$包含由第一$s$颜色之一着色的$H$的单色副本或由其余$k-s$颜色之一着色的$G$的单色副本。本文确定了当$H=K_{4}^{+}$和$G=K_{3}$满足时的Gallai-Ramsey数.从而得到了Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: K_{4}^{+})$。
2020-07-04 math.CO
A 2-coloring of [1,n] can have (n^2)/22 + O(n) monochromatic Schur triples, but not less!
我们证明了[1，n]的2-着色所能具有的单色Schur三元组的最小数量（渐近）是（n^2）/22 + O（n）.这是由Tomasz Schoen独立解决的。
1998-08-12 math.CO math.LO
Monochromatic disconnection of graphs
对于边有色图$G$，如果$M$的边着色相同，则称$G$的边割$M$为单色图.图$G$称为单色不连通的，如果图$G$的任意两个不同的顶点被单色边割分开.对于连通图$G$，$G$的单色不连通数（用$md(G)$表示）是使$G$单色不连通所需的最大颜色数。我们将证明几乎所有图的单色不连通数都等于1。我们还得到了$md(G)$的Nordhaus-Gaddum型结果。
2019-11-02 math.CO
Gallai-Schur Triples and Related Problems
本文在单色-彩虹范式下研究Gallai-Schur三元组，探讨$x\neq y$、$x+y+b=z$和$x+y<z$情形下的Gallai-Schur数，并分析彩虹与单色解数量的渐近最小值。
2025-02-28 math.CO
Exact Lower Bounds for Monochromatic Schur Triples and Generalizations
我们推导出精确的和尖锐的下界的单色广义舒尔三元组$(x,y,x+ay)$的条目是从集合$\{1,\dots,n\}$，受着色与两种不同的颜色。以前，只有渐近公式，这样的界限是已知的，只有$a\in\mathbb{N}$。使用符号计算技术，这些结果在这里推广到任意$a\in\mathbb{R}$。进一步，我们给出了$a=1,2,3,4$的最小单色Schur三元组数的精确公式，并简要讨论了$0<a<1$的情况.
2020-10-12 cs.SC math.CO
Covering 2-colored complete digraphs by monochromatic $d$-dominating digraphs
一个有向图是{\em $d$-支配的}，如果每个至多$d$顶点的集合有一个公共外邻居.对所有整数$d\geq 2$，设$f(d)$是使每个2-边着色（有限或无限）完全有向图（包括环）的顶点至多能被$f(d)$单色$d$-控制子图的顶点覆盖的最小整数.请注意，$f(d)$的存在并不明显--实际上，激发这篇论文的问题仅仅是确定$f(d)$是否有界，即使对于$d=2$也是如此。我们对所有$d\geq 2$都肯定地回答了这个问题，证明了所有$d\ge 3$都有$4\leq f(2)\le 8$和$2d\leq f(d)\le 2d\left(\frac{d^{d}-1}{d-1}\right)$。我们还给出了一个例子来说明，有两个以上的颜色没有类似的界限。我们的结果为关于$d$-退化图的Ramsey数的Burr-Erdés猜想的一个无限类似问题提供了一个肯定的答案.此外，我们的结果的一个特殊情况是相关的$d$-悖论竞赛的性质。
2021-02-25 math.CO
Sharp Same-Color Cycle Covers in Two-Colored Complete Graphs
Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈阿斯联邦大学）
该研究将Erdős与Gyárfás的单色路径覆盖猜想推广到单色环覆盖，证明n顶点完全图的任意2边着色都存在至多⌈√n⌉个同色单色环覆盖所有顶点，且该界阶最优、向上取整对无穷多n必要。
2026-08-28 math.CO
Monochromatic Regular Polygons in finitely colored $\mathbb{Z}_2 *\mathbb{Z}_2 *\mathbb{Z}_2$
证明了对群$\mathbb{Z}_2 *\mathbb{Z}_2 *\mathbb{Z}_2$的任意有限着色和任意正整数$k$，在$\mathbb{Z}_2 *\mathbb{Z}_2 *\mathbb{Z}_2$中总存在一个关于标准生成集诱导的字长度量的单色正则$k$ -边形，并估计了其边长.
2018-07-25 math.CO math.DS
Erdős-Gallai-type results for colorful monochromatic connectivity of a graph
边有色图中的路径称为\emph{monochromatic path}，如果路径上的所有边都着色相同。$G$的边着色是\emph{monochromatic connection coloring}（简称MC-着色），如果在$G$中的任意两个顶点之间有一条单色路连接。\emph{monochromatic connection number}，记作$mc(G)$，定义为图$G$的MC-着色中使用的最大颜色数。这些概念是由Caro和Yuster提出的，他们得到了一些很好的结果。本文研究了$mc(G)$的两类Erdens-Gallai型问题，并完全解决了这两类问题.
2014-12-25 math.CO
Monochromatic connectivity and graph products
单色连通性的概念是由Caro和Yuster提出的。边有色图中的路径称为\emph{monochromatic path}，如果路径上的所有边都着色相同。$G$的边着色是\emph{monochromatic connection coloring}（简称$MC$ -着色），如果在$G$中的任意两个顶点之间有一条单色路连接。用$mc(G)$表示的\emph{monochromatic connection number}被定义为在图$G$的$MC$ -着色中使用的颜色的最大数目。本文研究了字典序积、强积、笛卡尔积和直积图的单色联络数，给出了这些积的几个上界和下界。
2015-05-06 math.CO
On product Schur triples in the integers
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；London School of Economics（伦敦政治经济学院）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文研究了整数中乘积Schur三元组的性质，探讨了在不同环境下避免单色解a+b=c的着色问题。
2025-02-19 math.CO
Monochromatic disconnection: Erdős-Gallai-type problems and product graphs
对于边有色图$G$，如果$M$的边着色相同，则称$G$的边割$M$为单色图.图$G$称为单色不连通的，如果图$G$的任意两个不同的顶点被单色边割分开.连通图$G$的单色不连通数，记为$md(G)$，是使$G$单色不连通的最大颜色数。本文解决了单色不连通的Erdens-Gallai型问题，给出了四种图积的单色不连通数，即笛卡尔积、强积、字典积和张量积。
2020-09-10 math.CO
Large monochromatic components in 3-edge-colored Steiner triple systems
已知在完全$r$ -一致超图的边的任何$r$ -染色中，都存在生成单色分支.给定一个$n$顶点上的Steiner三元系，在边的任意3-着色中可以保证的最大单色分量是什么？Gyárfás证明，$(2n+3)/3$是一个绝对下界，这个下界是最好的可能无限多$n$。另一方面，我们证明了几乎所有的Steiner三元系的下界实际上是$(1-o(1))n$。我们得到这一结果的一个更一般的定理的结果表明，下界取决于一个最大的\emph{3-partite hole}的大小（即，设置$X_1, X_2, X_3$与$|X_1|=|X_2|=|X_3|$，使没有边缘相交的所有$X_1, X_2, X_3$）在施泰纳三元系（Gyárfás以前观察到，上限取决于这个参数）。此外，我们证明了这个下界是紧的，除非着色有一个特定的结构。我们还提出了各种其他拉姆齐问题的设置施泰纳三元系。
2020-02-10 math.CO
Erdős-Gallai-type results for total monochromatic connection of graphs
一个图称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个图的全染色是{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点通过一条路连接，且该路的边和内部顶点具有相同的颜色.对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，用$tmc(G)$表示，定义为$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。本文研究了$tmc(G)$的两类Erdens-Gallai型问题，并完全解决了它们.
2016-12-16 math.CO
Schur's theorem in integer lattices
舒尔定理的一个标准证明是，$\{1,2,\dots,R_r-1\}$的任何$r$ -着色都产生$x+y=z$的单色解，其中$R_r$是经典的$r$ -色拉姆齐数，最小$N$使得在$N$顶点上的完全图的任何$r$ -着色产生单色三角形。我们探讨了这一结果在高维整数格的推广和修改，特别是显示，如果$k\geq d+1$，那么任何$r$ -着色的$\{1,2,\dots,R_r(k)^d-1\}^d$产生一个单色的解决方案，$x_1+\cdots+x_{k-1}=x_k$与$\{x_1,\dots,x_d\}$线性独立，其中$R_r(k)$是类似的拉姆齐数，其中三角形被取代的$k$顶点上的完全图。我们还获得了计算结果和例子的情况下$d=2$，$k=3$，和$r\in\{2,3,4\}$。
2022-06-19 math.CO
From discrete to continuous: Monochromatic 3-term arithmetic progressions
证明了整数$[N] := \{1,2,3,\ldots,N\}$的一个已知的2-着色在一定的限制下使单色算术3-级数的个数最小化。单色等差数列是一组颜色相同的等距整数。Parrilo，Robertson和Saracino以前的工作证明了大型$N$的最佳着色，涉及12个彩色块。在这里，我们证明了该猜想是最佳的反对称染色与12个或更少的彩色块。我们利用连接到连续区间$[0,1]$的着色所使用的Parrilo，罗伯逊，Saracino以及巴特勒，Costello和格雷厄姆。我们的证明识别类的着色与排列，然后计数的排列使用混合整数线性规划。
2023-01-01 math.CO
Monochromatic sums equal to products near zero
Hindman证明了：只要自然数集$\mathbb{N}$是单色的，则方程$a+b=cd$必存在非常数的单色解.本文将这个结果推广到$((0, \infty), +)$的稠密子半群的零附近。
2019-05-02 math.CO
Monochromatic $k$-edge-connection colorings of graphs
边着色图$G$中的路径称为单色的，如果路径上的任意两条边具有相同的颜色。对于$k\geq 2$，边着色图$G$称为单色$k$边连通的，如果$G$的每两个不同的顶点由至少$k$边不相交的单色路连接，而$G$被称为均匀单色$k$ -边连接，如果每两个不同的顶点至少由$k$边连接，不相交的单色路径，使得这些$k$路径的所有边缘用相同的颜色着色。我们分别使用$mc_k(G)$和$umc_k(G)$来表示确保$G$为单色$k$ -边连接和$G$为均匀单色$k$ -边连接的最大颜色数。本文首先猜想，对于任何$k$ -边连通图$G$，$mc_k(G)=e(G)-e(H)+\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$，其中$H$是$G$的最小$k$ -边连通生成子图.我们验证了$k=2$的猜想。证明了当$k\geq4$为偶数时对$G=K_{k+1}$的猜想，当$k\geq4$为偶数时对$G=K_{k,n}$的猜想，以及当$k=3$和$n\geq k$为偶数时对$G=K_{k,n}$的猜想.当$G$是极小$k$ -边连通图时，我们给出了$mc_k(G)$的一个上界，即，$mc_k(G)\leq k-1$，和当$G=K_{k,n}$时的$mc_k(G)\leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$。对于一致单色$k$ -边连通，证明了对所有的$k$，有$umc_k(G)=e(G…
2018-10-28 math.CO
Partitioning random graphs into monochromatic components
Erdás，Gyárfás，and Pyber（1991）证明了每个$r$着色的完全图最多可以被划分为$r-1$单色分量;这是对Lovász（1975）猜想的加强，在Lovász（1975）猜想中，分量只需要形成覆盖。Haxell和Kohayakawa（1995）的一个重要的部分结果表明，对于足够大的$r$ -着色完全图，划分成$r$单色分量是可能的。我们首先将Haxell和Kohayakawa的结果推广到最小度大的图，然后给出了随机图的一些部分类似结果。特别是，我们表明，如果$p\ge \left(\frac{27\log n}{n}\right)^{1/3}$，那么a.a.s.在$G(n,p)$的每个$2$ -着色中，存在分成两个单色分量的分区，并且对于$r\geq 2$，如果$p\ll \left(\frac{r\log n}{n}\right)^{1/r}$，则a.a.s.存在$G(n,p)$的$r$ -着色，使得不存在具有有界分量数的覆盖。最后，我们考虑Gyárfás（1977）关于$r$ -着色完全图中大单色分量的经典结果的随机图形式。我们表明，如果$p=\frac{ω(1)}{n}$，那么a.a.s.在$G(n,p)$的每一个$r$ -着色中，存在阶至少为$(1-o(1))\frac{n}{r-1}$的单色分量。
2017-02-15 math.CO
Monochromatic vertex-disconnection of graphs
设G是一个点-有色图。如果图G的一个点割S的顶点着色相同，则称S为单色点割。一个图G是单色点不连通的，如果G的任何两个不相邻的顶点有一个单色点割将它们分开。图G的单色顶点不连通数mvd（G）是使图G单色顶点不连通的最大颜色数。本文研究了图的参数之间的关系：mvd（G），连通度和块分解。我们确定了一些著名图的mvd（G）的值，并在n-5 \leq mvd（G）\leq n且G的所有块都是极小2-连通无三角形图时刻画了G.我们得到了满足mvd（G）=k的图G的最大尺寸.进一步，我们研究了mvd（G）的Erdens-Gallai型结果，并完全解决了它们.最后，我们给出了一个计算mvd（G）的算法，并给出了G的mvd-染色。
2022-04-09 math.CO
Monochromatic paths and cycles in $2$-edge-colored graphs with large minimum degree
图$G$指向图$H$，如果在$G$的每个$2$ -边着色中存在$H$的单色副本。Schelp的想法，如果完全图$K_n$箭头一个小图$H$，那么每一个“密集”子图的$K_n$也箭头$H$，他概述了一些问题，在这个方向。我们的主要成果就是本着这种精神。本文证明了：对于每一个充分大的$n$，如果$n = 3t+r$（其中$r \in \{0,1,2\}$和$G$是一个具有$δ(G) \ge (3n-1)/4$的$n$ -顶点图），则对于$G$的每一个$2$ -边染色，要么存在同色的每一个长度为$\{3, 4, 5, \dots, 2t+r\}$的圈，要么存在同色的每一个偶数长度为$\{4, 6, 8, \dots, 2t+2\}$的圈.我们的结果是紧的，在这个意义上，不再周期（长度$>2t+r$）可以保证和最小程度的条件不能减少。这也暗示了Schelp的猜想：对于每一个足够大的$n$，每一个最小度大于$3|V(G)|/4$的$(3t-1)$ -顶点图$G$指向具有$2n$顶点的路径$P_{2n}$.此外，它意味着足够大的$n$的猜想由Benevides，Schluczak，Scott，Skokan和白色的$n=3t+r$，其中$r \in \{0,1,2\}$和每个$n$ -顶点图$G$与$δ(G) \ge 3n/4$，在每个$2$ -边着色的$G$存在一个单色循环的长度至少$2t+r…
2021-05-25 math.CO
Total monochromatic connection of graphs
一个图被称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。全着色图中的路径是{ \it全单色路径}，如果路径上的所有边和内部顶点具有相同的颜色。一个图的全染色是一个{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点由图的全单色路连通。对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，记为$tmc(G)$，定义为在$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。这些概念的灵感来自连通图$G$的单色连接数$mc(G)$、单色顶点连接数$mvc(G)$和全彩虹连接数$trc(G)$的概念。令$l(T)$表示树$T$的叶子数，并且令$l(G)=\max\{ l(T) | $ $T$是连通图$G$的$G$ $\}$的生成树。本文证明了存在许多图$G$使得$tmc(G)=m-n+2+l(G)$，并且证明了对几乎所有的图$G$，$tmc(G)=m-n+2+l(G)$成立.进一步，我们将$tmc(G)$与$mvc(G)$和$mc(G)$分别进行了比较，得到了存在图$G$使得$tmc(G)$不小于$mvc(G)$，反之亦然，并且$tmc(G)=mc(G)+l(G)$对几乎所有的图都成立.最后，证明了$tmc(G)\leq mc(G)+mvc(G)$和等式成立当且仅当$G$是完全图.
2016-01-13 math.CO
Counting patterns in colored orthogonal arrays
设$S$是一个正交数组$OA(d,k)$，$c$是它的基集$X$的$r$ -染色.我们给出了一个组合恒等式，它将$S$中的向量数与$c$下给定的颜色模式与颜色类的基数联系起来。几个应用程序的身份被认为是。其中，我们证明了整数区间$[1,n]$的每一个均匀$r$ --染色至少有$1/2(n/r)^2+O(n)$单色Schur三元组。我们还表明，在一个正交表$OA(d,d-1)$，单色矢量的每种颜色的数量只取决于错过该颜色的矢量的数量和颜色类的基数。
2011-04-01 math.CO
Monochromatic Subgraphs in Randomly Colored Graphons
设$T(H, G_n)$是固定连通图$G_n$的顶点均匀随机着色的单色副本数。当$\{G_n\}_{n \geq 1}$是稠密图的收敛序列时，本文给出了$T(H, G_n)$的极限分布的一个完整刻画.当颜色的数量增长到无穷大时，取决于期望值是否保持有界，$T(H, G_n)$要么收敛到独立泊松变量的有限线性组合，要么收敛到正态分布。另一方面，当颜色的数量固定时，$T(H, G_n)$收敛到独立中心卡方随机变量的（可能无限的）线性组合。这将经典的生日问题推广到网络中的一般单色子图，该问题涉及理解$T(K_s, K_n)$的渐近性，即完全图$K_n$中单色$s$ -团的数量（$s$ -在一组$n$朋友中匹配生日）。
2021-03-02 math.CO math.PR
3-colored asymmetric bipartite Ramsey number of connected matchings and cycles
令$k,l,m$为整数，并且$r(k,l,m)$为最小整数$N$，使得对于$K_{N,N}$的任何红-蓝-绿着色，在组件中存在大小至少为$k$的红色匹配，或者在组件中存在大小至少为$l$的蓝色匹配，或者在组件中存在大小至少为$m$的绿色匹配。本文完全确定了$r(k,l,m)$的精确值。应用一种技术起源于Zuuczak，应用Szemerédi的正则引理，以减少问题的存在，显示一个单色的循环，以显示存在的单色匹配的一个组件，我们获得了3色不对称的二分拉姆齐数的循环渐近。
2018-09-18 math.CO
Algorithm for monochromatic vertex-disconnection of graphs
设G是一个点-有色图。我们称G的一个点割S为单色点割，如果S的顶点着色相同。如果图G的任意两个不相邻的顶点之间有一个单色割，则称图G是单色点不连通的。图G的单色顶点不连通数mvd（G）是使图G单色顶点不连通的最大颜色数。本文提出了一个计算mvd（G）的算法，并给出了图G的mvd-染色。我们运行这个算法用Java编写的例子。代码的主要部分在附录B中显示，完全码在Github上给出：https://github.com/fumiaoT/mvd-coloring.git。其次，受局部化原理的启发，我们对几类特殊的图类得到了mvd（G）的一个上界。另外，当mvd（G）很大且G的所有块都是极小2-连通无三角形图时，我们刻画了G。在此基础上，我们证明了：任何图的块都是小阶极小2-连通图的图，都可以在多项式时间内计算出mvd（G）并给出mvd-染色.
2021-12-01 math.CO
Rainbow and monochromatic circuits and cuts in binary matroids
给定一个拟阵及其基集的一个着色，如果它的元素中没有两个元素具有相同的颜色，则它的元素的子集称为彩虹色。证明了如果秩为$r$的二元拟阵完全用$r$的颜色着色，则$M$要么包含彩虹色回路，要么包含单色割.由于二元拟阵的类在取下是闭的，这直接意味着如果$M$完全用$n-r$颜色着色，则$M$要么包含彩虹色切割，要么包含单色回路。作为一个副产品，我们给出了一个特征的二进制拟阵方面的减少分区拟阵。受Bérczi等人的猜想启发，本文还分析了二元拟阵的覆盖数与其任意彩虹无圈着色中的最大色数或色类的最大尺寸之间的关系。对于简单的图形拟阵，我们发现，存在一个彩虹无回路着色，使用每种颜色最多两次，只有当图是$(2,3)$ -稀疏，即它是独立的$2$维刚性拟阵。此外，我们给出了一个完整的刻画极小刚性图允许这样的染色。
2021-09-01 cs.DM math.CO
A Schur-type addition theorem for primes
假设所有的素数都有k种颜色。则存在单色素数p1，p2，p3使得p1 + p2 = p3 + 1。
2008-05-08 math.CO math.NT
On small Mixed Pattern Ramsey numbers
我们称任何完全图的最小阶数，使得对于任何边用$k$颜色着色都不可能避免单色或彩虹三角形，即混合Ramsey数。对于任何图$H$，如果我们考虑在上面的定义中排除$k$的条件，我们产生一个\emph{Mixed Pattern Ramsey number}，记为$M_k(H)$。对于所有着色的$4$ -圈和所有着色的$4$ -团，我们根据$k$确定这个函数。我们还发现的界限$M_k(H)$时$H$是一个单色奇数周期，或足够大的$k$的明星。我们提出几个未决问题。
2014-03-15 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for graphs with five vertices and eight edges
Gallai $k$ -染色是不含彩虹三角形的完全图的$k$ -边染色.对于给定的图$G_1, G_2, G_3$和具有该$k=r+s+t$的非负整数$r, s, t$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: r\cdot G_1,~ s\cdot G_2, ~t\cdot G_3)$是最小整数$n$，使得每个Gallai $k$ -彩色$K_{n}$包含由第一$r$颜色之一着色的$G_1$的单色拷贝或由中间$s$颜色之一着色的$G_2$的单色拷贝或由以下颜色之一着色的$G_3$的单色拷贝：最后的$t$颜色本文确定了当$G_1=B_{3}^{+}$，$G_2=S_{3}^+$和$G_3=K_3$满足时的Gallai-Ramsey数的值.然后得到了Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: B_{3}^{+})$。从而完全解决了五点八边图的Gllai-Ramsey数问题。进一步，分别得到了Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: r\cdot B_3^+,~ (k-r)\cdot S_3^+)$、$gr_{k}(K_{3}: r\cdot B_3^+,~ (k-r)\cdot K_3)$和$gr_{k}(K_{3}: s\cdot S_3^+,~ (k-s)\cdot K_3)$.
2020-08-26 math.CO
Monochromatic triangles in two-colored plane
我们证明了，对于任何分区的平面成一个闭集$C$和一个开集$O$和任何配置$T$的三个点，有一个平移和旋转的副本$T$包含在$C$或在$O$。除此之外，我们考虑分区的平面分为两组，其共同边界是一个联盟的分段线性曲线。我们表明，对于任何这样的分区和任何配置$T$这是一个顶点集的一个非等边三角形有一个副本的$T$包含在内部的两个分区类。此外，我们给出了这些“多边形”分区，避免一个给定的等边三重副本的特征。这些结果支持了Erdos、Graham、Montgomery、Rothschild、Spencer和Straus的猜想，该猜想指出平面的每一个二色都包含一个非等边点三元组的单色副本;另一方面，我们通过提供避免给定等边点三元组的二色的非平凡例子，反驳了同一作者的一个更强的猜想。
2007-01-31 math.CO math.MG
Optimal bounds on the polynomial Schur's theorem
本文针对多项式Schur定理中方程x+y=p(z)的2-Ramsey性质，研究最长无单色解区间f(n)和最少单色解数目g(n)，并给出f(n)的紧界及g(n)的渐近公式。
2024-03-31 math.CO
A Family of Congruences Modulo 7 for Partitions with Monochromatic Even Parts and Multi--Colored Odd Parts
School of Mathematics, UNSW（新南威尔士大学数学学院）；Department of Mathematics and Statistics, University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学德卢斯分校数学与统计系）
本文推广了Amdeberhan和Merca的整数划分函数a(n)，定义了一个无限族，并通过生成函数和q级数恒等式证明了该族函数满足无穷多个模7同余式。
2026-06-08 math.CO math.NT
On improving a Schur-type theorem in shifted primes
我们表明，如果$N \geq \exp(\exp(\exp (k^{O(1)})))$，那么任何$k$着色的素数，小于$N$包含一个单色的解决方案，以$p_1 - p_2 = p_3 -1$。
2021-10-19 math.CO math.NT
Monochromatic Subgraphs in Randomly Colored Dense Multiplex Networks
该研究将单色子图计数的边缘收敛结果推广到多重网络场景，推导了依联合割度量收敛的稠密多重网络中有限个单色子图计数的联合极限分布，为相关网络分析提供了理论支撑。
2025-01-17 math.CO math.PR
A note about monochromatic components in graphs of large minimum degree
对所有正整数$r\geq 3$和$n$，使得$r^2-r$整除$n$，且存在阶为$r$的仿射平面，构造了一个最小度为$(1-\frac{r-2}{r^2-r})n-2$的$r$ -边有色图，使得最大单色分量的阶数小于$\frac{n}{r-1}$ .这推广了Guggiari和Scott以及Rahimi对$r=3$的一个例子，从而证明了Gyárfás和Sárközy对所有整数$r\geq 3$的一个猜想是错误的，使得存在一个$r$阶的仿射平面。
2020-06-15 math.CO
More on total monochromatic connection of graphs
一个图称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个图的全染色是{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点由一条路连接，且这条路上的边和内部顶点具有相同的颜色。对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，记为$tmc(G)$，定义为在$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。注意，如果$G$不连通，则TMC着色不存在，在这种情况下，我们简单地让$tmc(G)=0$。本文首先分别用$tmc(G)=3,4,5,6,m+n-2,m+n-3$和$m+n-4$刻画了所有阶为$n$和大小为$m$的图.然后，我们确定了一个随机图有$tmc(G)\geq f(n)$的阈值函数，其中$f(n)$是满足$1\leq f(n)<\frac{1}{2}n(n-1)+n$的函数。最后，我们证明了对于给定的连通图$G$，以及具有$L\leq m+n$的正整数$L$，判定是否为$tmc(G)\geq L$是NP-完全的。
2016-04-08 math.CO
Joint Poisson Convergence of Monochromatic Hyperedges in Multiplex Hypergraphs
本文研究多重超图中单色超边的联合分布，证明其联合泊松逼近仅由前两阶矩收敛决定，将相关结果从图着色推广到超图着色，从边缘收敛推广到联合收敛，并给出多方面应用。
2024-11-30 math.CO math.PR
Large Monochromatic Components in Colored Random Graphs
Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈阿斯联邦大学）
研究随机图边着色中最大单色连通分量大小，通过分析顶点划分上的连通结构，证明\(G(n,p)\)的\(2\)边着色中单色连通分量阶至少为\(n - \Theta(ne^{-h})\)，扩展到\(3\)边着色，二分图情况也有类似结论，且各结论在常数因子上最优。
2026-07-28 math.CO math.PR
All partitions have small parts - Gallai-Ramsey numbers of bipartite graphs
Gallai染色是边着色的完全图，其中不存在彩虹三角形。在这样的彩色完全图，我们考虑拉姆齐型问题，寻找指定的单色图。在这项工作中，我们考虑单色二部图，因为已知的数字增长速度比非二部图。主要结果表明，它足以只考虑$3$ -染色，有一个特殊的划分的顶点。利用这个工具，我们找到了几个锐数，并推测了所有二部图的锐值。特别地，我们确定了所有二部图的Gallai-Ramsey数，并开始了线性森林的研究。
2017-10-28 math.CO
King-serf duo by monochromatic paths in k-edge-coloured tournaments
一个开放的猜想Erdans的状态，对于每一个正整数$k$有一个（最小）正整数$f(k)$，使每当一个锦标赛有它的边着色$k$颜色，有一个集合$S$最多$f(k)$顶点，使每个顶点有一个单色路径到某些点在$S$。我们考虑了一个相关的问题，并表明，对于每个（有限或无限）基数$κ>0$有一个基数$ λ_κ$，使在每个$κ$ -边色锦标赛存在不相交的顶点集$K,S$的总大小最多为$ λ_κ$，使每个顶点$ v $有一个单色路径的长度最多为2从$K$到$v$或从$v$到$S$。
2017-05-02 math.CO
Bounded VC-dimension implies the Schur-Erdos conjecture
在1916年，Schur引入了Ramsey数$r(3;m)$，这是最小整数$n$，使得对于完全图$K_n$的边的任何$m$ -染色，存在$K_3$的单色副本。他展示了$r(3;m) \leq O(m!)$，一个简单的构造证明了$r(3;m) \geq 2^{Ω(m)}$。Erd \H os的一个古老猜想指出，$r(3;m) = 2^{Θ(m)}$。本文证明了关于VC维有界的$m$ -染色的猜想，即对于具有如下性质的$m$ -染色：由每个色类的顶点邻域诱导的集合系统$\mathcal{F}$具有VC维有界.
2019-12-05 math.CO
Hardness results for three kinds of colored connections of graphs
图的彩虹连接数的概念是由Chartrand等人在2008年提出的。受此概念的启发，其他关于图中连通性的有色版本的概念也被引入，例如Caro和Yuster在2011年提出的单色连通数，Borozan等人在2012年提出的真连通数，以及Czap等人在2018年提出的无冲突连通数。Chakraborty等人证明了计算图的彩虹连通数是NP-困难的。长期以来，人们一直试图解决图的单色连通数、真连通数和无冲突连通数的计算复杂性问题。然而，至今仍未解决。只有强版本的复杂性结果，即，这些连接数中的强正确连接数和强无冲突连接数被确定为NP难的。本文证明了计算图的单色连通数、真连通数和无冲突连通数都是NP-困难的。这解决了这个领域长期存在的问题，在许多研讨会和论文中提出了这个问题。
2020-01-08 cs.CC math.CO
Improved Ramsey bounds for generalized Schur equations
Emory University（埃默里大学）
研究改进了广义施图姆方程的Ramsey界限，证明了在特定条件下，整数区间内的着色必然包含单色解，且给出了最优估计。
2026-05-14 math.CO math.NT
