Generalized Persistence Diagrams for Persistence Modules over Posets
当范畴$\mathcal{C}$满足一定的条件时，我们从范畴论的角度定义了任意偏序集索引函子$F:\mathbf{P} \rightarrow \mathcal{C}$的秩不变量的概念.这推广了秩不变的标准概念以及帕特尔最近的扩展。具体地说，利用容斥原理，可以从秩不变量中提取出有限维向量空间的任意区间可分解持久性模块$F:\mathbf{P} \rightarrow \mathbf{vec}$的条码.推广这一思想允许自由选择索引偏序集$\mathbf{P}$的$F: \mathbf{P} \rightarrow \mathcal{C}$在定义帕特尔的广义持久性图的$F$。特别重要的是，定义$F$的广义持久性图而不管$F$是否是区间可分解的。通过将我们的想法专门化到锯齿形持久性模块，我们还表明，Reeb图的条形码可以在纯粹的集合论设置中获得，而无需传递到向量空间的类别。这导致推广的帕特尔的连续性定理类型$\mathcal{A}$持久图Lipschitz连续性定理的集范畴。
2021-08-03 cs.CG math.AT
Bottleneck Profiles and Discrete Prokhorov Metrics for Persistence Diagrams
针对持续图中Wasserstein和Bottleneck距离的缺陷，提出瓶颈剖面与离散Prokhorov度量，证明其稳定性与界限，并提供计算算法与实验验证。
2022-09-12 cs.CG math.AT
Generalized Persistence Diagrams
我们推广Cohen-Steiner，Edelsbrunner和Harer的持久性图的设置值的对称幺半范畴的可构造的持久性模块。我们称之为持久化模块的类型A持久化图。如果类别也是阿贝尔的，那么我们定义第二个B型持久性图。此外，我们表明，这两个图是稳定的所有足够小的扰动的模块。
2017-07-09 math.AT
Higher-order Persistence Diagrams
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
本文提出高阶持续图，通过递归构造保留持续区间间的包含关系，利用谐波分析将聚合图的频域评估转化为zeta变换，实现高效的比较与聚合，实验显示在随机网络模型中速度显著提升。
2026-10-27 cs.CG math.AT math.FA
Poincaré Duality for Generalized Persistence Diagrams of (co)Filtrations
本文将滤过的广义持久化图理论推广到余滤过，并在流形情形建立两类广义持久化图之间的 Poincaré 对偶，同时阐明其函子性及与 Rota Galois 联络定理的联系。
2024-04-07 cs.CG math.AT math.CT
Edit Distance and Persistence Diagrams Over Lattices
本文为持续同调构建了一个以有限度量格索引的过滤单纯复形为输入、以生灭函数的默比乌斯反演持续图为输出的函子化流程，通过证明两个函子均为1-Lipschitz确保了流程稳定性，并推广了经典持续图，证明了瓶颈距离与编辑距离强等价。
2024-08-28 cs.CG math.AT
Geodesics in persistence diagram space
众所周知，对于各种度量的选择，包括标准瓶颈距离，持久性图的空间允许测地线。典型地，这些存在结果产生具有凸组合形式的测地线。更具体地说，给定两个持久性图和度量的选择，获得实现图之间的距离的双射，并使用该双射从一个图线性插值到另一个图。我们证明了对于几个度量族，持久图空间中的每个测地线都是这样的凸组合。对于度量的某些其他选择，我们显式地构造不具有这种形式的测地线的无限族。
2019-05-26 cs.CG math.AT math.MG
Computing Persistence Diagram Bundles
本文提出一种计算分段线性持久图丛的算法，详细处理了参数空间为三角剖分曲面的情形，并概述了向更高维度的推广。
2023-09-19 cs.CG math.AT
Persistence Curves: A canonical framework for summarizing persistence diagrams
University of North Carolina at Greensboro（北卡罗来纳大学格林斯伯勒分校）；Eli Lilly and Company（礼来公司）
持久性图是拓扑数据分析领域的主要工具之一。它们包含有关数据形状的丰富信息。在持久性图的空间上使用机器学习算法被证明是具有挑战性的，因为该空间缺乏内积。因此，以与机器学习兼容的方式转换这些图是TDA当前研究的重要课题。在本文中，我们的主要贡献包括三个组成部分。首先，我们开发了一个通用的和统一的矢量化图，我们称之为\textit{Persistence Curves}（PC）的框架，并显示几个著名的摘要，如持久性景观，属于PC框架。其次，我们提出了几个新的总结基于PC框架，并提供了一个理论基础，为他们的稳定性分析。最后，我们提出的PC应用到两个应用-纹理分类和确定离散动力系统的参数，其性能与其他TDA方法具有竞争力。
2021-08-09 cs.CG cs.CV math.AT
Notes on an Elementary Proof for the Stability of Persistence Diagrams
这些注释是持久性图稳定性的一个独立的简短证明。
2021-03-19 math.AT
Output-sensitive Computation of Generalized Persistence Diagrams for 2-filtrations
本文提出一种输出敏感算法，利用2-参数与1-参数设置的联系，在O(n^3+Cn)时间内计算广义持久性图表，显著优于暴力算法的Ω(n^4)。
2023-05-16 cs.CG math.AT
On the Metric Distortion of Embedding Persistence Diagrams into separable Hilbert spaces
持久性图是拓扑数据分析中的重要描述符。由于配备有其{ \em图距离}的持久性图的空间的非线性，最近在机器学习中使用持久性图的大多数尝试已经通过内核方法完成，即，将持久性图嵌入到再生核希尔伯特空间中，所有计算都可以很容易地执行。由于持久性图享有图距离的理论稳定性保证，因此特征图的{ \em度量属性}，即，希尔伯特距离和图距离之间的关系，对于理解持久性图是否保证延续到嵌入是重要的。在这篇文章中，我们研究的可能性嵌入持久性图到可分希尔伯特空间，双Lipschitz映射。特别是，我们表明，几个稳定的嵌入到文献中定义的无限维希尔伯特空间，任何下界必须依赖于基数的持久性图，当希尔伯特空间是有限维的，找到一个双Lipschitz嵌入是不可能的，即使限制持久性图有界基数。
2019-08-07 cs.CG cs.LG math.AT
Reproducing Kernel Hilbert Spaces for Virtual Persistence Diagrams
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
通过Grothendieck完备化将持久性图群化为格，定义相位图和特征图，引入热阻尼抑制不稳定频率，导出核的Lipschitz界并用于合成分割实验。
2026-08-26 math.AT
On the Bootstrap for Persistence Diagrams and Landscapes
持续同源探测点云和函数的拓扑性质。通过同时查看多个尺度，可以记录拓扑特征随尺度变化的出生和死亡。本文利用一种统计方法--经验自举法来分离拓扑信号和拓扑噪声。特别是，我们得到的持久性图和持久性景观的置信带的置信集。
2014-01-22 cs.CG math.AT stat.AP
Probabilistic Fréchet Means for Time Varying Persistence Diagrams
为了使用持久性图作为一个真正的统计工具，对一组图的均值和方差有一个好的概念是非常有用的。2011年，Mileyko和他的合作者首次研究了$(\mathcal{D}_p,W_p)$中的Fréchet平均值的性质，$(\mathcal{D}_p,W_p)$是配备了第p个Wasserstein度量的持久性图空间。特别是，他们表明，弗雷谢平均的有限集的图表总是存在的，但不一定是唯一的。一组连续变化的图表的平均值本身并不（必然）连续变化，这在试图将弗雷歇平均值定义扩展到葡萄园领域时会出现明显的问题。我们通过改变Fréchet平均值的原始定义来解决这个问题，这样它现在就变成了持久性图集合上的一个概率测度;简而言之，一组图的平均值将是原子度量的加权和，其中每个原子本身就是一个持久性图，使用输入图的扰动来确定。该定义为每个$N$给出映射$(\mathcal{D}_p)^N \to \mathbb{P}(\mathcal{D}_p)$。我们表明，这张地图是Hölder连续有限图，因此可以用来建立一个有用的统计随时间变化的持久性图，更好地称为葡萄园。
2014-11-18 cs.CG math.AT math.PR
Properties and Stability of Persistence Matching Diagrams
本文提出由度量空间集合映射诱导的持续匹配图，给出几何定义并证明其包含持续态射像、核与余核信息，主要贡献是建立嵌入及集合单射情形下的稳定性定理。
2024-09-25 math.AT
PersLay: A Neural Network Layer for Persistence Diagrams and New Graph Topological Signatures
持久性图是拓扑数据分析中最常用的描述符，它对数据的拓扑属性进行了编码，并在数据科学的许多不同应用中发挥了关键作用。然而，由于持久性图的（度量）空间不是希尔伯特，它们最终成为大多数机器学习技术的困难输入。为了解决这个问题，已经提出了几种向量化方法，将持久性图嵌入到有限维欧几里得空间或（隐式）无限维希尔伯特空间中。在这项工作中，我们专注于建立在图形之上的持久性图。依靠扩展的持久性理论和所谓的热核签名，我们展示了如何图可以编码（扩展）持久性图在一个可证明的稳定的方式。然后，我们提出了一个通用的和通用的框架，学习持久性图的矢量化，其中包括文献中使用的矢量化技术。最后，我们通过在现实生活中的图数据集上实现分类任务的竞争性得分，展示了我们设置的实验实力。
2020-03-09 cs.CG cs.LG math.AT
A Hilbert space embedding of persistence diagrams and barcodes
University of Florida（佛罗里达大学）
该研究证明了配备p-瓦瑟斯坦距离的可数持续态图与条形码的度量空间，可通过持续态景观实现到L^p空间的1-利普希茨希尔伯特空间嵌入。
2026-08-11 math.AT
Topological and metric properties of spaces of generalized persistence diagrams
本文研究带指定子集的度量空间上广义持续图在 Wasserstein 距离下的拓扑与度量性质，刻画紧性、可分完备性、连通测地性、曲率维数及 Hilbert 可嵌入性，并证明最优匹配存在的充要条件。
2023-09-12 math.AT
Persistence diagrams of finite topological spaces
University of Delhi（德里大学）
本文通过远度函数关联持续同调图与有限拓扑空间元素，实现元素的拓扑演化分类，并建立瓶颈稳定性定理，证明两元素对应持续同调图的瓶颈距离以相互远度为上界。
2026-10-14 math.AT
Bottleneck Stability for Generalized Persistence Diagrams
本文将瓶颈稳定性推广到取值于任意小阿贝尔范畴的一维可构造持久模的情形。
2019-04-06 math.AT
Continuation of Point Clouds via Persistence Diagrams
Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学与计算科学学院）；WPI-Advanced Institute for Materials Research (WPI-AIMR), Tohoku University（东北大学世界顶尖研究中心材料研究高级研究所）
本文提出利用持续图延续点云的数学和算法框架，通过持续图的可微性应用牛顿-拉夫森方法，将原始点云转换为目标持续图的中间点云。
2015-06-10 cs.CG cs.NA math.AT
Discrete transforms of quantized persistence diagrams
本文提出 Qupid 方法，通过对数尺度网格分箱和离散变换将持久图高效向量化，在保持竞争力的同时显著降低计算成本，并对网格分辨率降低具有鲁棒性。
2024-10-21 cs.CG math.AT stat.ML
On the Spectral Synthesis of Lipschitz Vectorizations of Persistence Diagrams
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
研究持久图矢量化，证明其Lipschitz扩展与特定上循环的等距同构，给出相关条件下上循环生成可合成簇的结论，还将谱合成扩展到可分度量对，探讨文献中例子是否有带谱合成的Lipschitz扩展。
2026-10-14 math.AT math.FA
Persistence B-Spline Grids: Stable Vector Representation of Persistence Diagrams Based on Data Fitting
Zhejiang University（浙江大学）
近几十年来，已经进行了许多尝试来集成机器学习（ML）和拓扑数据分析。将持久同源性应用于ML任务的一个突出问题是找到持久性图（PD）的矢量表示，持久性图是表示拓扑特征的汇总图。从数据拟合的角度出发，基于最小二乘B样条函数拟合的渐进迭代逼近技术，提出了一种稳定的矢量表示方法--持久性B样条网格（PBSG）。我们从理论上证明了PBSG方法对于定义在PD空间上的1-Wasserstein距离度量是稳定的。在合成数据集、随机生成的PD数据集、动力系统数据集和三维CAD模型上进行了测试，验证了该方法的有效性和高效性
2022-04-22 cs.CG cs.LG math.AT
$\ell^p$-Stability of Weighted Persistence Diagrams
本文引入加权持久图概念，构建其从有限度量测度空间生成的函子化流程，定义对应编辑距离并基于函子性证明其关于特定Gromov-Wasserstein距离的稳定性，还优化编辑距离表述并展示加权图相比未加权图的判别优势。
2025-04-16 math.AT
On the Expectation of a Persistence Diagram by the Persistence Weighted Kernel
在拓扑数据分析中，持久同调描述了数据中健壮的拓扑特征，它有一个概要表示，称为持久图。持久性图的统计研究已经得到了积极的发展，持久性加权核显示了一些优于其他持久性图的统计方法。如果数据是从某种概率分布中提取的，那么相应的持久性图就具有随机性。然后，定义了持久性加权核对持久性图的期望。本文从（1）强大数律和中心极限定理，（2）用数值方法估计持久加权核的期望值的置信区间，（3）保证从概率分布到期望值的映射连续性的稳定性定理的观点，研究了概率分布与持久加权核之间的关系.在数值实验中，我们证明了我们的方法给出了一个有趣的反例，在拓扑数据分析的一个共同的看法。
2018-10-26 math.AT math.ST stat.TH
A Complete Characterization of the 1-Dimensional Intrinsic Cech Persistence Diagrams for Metric Graphs
度量图是一种特殊类型的度量空间，用于建模和表示生物网络、社交网络和道路网络等数据中简单、普遍存在的几何关系。我们感兴趣的是用拓扑摘要给出度量图的定性描述。特别是，我们提供了一个完整的特征的1维内在Cech持久性图的度量图使用持久的同源性。与Adamaszek et. al，这意味着结果内在切赫持久性图在所有维度的一个单一的周期，我们的研究结果构成了重要的步骤，表征内在切赫持久性图的任意度量图在所有维度。
2017-07-07 math.AT
Robust Persistence Diagrams using Reproducing Kernels
The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；The Institute of Statistical Mathematics（统计数学研究所）
持久同调是从数据中提取几何和拓扑特征的重要工具，其多尺度特征可以用持久图来概括。然而，从统计的角度来看，持久性图对输入空间的扰动非常敏感。在这项工作中，我们开发了一个框架，用于构建强大的持久性图从上层过滤的强大的密度估计使用再生核。使用持久性图空间上的影响函数的模拟，我们建立了对离群值不太敏感的建议框架。鲁棒持久性图被证明是瓶颈距离的一致估计，其收敛速度由核的光滑性控制。这反过来又使我们能够在持久性图的空间中构建统一的置信带。最后，我们证明了所提出的方法在基准数据集上的优越性。
2022-06-03 cs.CG cs.LG math.AT
Estimation of Persistence Diagrams via the Three Gap Theorem
本文通过结合数论中的三间隙定理与拓扑数据分析中的持续同调公式，提出快速计算滑动窗口嵌入持久图的方法，用于分析拟周期信号的拓扑结构。
2026-03-04 cs.CG math.AT math.DS
Nonembeddability of Persistence Diagrams with $p>2$ Wasserstein Metric
University of Florida（佛罗里达大学）
持久性图不允许与任何Wasserstein度量相容的内积结构。因此，当将内核方法应用于持久性图时，底层的特征映射必然会导致失真。我们证明了当p > 2时，具有p-Wasserstein度量的持久图不允许粗嵌入到希尔伯特空间中。
2019-10-30 cs.LG math.AT math.FA
Comparing persistence diagrams through complex vectors
University of Bologna（博洛尼亚大学）
赋予过滤函数的空间的自然伪距离对于形状分类和检索是宝贵的;其来自持久性图的最优估计是瓶颈距离，不幸的是遭受组合爆炸。一个可能的代数表示的持久性图提供了复杂的多项式，因为远多项式表示远持久性图，系数向量的快速比较可以减少数据库的大小进行分类的瓶颈距离。本文通过实验探讨了三种从图到多项式的变换和三种系数复向量间的距离。
2015-07-07 cs.CV math.AT
Approximating Continuous Functions on Persistence Diagrams Using Template Functions
持久性图是拓扑数据分析中越来越有用的工具，但它与典型的机器学习技术一起使用需要数学技巧。迄今为止最成功的方法是将持久性图映射到向量空间，以最大化保留的结构。这个过程通常被称为特征化。在本文中，我们描述了一个数学框架的featurization称为\emph{template functions}，我们表明，它解决了问题的持续性图空间的紧凑子集上的连续函数近似。具体来说，我们首先描述相对紧性的瓶颈距离，然后提供明确的理论方法，构造紧开稠密子集的持续图上的连续函数。这些密集的子集--通过模板函数获得--用于持久性图的监督学习任务。具体来说，我们测试的方法，包括形状数据和动力系统的几个例子的分类和回归算法。
2022-04-12 cs.CG math.AT math.ST
Vietoris-Rips Persistent Homology
持久性图是有用的显示，它给出了关于某些现象的拓扑特征的摘要信息。通常，只有一个持久性关系图可用，并且需要复制持久性关系图以进行统计推断。生成这些复制的一个选项是在持久性图上拟合点的分布。相关分布的类型取决于持久性图的构建方式。有两种方法来建立持久性图，一种是基于Vietoris-Rips复形，第二种是基于一些拟合函数，如核密度估计。这两种方法产生一个二维持久性图，其中每个点的坐标是“出生”和“死亡”的时间。然而，对于第一种方法，对于呈现现象的连通分量的所有点，“出生”时间都是零。在本文中，我们研究的连通组件的分布时，持久性图是基于Vietoris-Rips复杂。此外，我们研究的连接组件的行为时，测量噪声的现象。
2019-05-15 math.AT
Positivity of Multiparameter Persistence Diagrams and Bottleneck Stability
持久同调研究参数化空间族中圈的生与死。在本文中，我们研究的出生和死亡的循环在多重过滤的链复形的目标是产生持久性图，满足瓶颈稳定性。
2021-07-06 math.AT
Limit theorems for persistence diagrams
研究了${\bf R}^N$上的一个平稳点过程的持久同调性.作为连续渗流理论的推广，我们在多尺度下研究了点过程的高维拓扑特征，如圈、腔等。关键要素是持久性图，它是持久性同源性的表达。证明了窗口大小趋于无穷大时持久图的强大数律，并给出了极限持久图具有完全支持的充分条件。我们还讨论了持久贝蒂数的一个中心极限定理.
2016-12-26 math.AT math.PR
Dynamical Persistent Homology via Wasserstein Gradient Flow
本研究针对拓扑数据分析提出新方法，通过开发算法将持久图沿瓦瑟斯坦梯度流的动态变化反向转换到数据空间，实现数据的直接操纵，为数据分析与解释提供强大工具。
2024-12-05 cs.CG math.AT
Convergence of persistence diagram in the sparse regime
本文的目的是研究与Čech过滤相关的持久性图的渐近行为。持久性图是几何对象的拓扑和代数结构的图形描述符。我们考虑在缩放随机样本$r_n^{-1}\mathcal X_n = \{ r_n^{-1}X_1,\dots, r_n^{-1}X_n \}$上的Čech过滤，使得$r_n\to 0$为$n\to\infty$。我们把持久性图作为一个点过程，并建立其极限定理在稀疏制度：$nr_n^d\to0$，$n\to\infty$。在这种情况下，我们表明，$k$ th持久性图的渐近依赖于序列$n^{k+2}r_n^{d(k+1)}$的极限值。如果$n^{k+2}r_n^{d(k+1)} \to \infty$，在Vague度量下，定标持久图几乎必然收敛于确定性Radon测度.如果$r_n$的衰减速度快于$n^{k+2}r_n^{d(k+1)} \to c\in (0,\infty)$，则持久性图弱收敛于一个极限点过程，而无需归一化。最后，如果是$n^{k+2}r_n^{d(k+1)} \to 0$，则持久图的概率分布序列应该被归一化，并且由此产生的收敛将根据$\mathcal M_0$ -拓扑来处理。
2021-09-14 math.AT math.PR
A Schauder Basis for Multiparameter Persistence
本文针对多参数持久性模的统计与机器学习需求，提出通过迭代细化三角剖分构建紧支撑Lipschitz泛函的Schauder基，将带符号持久性图嵌入实值序列空间，并证明该基在相对Radon测度空间中具有最小性。
2025-10-11 math.AT
Medians of populations of persistence diagrams
持久性图是拓扑数据分析领域的常见对象。它们是拓扑摘要，用于捕获数据中的拓扑和几何结构。最近，人们对开发统计分析持久性图群体的工具产生了浓厚的兴趣，这一过程受到持久性图空间复杂几何形状的阻碍。在本文中，我们研究了一组图的中位数，定义为一个适当的费用函数类似于用于实数样本的距离之和的最小值。然后，我们的特点，这个费用函数的局部极小值，并在这样做的特点的中位数。并对中位数和均值的性质进行了比较分析。
2019-02-06 cs.CG math.AT math.MG
Reduction Algorithms for Persistence Diagrams of Networks: CoralTDA and PrunIT
University of Manitoba（曼尼托巴大学）；University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
拓扑数据分析（TDA）提供了传统方法无法获得的数据内在属性的宝贵和补充信息。然而，高计算成本仍然是阻碍TDA在现实世界研究中成功应用的主要障碍，特别是在大型复杂网络上的机器学习。事实上，大多数现代网络，如引文、区块链和在线社交网络，往往有数十万个顶点，使得现有的TDA方法的应用不可行。我们开发了两个新的，非常简单，但有效的算法来计算大图的精确持久性图，以解决这个主要的TDA限制。首先，我们证明了图$\mathcal{G}$的$(k+1)$ -core足以计算它的$k^{th}$持久图$PD_k(\mathcal{G})$ .其次，我们引入了一个剪枝算法，通过删除控制顶点来计算图的持久性图。我们在大型网络上的实验表明，我们的新方法可以实现高达95%的计算增益。所开发的框架提供了图论和TDA之间的第一个桥梁，在大型复杂网络的机器学习中的应用。我们的实现可以在https://github.com/cakcora/PersistentHomologyWithCoralPrunit上获得
2022-11-24 cs.CG cs.LG math.AT
Contractions in persistence and metric graphs
证明了从空间$X$到其子空间$A$的$1$ -Lipschitz收缩（收缩）的存在性，暗示了$A$的持久图嵌入到$X$的持久图中.作为一种工具，我们引入了持久化模块的紧密注入，作为诱导上述嵌入的映射。证明了度量图中最短回路上的收缩总是存在的，并推测了平面度量图中最短同调基上所有回路上的收缩的存在性。主要感兴趣的是测地空间中的环上的收缩。它们作为理想的圆坐标。此外，由于Adamaszek和Adams定理描述了$S^1$持久图的模式，因此压缩$X \to S^1$意味着相同的模式出现在$X$的持久图中。
2022-01-27 math.AT
Morse-based Fibering of the Persistence Rank Invariant
虽然多参数持续同源性是分析多变量数据的有用工具，但在现有的拓扑数据分析工具箱中仍然缺乏计算这些模块的有效方法。其他问题，如产出的解释和可视化，仍然难以解决。可视化多参数持久性图的软件目前仅适用于2维持久性模块。多参数持久性模块的最简单的不变量之一是其秩不变量，定义为对通过多参数的给定值对的过滤中存在的线性无关同源类的数量进行计数的函数。我们提出了一个步骤的解释和可视化的秩不变的持久性模块的任何给定数量的参数。我们展示了如何离散莫尔斯理论可用于计算的秩不变量，证明它是完全由其值的坐标是关键的离散莫尔斯梯度向量场的点。这些临界点将参数空间中所有正斜率直线的集合划分为等价类，使得同一类中沿着直线的秩不变量也是等价的。我们表明，我们可以推导出所有的持久性图的限制，在一个给定的类中的线从持久性图的限制，在该类中的代表。
2021-04-13 cs.CG math.AT
Persistence Spheres: Bi-continuous Representations of Persistence Diagrams
Department of Mathematics, KTH（数学系，皇家理工学院）
本研究提出持久球面这一持久图的新型双连续函数表示，兼具理论最优的稳定性与几何保真性，可高效并行计算，在多类任务基准测试中性能达到当前最优或具竞争力水平。
2025-09-21 cs.LG math.AT
Persistence Diagrams as Diagrams: A Categorification of the Stability Theorem
持久同源性是拓扑数据分析的核心工具，它提供了称为条形码（也称为持久性图）的数据的不变量。条形码只是一个真实区间的多重集合。Edelsbrunner、Jablonski和Mrozek最近的工作提出了条形码作为函子R -> Mch的等价描述，其中R是实数的偏序集范畴，Mch是其对象是集合并且其态射是匹配的范畴（即，部分内射函数）。这样的函子形成范畴Mch^R，其态射是自然变换。因此，条形码的这种解释给了我们一个迄今为止尚未研究的条形码分类结构。本说明的目的是表明，这种范畴结构导致了众所周知的持久同调稳定性定理和最近的一个称为诱导匹配定理的推广的令人惊讶的简单重新表述。
2019-06-10 cs.CG math.AT math.CT
Kernel method for persistence diagrams via kernel embedding and weight factor
拓扑数据分析是一种新兴的数学概念，用于表征多尺度数据中的形状。在该领域中，持久性图被广泛用作输入数据的描述符，并且可以区分鲁棒和噪声拓扑属性。目前，迫切需要在持久性图上开发一个统计框架来处理实际数据。提出了一种持久图的核方法。我们的方法的一个理论贡献是，建议的内核允许一个控制持久性的效果，如果必要的话，嘈杂的拓扑属性可以在数据分析中打折。此外，该方法提供了一种快速近似技术。将该方法应用于包括物理实际数据在内的几个问题，结果表明，该方法在持久性图上优于现有的核方法。
2017-06-12 math.AT physics.data-an stat.ML
Wasserstein Stability for Persistence Diagrams
本文针对持久性图提出基于p-Wasserstein距离的新稳定性定理，含初等证明与代数框架，并应用于TDA中的拓扑摘要、持久性变换及Vietoris-Rips复形。
2025-07-10 math.AT
Curse of Dimensionality on Persistence Diagrams
Kyoto University（京都大学）；Institute for the Advanced Study of Human Biology, Kyoto University（京都大学人类生物学高级研究所）；Kyoto University Institute for Advanced Study, Kyoto University（京都大学高等研究院）
本文研究了高维小样本数据下持续同调图的可靠性问题，发现高维噪声会导致其失效（即维度灾难），并证明归一化主成分分析能有效缓解该问题。
2024-04-28 math.AT math.PR math.ST
Hierarchies and Ranks for Persistence Pairs
我们开发了一种新的零维持久对的层次结构，即，连接组件，它能够捕获持久对之间更细粒度的空间关系。我们的工作是出于持久性图中特征之间缺乏空间关系的动机，从而导致表达能力有限。我们建立在持久性图中最近引入的对层次结构的基础上，该持久性图中存储的对与关于哪些组件合并的信息有关。我们提出的层次结构捕捉分支结构的差异。此外，我们展示了如何使用我们的层次结构来衡量一对的空间稳定性，我们定义了一个持久性对的秩函数，并展示了不同的应用。
2019-07-31 math.AT
Learning on Persistence Diagrams as Radon Measures
Colorado State University（科罗拉多州立大学）；University of Florida（佛罗里达大学）；Northeastern University（东北大学）
持久性图是出现在各种分类和回归任务中的数据拓扑结构的常见描述符。它们可以推广到支撑在生灭平面上并具有最佳输运距离的Radon测度。这样的措施的例子是持久性图的空间上的概率分布的期望。在本文中，我们开发的方法来近似连续函数的Radon措施的空间上支持的生灭平面，以及它们的利用监督学习任务。事实上，我们表明，任何连续函数定义在一个紧凑的子集的空间，这样的措施（例如，分类器或回归器）可以通过使用生灭平面（模板）上的连续紧支函数计算的特征的多项式组合来任意地很好地近似。我们提供的氡措施的空间相对紧凑的子集的结构的见解，并测试我们的近似方法对各种数据集和监督学习任务。
2022-12-16 cs.CG cs.LG math.AT
Relative Interlevel Set Cohomology Categorifies Extended Persistence Diagrams
由Cohen-Steiner、Edelsbrunner和Harer引入的扩展持久图是实值连续函数的不变量，它是$\mathbb{F}$ -驯服的，在这个意义上，所有开的层间集都有度方面的有限维上同调，系数在一个固定的域$\mathbb{F}$中。我们表明，相对层间集上同调（RISC），这是基于迈耶-Vietoris金字塔的卡尔森，德席尔瓦，和Morozov，归类这个不变量。更具体地说，我们定义了一个阿贝尔弗罗贝纽斯范畴$\mathrm{pres}(\mathcal{J})$的预层，这是在某种意义上可表示的，这样的RISC $h(f)$的$\mathbb{F}$ -驯服功能$f \colon X \rightarrow \mathbb{R}$是$\mathrm{pres}(\mathcal{J})$的对象，而且$f$的扩展持久性图唯一地确定-并确定-相应的元素$[h(f)] \in K_0 (\mathrm{pres}(\mathcal{J}))$的Grothendieck群$K_0 (\mathrm{pres}(\mathcal{J}))$的阿贝尔范畴$\mathrm{pres}(\mathcal{J})$。作为一个中间步骤，我们表明，$\mathrm{pres}(\mathcal{J})$是阿贝尔化的（本地化）范畴的复合物的$\mathbb{F}$ -线性层上的$\mathbb{…
2022-09-05 cs.CG math.AT math.KT
A limit theorem for persistence diagrams of random filtered complexes built over marked point processes
我们考虑欧几里得空间上的标记点过程上的随机过滤复形。我们的过滤复合物的例子包括一个过滤的$\check{\textrm{C}}$ ech复合物的一个家庭的集合具有各种大小，增长，和形状。当观测标值点过程的凸窗口的大小趋于无穷大时，我们建立了持久性图的大数定律。
2021-03-16 math.AT math.PR
On the Universality of Random Persistence Diagrams
在拓扑数据分析领域中，最难以理解的挑战之一是理解持久性图的分布。尽管作出了很大努力，但这在很大程度上仍然是一个悬而未决的问题。在本文中，我们提出了一系列新的持久性图的行为所产生的随机点云。我们声称，这些图服从一个普遍的概率定律，并包括一个明确的表达作为候选人，这个法律是什么。我们用一组详尽的实验来支持这些假设，包括模拟和真实数据。我们证明了这些approachtures的力量，提出了一个新的假设检验框架内的持久性图的个别功能。
2022-07-08 math.AT math.PR math.ST
The Space of Persistence Diagrams on $n$ Points Coarsely Embeds into Hilbert Space
通过证明$n$点上的持久图空间具有渐近维数$2n$，证明了$n$点上的持久图空间（具有瓶颈或Wasserstein距离）粗嵌入希尔伯特空间.这样的嵌入使得能够在持久性图的空间上利用希尔伯特空间技术。我们还证明了当点的个数没有界时，相应的持久图空间没有有限的渐近维数。此外，在瓶颈距离的情况下，相应的空间不粗嵌入到希尔伯特空间。
2021-10-21 math.AT math.GT math.MG
