Rational approximation
Lloyd N. Trefethen
本文通过AAA算法实例回顾有理逼近的位势理论，展示其应用价值。
通过使用AAA算法计算的例子，回顾了有理逼近的位势理论。
Potential theory for rational approximation is reviewed by means of examples computed with the AAA algorithm.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Applications of AAA rational approximation
本文通过AAA算法展示有理函数在数值分析中的广泛应用，重点介绍其核心方法及贡献。
The AAAtrig algorithm for rational approximation of periodic functions
我们提出了一个扩展的AAA（自适应Antoulas-安德森）算法的周期函数，称为“AAAtrix”。该算法使用AAA近似的关键步骤，通过（i）表示（三角）重心形式的近似和（ii）选择支持点greetly。因此，AAA 10继承了AAA的所有有利特性，因此非常灵活和鲁棒，能够考虑复平面中相当一般的样本点集合。我们考虑了一系列的应用，特别强调解决拉普拉斯方程在周期域和压缩周期共形映射。这些结果再现了最近其他研究中观察到的锥形指数聚类效应。该算法在Chebfun中实现。
AAA rational approximation on a continuum
针对传统AAA有理逼近仅适用于离散集合的局限，提出自适应离散的连续域AAA算法，配套三类域的快速实现代码，支持极小极大优化且结果在域内无极点。
Two intriguing variants of the AAA algorithm for rational approximation
针对实数或复数有理逼近问题，提出AAA算法的两种变体：AAAsmooth通过结合最后两个右奇异向量的复线性组合消除伪极点并提升收敛平滑度；AAAbudget引入一阶导数信息以使用更小方阵替代Loewner矩阵，在保持逼近效果的同时显著降低SVD计算成本。
AAA-least squares rational approximation and solution of Laplace problems
介绍了一种用有理逼近求解平面Laplace问题的两步法。首先，通过AAA近似确定对边界数据的复杂有理逼近，或者全局地或者局部地接近每个角或其他奇点。然后收集问题域之外的这些近似的极点，并用于对解决方案进行全局最小二乘拟合。典型的问题是解决了一秒的笔记本电脑的时间到8位数的精度，所有的方式，直到角落，和共轭调和函数也提供了。AAA最小二乘组合也提供了一种新的方法，以避免在其他有理逼近问题的虚假极点，并大大加快他们在许多奇异的情况下。作为一种特殊情况，AAA-LS近似导致一个强大的方法来计算希尔伯特变换或狄利克雷-诺依曼映射。
Multivariate Rational Approximation via Low-Rank Tensors and the p-AAA Algorithm
本文提出低秩 p-AAA 算法，通过可分离函数重心形式和低秩张量分解缓解多元有理逼近的内存与计算压力，并在参数化降阶建模中验证其对高维数据的有效性。
Multivariate Rational Approximation of Scattered Data Using the p-AAA Algorithm
本研究将原本适用于网格数据的p-AAA算法拓展至散乱多元数据场景，通过带约束的有理最小二乘优化及结构化矩阵奇异值分解实现闭式求解，验证了方法的计算特性与有效性。
The AAA algorithm for rational approximation
本文提出了一种新的有理函数逼近算法，能够在实数或复数点集上实现，仅需40行Matlab代码且无需用户输入参数。该算法在盘状或区间上可能优于现有方法，在更复杂的域上尤为竞争性强。核心思想是（1）用重心形式表示有理近似函数并在特定支撑点进行插值，（2）通过贪心选择支撑点以避免指数级不稳定性。AAA名称致敬了提出基于（1）方案的Antoulas和Anderson。本文提供了核心算法的Matlab代码和九个应用，并描述了针对不同类型问题的变种。与向量拟合、RKFIT和其他现有有理逼近方法进行了比较。
A convex dual problem for the rational minimax approximation and Lawson's iteration
针对复平面离散有理极小极大逼近缺乏全局最优保证的问题，提出一种凸规划方法及新版Lawson迭代，在Ruttan条件下保证解的全局最优性，数值实验验证了其单调收敛性和竞争力。
QR-based Parallel Set-Valued Approximation with Rational Functions
针对集值有理函数逼近，本文提出可并行的(P)QR-AAA算法，利用截断QR分解得到的近似正交基加速集值AAA框架，并从理论与数值上验证其精度、效率及低通信并行能力。
AAA interpolation of equispaced data
我们提出了AAA有理逼近作为一种方法，用于插值或近似光滑函数从等距数据样本。尽管如果有大量的样本，无论是否均匀分布，从大量样本中进行近似总是更好，但即使在采样网格相当粗糙的情况下，这种方法也经常表现得令人印象深刻。在大多数情况下，它比其他方法更准确的近似。
Computation of 2D Stokes flows via lightning and AAA rational approximation
本文提出 LARS 算法，结合 lightning 与 AAA 有理逼近求解光滑边界和多连通区域中的二维 Stokes 流，实现亚秒计算与至少 6 位精度。
Resonance modes in microstructured photonic waveguides: Efficient and accurate computation based on AAA rational approximation
提出一种基于AAA有理逼近与特殊光源的计算框架，可仅求解光子波导中局域于中心纤芯的相关共振模式，避免计算包层和高阶模式及繁琐的模式滤波后处理。
The Gamma Function via Interpolation
提出了一种新的计算框架，用于计算复平面上的Γ函数$Γ(z)$。该算法是基于有理函数插值，并推广了经典的Lanczos \cite{Lanczos}和Spouge \cite{Spouge}的方法（我们也插值）。该框架利用了Γ函数的精确极点。通过放松这一条件，并允许极点的变化，一个接近最佳的有理逼近是可能的，这是证明使用自适应Antoulous安德森（AAA）算法，在\cite{AAA,AAA_2020}开发。由此产生的近似与斯特林公式的整体效率方面的竞争力。
Applications of QR-based Vector-Valued Rational Approximation
本文探讨了QR-AAA算法在斯托克斯流计算、多变量有理逼近和边界元方法近场逼近中的应用及有效性。
Rational approximation for Zolotarev sign and ratio problems
该研究针对Zolotarev第三、第四问题，提出用Loewner框架快速逼近，对比了其与其他方法的特性，验证了该框架的鲁棒性、准确性及无需用户干预的优势。
An algorithm for real and complex rational minimax approximation
实区间上实函数的有理极小化极大逼近是一个既定的主题，但当涉及到复杂的函数或域时，目前似乎没有使用的算法。这里介绍这样一种方法，Chebfun中提供的{ \em AAA-Lawson算法}。新的算法解决了广泛的问题，在一个由两个步骤组成的过程中，在几分之一秒的笔记本电脑的时间在任意域。首先，运行标准AAA算法以获得近最佳逼近和用于有理逼近的重心表示的一组支撑点。然后，“劳森阶段”的重心系数的迭代重加权最小二乘调整进行，以改善近似极小极大。
Algorithms for the rational approximation of matrix-valued functions
讨论了矩阵值函数的有理逼近的一系列算法，包括插值AAA方法、基于近似最小二乘拟合的RKFIT方法、向量拟合和基于块Loewner矩阵低秩逼近的方法。提出了一种基于矩阵权值的广义重心公式的块AAA算法。所有算法的近似精度和运行时间方面进行了比较，从模型降阶和非线性本征值问题，包括噪声数据的例子的一组问题。据发现，插值为基础的方法通常是更便宜的运行，但他们可能会遭受在噪声的存在下，近似为基础的方法执行得更好。
Unitarity of some barycentric rational approximants
该研究证明指数函数在虚轴上的(k,k)阶有理重心插值及最小化线性化误差的同类逼近均保留酉性，涵盖AAA、AAA–Lawson方法的结果，并提出改进流程以提升数值稳定性、降低计算成本。
Evaluation of resonances: adaptivity and AAA rational approximation of randomly scalarized boundary integral resolvents
提出一种基于随机标量化边界积分预解式的有理逼近、自适应搜索策略和指数收敛正割法终止阶段的新算法，用于评估开放和封闭腔体中的声学与电磁共振。
Computing the Zeros of a Holomorphic Function Using Quadrature-Based Subdivision and Rational Approximation of the Logarithmic Derivative
提出结合 AAA 有理逼近、对数导数和 Cauchy 辐角原理细分的方法，以可靠找出指定复平面区域内全纯函数的全部零点，并由 Python 包 skzeros 实现。
Parameter estimation for multivariate exponential sums via iterative rational approximation
本文将单变量指数和的有理逼近重建算法扩展至多元情形，通过将多元有理插值问题降维为单变量问题并利用 AAA 方法求解，提出了基于稀疏网格和完整网格的两种新方法。
Leveraging the Hankel norm approximation and block-AAA algorithms in reduced order modeling
提出两阶段降阶算法，结合改进的AAA算法和Hankel范数近似理论，实现大规模LTI系统的高效、精确且数值稳定的降阶建模。
A refined nonlinear least-squares method for the rational approximation problem
本文提出了一种改进的非线性最小二乘方法，用于构造满足误差容差的最小次数有理逼近，通过理论分析和数值实验验证了其有效性。
Least Squares Rational Approximation
本文提出一种非线性最小二乘方法，用于构造具有加权l2范数的有理逼近，通过变量投影技术减少优化问题的维度，并探讨了两种有理函数参数化方法。
Computing Stokes flows in periodic channels via rational approximation
本文提出了一种基于三角有理函数的算法，用于高精度计算周期性通道中的二维Stokes流，适用于Poiseuille和Couette问题，精度达6位，计算时间短于1秒。
Rational approximation of the absolute value function from measurements: a numerical study of recent methods
在这项工作中，我们提出了一个广泛的数值研究近似的绝对值函数。本文中提出的方法以有理函数的形式计算近似值，并且是最近才提出的，例如，Loewner框架和AAA算法。此外，这些方法基于数据，即，原始函数的测量（因此是数据驱动的性质）。我们比较这两种方法的数值结果与最近提出的最佳有理逼近方法（极大极小算法），并与上个世纪的各种经典界限。最后，我们提出了一个迭代扩展的Loewner框架，可用于提高逼近质量的合理逼近。
RationalFunctionApproximation.jl: Rational Approximation On Discrete and Continuous Domains
RationalFunctionApproximation.jl 提供了高效的有理逼近方法，支持任意精度计算，并能生成复平面上各种域的精确函数表示。
Data-driven Algorithms for signal processing with trigonometric rational functions
描述了用于从具有差分离的谱内容的样本重建周期信号的有理逼近方案。这些方法是自动和自适应的，不需要调整或手动参数选择。总的来说，它们形成了一个框架，用于将三角有理模型拟合到对各种形式的腐败（包括加性高斯噪声，扰动采样网格和丢失数据）具有鲁棒性的数据。我们的方法结合了Prony的方法与AAA算法的修改版本的变体。使用表示在频率和时间空间，一个集合的算法描述自适应计算与三角有理数。这包括微分、滤波、卷积等过程。介绍了一个基于这些算法的MATLAB软件系统。它的有效性与合成和实际的应用，包括生物医学监测，声学去噪和特征检测的例子说明。
From ESPRIT to ESPIRA: Estimation of Signal Parameters by Iterative Rational Approximation
提出了一种基于稀疏指数和的迭代有理逼近（ESPIRA）信号参数估计新方法。我们的算法使用AAA算法的有理逼近的离散傅里叶变换的给定等距信号值。我们表明，ESPIRA可以被解释为一个矩阵束方法适用于Loewner矩阵。这些Loewner矩阵与通常用于信号恢复的Hankel矩阵密切相关。由于通过自适应选择指标集构造Loewner矩阵，矩阵束方法是稳定的。ESPIRA实现了类似的恢复结果的确切数据ESPRIT和矩阵束方法，但计算量较少。此外，ESPIRA强烈优于ESPRIT和矩阵束方法的噪声数据和信号近似短指数和。
Solving time-fractional differential equation via rational approximation
分数阶微分方程描述了动力系统的次扩散行为。它的非局部结构要求在时间积分过程中考虑整个演化历史，这可能会导致额外的内存使用来存储历史，随着时间的推移而增长。历史积分求积的替代方法是用指数和来近似分数核，这相当于将FDE解视为常微分方程组的解之和。构造这种系统的一种可能性是用一个有理函数来近似分数核的拉普拉斯谱。在本文中，我们使用自适应Antoulas-Anderson（AAA）算法的有理逼近的核谱，只产生少量的实值极点。我们提出了一个基于这种思想的数值格式，并研究了它的稳定性和收敛性。此外，我们将该算法应用到时间分数的Cahn-Hilliard问题。
Automatic rational approximation and linearization of nonlinear eigenvalue problems
本文提出利用有理逼近方法求解非线性本征值问题，结合AAA方法与状态空间表示，实现高效计算，并展示其在大规模问题中的竞争力。
Exponential node clustering at singularities for rational approximation, quadrature, and PDEs
如果极点是指数聚集的，则具有奇点的函数的有理逼近可以以根指数速率收敛。我们首先回顾这种影响在极小极大，最小二乘，AAA近似的间隔和复杂的域，共形映射，拉普拉斯，亥姆霍兹和双调和方程的数值解的“闪电”方法。涉及广泛和广泛的数值实验。然后，我们提出了进一步的实验表明，在所有这些应用程序中，它是有利的，使用指数聚类的对数尺度上的密度是不均匀的，但线性逐渐减少到零附近的奇点。我们给出了一个理论解释的锥形效应的基础上的Hermite轮廓积分和位势论，表明锥形的两倍的收敛速率。最后，我们表明，相关的数学适用于指数（非锥形）和双指数（锥形）求积公式之间的关系。在这里，它是高斯-高桥-森轮廓积分发挥作用。
Rational minimax approximation via adaptive barycentric representations
本文提出利用自适应巴耶茨表示法改进有理最差逼近算法，通过三种策略实现鲁棒性提升，实现高精度逼近。
Cubature from rational approximation
该研究针对具有可求长Jordan边界的平面区域上解析函数的面积积分，基于柯西 - 格林恒等式，利用AAA算法计算有理函数逼近边界值，构造求积规则，有对偶解读，数值例子表现良好，还追踪了相关解析骨架。
Computing the Reciprocal of a $ϕ$-function by Rational Approximation
在本文中，我们介绍了一个$ϕ$ -函数的倒数的有理逼近的家庭涉及某些线性微分方程的显式解决方案，以及在流形上发展的积分计划。推导和属性，这一家庭的近似适用于标量和矩阵参数。此外，我们表明，这些近似计算的矩阵函数表现出衰减性能相媲美的最佳现有的理论界。数值例子突出了建议的有理逼近的好处w.r.t.~经典的泰勒多项式和其他有理函数。
A new rational approximation algorithm via the empirical interpolation method
本文提出一种基于经验插值方法的有理逼近算法，用于高效逼近参数化函数族，并应用于分数阶微分方程、预条件及矩阵函数，附有收敛估计和数值验证。
Quadrature formulas from rational approximations
本文提出利用权函数Cauchy变换的有理逼近来统一推导各类求积公式，并指出求积节点区间或曲线对应近最优分支切割，从而为求积理论提供新方法和深层数学洞察。
Multivariate Rational Approximation Using a Stabilized Sanathanan-Koerner Iteration
Sanathanan-Koerner迭代是1963年提出的经典的有理逼近方法。这种方法将近似的两侧乘以分母多项式，产生线性问题，然后在每次迭代时引入权重以校正这种线性化。不幸的是，该权重引入了数值不稳定性。我们纠正这种不稳定性，通过构建范德蒙矩阵的分子和分母多项式使用Arnoldi迭代的初始向量，强制执行此加权。这种稳定的Sanathanan-Koerner迭代校正了不稳定性，并产生任意阶的精确有理逼近。利用Vandermonde与Arnoldi的多元扩展，我们可以将稳定的Sanathanan-Koerner迭代应用于多元有理逼近问题。由此产生的多变量近似值往往显着优于现有的技术，并显示更均匀的精度在整个域。
Unitary rational best approximations to the exponential function
本文研究虚轴上指数函数的酉有理最佳逼近，证明其存在性、唯一性及超线性收敛，并给出高效算法，所得时间传播子具有酉、对称和A-稳定性质。
An approximation of Daubechies wavelet matrices by perfect reconstruction filter banks with rational coefficients
本文提出一种方法，用有理数逼近Daubechies小波矩阵系数，同时精确保持滤波器组的完美重构性质。
Local Linearizations of Rational Matrices with Application to Rational Approximations of Nonlinear Eigenvalue Problems
本文给出了有理矩阵局部线性化的定义，并研究了其性质。这个定义允许我们引入与有理矩阵相关联的矩阵束，该有理矩阵在任何代数闭域的子集中以及在无穷远处保持其零和极点的结构。此外，作为特定情况，这种定义包括先前在文献中使用的其他定义。通过这种方式，这种新的局部线性化理论捕捉并严格解释了从20世纪70年代到2019年用于计算有理矩阵的零，极点和特征值的所有不同铅笔的性质。特别注意的是最近出现的那些铅笔在数值解的非线性本征值问题通过有理逼近。
Constructing Orthogonal Rational Function Vectors with an application in Rational Approximation
本文提出两种算法用于构造有理函数向量的正交基，并应用于有理逼近问题，成功恢复了最优收敛率。
Exponential Asymptotics using Numerical Rational Approximation in Linear Differential Equations
针对奇异摄动常微分方程首阶解无闭式难以定位奇点的问题，提出用自适应AAA方法的数值首阶解有理逼近替代解析解，可准确预测指数小行为，还分析了方法局限性及拓展方式，并讨论了非线性应用挑战。
Rational approximations to fractional powers of self-adjoint positive operators
本文研究了通过特定积分表示法对无界正算子的分数次幂进行有理逼近，并利用逼近理论中的经典结果，通过Padé近似子提供精确的误差界，改进了现有结果并验证了其准确性。
How different is rational approximation from piecewise polynomial approximation?
本文研究有理函数逼近与分段多项式逼近的差异，发现二者在逼近带点奇点的单变量函数时收敛速率相似，但有理逼近常数更小，多变量情形下差异更显著。
A rational approximation for the Dawson's integral of real argument
本文提出了一种实变Dawson积分的有理逼近方法，用于高效计算小y下的Voigt函数，精度超过10^-10。
Multivariate rational approximation of functions with curves of singularities
本文研究了具有奇异曲线的函数的多变量有理逼近，通过将极点聚集从点推广到曲线，构造了多变量有理逼近，为处理复杂奇异性提供了新方法。
Flexible rational approximation and its application for matrix functions
本文提出一种独特的优化方法估计极小极大有理逼近并应用于矩阵函数求值，通过添加约束灵活控制矩阵性质（如条件数界限），并在基于直接谱滤波的应用中验证了其高效性。
Low-memory Krylov subspace methods for optimal rational matrix function approximation
本文提出Lanczos-OR方法，利用稍大的Krylov子空间信息实现有理矩阵函数与向量乘积的最优逼近，并给出低内存实现，可推广至矩阵符号函数等计算，在几乎不增加计算开销的情况下提升逼近质量。
Rational approximation preconditioners for multiphysics problems
我们考虑一类描述通过界面相互作用的多物理场现象的数学模型。在这样的界面上，场的迹（近似）位于两个分数微分算子的加权和的范围内。我们使用一个有理函数近似的先决条件，这样的运营商。我们首先证明了由分数阶指数的加权和给出的普通函数的近似的鲁棒性。此外，我们提出了更现实的例子，利用提出的预处理技术之间的界面耦合达西和斯托克斯方程。
Greedy Rational Approximation for Frequency-Domain Model Reduction of Parametric LTI Systems
本文提出一种基于贪心策略的有理函数逼近方法，用于参数LTI系统的频域模型降阶，通过降阶基方法实现低阶有理函数构造。
Fast and stable rational approximation of generalized hypergeometric functions
针对广义超几何函数 ${}_pF_q$，本文基于 Drummond 与阶乘 Levin 型序列变换构造 $(n+k,k)$ 型有理逼近，并提出低复杂度、高稳定性的递推关系，结合极点理论证明后者更优。
Approximate construction of rational approximations and the effect of error autocorrection. Applications
本文综述有理逼近的多种构造方法，揭示系数误差自校正效应，并介绍其在十进制计算机基本计算中的应用。
Weighted polynomial approximation of rational Bézier curves
本文提出了一种高效方法，通过双约束伯恩斯坦基多项式和雅可比标量积，实现有理贝塞尔曲线的约束最小二乘逼近，并通过实例验证了方法的有效性。
Interpolation constrained rational minimax approximation with barycentric representation
本文提出了一种新的双重视角下的Lawson方法，用于解决在特定插值条件下有理最劣逼近的问题。该方法结合了有理函数的插值表示和双重视角来处理最劣逼近挑战，提高了方法的准确性和计算稳定性，并通过数值结果验证了其有效性。
On the restriction to unitarity for rational approximations to the exponential function
该研究对比指数函数的Chebyshev有理逼近与带幺正性约束的幺正最佳有理逼近，证明二者不同但后者误差至多为前者两倍，且域收缩至原点时渐近误差一致，说明幺正约束实际影响不大。
Constrained approximation of rational triangular Bézier surfaces by polynomial triangular Bézier surfaces
本文提出了一种新的方法，通过递归性质和智能算法高效近似有理贝塞尔三角片，保留边界控制点。
From low-rank approximation to an efficient rational Krylov subspace method for the Lyapunov equation
本文提出一种基于自适应移位扩展有理Krylov子空间近似的Lyapunov方程近似求解方法，结合线性ODE系统求解与低秩近似交替最小二乘法，验证了方法的有效性。
Convergence analysis of a nonlinear eigensolver based on rational approximation of the resolvent
研究基于预解式有理逼近的非线性特征值求解器，分析其收敛性，证明块探测和放大两种提高精度技术的有效性，通过广义特征问题建立极点查找稳定性，数值实验验证理论结果。
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