A Rational Krylov Subspace Method for the Computation of the Matrix Exponential Operator
本研究针对大型稀疏矩阵下矩阵指数算子近似计算问题，提出有理块Lanczos算法，推导了收敛误差估计与界，数值实验验证了方法的计算效率。
2023-08-28 cs.NA math.NA
Rational Krylov and ADI iteration for infinite size quasi-Toeplitz matrix equations
考虑一类含有半无限矩阵的线性矩阵方程，其矩阵具有拟Toeplitz结构。这些方程出现在不同的环境中，主要与偏微分方程或马尔可夫链的研究有关，如二维格上的随机游动。我们提出的理论证明存在一个适当的巴拿赫代数，这是计算处理，我们提出了几种方法，他们的解决方案。我们将展示如何适应ADI迭代到这个特定的无穷维设置，以及如何构造合理的Krylov方法。收敛性理论进行了讨论，数值实验验证了所提出的方法。
2020-06-19 cs.NA math.NA
A family of orthogonal rational functions and other orthogonal systems with a skew-Hermitian differentiation matrix
在本文中，我们探讨正交系在$\mathrm{L}_2(\mathbb{R})$，产生一个斜厄米特，三对角微分矩阵。令人惊讶的是，允许的微分矩阵是复杂的，导致一个特定的家庭的合理的正交功能与有利的性质：他们形成一个规范正交基$\mathrm{L}_2(\mathbb{R})$，有一个简单的显式公式为有理函数，可以很容易地操作和扩展系数等于经典的傅里叶系数的修改功能，因此可以快速计算。我们表明，这个家庭的功能基本上是唯一的规范正交基拥有上述形式的微分矩阵，其系数等于经典的傅里叶系数的修改功能，虽然单调，可微的变量变量变换。其他正交基与斜厄米特，三对角微分矩阵的例子进行了讨论。
2019-11-20 cs.NA math.NA
Polynomial and rational measure modifications of orthogonal polynomials via infinite-dimensional banded matrix factorizations
本文提出利用无限维带状矩阵分解的快速算法，以线性复杂度计算正交多项式在多项式或有理测度修改下的连接系数与修改Jacobi矩阵，并构造支持带状微分矩阵的正交多项式族以实现稀疏谱方法。
2024-03-26 cs.NA math.NA
Algorithms for the rational approximation of matrix-valued functions
讨论了矩阵值函数的有理逼近的一系列算法，包括插值AAA方法、基于近似最小二乘拟合的RKFIT方法、向量拟合和基于块Loewner矩阵低秩逼近的方法。提出了一种基于矩阵权值的广义重心公式的块AAA算法。所有算法的近似精度和运行时间方面进行了比较，从模型降阶和非线性本征值问题，包括噪声数据的例子的一组问题。据发现，插值为基础的方法通常是更便宜的运行，但他们可能会遭受在噪声的存在下，近似为基础的方法执行得更好。
2021-04-20 cs.NA math.NA
Error formulas for block rational Krylov approximations of matrix functions
University of Pisa（比萨大学）
本文提出两种块有理Krylov近似矩阵函数误差公式，基于块FOM残差特性，无需四次积分即可评估误差界。
2026-03-20 cs.NA math.NA
Rational Minimax Iterations for Computing the Matrix $p$th Root
Department of Mathematics, University of Hawaii at Manoa（夏威夷大学马诺阿分校数学系）
本文提出了一种用于计算矩阵p次根的有理最劣迭代法，扩展了Zolotarev迭代法用于计算矩阵平方根的方法，分析了p>2时迭代法的收敛性和稳定性，并通过数值例子验证了理论预测。
2019-03-14 cs.NA math.NA
The behaviour of the complete eigenstructure of a polynomial matrix under a generic rational transformation
University of Pisa（比萨大学）
本文研究多项式矩阵在有理变换下的完全特征结构（包括特征值、初等因子和最小指标）之间的关系，并给出并证明了一个适用于最一般假设的定理。
2012-04-13 cs.NA math.NA
Error bounds for the approximation of matrix functions with rational Krylov methods
本研究通过关联矩阵函数误差与移位线性系统近似解误差，得到有理Krylov方法逼近对称矩阵函数的误差表达式，推导先验与后验误差界，推广了Lanczos方法的相关误差界并可改进其结果。
2023-11-05 cs.NA math.NA
The global extended-rational Arnoldi method for matrix function approximation
诸如$f(A)V$的矩阵函数的数值计算出现在各种应用中，诸如网络分析（$f(t)=exp(t)$或$f(t)=t^3)$）、机器学习$(f(t)=log(t))$、量子色动力学理论$(f(t)=t^{1/2})$、电子结构计算等，其中$A$是$n\times n$大且稀疏的正方形矩阵，$V$是具有$p\ll n$的$n \times p$块，并且$f$是非线性矩阵函数。在这项工作中，我们提出了使用全球扩展有理Arnoldi方法计算近似的表达式。该方法将初始问题投影到一个低维的全局扩展有理Krylov子空间$\mathcal{RK}^{e}_m(A,V)=\text{span}(\{\prod\limits_{i=1}^m(A-s_iI_n)^{-1}V,\ldots,(A-s_1I_n)^{-1}V,V$ $,AV, \ldots,A^{m-1}V\})$上.给出了一种选择移位参数$\{s_1,\ldots,s_m\}$的自适应方法。所提出的方法也适用于解决参数依赖系统。数值算例表明，这些问题的整体扩展理性Arnoldi的性能。
2020-03-31 cs.NA math.NA
Rational Krylov for Stieltjes matrix functions: convergence and pole selection
计算矩阵函数对向量的作用，即$x=f(\mathcal M)v$，是应用中普遍存在的任务。当$\mathcal M$较大时，通常依赖于Krylov投影方法。当$f(z)$是Cauchy-Stieltjes或Laplace-Stieltjes（或等价的完全单调）且$\mathcal M$是正定矩阵时，本文给出了逼近$x$的有理Krylov方法的极点的有效选择.依赖于相同的工具来分析一般的情况下，我们然后专注于情况$\mathcal M=I \otimes A - B^T \otimes I$，和$v$获得矢量化的低秩矩阵，这发现的应用，例如，在解决分数扩散方程的二维张量网格。我们看到如何利用张量Krylov子空间利用克罗内克结构，我们介绍了误差分析的数值逼近$x$。在这种情况下，极点选择策略的显式收敛界。
2020-07-30 cs.NA math.NA
Uniform-in-time rational approximation of the matrix exponential with real poles
The University of Manchester（曼彻斯特大学）
提出两种新方法构造有理函数族逼近\(\exp(-tz)\)，一种针对实极点合并情况，通过权重函数得出极点最优位置公式；另一种针对实极点不同情况，利用佐洛塔廖夫构造给出算法，还分析了稳定性，得到可靠且可并行化的指数传播子。
2026-07-21 cs.NA math.NA
A low-memory Lanczos method with rational Krylov compression for matrix functions
本研究提出一种结合有理Lanczos算法与基于有理Krylov子空间基压缩的低内存方法，用于计算厄米矩阵函数对向量的作用，可大幅降低内存需求，误差可忽略，性能具竞争力。
2024-03-07 cs.NA math.NA
Strongly minimal self-conjugate linearizations for polynomial and rational matrices
证明了任意有理矩阵在无穷远无穷远点附近的Laurent展开总是可以构造出其强极小线性化，这恰好是用单项基表示的多项式矩阵的情况.如果有理矩阵有一个特殊的自共轭结构，我们展示了如何构造强极小线性化，保持它。被认为是厄米特和斜厄米特有理矩阵的结构，关于实直线，和para-Hermitian和para-skew-埃尔米特矩阵关于虚轴。我们特别注意结构多项式矩阵的特殊情况下，强极小线性化的建设。所提出的结构导致有效的数值算法构造强极小线性化。它们对{ \em any}有理矩阵有效的事实是对用于构造其他类结构保持线性化的任何其他先前方法的改进，这些方法对任何结构有理或多项式矩阵无效。最近的强极小线性化概念的使用是获得这种普遍性的关键。
2021-10-24 cs.NA math.NA
From ESPRIT to ESPIRA: Estimation of Signal Parameters by Iterative Rational Approximation
提出了一种基于稀疏指数和的迭代有理逼近（ESPIRA）信号参数估计新方法。我们的算法使用AAA算法的有理逼近的离散傅里叶变换的给定等距信号值。我们表明，ESPIRA可以被解释为一个矩阵束方法适用于Loewner矩阵。这些Loewner矩阵与通常用于信号恢复的Hankel矩阵密切相关。由于通过自适应选择指标集构造Loewner矩阵，矩阵束方法是稳定的。ESPIRA实现了类似的恢复结果的确切数据ESPRIT和矩阵束方法，但计算量较少。此外，ESPIRA强烈优于ESPRIT和矩阵束方法的噪声数据和信号近似短指数和。
2022-01-06 cs.NA math.NA
Zolotarev Iterations for the Matrix Square Root
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文提出利用Zolotarev有理函数构造矩阵平方根迭代方法，通过递推关系生成高阶最优近似，并在不同极限情况下还原已知迭代形式，适用于特征值幅值差异大的矩阵。
2018-04-29 cs.NA math.NA
Computing the Reciprocal of a $ϕ$-function by Rational Approximation
在本文中，我们介绍了一个$ϕ$ -函数的倒数的有理逼近的家庭涉及某些线性微分方程的显式解决方案，以及在流形上发展的积分计划。推导和属性，这一家庭的近似适用于标量和矩阵参数。此外，我们表明，这些近似计算的矩阵函数表现出衰减性能相媲美的最佳现有的理论界。数值例子突出了建议的有理逼近的好处w.r.t.~经典的泰勒多项式和其他有理函数。
2021-05-17 cs.NA math.NA
Local Linearizations of Rational Matrices with Application to Rational Approximations of Nonlinear Eigenvalue Problems
本文给出了有理矩阵局部线性化的定义，并研究了其性质。这个定义允许我们引入与有理矩阵相关联的矩阵束，该有理矩阵在任何代数闭域的子集中以及在无穷远处保持其零和极点的结构。此外，作为特定情况，这种定义包括先前在文献中使用的其他定义。通过这种方式，这种新的局部线性化理论捕捉并严格解释了从20世纪70年代到2019年用于计算有理矩阵的零，极点和特征值的所有不同铅笔的性质。特别注意的是最近出现的那些铅笔在数值解的非线性本征值问题通过有理逼近。
2019-07-25 cs.NA math.NA
A flexible sparse matrix data format and parallel algorithms for the assembly of sparse matrices in general finite element applications using atomic synchronisation primitives
有限元法要求由局部有限元贡献组成全局刚度矩阵。合成过程将单元刚度矩阵的计算和它们的组装组合成全局刚度矩阵，其通常是稀疏的。在本文中，我们专注于组装过程中的整体刚度矩阵和探讨不同的算法和它们的效率在共享内存系统使用C++。我们的调查的一个关键方面是使用原子同步原语的数据竞争自由的算法和数据结构的推导。此外，我们提出了一种新的灵活的稀疏矩阵的存储格式，并比较其性能与压缩行存储格式的基础上，有限元问题的共同特点，使用抽象的基准。
2021-07-15 cs.NA math.AP math.NA
Rational minimax approximation of matrix-valued functions
本文提出矩阵值函数有理极小极大逼近的严格框架，通过拉格朗日对偶转化为概率单纯形上的对偶问题，并推广Lawson迭代求解，数值实验验证其高效性。
2025-09-11 cs.NA math.NA
Linearizations for Rosenbrock system polynomials and rational matrix functions
IIT Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
本文提出罗森布罗克系统多项式和有理矩阵函数的线性化方法，通过构造Fiedler-like矩阵和铅笔，实现系统零点计算和有理特征问题求解。
2015-05-14 cs.NA math.NA
Convergence analysis of a nonlinear eigensolver based on rational approximation of the resolvent
EPF Lausanne（洛桑联邦理工学院）；University of Oxford（牛津大学）
研究基于预解式有理逼近的非线性特征值求解器，分析其收敛性，证明块探测和放大两种提高精度技术的有效性，通过广义特征问题建立极点查找稳定性，数值实验验证理论结果。
2026-07-14 cs.NA math.NA
Computing a compact local Smith McMillan form
我们定义了一个紧凑的局部Smith-McMillan形式的有理矩阵$R(λ)$的对角矩阵，其对角元素是一个局部Smith-McMillan形式的$R(λ)$的非零元素。我们表明，递归秩搜索过程，适用于一个块Toeplitz矩阵建立在任意复杂的点$λ_0$周围的$R(λ)$的劳伦展开，使我们能够计算一个紧凑的本地史密斯-麦克米伦形式的有理矩阵$R(λ)$在点$λ_0$，只要我们保持跟踪的秩搜索中使用的变换矩阵。它还允许我们在展开点$λ_0$恢复多项式矩阵的根多项式和有理矩阵的根向量。数值试验表明，所得到的算法的性能良好。
2023-03-18 cs.NA math.NA
A Flexible Implementation of a Matrix Laurent Series-Based 16-Point Fast Fourier and Hartley Transforms
Federal University of Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Amazon State University（亚马逊州立大学）
本文提出了一种基于矩阵Laurent级数的16点快速傅里叶和哈特利变换的灵活实现，利用单比特选择运算符在Xilinx SPARTAN 3E器件上实现了65ns的运算速度。
2015-02-20 cs.DM cs.NA eess.SP
The AAAtrig algorithm for rational approximation of periodic functions
我们提出了一个扩展的AAA（自适应Antoulas-安德森）算法的周期函数，称为“AAAtrix”。该算法使用AAA近似的关键步骤，通过（i）表示（三角）重心形式的近似和（ii）选择支持点greetly。因此，AAA 10继承了AAA的所有有利特性，因此非常灵活和鲁棒，能够考虑复平面中相当一般的样本点集合。我们考虑了一系列的应用，特别强调解决拉普拉斯方程在周期域和压缩周期共形映射。这些结果再现了最近其他研究中观察到的锥形指数聚类效应。该算法在Chebfun中实现。
2020-08-12 cs.NA math.NA
Rational Minimax Approximations for Matrix-Valued Functions: Existence, Optimality and Algorithms
Soochow University（苏州大学）
研究连续复矩阵值函数在Frobenius范数下的有理极小极大逼近，通过推导相关准则和条件，建立其存在性、最优性特征，将连续统与边界逼近联系起来，并与对偶问题及数值方法关联，为验证和计算提供理论基础。
2026-07-28 cs.NA math.NA math.OC
The Spectral Basis and Rational Interpolation
本文通过多项式商环的谱基概念统一了多种有理插值技术，并应用于矩阵最小多项式，得到矩阵函数的有理形式族。
2006-02-18 cs.NA math.NA math.RA
Scalable parallel 3-D TEM inversion via rational approximation of the matrix exponential
Institute of Geophysics and Geoinformatics TU Bergakademie Freiberg（弗莱贝格工业大学地球物理与地信息学研究所）；Department of Mathematics The University of Manchester（曼彻斯特大学数学系）
本文提出了一种基于Gauss-Newton框架和有理近最佳逼近矩阵指数的并行实现，用于大规模三维电磁反演，通过并行直接求解器高效处理偏分数值表示产生的移位线性系统，采用MPI实现共享内存架构的高效并行执行，通过平滑约束的Raviart-Thomas元素进行模型正则化，并利用LSQR求解线性化反问题，展示了对70万自由度的合成三维导电结构的有效恢复。
2026-05-19 cs.NA math.NA physics.geo-ph
An estimate of approximation of an analytic function of a matrix by a rational function
令$A$为正方形复矩阵; $z_1$，.，$z_{N}\in\mathbb C$是任意（可能重复的）插值点; $f$是在矩阵$A$的谱$σ(A)$和点$z_1$，.的并集的凸包的邻域上定义的解析函数，$z_{N}$ ;并且有理函数$r=\frac uv$（分子$u$的次数小于$N$）在这些点（根据它们的多重性计数）处内插$f$。在这些假设下，提出了$$ \bigl\Vert f(A)-r(A)\bigr\Vert\le \max_{t\in[0,1];μ\in\text{convex hull}\{z_1,z_{2},\dots,z_{N}\}}\biggl\VertΩ(A)[v(A)]^{-1} \frac{\bigl(vf\bigr)^{(N)} \bigl((1-t)μ\mathbf1+tA\bigr)}{N!}\biggr\Vert, $$类估计，其中$Ω(z)=\prod_{k=1}^N(z-z_k)$。作为说明这种估计的精度的例子，使用降阶Arnoldi方法得到的动态系统的脉冲响应的近似被认为是，近似的实际精度与基于本文的估计进行了比较。
2021-08-04 cs.NA math.NA math.SP
Power Grid Simulation using Matrix Exponential Method with Rational Krylov Subspaces
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文提出一种基于矩阵指数方法和有理Krylov子空间的电力电网仿真方法，通过自适应步长提升仿真效率，仅需一次分解和正反向替代，且放松了刚性约束，实验表明其速度提升达18倍。
2013-10-14 cs.CE cs.NA math.DS
Structural backward stability in rational eigenvalue problems solved via block Kronecker linearizations
我们研究了在铅笔$S(λ)$上运行向后稳定特征结构求解器的向后稳定性，铅笔$S(λ)$是以$R(λ)=D(λ)+ C(λI_\ell-A)^{-1}B$形式表示的有理矩阵$R(λ)$的强线性化，其中$D(λ)$是多项式矩阵，$C(λI_\ell-A)^{-1}B$是最小状态空间实现。我们认为家庭的块Kronecker线性化$R(λ)$，这是高度结构化的铅笔。后向稳定的特征结构求解器应用于$S(λ)$将计算精确的特征结构的扰动束$\widehat S(λ):=S(λ)+Δ_S(λ)$和$S(λ)$的特殊结构将丢失。为了将这个扰动束与附近的有理矩阵联系起来，我们构造了一个与$\widehat S(λ)$严格等价的束$\widetilde S(λ)$，它恢复了原始结构，因此是扰动有理矩阵$\widetilde R(λ) = \widetilde D(λ)+ \widetilde C(λI_\ell- \widetilde A)^{-1} \widetilde B$的块Kronecker线性化，其中$\widetilde D(λ)$是与$D(λ)$具有相同次数的多项式矩阵。此外，我们还用$Δ_S(λ)$的一个适当范数来约束$\widetilde D(λ)- D(λ)$，$\widetilde C - C$，$\widetilde A - A$和$\widetilde B - B$的适当范数…
2021-03-30 cs.NA math.NA math.SP
2-norm error bounds and estimates for Lanczos approximations to linear systems and rational matrix functions
Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）；Jülich Supercomputing Centre, Forschungszentrum Jülich GmbH（于利希超级计算中心，于利希研究中心有限公司）
通过二次 Lanczos 过程，提出一种高效计算有理矩阵函数作用到向量上的 Lanczos 逼近的可计算误差估计和误差界的方法，特别包括线性系统 Ax=b 的解，并首次实现了在已知 A 的最小特征值下界时，对 2-范数误差的上界估计。
2012-12-03 cs.NA hep-lat math.NA
A consistent and flexible framework for deep matrix factorizations
University of Mons（蒙斯大学）
深度矩阵分解（Deep matrix factorizations，deep MF）是一种受约束低秩近似启发的无监督数据采掘技术。它们的目标是在高维数据集中提取复杂的特征层次。文献中提出的用于评估深度MF模型质量的大多数损失函数和底层优化框架并不一致，因为在不同层使用不同的损失。在本文中，我们引入了两个有意义的损失函数的深度MF和提出了一个通用的框架来解决相应的优化问题。我们说明了这种方法的有效性，通过整合各种约束和正则化，如稀疏性，非负性和最小体积。该模型成功地应用于合成和真实数据，即高光谱解混和面部特征提取。
2022-10-13 cs.LG cs.NA eess.SP
Vector Fitting for Matrix-valued Rational Approximation
University of Zagreb（萨格勒布大学）；Virginia Polytechnic Institute and State University（弗吉尼亚理工大学）
本文研究了向量拟合方法在矩阵值有理逼近中的应用，提出控制麦卡伦度数的新机制，并通过数值实验验证了改进的拟合精度。
2015-03-02 cs.NA cs.SY eess.SY
