Bounds for the rainbow disconnection number of graphs
边着色连通图的边割$R$称为彩虹割，如果边割中没有两条边着色相同.一个边着色图是彩虹不连通的，如果对于图的任意两个不同的顶点$u$和$v$，存在一个分隔它们的$u$ - $v$ -彩虹割.对于连通图$G$，$G$的彩虹不连通数，记为rd $(G)$，定义为使$G$彩虹不连通所需的最小颜色数。本文首先给出了rd $(G)$的几个紧上界，并对满足Nordhaus-Gaddum型结果上界的图进行了完全刻画.其次，我们提出了一个猜想：$λ^+(G)\leq \textnormal{rd}(G)\leq λ^+(G)+1$，其中$λ^+(G)$是上边连通度，并证明了这一猜想在许多图类中的适用性，最后，我们给出了图$G$的rd $(G)$与$G$的线图$L(G)$的彩虹点不连通数rvd $(L(G))$之间的关系.
2020-03-30 math.CO
Proper disconnection of graphs
对于边着色图$G$，如果$F$是$G$的一个边割，且$F$中的任意一对相邻边被赋予不同的颜色，则称$G$的一个边集$F$为一个\emph{proper cut}.一个边着色图称为\emph{proper disconnected}，如果对于$G$的每对不同的顶点，存在一个适当的边割将它们分开。对于连通图$G$，$G$的\emph{proper disconnection number}，记为$pd(G)$，是为了使$G$正确断开所需的最小颜色数。本文首先给出了某些特殊图族的真不连通数的精确值。其次，我们得到了阶为$n$的连通图$G$，即$pd(G)\leq \min\{ χ'(G)-1, \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil\}$的$pd(G)$的一个精确上界。最后，我们证明了对于给定的整数$k$和$n$，$G$阶$n$与$pd(G)=k$的连通图的最小尺寸是$n-1$（对于$k=1$）和$n+2k-4$（对于$2\leq k\leq \lceil\frac{n}{2}\rceil$）。
2019-06-05 math.CO
Further results on the rainbow vertex-disconnection of graphs
设$G$是一个顶点着色的非平凡连通图.如果$G$的顶点集的子集$X$中的任意两个顶点具有不同的颜色，则称$X$为彩虹。图$G$称为\emph{rainbow vertex-disconnected}，如果对于$G$的任意两个顶点$x$和$y$，存在一个顶点子集$S$，使得当$x$和$y$不相邻时，$S$是彩虹图，且$x$和$y$属于$G-S$的不同分支;而当$x$和$y$相邻时，$S+x$或$S+y$为彩虹，$x$和$y$属于$(G-xy)-S$的不同组分。这样的顶点子集$S$被称为$G$的\emph{rainbow vertex-cut}。对于连通图$G$，$G$的\emph{rainbow vertex-disconnection number}，记为$rvd(G)$，是使$G$彩虹顶点不连通所需的最小颜色数。本文利用图的最小度和最大度给出了图的彩虹点不连通数的界。本文给出了图$G$的最大尺寸的一个严格的上界，其中$rvd(G)=k$为$k\geq\frac{n}{2}$。然后我们用彩虹点不连通数$n-1$刻画了$n$阶图，并得到了具有$rvd(G)=n-1$的图$G$的最大图长.此外，我们得到了一个尖锐的阈值函数的性质$rvd(G(n,p))=n$，并证明了几乎所有的图$G$有$rvd(G)=rvd(\overline{G})=n$。最后，我们得到了阶为$n\geq 24$的…
2020-06-14 math.CO
Some results on the rainbow vertex-disconnection colorings of graphs
本文研究图的彩虹顶点断开着色问题，证明了无 $K_4$ 子式图的彩虹顶点断开数不超过最大度，并证明该问题在二部图和分裂图上是 $NP$-完全的且难以近似。
2023-07-08 math.CO
Complexity results for two kinds of colored disconnections of graphs
图的彩虹不连通数的概念由Chartrand等人在2018年提出。受这一概念的启发，我们提出了图的彩虹点不连通性和真不连通性的概念。本文首先证明了判定一个给定的具有最大度$Δ(G)=4$的边有色图$G$是否是正常不连通的是$NP$ -完全的。然后，对于一个图$G$与$Δ(G)\leq 3$，我们证明了$pd(G)\leq 2$和确定的图与$pd(G)=1$和$2$，分别。此外，我们表明，对于一般图$G$，决定是否$pd(G)=1$是$NP$ -完全，即使$G$是二部的。我们还证明了，即使给定的点有色图$G$具有$Δ(G)=3$或者是二部图，判定它是否是彩虹点不连通图也是$NP$ -完全的。
2020-07-29 cs.CC math.CO
A Survey on Monochromatic Connections of Graphs
图的单色连接的概念是由Caro和Yuster在2011年提出的。近年来，关于这一问题的研究成果很多，本文试图将所有与之相关的结果进行归纳，首先对这些结果进行了介绍，然后将其分为以下几类：边的单色连通染色，点的单色连通染色，单色指数，全的单色连通染色.
2017-06-13 math.CO
Hardness results for rainbow disconnection of graphs
设$G$是一个非平凡的连通边有色图.如果$S$中没有两条边的颜色相同，则$G$的边切割$S$称为彩虹切割。$G$的边染色是彩虹断开染色，如果对于$G$的每两个不同的顶点$s$和$t$，$G$中存在彩虹割$S$，使得$s$和$t$属于$G\setminus S$的不同分量.对于连通图$G$，$G$的{ \it彩虹断开数}，记为$rd(G)$，定义为使得$G$具有彩虹断开着色的最小颜色数。本文证明了对于连通图$G$，计算$rd(G)$是NP难的.特别地，判定连通三次图是否为$rd(G)=3$已经是NP完全的。此外，我们还证明了对于一个给定的边着色（颜色数无界）连通图$G$，判定$G$是否彩虹不连通是NP-完全的.
2018-12-04 cs.CC cs.DM math.CO
Monochromatic connectivity and graph products
单色连通性的概念是由Caro和Yuster提出的。边有色图中的路径称为\emph{monochromatic path}，如果路径上的所有边都着色相同。$G$的边着色是\emph{monochromatic connection coloring}（简称$MC$ -着色），如果在$G$中的任意两个顶点之间有一条单色路连接。用$mc(G)$表示的\emph{monochromatic connection number}被定义为在图$G$的$MC$ -着色中使用的颜色的最大数目。本文研究了字典序积、强积、笛卡尔积和直积图的单色联络数，给出了这些积的几个上界和下界。
2015-05-06 math.CO
Some extremal results on the colorful monochromatic vertex-connectivity of a graph
顶点有色图中的一条路称为\emph{vertex-monochromatic path}，如果它的内部顶点具有相同的颜色.一个图的顶点着色称为\emph{monochromatic vertex-connection coloring}（简称\emph{MVC-coloring}），如果图中任意两个顶点之间存在一条顶点单色路连接.对于一个连通图$G$，定义\emph{monochromatic vertex-connection number}（用$mvc(G)$表示）为在$G$的一个\emph{MVC-coloring}中使用的最大颜色数。这些顶点版本的概念是自然的推广的彩色单色连通性的边缘版本，介绍了卡罗和Yuster。本文主要研究了单色点连通数$mvc(G)$的Erdens-Gallai型问题，并完全确定了它的精确值.此外，还给出了$mvc(G)$的Nordhaus-Gaddum型不等式.
2015-03-31 math.CO
Colourings with Bounded Monochromatic Components in Graphs of Given Circumference
证明了周长至多为$k$的图是$O(\log k)$ -列图，使得每个单色分支的大小至多为$O(k)$ .即使在具有有界单色度的着色设置中，颜色数量上的$O(\log k)$界也是最佳可能的。
2017-01-17 math.CO
Monochromatic cycles and the monochromatic circumference in 2-coloured graphs
Li，Nikiforov和Schelp证明了阶数为n且最小度严格大于大于3 n/4的2-边着色图G包含一个长度为l的单色圈，对所有l至少为4且至多为n/2.我们证明了这个猜想足够大的n，也发现所有2-边着色图的最小程度等于3 n/4，不包含所有这样的周期。最后，我们证明了，对于所有的正常数d和足够大的n，一个最小度至少为3 n/4的n阶2-边着色图G要么包含一个长度至少为（2/3+d/2）n的单色圈，要么在两种颜色之一中包含一个长度在3到（2/3-d）n之间的圈.
2011-07-26 math.CO
Properly colored cycles in edge-colored complete graphs containing no monochromatic triangles: a vertex-pancyclic analogous result
边有色图中的适当着色的圈（路径）是指具有被赋予不同颜色的连续边的圈（路径）。单色三角形是一个长度为$3$且边指定为相同颜色的循环。每个不含单色三角形的边着色完全图都含有一条正常着色的Hamilton路，本文研究了当禁止单色三角形时，边着色完全图中正常着色圈的存在性.我们得到一个顶点泛循环的类似结果结合所有的例外的特征。
2020-08-21 math.CO
Local colourings and monochromatic partitions in complete bipartite graphs
证明了对平衡完全二部图$K_{n,n}$的边的任意$2$ -局部着色，其顶点最多可被~ $3$不相交的单色路覆盖.并且，我们可以用$O(r^2)$不相交的单色圈覆盖任何完全或平衡完全二部$r$ -局部着色图的几乎所有顶点。我们还几乎精确地确定了路径的$2$ -局部二分Ramsey数：每一个$2$ -局部着色的边$K_{n,n}$包含一个单色路径上的$n$顶点。
2016-09-12 math.CO
Large monochromatic components in almost complete graphs and bipartite graphs
Gyárfas证明了每一个着色的边缘$K_n$与$t+1$颜色包含一个单色连通组件的大小至少$n/t$。后来，Gyárfás和Sárközy询问了$γ=γ(t)$的哪些值对于几乎完全图是加强的：如果$G$是一个$n$ -顶点图，其最小度至少为$(1-γ)n$，则$G$的每个$(t+1)$ -边着色包含一个大小至少为$n/t$的单色分量。我们证明了$γ= 1/(6t^3)$是足够的，改进了DeBiasio、Krueger和Sárközy的结果。
2020-08-27 math.CO
Edge colorings of graphs without monochromatic stars
本文改进了Hoppen，Kohayakawa和Lefmann关于$n$顶点上的一个图所允许的固定大小的星的最大边着色数的结果.我们的结果依赖于一个改进的应用程序的熵不等式的希勒。
2020-07-01 math.CO
Monochromatic paths in $2$-edge coloured graphs and hypergraphs
我们回答了Gyárfás和Sárközy在2013年提出的一个问题，证明了每一个2-边色完全3-一致超图都可以划分成两条不同颜色的单色紧路。我们还给出了划分任意2-边色完全r-部r-一致超图所需紧路数的一个下界。最后，我们证明了任何2-边着色的完全二部图都有一个划分为不同颜色的单色圈和单色路，除非着色是分裂着色。
2023-01-25 math.CO
Erdős-Gallai-type results for colorful monochromatic connectivity of a graph
边有色图中的路径称为\emph{monochromatic path}，如果路径上的所有边都着色相同。$G$的边着色是\emph{monochromatic connection coloring}（简称MC-着色），如果在$G$中的任意两个顶点之间有一条单色路连接。\emph{monochromatic connection number}，记作$mc(G)$，定义为图$G$的MC-着色中使用的最大颜色数。这些概念是由Caro和Yuster提出的，他们得到了一些很好的结果。本文研究了$mc(G)$的两类Erdens-Gallai型问题，并完全解决了这两类问题.
2014-12-25 math.CO
Covering $3$-edge-coloured random graphs with monochromatic trees
我们调查的问题，确定有多少单色树是必要的，以覆盖顶点的边着色的随机图。更准确地说，我们表明，对于$p\gg n^{-1/6}{(\ln n)}^{1/6}$，在任何$3$ -边着色的随机图$G(n,p)$，我们可以找到三个单色树，使其工会覆盖所有顶点。这改善了三种颜色的Bucić，Korándi和Sudakov的结果。
2020-06-25 math.CO
Monochromatic triangles in three-coloured graphs
1959年，Goodman确定了边集为双色的完全图中单色三角形的最少个数。古德曼还提出了问题，证明类似的结果完全图的边缘集着色有两个以上的颜色。在本文中，我们确定了在一个足够大的三色完全图中单色三角形的最小数目和达到这个最小数目的着色。
2012-06-10 math.CO
Monochromatic Clique Decompositions of Graphs
设$G$是一个边用$k$颜色着色的图，$\mathcal H=(H_1,\dots , H_k)$是图的$k$ -元组.单色$\mathcal H$ -$G$的分解是$G$的边缘集的划分，使得对于某些$1\le i\le k$，每个部分是单个边缘或形成彩色$i$中的$H_i$的单色副本。设$ϕ_{k}(n,\mathcal H)$是最小数$ϕ$，使得对于每一阶$n$图和每一$k$边着色，存在一个至多含有$ϕ$元素的单色$\mathcal H$分解.扩展Liu和Sousa [“Monochromatic $K_r$ -decompositions of graphs”，Journal of Graph Theory }，76：89- 100，2014]的先前结果，当$\mathcal H$中的每个图是团并且$n\ge n_0(\mathcal H)$足够大时，我们解决了这个问题。
2014-12-18 math.CO
Partitioning a graph into monochromatic connected subgraphs
Haxell和Kohayakawa的一个著名结果表明，$r$着色的完全图的顶点可以划分为不同颜色的$r$单色连通子图;这是Erdens，Pyber和Gyárfás猜想的一个稍微弱的变体，该猜想指出存在一个划分为$r-1$单色连通子图的猜想。我们考虑这个问题的一个变种，其中的完全图被替换为一个图与大的最低程度，并证明两个代数Bal和DeBiasio，两个和三个颜色。
2017-08-20 math.CO
Rainbow monochromatic $k$-edge-connection colorings of graphs
边着色图中的路径称为单色路径，如果路径的所有边具有相同的颜色。如果每个$P_i$都是单色的，并且对于任意两个$i\neq j$，$P_i$和$P_j$具有不同的颜色，则我们称$k$路径为$P_1,\cdots,P_k$彩虹单色路径。一个图$G$的边染色称为彩虹单色$k$ -边连通染色（或简称$RMC_k$ -染色），如果$G$的每两个不同的顶点至少由$k$彩虹单色路连接。我们用$rmc_k(G)$来表示确保$G$具有$RMC_k$ -着色的最大颜色数，这个数称为彩虹单色$k$ -边连接数。证明了图的$RMC_k$ -染色的存在性，给出了图的$rmc_k(G)$的一些界，并给出了图的$rmc_k(G)$达到下界的图.我们还得到了$rmc_k(G(n,p))\geq f(n)$的阈值函数，其中$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor> k\geq 1$。
2020-01-06 math.CO
Long monochromatic even cycles in 3-edge-coloured graphs of large minimum degree
我们证明了对于每个$η>0$，存在$n_0$使得对于每个偶数$n$，$n\ge n_0$，和每个具有$(2+η)n$顶点和最小度至少为$(7/4+4η)n$的图$G$，$G$的边的每个着色都有三种颜色，结果是长度为$n$的单色圈.
2020-01-02 math.CO
The (vertex-)monochromatic index of a graph
边着色图$H$中的树$T$称为\emph{monochromatic tree}，如果$T$的所有边具有相同的颜色.对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的\emph{monochromatic $S$-tree}是包含$S$的顶点的$H$的单色树。对于连通图$G$和给定的整数$k$，$G$的\emph{$k$-monochromatic index $mx_k(G)$}是所需的最大颜色数，使得对于$k$顶点的每个子集$S\subseteq V(G)$，存在单色$S$ -树。本文证明了对任意连通图$G$，对每个PDMATHAMT有$mx_k(G)=|E(G)|-|V(G)|+2$，使得$3\leq k\leq |V(G)|$ .顶点着色图$H$中的树$T$称为\emph{vertex-monochromatic tree}，如果$T$的所有内部顶点具有相同的颜色.对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的\emph{vertex-monochromatic $S$-tree}是包含$S$的顶点的$H$的顶点单色树。对于连通图$G$和给定的整数$2\leq k\leq |V(G)|$，$G$的\emph{$k$-monochromatic vertex-index $mvx_k(G)$}是所需的最大颜色数，使得对于$k$顶点的每个子集$S\subseteq V(G)…
2016-03-19 math.CO
Erdős-Gallai-type results for total monochromatic connection of graphs
一个图称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个图的全染色是{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点通过一条路连接，且该路的边和内部顶点具有相同的颜色.对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，用$tmc(G)$表示，定义为$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。本文研究了$tmc(G)$的两类Erdens-Gallai型问题，并完全解决了它们.
2016-12-16 math.CO
Strong rainbow disconnection in graphs
设$G$是一个非平凡边着色连通图.如果$R$的任何两条边都不是用相同的颜色着色，则$G$的边切割$R$称为{ \it彩虹边切割}。对于$G$的两个不同顶点$u$和$v$，如果边切割将它们分开，则边切割称为{ \it $u$ - $v$ -edge-cut}。一个边着色图$G$称为\emph{strong rainbow disconnected}，如果对于$G$的每两个不同的顶点$u$和$v$，都存在彩虹图和最小边割图$u$ - $v$（简称{ \it彩虹最小值$u$ - $v$ -edge-cut}）在$G$中，将它们分开，这种边着色称为$G$的{ \it强彩虹断开着色}（简称srd-{ \it着色}）。对于连通图$G$，$G$的\emph{strong rainbow disconnection number}（简称为srd-{ \it number}），记为$\textnormal{srd}(G)$，是使$G$强彩虹不连通所需的最小颜色数。本文首先刻画了具有$m$边的图，使得对每个$k \in \{1,2,m\}$都有$\textnormal{srd}(G)=k$，并且证明了非平凡连通图$G$的srd-数等于$G$的块中的最大srd-数.其次，我们研究了完全$k$ -部图、$k$ -边连通$k$ -正则图和格图的srd-数。最后，我们证明了对于连通图$G$，计算$\textn…
2020-09-06 cs.CC math.CO
Partitioning edge-coloured infinite complete bipartite graphs into monochromatic paths
1978年，理查德·拉多证明了每一个可数无限阶的边着色完全图都可以划分成不同颜色的单色路。他问这是否仍然适用于不可数完全图和概念的\emph{generalised paths}。在2016年，Daniel Soukup对此做出了肯定的回答，并证明了类似的结果应该适用于具有相同无限基数的双划分类的完全二部图，即每个用$r$颜色边着色的图都可以划分为$2r-1$单色广义路径，每个颜色最多使用两次。本文对Soukup猜想给出了肯定的回答。
2018-08-29 math.CO
Tiling edge-coloured graphs with few monochromatic bounded-degree graphs
我们证明了对所有整数$Δ,r \geq 2$，存在一个常数$C = C(Δ,r) >0$，使得对于每个序列$\mathcal{F} = \{F_1, F_2, \ldots\}$，对于每个$n \in \mathbb{N}$，具有$v(F_n) = n$和$Δ(F_n) \leq Δ$的图，下面的条件成立.在每个$r$ -边缘着色的$K_n$中，存在来自其顶点集划分$V(K_n)$的$\mathcal{F}$的至多$C$单色拷贝的集合。这使得Grinshpun和Sárközy的一个猜想取得了进展。
2021-03-30 math.CO
Monochromatic connected matchings in 2-edge-colored multipartite graphs
图$G$中的匹配$M$是连通的，如果$M$的所有边都在$G$的相同分量中。继Jubuczak之后，已经有许多结果使用簇图中关于大图的规则划分的大连通匹配的存在性来证明这些图中存在长路径和其他结构。证明了$2$ -边着色多部图中单色连通匹配的大小的Ramsey型精确界。此外，我们证明了这样的匹配的稳定性定理。
2021-10-13 math.CO
Monochromatic cycle partitions in random graphs
Erds，Gyárfás和Pyber证明了每个$r$ -边着色完全图$K_n$都能被$25 r^2 \log r$顶点不相交的单色圈覆盖（独立于$n$）.在这里，我们将他们的结果推广到二项随机图的设置。也就是说，我们表明，如果$p = p(n) = Ω(n^{-1/(2r)})$，那么具有高概率的任何$r$ -边缘着色的$G(n,p)$可以覆盖最多$1000 r^4 \log r $顶点不相交的单色循环。这回答了Korandi、Mousset、Nenadov、Škorić和Sudakov的一个问题。
2020-08-05 math.CO
Monochromatic trees in random graphs
Bal和DeBiasio [Partitioning random graphs into monochromatic components，Electron. J. Combin. 24（2017），Paper 1.18]提出了一个关于图$G$的下列Ramsey型性质的阈值的猜想：$G$的边集的每个$k$ -着色产生$k$成对顶点不相交的单色树，该树划分$G$的整个顶点集。我们确定阈值为两种颜色的这个属性。
2017-10-30 math.CO
Total monochromatic connection of graphs
一个图被称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。全着色图中的路径是{ \it全单色路径}，如果路径上的所有边和内部顶点具有相同的颜色。一个图的全染色是一个{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点由图的全单色路连通。对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，记为$tmc(G)$，定义为在$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。这些概念的灵感来自连通图$G$的单色连接数$mc(G)$、单色顶点连接数$mvc(G)$和全彩虹连接数$trc(G)$的概念。令$l(T)$表示树$T$的叶子数，并且令$l(G)=\max\{ l(T) | $ $T$是连通图$G$的$G$ $\}$的生成树。本文证明了存在许多图$G$使得$tmc(G)=m-n+2+l(G)$，并且证明了对几乎所有的图$G$，$tmc(G)=m-n+2+l(G)$成立.进一步，我们将$tmc(G)$与$mvc(G)$和$mc(G)$分别进行了比较，得到了存在图$G$使得$tmc(G)$不小于$mvc(G)$，反之亦然，并且$tmc(G)=mc(G)+l(G)$对几乎所有的图都成立.最后，证明了$tmc(G)\leq mc(G)+mvc(G)$和等式成立当且仅当$G$是完全图.
2016-01-13 math.CO
Monochromatic and heterochromatic subgraph problems in a randomly colored graph
设$K_n$是具有$n$顶点的完全图，$c_1, c_2, ..., c_r$是$r$不同颜色的图.假设我们在$c_1, c_2, ..., c_r$中随机均匀地对$K_n$的边缘着色。然后我们得到一个随机图，记为$\mathcal{K}_n^r$。本文研究了$\mathcal{K}_n^r$中几类单色和异色子图的渐近性质。在某些情况下，也得到了精确的门限函数。
2007-11-24 math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-colored bipartite graphs
Gyárfás和Lehel以及独立的Faudree和Schelp证明了在$K_{n,n}$的边的任何2-着色中，至少在$2\lceil n/2\rceil$顶点上存在一条单色路，并且这是紧的。我们证明了这个结果的一个稳定性版本，即使主机图是不完整的;也就是说，如果$G$是$2n$顶点上的平衡二部图，其最小度至少为$(3/4+o(1))n$，则在$G$的边的每一个2-着色中，或者在至少$(1+o(1))n$顶点上存在单色圈，或者$G$的着色接近于极值着色--在这种情况下，$G$在至少$2\lceil n/2\rceil$顶点上具有单色路径，并且在至少$2\lfloor n/2\rfloor$顶点上具有单色循环。此外，我们确定了一个渐近紧界的最长单色圈的长度在2色平衡二部图的$2n$顶点的最小程度$δn$所有$0\leq δ\leq 1$。
2018-06-13 math.CO
Monochromatic Components in Edge-Coloured Graphs with Large Minimum Degree
对于每个$n\in\mathbb{N}$和$k\geq2$，已知完全图的$n$顶点上的每个$k$ -边染色都包含一个阶至少为$\frac{n}{k-1}$的单色连通分支.对于$k\geq3$，已知对于某个常数$\varepsilon_k$，完全图可以用具有$δ(G)\geq(1-\varepsilon_k)n$的图$G$代替。本文证明了$\varepsilon_3$的最大可能值是$\frac16$。这证明了Gyárfas和Sárközy的一个猜想是错误的。
2020-12-29 math.CO
Non-monochromatic Triangles in a 2-Edge-Coloured Graph
设$G = (V,E)$是一个单图，$\{R,B\}$是$E$的一个划分.证明了只要$|E| + \min\{ |R|, |B| \} > { |V| \choose 2 }$，就存在一个同构于$K_3$的$G$的子图，该子图包含来自$R$和$B$的边.我们猜想一个自然的推广分区更多的块。
2018-09-26 math.CO
Upper bounds for the $MD$-numbers and characterization of extremal graphs
对于边着色图$G$，如果$M$的边着色为相同的颜色，则称$G$的边割$M$为单色图。图$G$称为单色不连通图，如果图$G$的任意两个不同的顶点被单色边割分开.对于连通图$G$，$G$的单色断开数（或简称$MD$ -number），用$md(G)$表示，是为了使$G$单色断开而允许的最大颜色数。对于直径为1的图，它们是完全图，因此它们的$MD$ -数是$1$。对于直径至少为3的图，我们可以构造$2$ -连通图，使得它们的$MD$ -数可以任意大;而对于直径为2的图$G$，我们证明了如果$G$是$2$ -连通图，则$md(G)\leq 2$，如果$G$有割点，则$md(G)$等于$G$的块数.因此，我们将重点研究直径为2的PDMATHAMR-连通图，并分别给出了它们的$MD$ -数依赖于连通度和独立数的两个上界。我们还刻画了$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ -连通图（具有大连通度）的图，其$MD$ -数是$2$，并且$2$ -连通图（具有小连通度）的$MD$ -数达到上界$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor.$对于连通度小于$\frac n 2$的图，我们证明了如果图的连通度与其阶$n$是线性的，则它的$MD$ -数的上界是一个常数，这暗示我们留下一个猜想：对于$k$ -连通图$G$，$md(G)\leq…
2020-09-04 math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-edge-colored multipartite graphs
我们解决了四个类似的问题：对于每个固定的$s$和大的$n$，我们描述了$n_1,\ldots,n_s$的所有值，使得对于完全$s$ -部图$K_{n_1,\ldots,n_s}$的每个$2$ -边染色，存在单色的（i）具有$2n$顶点的圈$C_{2n}$，（ii）至少具有$2n$顶点的圈$C_{\geq 2n}$，（iii）具有$2n$顶点的路$P_{2n}$，以及（iv）具有$2n+1$顶点的路径$P_{2n+1}$。这意味着Gyárfás，Ruszinkó，Sárkozy和Szemerédi猜想的一个推广，即对于完全$3$ -部图$K_{n,n,n}$的每个$2$ -边染色，都有一条单色路$P_{2n+1}$。一个重要的工具是我们最近的稳定性定理单色连接匹配。
2019-05-12 math.CO
Highly connected monochromatic subgraphs of multicoloured graphs
我们考虑以下问题的Bollobas：给定r-着色的边的完全图的n个顶点，多大的k-连通子图，我们可以找到只使用一种颜色？我们解决这个问题的渐近时，r-1是一个素数的权力，正是2-和3-着色。
2007-02-13 math.CO
Low Diameter Monochromatic Covers of Complete Multipartite Graphs
设直径覆盖数$D^t_r(G)$表示最小整数$d$，使得在图$G$的边的任何$r$染色下，存在直径至多为$d$的$t$单色子图的集合，使得$G$的每个顶点包含在至少一个子图中.当$G$是至少有三部分的完全多部图时，研究了双色二子图的直径覆盖数。我们精确地确定了所有完全三部图$G$和几乎所有多于三部的完全多部图的$D_2^2(G)$的值。
2021-05-14 math.CO
Partitioning 3-edge-colored complete equi-bipartite graphs by monochromatic trees under a color degree condition
$r$边有色图$G$的单色树划分数，记为$t_r(G)$，是最小整数$k$，使得只要$G$的边用$r$颜色着色，$G$的顶点最多能被$k$顶点不相交的单色树覆盖.一般来说，确定这个数字是非常困难的。对于2-边着色完全多部图，Kaneko，Kano和Suzuki给出了$t_2(K(n_1,n_2,...,n_k))$的精确值.本文证明了：若K（n，n）是3-边着色的，使得每个顶点的色度为3，则$t_3(K(n,n))=3.$
2008-01-03 math.CO
Monochromatic $k$-edge-connection colorings of graphs
边着色图$G$中的路径称为单色的，如果路径上的任意两条边具有相同的颜色。对于$k\geq 2$，边着色图$G$称为单色$k$边连通的，如果$G$的每两个不同的顶点由至少$k$边不相交的单色路连接，而$G$被称为均匀单色$k$ -边连接，如果每两个不同的顶点至少由$k$边连接，不相交的单色路径，使得这些$k$路径的所有边缘用相同的颜色着色。我们分别使用$mc_k(G)$和$umc_k(G)$来表示确保$G$为单色$k$ -边连接和$G$为均匀单色$k$ -边连接的最大颜色数。本文首先猜想，对于任何$k$ -边连通图$G$，$mc_k(G)=e(G)-e(H)+\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$，其中$H$是$G$的最小$k$ -边连通生成子图.我们验证了$k=2$的猜想。证明了当$k\geq4$为偶数时对$G=K_{k+1}$的猜想，当$k\geq4$为偶数时对$G=K_{k,n}$的猜想，以及当$k=3$和$n\geq k$为偶数时对$G=K_{k,n}$的猜想.当$G$是极小$k$ -边连通图时，我们给出了$mc_k(G)$的一个上界，即，$mc_k(G)\leq k-1$，和当$G=K_{k,n}$时的$mc_k(G)\leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$。对于一致单色$k$ -边连通，证明了对所有的$k$，有$umc_k(G)=e(G…
2018-10-28 math.CO
Monochromatic partitions in 2-edge-coloured bipartite graphs
本研究针对Gyarfas--Lehel猜想，证明在随机二部图与高最小度二部图中，任意2-染色均可用至多三个顶点不相交的单色组件覆盖几乎所有顶点。
2024-03-19 math.CO
Monochromatic triangle packings in red-blue graphs
证明了在$K_n$的每一个$2$ -边着色中，都存在一个$n^2/12 + o(n^2)$边不相交的单色三角形的集合，从而证实了Erdos的一个猜想.我们还证明了相应的稳定性结果，表明$2$着色接近达到上述界限有一个颜色类，这是接近二分。作为我们的证明的一部分，我们证实了Tyomkyn最近的一个猜想，这个问题的分数版本。
2020-08-14 math.CO
Partitioning edge-coloured complete graphs into monochromatic cycles and paths
Erdés、Gyárfás和Pyber的一个猜想说，在一个具有r种颜色的完全图的任何边着色中，有可能用r个顶点不相交的单色圈覆盖所有顶点。到目前为止，这个猜想只在r = 2时被证明。在本文中，我们表明，事实上，这个猜想是假的所有r > 2。与此相反，我们表明，在任何边着色的完全图与三种颜色，它是可能的，覆盖所有的顶点与三个顶点不相交的单色路，证明了一个特殊情况下的猜想，由于Gyárfás。作为一个中间结果，我们表明，在任何边着色的颜色红色和蓝色的完全图，它是可能的，覆盖所有的顶点与红色的道路，和一个不相交的蓝色平衡完全二部图。
2012-05-24 math.CO
Partitioning random graphs into monochromatic components
Erdás，Gyárfás，and Pyber（1991）证明了每个$r$着色的完全图最多可以被划分为$r-1$单色分量;这是对Lovász（1975）猜想的加强，在Lovász（1975）猜想中，分量只需要形成覆盖。Haxell和Kohayakawa（1995）的一个重要的部分结果表明，对于足够大的$r$ -着色完全图，划分成$r$单色分量是可能的。我们首先将Haxell和Kohayakawa的结果推广到最小度大的图，然后给出了随机图的一些部分类似结果。特别是，我们表明，如果$p\ge \left(\frac{27\log n}{n}\right)^{1/3}$，那么a.a.s.在$G(n,p)$的每个$2$ -着色中，存在分成两个单色分量的分区，并且对于$r\geq 2$，如果$p\ll \left(\frac{r\log n}{n}\right)^{1/r}$，则a.a.s.存在$G(n,p)$的$r$ -着色，使得不存在具有有界分量数的覆盖。最后，我们考虑Gyárfás（1977）关于$r$ -着色完全图中大单色分量的经典结果的随机图形式。我们表明，如果$p=\frac{ω(1)}{n}$，那么a.a.s.在$G(n,p)$的每一个$r$ -着色中，存在阶至少为$(1-o(1))\frac{n}{r-1}$的单色分量。
2017-02-15 math.CO
Covering complete graphs by monochromatically bounded sets
给定完全图$K_n$的边的$k$ -着色，是否存在覆盖其顶点的$k-1$单色分量？著名的洛瓦兹-莱瑟猜想的这个重要特例仍然悬而未决。在本文中，我们考虑加强这个问题，我们坚持覆盖集不仅是连接的，但有界直径。特别是，我们证明了，对于任何着色的$E(K_n)$与4种颜色，有一个选择的集合$A_1, A_2, A_3$，覆盖所有顶点，和颜色$c_1, c_2, c_3$，使每个$i = 1,2,3$的单色子图诱导的集合$A_i$和颜色$c_i$的直径最多为160。
2017-05-25 math.CO
Monochromatic cycle partitions of $r$-edge-coloured graphs with high minimum degree
London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）；Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学）
该研究解决了高最小度数r边着色图的单色环覆盖问题，证明了所需单色环数量的上界，并推翻了关于单色树覆盖的猜想。
2026-01-29 math.CO
Monochromatic bounded degree subgraph partitions
设${\cal{F}}=\{F_1,F_2,\ldots\}$是一个图序列，使得$F_n$是一个顶点数为$n$且最大度至多为$Δ$的图.我们证明了存在一个绝对常数$C$，使得任意2-边着色完全图的顶点最多可以从${\cal{F}}$划分为$2^{CΔ\logΔ}$顶点不相交的单色图副本.如果每个$F_n$都是二部的，那么我们可以将这个界改进为$2^{C Δ}$ ;这个结果对于常数$C$是最优的。
2014-05-29 math.CO
Tiling with monochromatic bipartite graphs of bounded maximum degree
我们证明了对于任何$r\in \mathbb{N}$，存在一个常数$C_r$，使得下面的是真的。设$\mathcal{F}=\{F_1,F_2,\dots\}$是一个二部图的无限序列，使得$|V(F_i)|=i$和$Δ(F_i)\leq Δ$对所有$i$成立.则在任何$r$ -边着色完全图$K_n$中，至多存在一个$\exp(C_rΔ)$单色子图的集合，每个单色子图同构于$\mathcal{F}$的一个元素，其顶点集划分$V(K_n)$ .证明了Corsten和Mendonça的一个强形式猜想，推广了有界度二部图的多色Ramsey数的结果.
2021-09-20 math.CO
A note about monochromatic components in graphs of large minimum degree
对所有正整数$r\geq 3$和$n$，使得$r^2-r$整除$n$，且存在阶为$r$的仿射平面，构造了一个最小度为$(1-\frac{r-2}{r^2-r})n-2$的$r$ -边有色图，使得最大单色分量的阶数小于$\frac{n}{r-1}$ .这推广了Guggiari和Scott以及Rahimi对$r=3$的一个例子，从而证明了Gyárfás和Sárközy对所有整数$r\geq 3$的一个猜想是错误的，使得存在一个$r$阶的仿射平面。
2020-06-15 math.CO
Large monochromatic components in multicolored bipartite graphs
众所周知，在完全二部图$K_{m,n}$的边的每一个$r$ -染色中，都存在一个至少有${m+n\over r}$顶点的单色连通分支.本文研究了这个问题的一个推广，用最小度大的二部图代替完全二部图。我们猜想，在具有$|X|=m$，$|Y|=n$，$δ(X,Y) > \left( 1 - \frac{1}{r+1}\right) n$和$δ(Y,X) > \left( 1 - \frac{1}{r+1}\right) m$的$(X,Y)$ -二部图的边的每一个$r$ -染色中，至少在$\frac{m+n}{r}$顶点上存在一个单色分支（与完全二部图中的情形相同）.如果为真，则最小度条件是尖锐的（因为当$m$和$n$可被$r+1$整除时，两个不等式都不能变弱）。我们证明了$r=2$的猜想，并证明了所有$r\geq 3$的一个较弱的界。作为推论，我们得到了最小度大的$r$着色图中存在至少有$\frac{n}{r-1}$顶点的单色分支的一个结果。
2019-10-09 math.CO
Almost partitioning every $2$-edge-coloured complete $k$-graph into $k$ monochromatic tight cycles
研究红蓝着色完全$k$-图的单色紧圈划分问题，证明其中存在$k$个顶点互不相交的单色紧圈，可覆盖除$o(n)$外的全部顶点。
2024-05-08 math.CO
Monochromatic cycle partitions of $2$-coloured graphs with minimum degree $3n/4$
Balogh、Barát、Gerbner、Gyárfás和Sárközy提出了以下猜想。设$G$是$n$顶点上的图，其最小度至少为$3n/4$ .然后，对于$G$的每个$2$ -边着色，顶点集$V(G)$可以被划分成两个顶点不相交的循环，每个颜色一个。我们证明，这个猜想持有$n$足够大，改善上述作者和DeBiasio和Nelsen的近似结果。
2015-02-26 math.CO
