Long monochromatic even cycles in 3-edge-coloured graphs of large minimum degree
我们证明了对于每个$η>0$，存在$n_0$使得对于每个偶数$n$，$n\ge n_0$，和每个具有$(2+η)n$顶点和最小度至少为$(7/4+4η)n$的图$G$，$G$的边的每个着色都有三种颜色，结果是长度为$n$的单色圈.
2020-01-02 math.CO
Monochromatic components in dense 2-edge-coloured balanced bipartite graphs
Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学与统计学院）；Centro de Modelamiento Matemático（数学建模中心）
该研究针对稠密二边染色平衡二分图，证明满足最小度条件的图可被至多3个单色分支覆盖，并构造实例说明该最小度条件是最优的。
2026-08-19 math.CO
Partitioning edge-coloured infinite complete bipartite graphs into monochromatic paths
1978年，理查德·拉多证明了每一个可数无限阶的边着色完全图都可以划分成不同颜色的单色路。他问这是否仍然适用于不可数完全图和概念的\emph{generalised paths}。在2016年，Daniel Soukup对此做出了肯定的回答，并证明了类似的结果应该适用于具有相同无限基数的双划分类的完全二部图，即每个用$r$颜色边着色的图都可以划分为$2r-1$单色广义路径，每个颜色最多使用两次。本文对Soukup猜想给出了肯定的回答。
2018-08-29 math.CO
Almost partitioning 2-coloured complete 3-uniform hypergraphs into two monochromatic tight or loose cycles
本文证明了：对每一个η > 0，存在一个整数n_0，使得n个\geq n_0顶点上的3-一致完全超图的每一个2-着色都包含两个不相交的不同颜色的单色紧圈，这两个紧圈一起覆盖除至多ηn个顶点之外的所有顶点.如果我们用松散的周期来代替紧密的周期，同样的结果也成立。
2018-09-22 math.CO
Non-monochromatic Triangles in a 2-Edge-Coloured Graph
设$G = (V,E)$是一个单图，$\{R,B\}$是$E$的一个划分.证明了只要$|E| + \min\{ |R|, |B| \} > { |V| \choose 2 }$，就存在一个同构于$K_3$的$G$的子图，该子图包含来自$R$和$B$的边.我们猜想一个自然的推广分区更多的块。
2018-09-26 math.CO
Tiling edge-coloured graphs with few monochromatic bounded-degree graphs
我们证明了对所有整数$Δ,r \geq 2$，存在一个常数$C = C(Δ,r) >0$，使得对于每个序列$\mathcal{F} = \{F_1, F_2, \ldots\}$，对于每个$n \in \mathbb{N}$，具有$v(F_n) = n$和$Δ(F_n) \leq Δ$的图，下面的条件成立.在每个$r$ -边缘着色的$K_n$中，存在来自其顶点集划分$V(K_n)$的$\mathcal{F}$的至多$C$单色拷贝的集合。这使得Grinshpun和Sárközy的一个猜想取得了进展。
2021-03-30 math.CO
Partitioning edge-coloured hypergraphs into few monochromatic tight cycles
利用Gyárfás的一个猜想，证明了对所有自然数$k$和$r$，每个$r$ -边色完全$k$ -一致超图的顶点都可划分为有界数目的单色紧圈（与超图的大小无关）.进一步证明了对所有自然数$p$和$r$，每个$r$ -边着色完全图的顶点都可划分为有界个数的$p$ -次幂圈，从而解决了Elekes，Soukup，Soukup和Szentmiklóssy的问题.事实上，我们证明了这两个定理的一个共同的概括，进一步扩展这些结果的所有主机超图的有界独立数。
2020-07-09 math.CO
Almost partitioning every $2$-edge-coloured complete $k$-graph into $k$ monochromatic tight cycles
研究红蓝着色完全$k$-图的单色紧圈划分问题，证明其中存在$k$个顶点互不相交的单色紧圈，可覆盖除$o(n)$外的全部顶点。
2024-05-08 math.CO
Monochromatic cycle partitions of $2$-coloured graphs with minimum degree $3n/4$
Balogh、Barát、Gerbner、Gyárfás和Sárközy提出了以下猜想。设$G$是$n$顶点上的图，其最小度至少为$3n/4$ .然后，对于$G$的每个$2$ -边着色，顶点集$V(G)$可以被划分成两个顶点不相交的循环，每个颜色一个。我们证明，这个猜想持有$n$足够大，改善上述作者和DeBiasio和Nelsen的近似结果。
2015-02-26 math.CO
Monochromatic cycle partitions of $r$-edge-coloured graphs with high minimum degree
London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）；Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学）
该研究解决了高最小度数r边着色图的单色环覆盖问题，证明了所需单色环数量的上界，并推翻了关于单色树覆盖的猜想。
2026-01-29 math.CO
King-serf duo by monochromatic paths in k-edge-coloured tournaments
一个开放的猜想Erdans的状态，对于每一个正整数$k$有一个（最小）正整数$f(k)$，使每当一个锦标赛有它的边着色$k$颜色，有一个集合$S$最多$f(k)$顶点，使每个顶点有一个单色路径到某些点在$S$。我们考虑了一个相关的问题，并表明，对于每个（有限或无限）基数$κ>0$有一个基数$ λ_κ$，使在每个$κ$ -边色锦标赛存在不相交的顶点集$K,S$的总大小最多为$ λ_κ$，使每个顶点$ v $有一个单色路径的长度最多为2从$K$到$v$或从$v$到$S$。
2017-05-02 math.CO
Partitioning $2$-coloured complete $k$-uniform hypergraphs into monochromatic $\ell$-cycles
我们证明了对于所有的$\ell, k, n$与$\ell \leq k/2$和$(k-\ell)$除$n$的下列超图变体的Lehel猜想是真实的。$k$ -均匀完全超图$\mathcal{K}_n^{(k)}$在$n$顶点上的每一个$2$ -边染色最多有两个不相交的不同颜色的单色$\ell$ -圈，它们一起覆盖除至多$4(k-\ell)$顶点之外的所有顶点。如果$\ell \leq k/3$，则至多两个$\ell$ -循环覆盖除至多$2(k-\ell)$顶点之外的所有顶点。此外，我们可以覆盖所有顶点与最多$4$（$3$，如果$\ell\leq k/3$）不相交的单色$\ell$ -循环。
2018-04-02 math.CO
Monochromatic partitions in 2-edge-coloured bipartite graphs
本研究针对Gyarfas--Lehel猜想，证明在随机二部图与高最小度二部图中，任意2-染色均可用至多三个顶点不相交的单色组件覆盖几乎所有顶点。
2024-03-19 math.CO
Partitioning Edge-Coloured Complete Symmetric Digraphs into Monochromatic Complete Subgraphs
设$K_{\mathbb{N}}$是正整数上的完全对称有向图。我们利用DeBiasio和McKenney的一个问题，构造了$K_{\mathbb{N}}$的边的$2$ -着色，其中每条单色路径的密度为~ $0$ .然而，如果我们限制单色路径的长度在一种颜色，那么没有上面的例子可以存在：我们表明，每一个$(r+1)$ -边着色完全对称有向图（任意无限基数）不包含任何颜色$i\leq r$的边长度$\ell_i$的有向路径可以覆盖的颜色$r+1$的$\prod_{i\leq r} \ell_i$成对不相交的单色完全对称有向图。此外，我们提出了一个稳定版本的可数情况下的后一个结果：我们证明了边着色是唯一确定的一个大子图，只要上密度的单色路径的颜色$r+1$是有界的$\prod_{i\in [r]}\frac{1}{\ell_i}$。
2018-05-04 math.CO
Monochromatic tree covers and Ramsey numbers for set-coloured graphs
我们考虑一个概括的经典拉姆齐理论设置的设置，其中每个边缘的基础主机图是彩色的{ \em集}的颜色（而不是只有一种颜色）。我们给出了单色树覆盖在这种设置下，无论是一个基本的完全图，和一个基本的完全二部图的界限。我们还讨论了一个概括的拉姆齐数，我们的设置，并提出了一些其他的新方向。我们对完全图中树覆盖的研究结果表明，对于$k$ -交$r$ -部$r$ -一致超图，Ryser猜想的一个更强的版本成立：它们的横截最多为$r-k$ .（Király等人也得到了类似的结果，见下文）。然而，我们也表明，绑定$r-k$是不是最好的可能在一般情况下。
2018-05-28 math.CO
Monochromatic cycle partitions in local edge colourings
一个图的边着色称为$r$ -局部着色，如果与任意顶点关联的边至多被$r$着色.推广了Bessy和Pastassé的一个结果，证明了任何$2$ -局部着色完全图的顶点集都可以划分为两个不相交的不同颜色的单色圈.此外，对任意自然数$r$，我们证明了任意$r$ -局部着色完全图的顶点集都可以划分为$O(r^2 \log r)$不相交的单色圈.这推广了Erdás，Gyárfás和Pyber的一个结果。
2015-05-10 math.CO
Monochromatic odd cycles in edge-coloured complete graphs
针对Erdős与Graham提出的求最小L(q)问题，本文证明边着色完全图K_{2^q+1}中必含长度至多为O(2^q/q^{1-o(1)})的单色奇环，给出L(q)的首个非平凡上界。
2024-12-10 math.CO
Upper density of monochromatic paths in edge-coloured infinite complete graphs and bipartite graphs
定义具有$V(G) \subseteq \mathbb{N}$的无限图$G$的上密度为$\overline{d}(G) = \limsup_{n \rightarrow \infty}{|V(G) \cap \{1,\ldots,n\}|}/{n}$。设$K_{\mathbb{N}}$是顶点集为$\mathbb{N}$的无限完全图. Corsten、DeBiasio、Lamaison和Lang证明，在$K_{\mathbb{N}}$的每个$2$ -边着色中，存在一个最高密度至少为$(12 + \sqrt{8})/17$的单色路径，这是最好的可能。在本文中，我们将这个结果推广到$k$ -边着色的$K_{\mathbb{N}}$为$k \ge 3$。我们猜想每个$k$ -边色$K_{\mathbb{N}}$都包含一个单色路径，其上密度至少为$1/(k-1)$，这是最好的可能性（当$k-1$是素数幂时）。我们证明，这是真的，当$k = 3$和渐近时$k =4$。此外，我们表明，这个问题可以推导出它的二分变体，这是独立的利益。
2022-10-25 math.CO
Partitioning edge-coloured complete graphs into monochromatic cycles and paths
Erdés、Gyárfás和Pyber的一个猜想说，在一个具有r种颜色的完全图的任何边着色中，有可能用r个顶点不相交的单色圈覆盖所有顶点。到目前为止，这个猜想只在r = 2时被证明。在本文中，我们表明，事实上，这个猜想是假的所有r > 2。与此相反，我们表明，在任何边着色的完全图与三种颜色，它是可能的，覆盖所有的顶点与三个顶点不相交的单色路，证明了一个特殊情况下的猜想，由于Gyárfás。作为一个中间结果，我们表明，在任何边着色的颜色红色和蓝色的完全图，它是可能的，覆盖所有的顶点与红色的道路，和一个不相交的蓝色平衡完全二部图。
2012-05-24 math.CO
Decompositions of edge-coloured infinite complete graphs into monochromatic paths II
Erdens证明了自然数上的任意2-边着色完全图都可以顶点分解为两条不同颜色的单色路。R.拉多到任意有限数量的颜色。证明了有限边着色的无限完全图的顶点都可以划分为不相交的不同颜色的单色路。这就回答了R. 1978年的雷达。
2016-03-16 math.CO math.LO
Polynomial bounds for monochromatic tight cycle partition in $r$-edge-coloured $K_n^{(k)}$
针对 $r$-边染色完全 $k$-图的单色紧环顶点划分，本文将已有结果中塔型的循环数量常数改进为关于 $r$ 的多项式界。
2025-02-17 math.CO
Partitioning a 2-edge-coloured graph of minimum degree $2n/3 + o(n)$ into three monochromatic cycles
本文证明了最小度至少为 $2n/3 + o(n)$ 的红蓝边着色图可被划分为三个单色环，近似验证了 Pokrovskiy 的猜想且本质紧确。
2022-04-01 math.CO
Partitioning two-coloured complete multipartite graphs into monochromatic paths and cycles
证明了$k$ -部图$G$在$n$顶点上的任意完全图$G$，如果$k \ge 3$的边是双色的，则它可以被两条顶点不相交的不同颜色的单色路覆盖.我们证明这一点的必要假设下，最大的分区类的$G$包含最多$n/2$顶点。这推广了完全图和完全二部图的已知结果。其次，我们表明，在相同的情况下，所有的，但$o(n)$顶点的图可以覆盖两个顶点不相交的单色循环的不同的颜色，如果着色接近分裂着色被排除。由此，我们得出，整个图，如果足够大，可以覆盖有14个顶点不相交的单色循环。
2014-10-07 cs.DM math.CO
Covering random graphs with monochromatic trees
给定一个$r$ -边着色完全图$K_n$，需要多少个单色连通分支来覆盖它的顶点集？这个自然的问题是一个著名的基本上相当于制定的经典Ryser的猜想，尽管有很多的关注，在过去的50年里，仍然是开放的。最近的一些论文考虑了这个问题的稀疏随机模拟，要求覆盖$r$ -边色随机图$\mathcal{G}(n,p)$的顶点集所需的单色分量的最小数量。最近，Bucić，Korándi和Sudakov建立了这个问题与大约30年前Erdens，Hajnal和Tuza提出的超图的某种Helly-type局部到全局问题之间的联系。我们确定了一个修改后的版本的超图的问题，它控制的答案覆盖随机图与单色组件更精确的问题。为了展示我们的方法的力量，我们基本上解决了$3$ -颜色的情况下，通过显示，$(\log n / n)^{1/4}$是一个阈值，在这一点上三个单色组件需要覆盖所有顶点的$3$ -边着色的随机图，回答一个问题所提出的Kohayakawa，Mendonça，莫塔和Schülke。我们的方法也使我们能够确定答案的一般$r$ -边着色的问题的实例，到低阶项，周围的点时，它第一次成为有界的，回答一个问题的Bucić，Korándi和Sudakov。
2022-07-05 math.CO
Minimum degree conditions for monochromatic cycle partitioning
Erdés，Gyárfás和Pyber的一个经典结果指出，任何$r$ -边着色完全图都有一个划分为$O(r^2 \log r)$单色圈。在这里，我们确定该属性的最小度阈值。更确切地说，我们表明，存在一个常数$c$，使任何$r$ -边着色图的$n$顶点与最低程度至少$n/2 + c \cdot r \log n$有一个分区成$O(r^2)$单色周期。我们还提供了结构，表明最小度条件和圈数基本上是紧的。
2020-08-05 math.CO
Monochromatic cycle partitions in random graphs
Erds，Gyárfás和Pyber证明了每个$r$ -边着色完全图$K_n$都能被$25 r^2 \log r$顶点不相交的单色圈覆盖（独立于$n$）.在这里，我们将他们的结果推广到二项随机图的设置。也就是说，我们表明，如果$p = p(n) = Ω(n^{-1/(2r)})$，那么具有高概率的任何$r$ -边缘着色的$G(n,p)$可以覆盖最多$1000 r^4 \log r $顶点不相交的单色循环。这回答了Korandi、Mousset、Nenadov、Škorić和Sudakov的一个问题。
2020-08-05 math.CO
Bounded diameter monochromatic component covers
University College London（伦敦大学学院）
本文证明了Ryser猜想与Milićević猜想等价，并展示了该猜想在r=5时成立，同时获得了关于非完全图推广猜想的新结果。
2026-01-06 math.CO
On 3-coloured tournaments
我们（重新）证明，在每一个3-边着色的比赛中，没有顶点是事件与所有的颜色有一个循环的彩虹三角形或一个顶点支配其他顶点单色。
2009-04-17 math.CO
Rainbow subgraphs of star-coloured graphs
本文针对星着色图的彩虹子图问题，确定了不含给定图彩虹副本的大型完全图星着色的最大颜色数，拓展了Axenovich与Iverson在广义拉姆齐数相关问题上的结果。
2025-11-16 math.CO
Path Ramsey number for random graphs
回答Dudek和Prawatat提出的一个问题，我们证明了如果$pn\rightarrow \infty$，w. h. p.，~只要$G=G(n,p)$是$2$颜色的，就存在长度为$n(2/3+o(1))$的单色路径。在$2/3$不能被更大的常数替代的意义上，该结果是最佳的。作为证明的一部分，我们得到了以下结果，这可能是独立的利益。我们证明了，给定一个图$G$的$n$顶点至少有$(1-ε)\binom{n}{2}$的边缘，只要$G$是$2$ -边着色，有一个单色路径的长度至少为$(2/3-100\sqrtε)n$。这是一个扩展的经典结果Gerencsér和Gyárfás说，每当$K_n$是$2$着色有一个单色路径的长度至少$2n/3$。
2014-05-26 math.CO
Partitioning 2-edge-coloured bipartite graphs into monochromatic cycles
本文研究2-边着色完全平衡二部图划分为单色圈的问题，证明任意2-边着色的 $K_{n,n}$ 至多可划分为4个单色圈，改进了此前14个圈的上界。
2025-06-04 cs.DM math.CO
Superlinear Lower Bounds for Monochromatic Path Partitions
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极值组合与概率研究组）；School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文以超线性形式否定Gyárfás的单色路径划分猜想，证明足够大r时r边染色完全图需至少(1-o(1))rloglogr个单色路径，其构造还扩展到平衡二分图场景，否定了Pokrovskiy的相关猜想。
2026-08-18 math.CO
Ore- and Pósa-type conditions for partitioning $2$-edge-coloured graphs into monochromatic cycles
本文研究2-边染色图的单色圈划分，提出较弱的度序列条件并证明近似版本，同时证明Ore型度条件可划分除少量顶点外的三个单色圈。
2023-06-26 cs.DM math.CO
Partitioning infinite hypergraphs into few monochromatic Berge-paths
将Rado的一个结果推广到超图，证明了对所有具有$k \geq t \geq 2$的$s, k, t \in \mathbb{N}$，每个$r = s(k-t+1)$ -边色可数无限完全$k$ -图的顶点至多可划分为不同颜色的$s$ $t$ -紧Berge-path的核.我们进一步描述了一个结构，表明这一结果是最好的可能。
2019-05-13 math.CO
Local colourings and monochromatic partitions in complete bipartite graphs
证明了对平衡完全二部图$K_{n,n}$的边的任意$2$ -局部着色，其顶点最多可被~ $3$不相交的单色路覆盖.并且，我们可以用$O(r^2)$不相交的单色圈覆盖任何完全或平衡完全二部$r$ -局部着色图的几乎所有顶点。我们还几乎精确地确定了路径的$2$ -局部二分Ramsey数：每一个$2$ -局部着色的边$K_{n,n}$包含一个单色路径上的$n$顶点。
2016-09-12 math.CO
Partitioning a graph into monochromatic connected subgraphs
Haxell和Kohayakawa的一个著名结果表明，$r$着色的完全图的顶点可以划分为不同颜色的$r$单色连通子图;这是Erdens，Pyber和Gyárfás猜想的一个稍微弱的变体，该猜想指出存在一个划分为$r-1$单色连通子图的猜想。我们考虑这个问题的一个变种，其中的完全图被替换为一个图与大的最低程度，并证明两个代数Bal和DeBiasio，两个和三个颜色。
2017-08-20 math.CO
Monochromatic cycle partitions in 3-mean edge-colourings
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）
针对Conlon与Stein提出的边着色完全图划分为有限个单色圈的问题，证明顶点关联颜色平均数至多为3时该命题成立，解决了r=3的首个公开情况。
2026-10-14 math.CO
A proof of a conjecture of Erdős and Gyárfás on monochromatic path covers
本文证明了 Erdős 和 Gyárfás 关于单色路径覆盖的猜想：在 n 个顶点的 2-边染色完全图中，可用 √n 条同色单色路径覆盖所有顶点，对所有足够大的 n 成立。
2025-10-07 math.CO
Discrepancy and large dense monochromatic subsets
Erdans和Pach（1983）引入了Ramsey数的自然度推广，其中不是在$2$ -边着色的完全图中寻找大的单色团，而是寻找最小度或平均度高的单色子图。在这里，我们扩大研究这些所谓的准拉姆齐数在几个方面，特别是，多个颜色和均匀超图。准拉姆齐数是已知的，表现出一定的独特的相变，我们表明，这也是我们考虑的设置的情况。我们的研究结果依赖于密度偏置的概念超图差异优化集的有界大小，这可能是独立的利益。
2018-01-10 math.CO
Exact three-component covers in 2-coloured random bipartite graphs
Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈阿斯联邦大学）
本文解决了随机二部图中二色三组件猜想，证明当边概率远大于根号下对数n除以n时，任何红蓝边着色都能用至多三个单色连通组件覆盖所有顶点，方法基于公共邻域扩展引理。
2026-09-17 math.CO
Tiling with monochromatic bipartite graphs of bounded maximum degree
我们证明了对于任何$r\in \mathbb{N}$，存在一个常数$C_r$，使得下面的是真的。设$\mathcal{F}=\{F_1,F_2,\dots\}$是一个二部图的无限序列，使得$|V(F_i)|=i$和$Δ(F_i)\leq Δ$对所有$i$成立.则在任何$r$ -边着色完全图$K_n$中，至多存在一个$\exp(C_rΔ)$单色子图的集合，每个单色子图同构于$\mathcal{F}$的一个元素，其顶点集划分$V(K_n)$ .证明了Corsten和Mendonça的一个强形式猜想，推广了有界度二部图的多色Ramsey数的结果.
2021-09-20 math.CO
A note on large rainbow matchings in edge-coloured graphs
边着色图中的彩虹子图是指边具有不同颜色的子图。一个图的最小色度是指所有顶点中与一个顶点关联的边上的不同颜色的最小数目。Kostochka，Pfender和Yancey证明了$n$顶点上的每个边着色图，其最小色度至少为$k$，包含大小至少为$k$的彩虹匹配，前提是$n\geq (17/4)k^2$。本文证明了$n\geq 4k-4$对于$k \ge 4$是充分的.
2012-07-09 math.CO
Monochromatic Clique Decompositions of Graphs
设$G$是一个边用$k$颜色着色的图，$\mathcal H=(H_1,\dots , H_k)$是图的$k$ -元组.单色$\mathcal H$ -$G$的分解是$G$的边缘集的划分，使得对于某些$1\le i\le k$，每个部分是单个边缘或形成彩色$i$中的$H_i$的单色副本。设$ϕ_{k}(n,\mathcal H)$是最小数$ϕ$，使得对于每一阶$n$图和每一$k$边着色，存在一个至多含有$ϕ$元素的单色$\mathcal H$分解.扩展Liu和Sousa [“Monochromatic $K_r$ -decompositions of graphs”，Journal of Graph Theory }，76：89- 100，2014]的先前结果，当$\mathcal H$中的每个图是团并且$n\ge n_0(\mathcal H)$足够大时，我们解决了这个问题。
2014-12-18 math.CO
Monochromatic sums and products
假设$\mathbb{F}_p$用$r$颜色着色。然后有一些颜色类至少包含形式为$(x, y , x + y, xy)$的$c_r p^2$四元组。
2017-01-13 math.CO math.NT
Long properly coloured cycles in edge-coloured graphs
设$G$是边着色图。$G$的最小颜色度$δ^c(G)$是最大整数$k$，使得对于每个顶点$v$，在与$v$关联的边缘上存在至少$k$不同的颜色。如果没有两个邻边具有相同的颜色，我们说$G$是适当着色的。本文证明了，对任意大的$\varepsilon >0$和$n$，每一个具有$δ^c(G) \ge (1/2+\varepsilon)n$的边着色图$G$都包含一个长度至少为$\min\{ n , \lfloor 2 δ^c(G)/3 \rfloor\}$的适当着色圈.
2018-08-13 math.CO
Covering graphs by monochromatic trees and Helly-type results for hypergraphs
一个给定的$r$ -边着色图$G$需要多少条单色路、圈或一般树来覆盖它的所有顶点？这些问题在20世纪60年代被引入，并在过去的50年里被各种研究人员深入研究。在本文中，我们建立了一个连接，这个问题和下面的自然Helly-type超图问题。粗略地说，这个问题要求覆盖超图$H$的所有边所需的最大顶点数，如果已知$H$的任何少数边的集合具有小覆盖。我们得到相当准确的界限超图问题，并使用它们给一些意想不到的答案，一些问题的覆盖图的单色树提出和研究的巴尔和DeBiasio，Kohayakawa，莫塔和沙赫特，朗和洛，和Girão，Letzter和Sahasrabudhe。
2020-08-04 math.CO
On the Minimum Number of Monochromatic Generalized Schur Triples
Butler，Costello，and Graham（2010）和Thanathipanonda（2009）给出了在$[1,n]$的任意2-着色上找到最小数量的单色三元组$(x,y,x+ay)$且$a\geq 2$为固定正整数的问题的解决方案。我们使用基于Datskovsky（2003）关于单色Schur三元组的最小数目$(x,y,x+y)$的证明的方法来解决这个问题。我们这样做是利用原始证明的组合性质，并使其适应一般问题。
2018-02-14 math.CO
The order of monochromatic subgraphs with a given minimum degree
设$G$是一个图。对于给定的正整数$d$，设$f_G(d)$表示最大整数$t$，使得在$G$的边的每一个双色着色中，都存在最小度至少为$d$且阶至少为$t$的单色子图.对于$n > k > d$，让$f(n,k,d)$表示$f_G(d)$的最小值，其中$G$在所有具有$n$顶点和最小度至少为$k$的图上。在本文中，我们建立$f(n,k,d)$时，$k$或$n-k$是固定的，和$n$是足够大的。我们还考虑了允许两种以上颜色的情况。
2002-12-30 math.CO
A note about monochromatic components in graphs of large minimum degree
对所有正整数$r\geq 3$和$n$，使得$r^2-r$整除$n$，且存在阶为$r$的仿射平面，构造了一个最小度为$(1-\frac{r-2}{r^2-r})n-2$的$r$ -边有色图，使得最大单色分量的阶数小于$\frac{n}{r-1}$ .这推广了Guggiari和Scott以及Rahimi对$r=3$的一个例子，从而证明了Gyárfás和Sárközy对所有整数$r\geq 3$的一个猜想是错误的，使得存在一个$r$阶的仿射平面。
2020-06-15 math.CO
On the minimum number of non-monochromatic simplices for Sperner labelings of a regular triangulation
本文针对Mirzakhani和Vondrák提出的公开问题，研究了整数坐标顶点正则三角剖分中Sperner标号的非单色单纯形数量，并给出了其最小数的下界。
2025-06-05 math.CO
Monochromatic $k$-connection of graphs
本文研究了图的 $k$$-连通图的单色 $k$-连通数 $mc_k(G)$，，得到了一般图的界，，并精确计算了了特定条件下的值，同时证明了二分图的类似结果。
2024-02-14 math.CO
Variations on Ramsey numbers and minimum numbers of monochromatic triangles in line $2$-colorings of configurations
本文探索了拉姆齐数与单色化配置中单色三角形的最小数变体，通过定义线2-着色配置并计算具体对称示例，扩展并完善了相关图论理论。
2024-04-26 math.CO
On the monochromatic Schur Triples type problem
本文讨论了Ronald Graham提出的一个问题，即在$[1,n]$的所有2-着色上，对于$a \geq 1$，单色$\{x,y,x+ay\}$三元组的最小数目.本文给出了$a=1$原情形的一个新的证明。我们表明，这样的三元组的最小数目是最多$\frac{n^2}{2a(a^2+2a+3)} + O(n)$时，$a \geq 2$。我们还找到了一个新的上限的最小数目，在所有$r$ -着色的$[1,n]$，单色舒尔三元组，$r \geq 3$。
2016-09-28 math.CO
An edge-coloured version of Dirac's theorem
设$G$是边着色图。$G$的最小颜色度$ δ^c(G) $是最大整数$k$，使得对于每个顶点$v$，在入射到$v$的边缘上至少存在$k$个不同的颜色。如果没有两个相邻边具有相同的颜色，我们说$G$是适当着色的。本文证明了每一个具有$ δ^c(G) \ge 2|G| / 3 $的边着色图$G$都含有一个适当着色的$2$ -因子.此外，我们证明了，对于任何$ \varepsilon > 0 $存在一个整数$ n_0 $，使每一个边着色图$G$与$|G| = n \ge n_0 $和$ δ^c(G) \ge ( 2/3 + \varepsilon ) n $包含一个适当的着色周期的长度$\ell$的每一个$3 \le \ell \le n$。这个结果是最可能的，因为对于$ δ^c(G) < 2n / 3 $，该陈述是假的。
2013-12-10 math.CO
