The extremal function for partial bipartite tilings
对于一个固定的二部图H和给定的数c，0<c<1，我们确定了一个阈值T_H（c），它保证了任何一个n-顶点图的边密度至少为T_H（c），它包含H的$(1-o(1))c/v(H) n$顶点不相交的拷贝。在证明中，我们使用了Komlos~ \bcolor{[Combinatorica 20 (2000), 203-218} ]开发的一种技术的变体
2011-01-06 math.CO
Monochromatic partitions in 2-edge-coloured bipartite graphs
本研究针对Gyarfas--Lehel猜想，证明在随机二部图与高最小度二部图中，任意2-染色均可用至多三个顶点不相交的单色组件覆盖几乎所有顶点。
2024-03-19 math.CO
Partitioning edge-coloured infinite complete bipartite graphs into monochromatic paths
1978年，理查德·拉多证明了每一个可数无限阶的边着色完全图都可以划分成不同颜色的单色路。他问这是否仍然适用于不可数完全图和概念的\emph{generalised paths}。在2016年，Daniel Soukup对此做出了肯定的回答，并证明了类似的结果应该适用于具有相同无限基数的双划分类的完全二部图，即每个用$r$颜色边着色的图都可以划分为$2r-1$单色广义路径，每个颜色最多使用两次。本文对Soukup猜想给出了肯定的回答。
2018-08-29 math.CO
Large monochromatic components in almost complete graphs and bipartite graphs
Gyárfas证明了每一个着色的边缘$K_n$与$t+1$颜色包含一个单色连通组件的大小至少$n/t$。后来，Gyárfás和Sárközy询问了$γ=γ(t)$的哪些值对于几乎完全图是加强的：如果$G$是一个$n$ -顶点图，其最小度至少为$(1-γ)n$，则$G$的每个$(t+1)$ -边着色包含一个大小至少为$n/t$的单色分量。我们证明了$γ= 1/(6t^3)$是足够的，改进了DeBiasio、Krueger和Sárközy的结果。
2020-08-27 math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-colored bipartite graphs
Gyárfás和Lehel以及独立的Faudree和Schelp证明了在$K_{n,n}$的边的任何2-着色中，至少在$2\lceil n/2\rceil$顶点上存在一条单色路，并且这是紧的。我们证明了这个结果的一个稳定性版本，即使主机图是不完整的;也就是说，如果$G$是$2n$顶点上的平衡二部图，其最小度至少为$(3/4+o(1))n$，则在$G$的边的每一个2-着色中，或者在至少$(1+o(1))n$顶点上存在单色圈，或者$G$的着色接近于极值着色--在这种情况下，$G$在至少$2\lceil n/2\rceil$顶点上具有单色路径，并且在至少$2\lfloor n/2\rfloor$顶点上具有单色循环。此外，我们确定了一个渐近紧界的最长单色圈的长度在2色平衡二部图的$2n$顶点的最小程度$δn$所有$0\leq δ\leq 1$。
2018-06-13 math.CO
Note on bipartite graph tilings
设s<t是两个固定的正整数。研究了两个色类都为n=k（s+t）的二部图G的最小度条件，该条件保证G具有K_{s,t} -因子.给出了大n时的精确结果。我们的结果推广了Zhao的工作，他确定了保证二部图具有K_{s,s} -因子的最小度阈值。
2010-01-11 math.CO
Large monochromatic components in multicolored bipartite graphs
众所周知，在完全二部图$K_{m,n}$的边的每一个$r$ -染色中，都存在一个至少有${m+n\over r}$顶点的单色连通分支.本文研究了这个问题的一个推广，用最小度大的二部图代替完全二部图。我们猜想，在具有$|X|=m$，$|Y|=n$，$δ(X,Y) > \left( 1 - \frac{1}{r+1}\right) n$和$δ(Y,X) > \left( 1 - \frac{1}{r+1}\right) m$的$(X,Y)$ -二部图的边的每一个$r$ -染色中，至少在$\frac{m+n}{r}$顶点上存在一个单色分支（与完全二部图中的情形相同）.如果为真，则最小度条件是尖锐的（因为当$m$和$n$可被$r+1$整除时，两个不等式都不能变弱）。我们证明了$r=2$的猜想，并证明了所有$r\geq 3$的一个较弱的界。作为推论，我们得到了最小度大的$r$着色图中存在至少有$\frac{n}{r-1}$顶点的单色分支的一个结果。
2019-10-09 math.CO
Structural Reductions for Monochromatic Matchings and Ramsey Tilings
Institute for Basic Science（基础科学研究院）；Saint Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）；Nanjing University（南京大学）
提出一种无拓扑的结构框架，通过超图正则性、LP对偶和凸几何压缩，渐近证明Alon-Frankl-Lovász定理，并解决完全宿主多色Ramsey平铺问题，得到有效可计算的渐近常数。
2026-08-24 math.CO
Monochromatic components in dense 2-edge-coloured balanced bipartite graphs
Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学与统计学院）；Centro de Modelamiento Matemático（数学建模中心）
该研究针对稠密二边染色平衡二分图，证明满足最小度条件的图可被至多3个单色分支覆盖，并构造实例说明该最小度条件是最优的。
2026-08-19 math.CO
Partitioning 3-edge-colored complete equi-bipartite graphs by monochromatic trees under a color degree condition
$r$边有色图$G$的单色树划分数，记为$t_r(G)$，是最小整数$k$，使得只要$G$的边用$r$颜色着色，$G$的顶点最多能被$k$顶点不相交的单色树覆盖.一般来说，确定这个数字是非常困难的。对于2-边着色完全多部图，Kaneko，Kano和Suzuki给出了$t_2(K(n_1,n_2,...,n_k))$的精确值.本文证明了：若K（n，n）是3-边着色的，使得每个顶点的色度为3，则$t_3(K(n,n))=3.$
2008-01-03 math.CO
Upper density of monochromatic paths in edge-coloured infinite complete graphs and bipartite graphs
定义具有$V(G) \subseteq \mathbb{N}$的无限图$G$的上密度为$\overline{d}(G) = \limsup_{n \rightarrow \infty}{|V(G) \cap \{1,\ldots,n\}|}/{n}$。设$K_{\mathbb{N}}$是顶点集为$\mathbb{N}$的无限完全图. Corsten、DeBiasio、Lamaison和Lang证明，在$K_{\mathbb{N}}$的每个$2$ -边着色中，存在一个最高密度至少为$(12 + \sqrt{8})/17$的单色路径，这是最好的可能。在本文中，我们将这个结果推广到$k$ -边着色的$K_{\mathbb{N}}$为$k \ge 3$。我们猜想每个$k$ -边色$K_{\mathbb{N}}$都包含一个单色路径，其上密度至少为$1/(k-1)$，这是最好的可能性（当$k-1$是素数幂时）。我们证明，这是真的，当$k = 3$和渐近时$k =4$。此外，我们表明，这个问题可以推导出它的二分变体，这是独立的利益。
2022-10-25 math.CO
Bipartite graphs and monochromatic squares
我们证明了对于每个$τ\inκ^+$，大小为$κ^+\timesκ^+$的二部图一致地包含一个团或一个大小为$τ\timesτ$的独立子集，其中$κ$是后继基数.
2018-12-13 math.CO math.LO
Ramsey-type problems for tilings in dense graphs
本文研究了稠密图中的Ramsey型铺嵌问题，确定了在2-边着色大最小度图中强制单色$K_3$-tiling覆盖规定顶点比例的最小度阈值及最大保证规模，推广了Moon与Burr-Erdős-Spencer的经典定理，并扩展至$r$-边着色与任意$H$-tilings。
2025-08-14 math.CO
Monochromatic balanced components, matchings, and paths in multicolored complete bipartite graphs
众所周知，在完全二部图$K_{n,n}$的边的每一个$r$ -染色中，都存在一个至少有${2n\over r}$顶点的单色连通分支.这将是有趣的，知道我们是否可以额外要求，这个大的组件是平衡的，也就是说，它是真的，在每一个$r$着色的$K_{n,n}$有一个单色组件，满足双方在至少$n/r$顶点？四十多年前，Gyárfás和Lehel以及Faudree和Schelp分别证明了任何$2$着色的$K_{n,n}$都包含一个单色的$P_n$。最近，Bucić，Letzter和Sudakov证明了每个$3$着色的$K_{n,n}$包含一个大小为$\lceil n/3 \rceil$的单色连通匹配（一个边在同一连通分量中的匹配）。因此，对于$1\leq r\leq 3$，答案是肯定的。我们提供了一个简短的证明（一个非对称版本）的原始问题$1\leq r\leq 3$，也就是说，每一个$r$着色的$K_{m,n}$有一个单色组件，满足每一侧的$1/r$比例的部分大小。然后，有点令人惊讶的是，我们表明，这个问题的答案是“不”的所有$r\ge 4$。例如，存在$K_{n,n}$的$4$ -着色，其中最大的平衡单色分量在两个分类中都具有$n/5$顶点（而不是$n/4$）。我们的结构是基于$P_4$的$r$ -色二分Ramsey数的下界，表示为$f(r)$，这是最小的整数$\ell$，使得在每个$r$…
2019-10-09 math.CO
On edges not in monochromatic copies of a fixed bipartite graph
设$H$是一个固定图。将$f(n,H)$表示为在完全图$K_n$的2-边着色中不包含在$H$的任何单色副本中的最大边数，并且将$ex(n,H)$表示为$H$的{\it Turán数}。一个简单的下限显示了任何$H$和$n$的$f(n,H)\ge ex(n,H)$。在\cite{KS2}中，Keevash和Sudakov证明了如果$H$是一个边色临界图或$C_4$，那么$f(n,H)= ex(n,H)$对大的$n$成立，并且他们问当$n$足够大时，这个等式是否对任何图$H$成立。在本文中，我们提供了一个肯定的答案，一个丰富的无限族的二部图$H$，包括所有偶圈和完全二部图$K_{s,t}$的$t>s^2-3s+3$或$(s,t)\in\{(3,3),(4,7)\}$。另外，我们证明了对于所有这样的$H$，$K_n$的2-边着色$c$达到最大数$f(n,H)$当且仅当$c$中的一个色类诱导$ex(n,H)$的极值图.我们还得到了二部图的一个多染色推广。最后对相关问题进行了讨论。
2016-05-30 math.CO
Applications of Graphical Condensation for Enumerating Matchings and Tilings
利用图凝聚技术证明了平面二部图的（完美）匹配数与区域分块数之间的各种组合恒等式。图形凝聚涉及将图的匹配叠加到较小子图的匹配上，然后以两种可能的方式之一将联合匹配（实际上是多重图）重新划分为另外两个子图的匹配。这种技术可以用来枚举各种各样的二部可平面图的完美匹配。应用程序包括阿兹特克钻石和矩形的多米诺骨牌平铺，堡垒的空竹平铺，平面分区和转置互补平面分区。
2003-09-11 math.CO
Components of domino tilings under flips in quadriculated tori
该研究针对方格环面的多米诺铺砌翻转图连通性问题，用图论方法证明非二分方格环面翻转图含两个同构分量且其完美匹配强迫数为整数区间，还用同调给出二分情形分量数的通用下界。
2024-11-02 math.CO
All partitions have small parts - Gallai-Ramsey numbers of bipartite graphs
Gallai染色是边着色的完全图，其中不存在彩虹三角形。在这样的彩色完全图，我们考虑拉姆齐型问题，寻找指定的单色图。在这项工作中，我们考虑单色二部图，因为已知的数字增长速度比非二部图。主要结果表明，它足以只考虑$3$ -染色，有一个特殊的划分的顶点。利用这个工具，我们找到了几个锐数，并推测了所有二部图的锐值。特别地，我们确定了所有二部图的Gallai-Ramsey数，并开始了线性森林的研究。
2017-10-28 math.CO
Edges not covered by monochromatic bipartite graphs
令$f_k(n,H)$表示在$K_n$的边的$k$ -着色中不包含在~ $H$的任何单色副本中的边的最大数目，并且令$ex(n,H)$表示$H$的图兰数。在$f_2(n,H)$的地方，我们简单地写$f(n,H)$。Keevash和Sudakov证明了$f(n,H)=ex(n,H)$，如果$H$是一个边临界图或$C_4$，并询问这个等式是否对任何图$H$成立。这个问题的所有已知精确值都要求$H$至少包含一个循环。本文主要研究了无圈图，得到了以下结果：（1）当$H$是蜘蛛或双扫帚时，证明了$f(n,H)=ex(n,H)$。(2)$H$中的\emph{tail}是路径$P_3=v_0v_1v_2$，使得$v_2$仅与$v_1$相邻，并且$v_1$仅与$H$中的$v_0,v_2$相邻。当$H$是带尾二部图时，我们得到了$f(n,H)$的一个紧上界。这一结果提供了第一个二部图，回答了Keevash和Sudakov的问题的否定。(3)Liu，Pikhurko和Sharifzadeh问当$T$是一棵树时，$f_k(n,T)=(k-1)ex(n,T)$是否是一棵树。我们提供了一个上限为$f_{2k}(n,P_{2k})$，并表明它是紧时，$2k-1$是素数。这对他们的问题提供了一个否定的答案。
2022-10-26 math.CO
Almost partitioning a 3-edge-coloured $K_{n,n}$ into 5 monochromatic cycles
我们证明了对于具有3种颜色的完全二部图$K_{n,n}$的边的任何着色，存在5个不相交的单色圈，它们一起覆盖除了$o(n)$之外的所有顶点。在相同的情况下，18个不相交的单色循环一起覆盖所有顶点。
2016-11-16 math.CO
Tiling in bipartite graphs with asymmetric minimum degrees
Zhao解决了2 ms阶平衡二部图包含m个K_{s,s}顶点不交副本的最优最小度条件问题.后来，Hladkalski和Schacht，以及Czygrinow和DeBiasio确定了2 m（s+t）个顶点上的平衡二部图包含m个K_{s,t}的顶点不相交副本的最优最小度条件，其中s<t是固定的正整数。对于平衡二部图G[U，V]，设δ U为U中所有顶点的最小度，δ V为V中所有顶点的最小度，考虑了保证G可以用K_{s,s}平铺的δ U+δ V的最优值的确定问题.我们证明了最优值取决于D：=| δ_V-δ_U|.当D较小时，我们证明了δ_U+δ_V \geq n+3s-5是最佳可能的.当D变大时，我们证明δ_U+δ_V可以变小，但不小于n+2s-2s^{1/2}。然而，当D=n-C时，我们证明了存在δ_U+δ_PDMATHABMO +s^{s^{1/3}}不能用K_{s,s}平铺的图.
2013-10-01 math.CO
Dimers, Tilings and Trees
推广Temperley，Brooks，Smith，Stone和Tutte等人的结果，我们描述了三个平面对象之间的自然等价：加权二分可平面图;平面马尔可夫链;和具有凸多边形的平铺。这个等价性提供了一个加权二分可平面图的二聚体覆盖与相应的马尔可夫链上的生成树之间的保测度双射。平铺对应于马尔可夫链上的调和函数和二部图上的“离散解析函数"。等价扩展到无限周期图，我们分类的“几乎”的tilings和调和函数。
2003-10-13 math-ph math.CO math.MP
Monochromatic paths in $2$-edge coloured graphs and hypergraphs
我们回答了Gyárfás和Sárközy在2013年提出的一个问题，证明了每一个2-边色完全3-一致超图都可以划分成两条不同颜色的单色紧路。我们还给出了划分任意2-边色完全r-部r-一致超图所需紧路数的一个下界。最后，我们证明了任何2-边着色的完全二部图都有一个划分为不同颜色的单色圈和单色路，除非着色是分裂着色。
2023-01-25 math.CO
Edges not in any monochromatic copy of a fixed graph
对于一个图序列$(H_i)_{i=1}^k$，令$\textrm{nim}(n;H_1,\ldots, H_k)$表示在$(H_i)_{i=1}^k$的所有$k$ -边着色上，对于任何颜色$i$，不包含在颜色$i$中的$H_i$的任何单色副本中的最大边数。当每个$H_i$连通且非二部时，我们引入一个Ramsey数的变体，它决定了$\textrm{nim}(n;H_1,\ldots, H_k)/{n\choose 2}$的极限为$n\to\infty$，并证明了相应的稳定性结果.此外，如果每个$H_i$都是我们所说的\emph{homomorphism-critical}（特别是如果每个$H_i$都是一个团），那么对于所有足够大的$n$，我们精确地确定$\textrm{nim}(n;H_1,\ldots, H_k)$。我们结果的特例$\textrm{nim}(n;K_3,K_3,K_3)$回答了Ma的一个问题.对于二部图，我们主要集中在双色对称的情况下（即，当$k=2$和$H_1=H_2$时）。不难看出，$\textrm{nim}(n;H,H)$至少是$\textrm{ex}(n,H)$，即$n$顶点上的无$H$图的最大尺寸. Keevash和Sudakov表明，平等举行，如果$H$是$4$ -循环和$n$是大的，最近马扩展他们的结果，一个无限家庭的二分图。我们提供了一个更大的二部图…
2018-07-10 math.CO
Partitioning 2-edge-coloured bipartite graphs into monochromatic cycles
本文研究2-边着色完全平衡二部图划分为单色圈的问题，证明任意2-边着色的 $K_{n,n}$ 至多可划分为4个单色圈，改进了此前14个圈的上界。
2025-06-04 cs.DM math.CO
Monochromatic triangle packings in red-blue graphs
证明了在$K_n$的每一个$2$ -边着色中，都存在一个$n^2/12 + o(n^2)$边不相交的单色三角形的集合，从而证实了Erdos的一个猜想.我们还证明了相应的稳定性结果，表明$2$着色接近达到上述界限有一个颜色类，这是接近二分。作为我们的证明的一部分，我们证实了Tyomkyn最近的一个猜想，这个问题的分数版本。
2020-08-14 math.CO
Monochromatic bounded degree subgraph partitions
设${\cal{F}}=\{F_1,F_2,\ldots\}$是一个图序列，使得$F_n$是一个顶点数为$n$且最大度至多为$Δ$的图.我们证明了存在一个绝对常数$C$，使得任意2-边着色完全图的顶点最多可以从${\cal{F}}$划分为$2^{CΔ\logΔ}$顶点不相交的单色图副本.如果每个$F_n$都是二部的，那么我们可以将这个界改进为$2^{C Δ}$ ;这个结果对于常数$C$是最优的。
2014-05-29 math.CO
Counting Bipartite, k-Colored and Directed Acyclic Multi Graphs Through F-nomial coefficients
其中，F-多项式系数包括分别对有限集的子集和有限向量空间的子空间计数的公知的二项式系数或高斯系数。这里，考虑所谓的F-蛛网镶嵌序列N（a）。对于这样的特定序列，一个新的解释相对于克瓦希涅夫斯基一般组合解释的F-范数系数是unearhed。也就是说，对于镶嵌序列F = N（a）$，F-范数系数等于标号特殊二部多重图G（a，n，k）的个数。建立了k-着色a-多重图的个数与多重N（a）-范数系数之间的显式关系。本文还证明了所考虑的N（a）-有名无实系数的逆矩阵的第一行的无符号值等于n个结点的有向无圈a-重图的个数。
2009-01-11 math.CO
Three-colour bipartite Ramsey number for graphs with small bandwidth
本文估计了具有小带宽和有界最大度的平衡二部图$H$的$3$ -色二部Ramsey数.更确切地说，我们表明，$N$的最小值，使在任何$3$ -边缘着色的$K_{N,N}$有一个单色的$H$的副本是最多$\big(3/2+o(1)\big)|V(H)|$。特别地，我们确定了平衡网格图的$3$ -色二部Ramsey数。
2018-04-06 math.CO
Three colour bipartite Ramsey number of cycles and paths
二部图$H$的$k$ -色二部Ramsey数是使每一个$k$ -边色完全二部图$K_{n,n}$包含$H$的单色副本的最小整数$n$.对二部Ramsey数的研究始于40多年前，由Faudree和Schelp以及Gyárfás和Lehel独立地提出，他们确定了路的$2$ -色Ramsey数。本文渐近地确定了路和（偶）圈的$3$ -色二部Ramsey数.
2019-08-06 math.CO
Tiling $H$ in dense graphs
本文确定了 $H$ 形树铺砌问题的两个渐近极值构造，其中第一个接近两个团的补图，反驳了 Lang 关于推广 Erdős 匹配猜想的猜想。
2025-01-20 math.CO
Enumeration of rooted 3-connected bipartite planar maps
本研究首次解决有根3-连通二部平面图的计数问题，通过分解图的连通分量得到对应生成函数，推导出该类图数量的渐近估计式。
2024-02-01 math.CO
Tiling randomly perturbed multipartite graphs
本文证明了随机扰动平衡 $r$-部图中存在完美 $K_r$-平铺的阈值为 $n^{-2/r}$，将已有二部图结果推广到多部图情形。
2025-04-09 math.CO
Bipartite Ramsey numbers of large cycles
对于整数$r\geq 2$和二部图$H_i$，其中$1\leq i\leq r$，二部Ramsey数$br(H_1,H_2,\ldots,H_r)$是最小整数$N$，使得完全二部图$K_{N,N}$的任何$r$ -边染色包含与$H_i$在颜色$i$上同构的单色子图，对于某些$i$，$1\leq i\leq r$。我们发现，对于$α_1,α_2>0$，$br(C_{2\lfloor α_1 n\rfloor},C_{2\lfloor α_2 n\rfloor})=(α_1+α_2+o(1))n$。我们还表明，如果$r\geq 3, α_1,α_2>0, α_{j+2}\geq [(j+2)!-1]\sum^{j+1}_{i=1} α_i$为$j=1,2,\ldots,r-2$，那么$br(C_{2\lfloor α_1 n\rfloor},C_{2\lfloor α_2 n\rfloor},\ldots,C_{2\lfloor α_r n\rfloor})=(\sum^r_{j=1} α_j+o(1))n.$为$ξ>0$和足够大的$n$，让$G$是一个二分图，二分$\{V_1,V_2\}$，$|V_1|=|V_2|=N$，其中$N=(2+8ξ)n$。证明了如果$δ(G)>(\frac{7}{8}+9ξ)N$，则$G$的任何$2$ -边着色都包含$C_{2n}$的单色拷贝.
2018-08-31 math.CO
Bounded diameter covering of 2-colored complete bipartite graphs
Miami University（迈阿密大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）
针对二染色完全二部图的覆盖问题，在Henderson-Ryser猜想的有界直径二部类似问题基础上，将其顶点覆盖的单色子图直径上界从4改进为最优值3。
2026-08-27 math.CO
Generalizing the divisibility property of rectangle domino tilings
我们介绍了一类图称为复合图，广义矩形，这是一个平面的二分基图的副本。主要结果是：每一个复合图的完美匹配数都能被它的基图的完美匹配数整除。我们的方法是使用Kasteleyn定理来证明一个关键引理，其中整除定理组合地遵循。这个定理然后被应用于提供Propp的匹配的枚举问题21的证明，矩形的整除性。最后，我们提出了一个新的证明，在同样的精神，Ciucu的因式分解定理。
2016-07-26 math.CO
Degree bipartite Ramsey numbers
令$H\xrightarrow{s} G$表示由$s$颜色对$H$的任何边着色包含单色$G$。将次数Ramsey数$r_Δ(G;s)$定义为$\min\{Δ(H):H\xrightarrow{s} G\}$，将次数二分Ramsey数$br_Δ(G;s)$定义为$\min\{Δ(H):H\xrightarrow{s} G\; \mbox{and} \;χ(H)=2\}$。本文证明了当$m$固定时，$r_Δ(K_{m,n};s)$对$n$是线性的.我们还确定了$br_Δ(G;s)$，其中$G$是树，包括星和路，和完全二部图。
2019-08-31 math.CO
Multicolour bipartite Ramsey number of paths
二部图$H$的$k$ -色二部Ramsey数是使每一个$k$ -边色完全二部图$K_{N,N}$包含$H$的单色副本的最小整数$N$.对二部拉姆齐数的研究是在40多年前由Faudree和Schelp以及Gyárfás和Lehel独立发起的，他们确定了路的$2$ -色二部拉姆齐数。最近的$3$ -颜色拉姆齐数的路径和（甚至）周期，基本上是确定的。本文改进了DeBiasio，Gyárfás，Krueger，Ruszinkó和Sárközy的结果，渐近地确定了路和圈的$4$ -色二部Ramsey数.我们还提供了新的上界的$k$ -颜色的二部Ramsey数的路径和周期是接近紧。
2019-09-17 math.CO
Partitioning edge-coloured complete graphs into monochromatic cycles and paths
Erdés、Gyárfás和Pyber的一个猜想说，在一个具有r种颜色的完全图的任何边着色中，有可能用r个顶点不相交的单色圈覆盖所有顶点。到目前为止，这个猜想只在r = 2时被证明。在本文中，我们表明，事实上，这个猜想是假的所有r > 2。与此相反，我们表明，在任何边着色的完全图与三种颜色，它是可能的，覆盖所有的顶点与三个顶点不相交的单色路，证明了一个特殊情况下的猜想，由于Gyárfás。作为一个中间结果，我们表明，在任何边着色的颜色红色和蓝色的完全图，它是可能的，覆盖所有的顶点与红色的道路，和一个不相交的蓝色平衡完全二部图。
2012-05-24 math.CO
Monochromatic tree covers and Ramsey numbers for set-coloured graphs
我们考虑一个概括的经典拉姆齐理论设置的设置，其中每个边缘的基础主机图是彩色的{ \em集}的颜色（而不是只有一种颜色）。我们给出了单色树覆盖在这种设置下，无论是一个基本的完全图，和一个基本的完全二部图的界限。我们还讨论了一个概括的拉姆齐数，我们的设置，并提出了一些其他的新方向。我们对完全图中树覆盖的研究结果表明，对于$k$ -交$r$ -部$r$ -一致超图，Ryser猜想的一个更强的版本成立：它们的横截最多为$r-k$ .（Király等人也得到了类似的结果，见下文）。然而，我们也表明，绑定$r-k$是不是最好的可能在一般情况下。
2018-05-28 math.CO
Multicolor bipartite Ramsey number of double stars
本文研究了双星$S(n,m)$的多色二部Ramsey数，通过在二部设定中应用Turán论证，证明了在$k=2$且$n\ge m$或$k\ge3$且$n\ge 2m$条件下，该Ramsey数等于$kn+1$。
2024-03-28 math.CO
Covering complete $r$-partite hypergraphs with few monochromatic components
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文证明了在特定条件下，通过少量单色组件可以覆盖完整的$r$-部超图，解决了Gyárfás和Király的猜想，并给出了二分图的覆盖结论。
2026-03-05 math.CO
The bipartite Ramsey number $br(C_{2n}, C_{2m})$
给定二部图$H_1$，\dots，$H_k$，二部Ramsey数$br(H_1,\dots, H_k)$是最小整数$N$，使得完全二部图$K_{N, N}$的任何$k$ -边染色包含一个单色$H_i$，$i$为$1\le i\le k$ .关于圈的二部Ramsey数的渐近值已有相当多的结果。对于精确值，Zhang-Sun \cite{Zhangs}测定$br(C_4, C_{2n})$，Zhang-Sun-Wu \cite{Zhangsw}测定$br(C_6, C_{2n})$，Gholami-Rowshan \cite{GR}测定$br(C_8, C_{2n})$。本文解决了其余所有情形，并给出了所有$n\ge m\ge 5$的$br(C_{2n}, C_{2m})$的精确值，从而回答了Bucić-Letzter-Sudakov \cite{BLS}，Gholami-Rowshan \cite{GR}，Zhang-Sun \cite{Zhangs}，Zhang-Sun-Wu \cite{Zhangsw}所关心的一个问题.
2023-01-30 math.CO
The cubical matching complex revisited
Ebergborg指出，二分可平面图的所有平铺都是由它的三次匹配复形编码的，并声称这种复形是可折叠的。我们指出了他的证明中的一个疏忽，并解释了为什么这些复合物可以是可折叠复合物的工会。此外，我们证明了所有的链接，在这些复杂的悬挂同伦。此外，我们扩展了一个立方匹配复杂的定义，可平面图，不一定是二分的，并表明，这些复杂的可收缩或不相交的可收缩复合体的联合。对于可以用多米诺骨牌（$2\times 1$和$1\times 2$）和$2\times 2$方块平铺的简单连通区域，让$f_i$表示正好是$i$方块的平铺数。我们证明了$f_0-f_1+f_2-f_3+\cdots=1$（由Ebergborg建立）是数$f_i$的唯一线性关系。
2019-04-08 math.CO
Exact enumeration of lozenge tilings of a triangular region
研究三角形区域\(\mathcal{T}_n\)菱形平铺数量，通过将问题转化为求对偶图二分邻接矩阵\(M_n\)的行列式并对角化来求解，给出精确公式并解释其有许多质因数的原因。
2026-08-04 math.CO
Exact three-component covers in 2-coloured random bipartite graphs
Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈阿斯联邦大学）
本文解决了随机二部图中二色三组件猜想，证明当边概率远大于根号下对数n除以n时，任何红蓝边着色都能用至多三个单色连通组件覆盖所有顶点，方法基于公共邻域扩展引理。
2026-09-17 math.CO
Monochromatic $k$-connection of graphs
本文研究了图的 $k$$-连通图的单色 $k$-连通数 $mc_k(G)$，，得到了一般图的界，，并精确计算了了特定条件下的值，同时证明了二分图的类似结果。
2024-02-14 math.CO
Partitioning 2-edge-colored graphs by monochromatic paths and cycles
给出了$2$ -边-有色图的顶点划分为单色路和圈的结果.我们渐近地证明了Sárközy猜想的双色情形：每个$2$ -边着色图的顶点集最多可划分为$2α(G)$单色圈，其中$α(G)$表示$G$的独立数.另一个方向，最近出现的一个猜想Schelp，是考虑着色的图与给定的最低程度。证明了除$o(|V(G)|)$顶点外，任何最小度至少为$(1+\eps){3|V(G)|\over 4}$的$2$ -边着色图$G$的顶点集都能被两个顶点不相交的不同颜色单色圈的顶点所覆盖.最后，在假设$\overline{G}$不包含固定二部图$H$的条件下，证明了在$G$的每一个$2$ -边染色中，$|V(G)|-c(H)$顶点可以被两条不同颜色的顶点不相交路覆盖，其中$c(H)$是一个只依赖于$H$的常数.特别是，我们证明了$c(C_4)=1$，这是最好的可能。
2015-09-18 math.CO
Forbidden rainbow subgraphs that force large monochromatic or multicolored k-connected subgraphs
设$n, k, m$是正整数，且$n\gg m\gg k$，且$\mathcal{A}$是阶数至少为3的图$G$的集合，使得在使用所有$m$颜色的$K_n$的任何彩虹$G$ -自由着色中存在阶数至少为$n-f(G,k,m)$的$k$ -连通单色子图.本文证明了集合$\mathcal{A}$恰好由$P_6$，$P_3\cup P_4$，$K_2\cup P_5$，$K_2\cup 2P_3$，$2K_2\cup K_3$，$2K_2\cup P^{+}_4$，$3K_2\cup K_{1,3}$及其阶数至少为3的子图组成.此外，我们表明，对于任何图$H\in \mathcal{A}$，如果$n$充分大于$m$和$k$，那么任何彩虹$(P_3\cup H)$ -自由着色的$K_n$使用所有的$m$颜色包含一个$k$连接的单色子图的顺序至少$cn$，其中$c=c(H)$是一个常数，不依赖于$n$，$m$或$k$。此外，我们考虑了完全二部图中的一个并行问题。令$s, t, k, m$是具有${\rm min}\left\{s, t\right\}\gg m\gg k$和$m\geq |E(H)|$的正整数，并且令$\mathcal{B}$是阶至少为3的二分图$H$的集合，使得在使用所有$m$颜色的$K_{s,t}$的任何彩虹$H$ -自由着色中存在阶至少为$s+t-f(H,k,m)$的$k…
2019-07-03 math.CO
Partitioning two-coloured complete multipartite graphs into monochromatic paths and cycles
证明了$k$ -部图$G$在$n$顶点上的任意完全图$G$，如果$k \ge 3$的边是双色的，则它可以被两条顶点不相交的不同颜色的单色路覆盖.我们证明这一点的必要假设下，最大的分区类的$G$包含最多$n/2$顶点。这推广了完全图和完全二部图的已知结果。其次，我们表明，在相同的情况下，所有的，但$o(n)$顶点的图可以覆盖两个顶点不相交的单色循环的不同的颜色，如果着色接近分裂着色被排除。由此，我们得出，整个图，如果足够大，可以覆盖有14个顶点不相交的单色循环。
2014-10-07 cs.DM math.CO
Non-bipartite k-common graphs
本文构造了连通的非二部k-common图，解决了Jagger等人的问题，并证明了图H对所有k为k-common（或局部k-common）当且仅当H是Sidorenko（或局部Sidorenko）的。
2024-08-25 math.CO
The bipartite Ramsey numbers $BR(C_8, C_{2n})$
本文研究二部 Ramsey 数，针对任意二部图定义多色二部 Ramsey 数，并给出了当 $n\geq2$ 时 $BR(C_8,C_{2n})$ 的精确值。
2024-01-03 math.CO
Star-critical Gallai-Ramsey numbers of graphs
Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$是最小的整数$n$，使得每个$k$ -边着色的$K_{n}$对于某些$i\in [k]$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。我们找到最大的明星，可以从$K_n$，使基本的图形仍然被迫有彩虹$K_3$或单色$H_{i}$在彩色$i$的一些$i\in [k]$。因此，我们定义星临界Gallai-Ramsey数$gr_{k}^{*}(K_3: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$为最小整数$s$，使得对于某些$i\in [k]$，每个$k$ -边色$K_{n}-K_{1, n-1-s}$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。当$H=H_{1}=\cdots=H_{k}$时，我们简单地用$gr_{k}^{*}(K_{3}: H)$表示$gr_{k}^{*}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$。我们确定了完全图和一些小图的星临界Gallai-Ramsey数。此外，我们表明，$gr_{k}^{*}(K_3: H)$是指数的$k$，如果$H$不是二分的，线性的$k$，如果$H$是二分的，但不是一个明星和常数（不依赖于$k$），如果$H$是一个明星。
2021-03-02 math.CO
Complete bipartite graphs without small rainbow stars
该研究先推导不含彩虹K_{1,3}的完全二部图K_{n,n}的结构定理，再据此算出三类二部Gallai-Ramsey数的精确值，其中H为环、路径与星的并集。
2023-12-14 math.CO
