Further results on the rainbow vertex-disconnection of graphs
设$G$是一个顶点着色的非平凡连通图.如果$G$的顶点集的子集$X$中的任意两个顶点具有不同的颜色，则称$X$为彩虹。图$G$称为\emph{rainbow vertex-disconnected}，如果对于$G$的任意两个顶点$x$和$y$，存在一个顶点子集$S$，使得当$x$和$y$不相邻时，$S$是彩虹图，且$x$和$y$属于$G-S$的不同分支;而当$x$和$y$相邻时，$S+x$或$S+y$为彩虹，$x$和$y$属于$(G-xy)-S$的不同组分。这样的顶点子集$S$被称为$G$的\emph{rainbow vertex-cut}。对于连通图$G$，$G$的\emph{rainbow vertex-disconnection number}，记为$rvd(G)$，是使$G$彩虹顶点不连通所需的最小颜色数。本文利用图的最小度和最大度给出了图的彩虹点不连通数的界。本文给出了图$G$的最大尺寸的一个严格的上界，其中$rvd(G)=k$为$k\geq\frac{n}{2}$。然后我们用彩虹点不连通数$n-1$刻画了$n$阶图，并得到了具有$rvd(G)=n-1$的图$G$的最大图长.此外，我们得到了一个尖锐的阈值函数的性质$rvd(G(n,p))=n$，并证明了几乎所有的图$G$有$rvd(G)=rvd(\overline{G})=n$。最后，我们得到了阶为$n\geq 24$的…
2020-06-14 math.CO
Some results on the rainbow vertex-disconnection colorings of graphs
本文研究图的彩虹顶点断开着色问题，证明了无 $K_4$ 子式图的彩虹顶点断开数不超过最大度，并证明该问题在二部图和分裂图上是 $NP$-完全的且难以近似。
2023-07-08 math.CO
Note on the complexity of deciding the rainbow connectedness for bipartite graphs
边着色图中的路径称为彩虹路径，如果路径上没有两条边具有相同的颜色。一个边着色图是（强）彩虹连通的，如果每对顶点之间存在彩虹（测地线）路。$G$的（强）彩虹连接数，分别用（$scr(G)$）$rc(G)$表示，是为了使$G$（强）彩虹连接所需的最小颜色数。虽然对于一般图$G$，判定$rc(G)=2$是否是NP-完全的，但本文证明了当$G$是二部图时，判定问题变得容易.此外，已知判定一个给定的边着色图（具有无限数量的颜色）是否是彩虹连通的是NP-完全的。我们将证明，即使边着色图是二部图，它仍然是NP-完全的。我们还证明了一些关于彩虹连接的NP-困难问题确实是NP-完全的。
2011-09-27 cs.CC math.CO
Rainbow vertex connection of digraphs
如果边具有不同的颜色，则边着色路径为\emph{rainbow}。一个边色连通图如果任意两个顶点由彩虹路连接则称为PDMATHAMN，如果任意两个顶点由彩虹测地线连接则称为\emph{strongly rainbow connected}。连通图的（\emph{strong}）\emph{rainbow connection number}是使图（强）彩虹连通所需的最小颜色数。这两个图参数是由Chartrand，Johns，McKeon和Zhang在2008年引入的。作为扩展，Krivelevich和Yuster提出了\emph{rainbow vertex-connection}的概念。图中的彩虹连通问题引起了人们的广泛关注，各种相似参数被引入，主要是针对无向图的。Dorbec，Schiermeyer，Sidorowicz和Spena将彩虹连接的概念扩展到有向图。本文研究了有向图的（强）彩虹点连通数。给出了图的双定向、圈有向图、循环有向图和竞赛图的（强）彩虹点连通数。
2017-07-16 math.CO
The (strong) rainbow connection numbers of Cayley graphs of Abelian groups
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹路径。$G$的彩虹联系数$rc(G)$是存在$G$的$i$边染色使得$G$的每两个不同顶点通过彩虹路连接的最小整数$i$。$G$的强彩虹联系数$src(G)$是存在$i$边染色使得$G$的每两个不同顶点通过彩虹路连接的最小整数$i$。$G$的着色，使得$G$的每两个不同顶点$u$和$v$通过长度为$d(u,v)$的彩虹路径连接。本文给出了阿贝尔群的（强）彩虹连通Cayley图的上界和下界.此外，我们确定了一些特殊情况下的（强）彩虹联系数。
2010-12-03 math.CO
New Hardness Results in Rainbow Connectivity
边着色图中的一条路径被称为彩虹路径，如果路径上没有两条边具有相同的颜色。一个边着色图是（强）彩虹连通的，如果每对顶点之间存在一条（测地线）彩虹路。图$G$的（强）彩虹连通性，分别用（$src(G)$）$rc(G)$表示，是对图进行边着色所需的最小颜色数，使得图是（强）彩虹连通的。已知对于\emph{even} $k$判定图的彩虹连通度是否至多为$k$是NP-困难的.证明了对于所有的$k$，判定$rc(G) \leq k$是否为NP-难问题。本文证明了这一猜想。我们还证明了即使当$G$是一个二部图时，判定$src(G) \leq k$是否为二部图也是NP-困难的.
2011-04-11 cs.CC cs.DM math.CO
Monochromatic disconnection: Erdős-Gallai-type problems and product graphs
对于边有色图$G$，如果$M$的边着色相同，则称$G$的边割$M$为单色图.图$G$称为单色不连通的，如果图$G$的任意两个不同的顶点被单色边割分开.连通图$G$的单色不连通数，记为$md(G)$，是使$G$单色不连通的最大颜色数。本文解决了单色不连通的Erdens-Gallai型问题，给出了四种图积的单色不连通数，即笛卡尔积、强积、字典积和张量积。
2020-09-10 math.CO
A Polynomial Time Algorithm for Computing the Strong Rainbow Connection Numbers of Odd Cacti
研究了圈长为奇数的仙人掌图$G$的强彩虹联系数$src(G)$的计算问题.我们提出了一个公式来计算$src(G)$的奇仙人掌，可以在线性时间内评估，以及计算相应的最佳强彩虹边着色的算法，多项式最坏情况下的运行时间复杂度。虽然计算$src(G)$是NP-困难的一般，以前的工作已经证明，它可以在多项式时间计算某些类的图，包括循环，树和块团图。这项工作扩展了一类图的$src(G)$可以计算在多项式时间。
2019-12-26 cs.CC cs.DM math.CO
Strong rainbow connection numbers of toroidal meshes
在2011年，Li等人\cite{LLL}得到了$r$维无向环面网格的强彩虹连接数的上界。本文改进了这一界。因此，我们对他们的问题给予否定的回答。
2017-03-01 math.CO
On Rainbow Connection of Strongly Regular Graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。证明了如果$G$是一个强连通$r$ -正则图，且$r\geq 600$是一个强连通图，则$rc(G)\leq3$是一个强连通图.特别地，存在一个常数$c$，使得对任意连通强正则图$G$都有$rc(G)\leq c$.
2011-12-02 math.CO
On various (strong) rainbow connection numbers of graphs
如果所有边都有不同的颜色，则边着色路径为\emph{rainbow}。对于连通图$G$，\emph{rainbow connection number} $rc(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹路径连接。类似地，\emph{strong rainbow connection number} $src(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹测地线连接（即，最短长度的路径）。图的连通性的这两个概念是由Chartrand等人引入的。2008年随后，引入了两个参数的顶点着色版本$rvc(G)$和$srvc(G)$，以及彩虹连接数的全着色版本$trc(G)$。本文引入了强全彩虹联系数$strc(G)$，它是强彩虹联系数的全染色形式.在我们的结果中，我们将确定一些特殊图的强全彩虹连通数。我们还将比较这六个参数，考虑它们之间的距离有多近和多远。特别地，我们将构造所有正整数对$a$和$b$，使得存在具有$trc(G)=a$和$strc(G)=b$的图$G$，并且对于函数$rvc$和$srvc$也是类似的。
2017-04-20 math.CO
On strong rainbow connection number
在边着色图中，如果没有两条边着色相同，则相邻边着色相同的路径是彩虹路径。对于$G$的任意两个顶点$u$和$v$，$G$中的彩虹$u-v$测地线是长度为$d(u,v)$的彩虹$u-v$路径，其中$d(u,v)$是$u$和$v$之间的距离。图$G$是强彩虹连通的，如果对$G$中的任意两个顶点$u$和$v$存在彩虹测地线$u-v$. $G$的强彩虹连接数，记为$src(G)$，是为了使$G$强彩虹连接所需的最小颜色数。本文首先研究了具有大强彩虹连通数的图。Chartrand等人得到了$G$是树的充要条件是$src(G)=m$，我们将证明$src(G)\neq m-1$，所以$G$不是树的充要条件是$src(G)\leq m-2$，其中$m$是$G$的边数。此外，我们还用$src(G)=m-2$刻画了图$G$。然后根据图$G$中边不相交三角形的个数给出了$src(G)$的一个精确上界，并给出了等式成立的一个充分必要条件.
2010-10-29 math.CO
Rainbow spanning structures in strongly edge-colored graphs
Central China Normal University（华中师范大学）；Jianghan University（江汉大学）
本文研究了强边着色图中彩虹哈密尔顿回路的存在条件，证明了在足够大的n下，满足最小度数要求的图中必然存在彩虹哈密尔顿回路，并探讨了彩虹路径和完美匹配的最优条件。
2026-01-22 math.CO
The strong rainbow vertex-connection of graphs
一个顶点着色图$G$称为彩虹点连通图，如果$G$的每两个顶点之间有一条内部顶点具有不同颜色的路相连，这样的路称为彩虹路，连通图$G$的彩虹点连通数（记为$rvc(G)$）是使$G$彩虹点连通所需的最小颜色数.如果对于每对$u, v$不同的顶点，$G$包含彩虹$u-v$测地线，则$G$是强彩虹顶点连通的。使$G$的$k$ -点染色能产生强彩虹点连通图的最小数$k$称为$G$的强彩虹点连通数，记为$srvc(G)$ .观察到对于任何非平凡连通图$G$，都有$rvc(G)\leq srvc(G)$。本文对$n$阶连通图$G$，即$0\leq srvc(G)\leq n-2$，给出了$srvc(G)$的精确上、下界.图的顺序$n$，使$srvc(G)= 1, 2, n-2$的特点，分别。本文还证明了，对于每一对具有$a\geq 5$和$b\geq (7a-8)/5$的整数$a, b$，存在一个连通图$G$，使得$rvc(G)=a$和$srvc(G)=b$ .
2012-01-07 math.CO
Total rainbow connection of digraphs
如果一条边有明显的颜色，那么它就是彩虹。对于连通图$G$，彩虹连接数（分别为$G$的强彩虹连接数）是对$G$的边缘着色所需的最小颜色数，使得$G$的任何两个顶点通过彩虹路径（分别为彩虹测地线）。这两个图参数是由Chartrand，Johns，McKeon和Zhang在2008年引入的。Krivelevich和Yuster将这个概念推广到顶点颜色设置。同样，刘，梅斯特和苏萨介绍了版本，其中涉及总着色。Dorbec，Schiermeyer，Sidorowicz和Spena将彩虹连接的概念扩展到有向图。本文研究了有向图的（强）全彩虹联络数。给出了图、竞赛图和仙人掌图的双定向的（强）全彩虹联系数。
2017-11-03 math.CO
Rainbow vertex pair-pancyclicity of strongly edge-colored graphs
本文研究了强边染色图的彩虹顶点对泛圈性，证明了阶数为$n$且最小度数$\delta \geq \frac{2n}{3}+1$的强边染色图必然具有该性质。
2023-05-05 math.CO
An integer program and new lower bounds for computing the strong rainbow connection numbers of graphs
我们提出了一个整数规划模型来计算任意单图$G$的强彩虹联系数$src(G)$。我们介绍了几个增强所提出的模型，包括一个快速的启发式，和一个变量消除计划。此外，我们提出了一个新的下界$src(G)$，这可能是独立的研究兴趣。我们解决的整数规划直接和使用一种替代方法的基础上迭代下界改进，后者，我们在实践中是非常有效的。据我们所知，这些是强彩虹连接问题的第一个计算方法。我们证明了我们的方法的有效性，通过计算强彩虹连接数的图形包含多达$379$顶点。
2021-02-08 cs.DM math.CO math.OC
Rainbow saturation and graph capacities
$t$着色的彩虹饱和度数$rsat_t(n,F)$是$n$顶点上的$t$边有色图的最小大小，该图不包含$F$的彩虹副本，但添加任何颜色中的任何缺失边都会创建这样的彩虹副本.巴鲁斯、费拉拉、范登布什和温格强调，每个$s\ge 3$和$t\ge \binom{s}{2}$都有$rsat_t(n,K_s) = Θ(n\log n)$。在这个简短的说明中，我们证明了猜想在强意义上，渐近确定彩虹饱和数的三角形。我们的下界是概率的精神，上界是基于香农容量的某个家庭的集团。
2018-04-03 math.CO
List rainbow connection number of graphs
本文引入图的列表彩虹连通数与列表强彩虹连通数，确定若干特定图的相应参数，刻画参数对可实现的正整数值，并提出列表彩虹连通数是否总等于彩虹连通数的公开问题。
2025-03-12 math.CO
A solution to a conjecture on the rainbow connection number
对于图$rc(G)$，Chartrand等人在“G. Charand，G.L.约翰，K.A. Mckeon，P. Zhang，图中的彩虹连接，Mathematica Bohemica，133（1）（2008）85-98”。他们提出了如下猜想：对两个给定的正$a$和$b$，存在连通图$G$使得$rc(G)=a$和$src(G)=b$当且仅当$a=b\in\{1,2\}$或$ 3\leq a\leq b$“.在这篇短文中，我们将证明这个猜想是正确的。
2010-12-14 math.CO
Upper Bounding Rainbow Connection Number by Forest Number
一个边着色图中的一条路是彩虹的，如果它的两条边都不是相同着色的;如果它的每对顶点之间都有一条彩虹路，那么这个图是彩虹连通的。彩虹连接图$G$所需的最小颜色数是$G$的彩虹连接数，用$\text{rc}(G)$表示。彩虹连接图$G$的一个简单方法是用不同的颜色来着色生成树的边，然后重用这些颜色中的任何一种来着色$G$的其余边。这证明了$\text{rc}(G) \le |V(G)|-1$.我们要问的是，在树状结构和彩虹着色之间，是否存在比上述琐碎论证所暗示的更强的联系。例如，是否有可能找到$\text{rc}(G)$的$t(G) -1$的上界，其中$t(G)$是$G$的最大导出树中的顶点数？答案是否定的，因为有反例表明，对于任何给定的常数$c$，即使$c\cdot t(G)$也不是$\text{rc}(G))$的上限。在这项工作中，我们表明，如果我们考虑森林数$f(G)$，$G$的最大诱导森林中的顶点数，而不是$t(G)$，那么令人惊讶的是，我们确实得到了一个上界。更具体地说，我们证明了$\text{rc}(G) \leq f(G) + 2$。我们的结果表明，彩虹连接和树状结构之间的联系比简单的基于生成树的上限所建议的更强。
2020-06-11 math.CO
The 3-rainbow index of graph operations
边着色图$G$中的树$T$称为{ \em a rainbow tree}，如果没有给$T$的两条边指定相同的颜色. $G$的{ \em $k$ -彩虹着色}是$G$的边着色，其具有以下性质：对于$G$的$k$顶点的每个集合$S$，在$G$中存在彩虹树$T$，使得$S\subseteq V(T)$。在$G$的$k$ -彩虹着色中所需的最小颜色数是{ \em $k$ -$G$的彩虹指数}，由$rx_k(G)$表示。图的运算，包括二元运算和一元运算，是一个有趣的课题，可以用来理解图的结构。本文研究了三种重要的图积运算（即卡氏积、强积、字典积）及其它图运算的PDMATHAMT-彩虹指数。在这个方向上，我们首先表明，如果$G^*=G_1\Box G_2\cdots\Box G_k$（$k\geq 2$），其中每个$G_i$连接，那么$rx_3(G^*)\leq \sum_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$。此外，我们还提出了一个条件，并证明了上述等式成立，如果每个图$G_i (1\leq i\leq k)$满足该条件。作为推论，我们得到了强积的3-彩虹指数的一个上界。其次，我们讨论了字典图$G[H]$的3-彩虹指数，它是连通图$G$和$H$的3-彩虹指数。证明是建设性的，因此产生了尖锐的界限。最后，我们考虑了原始图的3-彩虹指数与其他简单的图操作之间的关系：$G$和$H$的连接，图的一…
2014-03-04 math.CO
Rainbow connections of graphs -- A survey
彩虹连接的概念由Chartrand等人在2008年提出。彩虹连接数是一个非常有趣的概念，最近发表了很多关于它的论文，本文试图将与彩虹连接数有关的研究成果和论文集中起来，首先介绍彩虹连接数，然后将彩虹连接数分为五类，包括（强）彩虹连接数，彩虹$k$ -连接数，$k$ -彩虹指数，彩虹顶点连接数，彩虹顶点连接数，彩虹连接数，彩虹顶点连接数，彩虹连接数，彩虹顶点连接数，彩虹连接数，彩虹算法和计算复杂性。本调查还包含一些建议、未决问题或问题。
2011-02-01 cs.DM math.CO
On a question on graphs with rainbow connection number 2
对于连通图$G$，图$G$的\emph{rainbow connection number $rc(G)$}由Chartrand等人引入。彩虹连接的硬度和算法，J. Combin。Optim。21（2011），330- 347”，Chakraborty等人证明了对于直径为2的图$G$，要确定$rc(G)$是NP-完全的，他们在最后留下了4个开放问题，其中最后一个是下面的：假设我们给了一个图$G$，我们被告知，$rc(G)=2$ .我们能用$o(n)$颜色在多项式时间内给它涂上彩虹色吗？本文给出了一个更强的结果，证明了对任何具有$rc(G)=2$的图$G$，我们可以在多项式时间内用至多5种颜色对$G$进行彩虹着色.
2011-09-26 math.CO
On the Complexity of Rainbow Coloring Problems
一个边着色图$G$称为彩虹连通图，如果在每对顶点之间存在一条路，该路最多使用每种颜色一次。彩虹连接数，用$rc(G)$表示，是使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。随着它的变种，考虑顶点着色和/或所谓的强着色，彩虹连接数已经从算法和图论的角度进行了研究。在本文中，我们提出了一系列新的结果上的计算复杂性计算的四个主要变量的彩虹连接数。特别地，我们证明了即使在直径为$3$的图上，\textsc{Strong Rainbow Vertex Coloring}问题也是$NP$ -完全的.我们表明，当颜色的数量是固定的，那么所有考虑的问题都可以在线性时间内解决有界树宽图。此外，我们提供了一个线性时间算法，决定是否有可能获得彩虹着色保存固定数量的颜色从一个平凡的上限。最后，我们给出了一个线性时间算法计算的确切彩虹连接数的三个变种的问题上的图的有界顶点覆盖数。
2015-10-13 cs.DM math.CO
Large rainbow matchings in edge-colored graphs with given average color degree
边有色图中的彩虹匹配是指没有两条边具有相同颜色的匹配。顶点v的颜色度是入射到v的边上的不同颜色的数量。27（2020）]研究了平均色度至少为2k的边有色图G中彩虹匹配的存在性，并证明了G中存在大小为k的彩虹行进的若干充分条件。其充分条件包括：|V（G）|>=12k^2+4k，或G是一个适当边-有色图，|V（G）|>=8k。本文证明了任意边-有色图G| V（G）|>=4k-4且平均色度至少为2k-1，包含大小为k的彩虹匹配。此外，我们还证明了每一个平均度至少为2k-1的强边有色图G都包含一个大小至少为k的彩虹匹配。对于完全图，该界是尖锐的.
2021-05-22 math.CO
Algorithms for the rainbow vertex coloring problem on graph classes
给定一个顶点着色图，如果一条路径的所有内部顶点都有不同的颜色，我们称该路径为彩虹顶点路径。如果图的每一对顶点之间存在彩虹顶点路，则该图是彩虹顶点连通的。在彩虹顶点着色（RVC）问题中，我们想决定给定图的顶点是否可以用至多$k$颜色着色，使得图成为彩虹顶点连通的。这个问题是NP完全的，即使在非常有限的情况下，很少有有效的算法是已知的it. In这项工作中，我们给出了多项式时间算法的RVC置换图，权力的树和分裂强弦图。后一类的算法也适用于该问题的强变体，其中每个顶点对之间的彩虹顶点路径必须是最短路径。我们补充分裂强弦图的多项式时间可解性结果表明，对于任何固定的$p\geq 3$的问题的两个变种成为NP-完全时，限制分裂$(S_3,\ldots,S_p)$ -免费的图形，其中$S_q$表示的$q$ -太阳图。
2020-05-11 cs.DM cs.DS math.CO
Rainbow triangles and the Caccetta-Häggkvist conjecture
Caccetta和Häggkvist的一个著名猜想是，在$n$顶点且最小出度至少为$\frac{n}{r}$的有向图中，存在长度为$r$或更小的有向圈。我们考虑以下推广：在$n$顶点上无向图中，$n$不相交边集合的任何集合，每个边的大小至少为$\frac{n}{r}$，有一个长度为$r$或更小的彩虹圈.我们着重讨论了$r=3$的情形，并在比猜想中更强的条件下证明了彩虹三角形的存在性.对于任意固定的$k$和足够大的$n$，我们确定了一个$n$ -顶点边着色图的最大边数，其中所有的色类的大小最多为$k$，并且没有彩虹三角形.此外，我们还刻画了这个问题的极图。
2018-04-04 math.CO
Decompositions into spanning rainbow structures
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的研究可以追溯到200多年前欧拉关于拉丁方的工作，并一直是广泛研究的焦点。欧拉提出了一个问题，相当于找到正确的$n$ -边着色完全二部图$K_{n,n}$，可以分解成彩虹完美匹配。虽然有适当的边着色的$K_{n,n}$，甚至没有一个单一的彩虹完美匹配，本文的主题是表明，与一些非常弱的额外的限制，可以找到许多不相交的彩虹完美匹配。特别是，我们证明，如果一些分数的颜色类有最多$(1-o(1)) n$边缘，然后可以近分解的边缘$K_{n,n}$到边缘不相交完美的彩虹匹配。作为这一点的应用，我们建立了一个非常强的形式的猜想Akbari和Alipour和渐近证明了一个猜想Barat和Nagy。这两个图都涉及具有二次多色的$K_{n,n}$的边着色中的彩虹完美匹配。使用我们的技术，我们也证明了一些结果的近分解图成其他彩虹结构，如哈密顿圈和生成树。最值得注意的是，我们证明了任何适当着色的完全图都可以近似分解成生成彩虹树。这渐近地证明了Brualdi-Hollingsworth和Kaneko-Kano-Suzuki定理，它们预测在相同的假设下应该存在完美的分解。
2018-12-10 math.CO
Rainbow triangles in arc-colored digraphs
设$D$是弧着色有向图。$D$的弧数$a(D)$定义为$D$的弧数。$D$的颜色号$c(D)$被定义为分配给$D$的弧的颜色的数量。$D$中的彩虹三角形是一个有向三角形，其中每对弧都有不同的颜色。令$f(D)$为最小整数，使得如果$c(D)\geq f(D)$，则$D$包含彩虹三角形。本文得到了$f(\overleftrightarrow{K}_{n})$和$f(T_n)$，其中$\overleftrightarrow{K}_{n}$是$n$阶的完全有向图，$T_n$是$n$阶的强连通竞赛图.此外，我们还刻画了弧色完全有向图$\overleftrightarrow{K}_{n}$，它具有$c(\overleftrightarrow{K}_{n})=f(\overleftrightarrow{K}_{n})-1$且不含彩虹三角形。我们还证明了当$a(D)+c(D)\geq a(\overleftrightarrow{K}_{n})+f(\overleftrightarrow{K}_{n})$，这是无向情况的有向扩张时，$n$顶点上的弧色有向图$D$包含彩虹三角形。
2018-10-14 math.CO
Algorithms and Bounds for Very Strong Rainbow Coloring
一个研究得很好的着色问题是给图$G$的边分配颜色，使得对于每对顶点，它们之间至少有一条最短路径的所有边都接收不同的颜色。在这种着色中所需的最小颜色数是图的强彩虹连接数（$\src(G)$）。当证明$\src(G)$的上界时，很自然地要证明存在一个着色，其中对于图中每对顶点之间的\emph{every}最短路径，路径的所有边接收不同的颜色。因此，我们引入并正式定义了这个更受限制的边色数，我们称之为\emph{very strong rainbow connection number}（$\vsrc(G)$）。本文给出了几类图的$\vsrc(G)$的上界，其中有些图是紧图。这些立即意味着这些类的$\src(G)$的新上限，表明对$\vsrc(G)$的研究使有意义的进展绑定$\src(G)$。然后，我们研究的复杂性问题，计算$\vsrc(G)$，特别是有界树宽的图形，并显示这是一个有趣的问题，在其本身的权利。我们证明了$\vsrc(G)$可以在仙人掌图上在多项式时间内计算，相反，这个问题仍然是开放的$\src(G)$。我们还观察到，决定是否$\vsrc(G) = k$是固定参数易处理的$k$和$G$的树宽。最后，在一般图上，我们证明了没有多项式时间算法来决定是否$\vsrc(G) \leq 3$或近似$\vsrc(G)$内的一个因素$n^{1-\varepsilon}$，除非P $=$ …
2018-01-16 cs.DS math.CO
Ore's Theorem for rainbow Hamiltonian-connected graphs
本文针对公共顶点集上的图集合，证明了满足类似Ore定理度条件的图集合要么任意顶点对间存在彩虹哈密顿路径，要么含彩虹哈密顿环，且可嵌入指定彩虹线性森林。
2025-12-13 math.CO
Properly colored and rainbow copies of graphs with few cherries
设G是一个包含线性多个樱桃的n-顶点图（即，设c是完全图K_n的边的着色，使得在每个顶点上每种颜色只出现多次。在1979年，Shearer证明了这样的着色c必须包含G的正确着色副本。我们建立了这个猜想的一个强形式，证明了它甚至对樱桃数为O（n^（4/3））的图G也成立，而且樱桃数的这个界在一个常数因子下是最佳可能的。我们还证明了在K_n的每一个边染色中都可以找到这样的G的彩虹拷贝，其中所有的颜色出现有界的次数。我们的证明结合了一个框架，陆和Szekely使用不平衡的Lovasz局部引理在空间中的随机双射与一些额外的想法。
2016-07-14 math.CO
Exact-palette rainbow embeddings in uniformly coloured pseudorandom graphs
研究均匀着色稀疏双混合图中彩虹结构的涌现，证明在亚线性调色板盈余下完美匹配等结构存在，并推广到精确调色板情形，利用耦合与传播测度方法。
2026-09-30 math.CO
Rainbow Turán number of even cycles, repeated patterns and blow-ups of cycles
图$H$的彩虹Turán数$\mathrm{ex}^*(n,H)$是一个没有彩虹子图同构于$H$的正确边着色的$n$ -顶点图的最大可能边数。证明了对任意整数$k\geq 2$，$\mathrm{ex}^*(n,C_{2k})=O(n^{1+1/k})$ .这是紧的，并建立了Keevash，Mubayi，Sudakov和Verstraëte的猜想。我们用同样的方法证明了不同主题中的其他几个命题。首先，我们证明了存在一个常数$c$，使得任何具有多于$cn(\log n)^4$条边的适当边着色的$n$ -顶点图包含一个彩虹圈。已知存在具有$Ω(n\log n)$边且不含彩虹圈的适当边着色$n$ -顶点图.其次，我们证明了在$K_n$的任意一个具有$o(n^{\frac{r}{r-1}\cdot \frac{k-1}{k}})$颜色的真边着色中，存在$C_{2k}$的$r$颜色同构的两两顶点不相交的拷贝。这强有力地证明了Conlon和Tyomkyn的一个猜想，以及Xu，Zhang，Jing和Ge提出的一个强有力的猜想.此外，我们还回答了Jiang和Newman提出的一个问题，证明了存在一个常数$c=c(r)$，使得任何具有多于$cn^{2-1/r}(\log n)^{7/r}$边的$n$ -顶点图都包含一个偶圈的$r$ -爆破.最后，证明了$C_{2k}$的$r$ -爆破具有Turán数…
2021-04-12 math.CO
Hardness results for three kinds of colored connections of graphs
图的彩虹连接数的概念是由Chartrand等人在2008年提出的。受此概念的启发，其他关于图中连通性的有色版本的概念也被引入，例如Caro和Yuster在2011年提出的单色连通数，Borozan等人在2012年提出的真连通数，以及Czap等人在2018年提出的无冲突连通数。Chakraborty等人证明了计算图的彩虹连通数是NP-困难的。长期以来，人们一直试图解决图的单色连通数、真连通数和无冲突连通数的计算复杂性问题。然而，至今仍未解决。只有强版本的复杂性结果，即，这些连接数中的强正确连接数和强无冲突连接数被确定为NP难的。本文证明了计算图的单色连通数、真连通数和无冲突连通数都是NP-困难的。这解决了这个领域长期存在的问题，在许多研讨会和论文中提出了这个问题。
2020-01-08 cs.CC math.CO
Rainbow Connection Number of Graph Power and Graph Products
一个连通图G的彩虹连通数rc（G）是使G的每对顶点至少有一条路相连，且没有两条边的颜色相同所需的最小颜色数（注意，着色不一定是正确的）。本文研究了关于图的三种重要的积运算（即笛卡儿积、字典序积和强积）和图的乘方运算的彩虹联络数。在这个方向上，我们证明了如果G是一个图，通过对非平凡图应用上述任何运算得到，则rc（G）<= 2 r（G）+c，其中r（G）表示G的半径，c \in {0，1，2}.一般来说，无桥图的彩虹连接数可以高达其半径的平方[Basavaraju et.等人，2010年]。这是一个尝试，以确定一些图类的彩虹连接数非常接近明显的下界的直径（从而半径）。所报告的界限是紧的加法常数。证明是建设性的，因此产生多项式时间（2 + 2/r（G））因子逼近算法。
2011-07-22 cs.DM math.CO
Rainbow Connection Number and Radius
一个连通图G的彩虹连通数rc（G）是使G的每对顶点至少有一条路连通，且没有两条边的颜色相同所需的最小颜色数。本文证明了对任意半径为r的无桥图G，rc（G）<= r（r + 2）.我们证明，这个界是最好的可能的rc（G）作为一个函数的r，不只是无桥图，但也为图的任何更强的连通性。可以注意到，对于一般的1-连通图G，rc（G）可以任意大于其半径（例如星图）。我们进一步证明了对于半径为r，弦度为k的无桥图G，rc（G）<= rk.已知计算rc（G）是NP-Hard [Chakraborty等人，2009年]。本文给出了一个O（nm）时间的（r+3）-因子近似算法和一个O（dm）时间的（d+3）-因子近似算法，对任意n阶、m条边、直径为d、半径为r的连通图G进行彩虹着色.
2012-09-11 cs.DM math.CO
Robust (rainbow) subdivisions and simplicial cycles
本文研究了极值图与超图理论中的拓扑结构问题，证明了稠密及稀疏图在正常着色下包含彩虹细分与彩虹圈的条件，并将相关结论推广至纯单纯复形，通过强扩展性图与超图的随机采样方法给出了严格证明。
2024-01-03 math.CO
On (strong) proper vertex-connection of graphs
一个顶点着色图中的路是{ \it顶点适当路}，如果任何两个内部相邻顶点的颜色不同。一个点着色图是{ \it真点$k$ -连通}的，如果图的任意两个点由图的$k$不相交的点-真路连通.对于$k$ -连通图$G$，定义$G$的{ \it真点$k$ -连通数}为使$G$真点$k$ -连通所需的最小颜色数，记为$pvc_{k}(G)$.一个点着色图是{ \it强真点连通的}，如果对图的任意两个点$u,v$，存在一条点真$u$-$v$测地线.对于连通图$G$，$G$的{ \it强真点连通数}，记为$spvc(G)$，是使$G$强真点连通所需的最小颜色数.这些概念的灵感来自彩虹顶点$k$ -连接数$rvc_k(G)$、强彩虹顶点连接数$srvc(G)$和$k$ -连接图$G$的适当$k$ -连接数$pc_k(G)$。首先，我们确定了一般图的$pvc(G)$值和某些特殊图的$pvc_k(G)$值。我们还比较了$pvc_k(G)$和$pc_k(G)$的值。然后，对$n$阶连通图$G$，即$0\leq spvc(G)\leq n-2$，给出了$spvc(G)$的精确界.此外，我们还刻画了阶$n$的图，使得$spvc(G)=n-2,n-3$，分别。最后，我们研究了连通图$G$的三个顶点着色参数，即$spvc(G), \ srvc(G)$和色数$χ(G)$之间的关系。
2015-05-19 math.CO
Towards Erdős-Hajnal property for dp-minimal graphs
本文通过引入强$\inom{k}{2}$-自由图，并在稀疏性条件下构造彩虹封锁的降阶方法，为dp-极小图的Erdős-Hajnal性质提供了中间步骤。
2023-10-31 math.CO math.LO
When $t$-intersecting hypergraphs admit bounded $c$-strong colourings
该研究解决了Blais等人的问题，证明$t$-相交超图的$(t+1)$-强色数有界，还刻画了其在$c\neq t+2$时大$c$-强色数的条件，且该刻画适用于排除指定参数向日葵结构的超图。
2024-06-19 math.CO
Variants of the Gyàrfàs-Sumner Conjecture: Oriented Trees and Rainbow Paths
本文研究高色数禁子图中的诱导彩虹路径与定向树问题，给出 $K_{2,r}$、$C_4$ 及高围长图的新多项式上界，并推广得到定向 Gyárfás-Sumner 型结论。
2024-06-16 cs.DM math.CO
A stronger upper bound on the D-chromatic index
Middle Tennessee State University（中田纳西州立大学）；Augustana College（奥古纳学院）
该研究针对图的D-色指数的Brooks型上界问题，采用概率方法，首次改进了此前由贪心着色得到的上界，证明了最大度足够大时D-色指数不超过带正系数修正的二次上界。
2026-09-03 math.CO
On the Turán number of the hypercube
本文研究超立方体 Q_d 的 Turán 数，取得 ex(n,Q_d) 的首次幂次改进，并将技术推广到更广泛图类，同时改进无彩虹环正常边着色图的边数上界并证明近乎彩虹环结果的紧性。
2024-01-22 math.CO
Hypertree shrinking avoiding low degree vertices
本文改进了超树缩小的界，通过超图定向引理和边着色图特征化，得到更一般的缩小界。
2025-12-08 math.CO
On the largest chromatic number of $F$-free hypergraphs
Tsinghua University（清华大学）；Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
研究了不含超图F的超图的最大色数问题，针对强色数和弱色数分别给出了特征和界，特别讨论了3-均匀扩张超图的情况。
2026-04-23 math.CO
