On the Metric Distortion of Embedding Persistence Diagrams into separable Hilbert spaces
持久性图是拓扑数据分析中的重要描述符。由于配备有其{ \em图距离}的持久性图的空间的非线性，最近在机器学习中使用持久性图的大多数尝试已经通过内核方法完成，即，将持久性图嵌入到再生核希尔伯特空间中，所有计算都可以很容易地执行。由于持久性图享有图距离的理论稳定性保证，因此特征图的{ \em度量属性}，即，希尔伯特距离和图距离之间的关系，对于理解持久性图是否保证延续到嵌入是重要的。在这篇文章中，我们研究的可能性嵌入持久性图到可分希尔伯特空间，双Lipschitz映射。特别是，我们表明，几个稳定的嵌入到文献中定义的无限维希尔伯特空间，任何下界必须依赖于基数的持久性图，当希尔伯特空间是有限维的，找到一个双Lipschitz嵌入是不可能的，即使限制持久性图有界基数。
2019-08-07 cs.CG cs.LG math.AT
Poincaré Duality for Generalized Persistence Diagrams of (co)Filtrations
本文将滤过的广义持久化图理论推广到余滤过，并在流形情形建立两类广义持久化图之间的 Poincaré 对偶，同时阐明其函子性及与 Rota Galois 联络定理的联系。
2024-04-07 cs.CG math.AT math.CT
Learning Simplicial Complexes from Persistence Diagrams
拓扑数据分析（TDA）研究数据的形状。一个常见的拓扑描述符是持久性图，它以不同的尺度编码拓扑空间中的拓扑特征。特纳、慕克吉和博耶证明，可以利用从所有可能的高度过滤（不可数的无限个方向）生成的持久性图来重建嵌入R^3中的单纯复形。本文提出了一个在R^2中重构平面图K=（V，E）的算法，即一个平面图的顶点在一般位置和直线嵌入，从二次数高度过滤和它们各自的持久性图。
2018-07-31 cs.CG math.AT
Geodesics in persistence diagram space
众所周知，对于各种度量的选择，包括标准瓶颈距离，持久性图的空间允许测地线。典型地，这些存在结果产生具有凸组合形式的测地线。更具体地说，给定两个持久性图和度量的选择，获得实现图之间的距离的双射，并使用该双射从一个图线性插值到另一个图。我们证明了对于几个度量族，持久图空间中的每个测地线都是这样的凸组合。对于度量的某些其他选择，我们显式地构造不具有这种形式的测地线的无限族。
2019-05-26 cs.CG math.AT math.MG
Persistence Curves: A canonical framework for summarizing persistence diagrams
University of North Carolina at Greensboro（北卡罗来纳大学格林斯伯勒分校）；Eli Lilly and Company（礼来公司）
持久性图是拓扑数据分析领域的主要工具之一。它们包含有关数据形状的丰富信息。在持久性图的空间上使用机器学习算法被证明是具有挑战性的，因为该空间缺乏内积。因此，以与机器学习兼容的方式转换这些图是TDA当前研究的重要课题。在本文中，我们的主要贡献包括三个组成部分。首先，我们开发了一个通用的和统一的矢量化图，我们称之为\textit{Persistence Curves}（PC）的框架，并显示几个著名的摘要，如持久性景观，属于PC框架。其次，我们提出了几个新的总结基于PC框架，并提供了一个理论基础，为他们的稳定性分析。最后，我们提出的PC应用到两个应用-纹理分类和确定离散动力系统的参数，其性能与其他TDA方法具有竞争力。
2021-08-09 cs.CG cs.CV math.AT
Notes on an Elementary Proof for the Stability of Persistence Diagrams
这些注释是持久性图稳定性的一个独立的简短证明。
2021-03-19 math.AT
Meta-Diagrams for 2-Parameter Persistence
我们首先介绍了元秩的概念，一个2参数的持久性模块，一个不变量，捕捉图像背后的信息的模块的1D切片之间的态射。然后，我们将2参数持久化模块的元图定义为元秩的莫比乌斯反演，从而得到一个从有符号1参数持久化模块中取值的函数。我们表明，元秩和元图包含的信息相当于秩不变量和签署的条形码。这种等价性导致计算的好处，因为我们介绍了一种算法，用于计算元秩和元图的2参数模块$M$索引的双过滤的$n$简单的$O(n^3)$时间。这意味着对用于计算签名条形码的现有算法的改进，其具有$O(n^4)$运行时间。这也使我们能够改善现有的上界的数量矩形的秩分解$M$从$O(n^4)$到$O(n^3)$。此外，我们定义的概念之间的侵蚀距离的元秩和元图之间，并表明，在这些距离下，元秩和元图是稳定的交织距离。最后，元图可以以直观的方式可视化为图的持久性图，它概括了1参数设置中易于理解的持久性图。
2023-03-14 cs.CG math.AT
Gaussian Persistence Curves
拓扑数据分析（TDA）是数学、统计学和计算机科学/数据科学交叉的新兴领域。TDA的基石是持久同源性，它产生一个拓扑信息的摘要，称为持久图。为了在持久性图上利用机器和深度学习方法，通过将这些图转换为函数来进一步总结这些图。在本文中，我们研究了一类光滑的，一维的功能总结称为高斯持久曲线的稳定性和内射性。
2022-05-23 cs.CG math.AT
Reproducing Kernel Hilbert Spaces for Virtual Persistence Diagrams
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
通过Grothendieck完备化将持久性图群化为格，定义相位图和特征图，引入热阻尼抑制不稳定频率，导出核的Lipschitz界并用于合成分割实验。
2026-08-26 math.AT
PersLay: A Neural Network Layer for Persistence Diagrams and New Graph Topological Signatures
持久性图是拓扑数据分析中最常用的描述符，它对数据的拓扑属性进行了编码，并在数据科学的许多不同应用中发挥了关键作用。然而，由于持久性图的（度量）空间不是希尔伯特，它们最终成为大多数机器学习技术的困难输入。为了解决这个问题，已经提出了几种向量化方法，将持久性图嵌入到有限维欧几里得空间或（隐式）无限维希尔伯特空间中。在这项工作中，我们专注于建立在图形之上的持久性图。依靠扩展的持久性理论和所谓的热核签名，我们展示了如何图可以编码（扩展）持久性图在一个可证明的稳定的方式。然后，我们提出了一个通用的和通用的框架，学习持久性图的矢量化，其中包括文献中使用的矢量化技术。最后，我们通过在现实生活中的图数据集上实现分类任务的竞争性得分，展示了我们设置的实验实力。
2020-03-09 cs.CG cs.LG math.AT
Generalized Persistence Diagrams for Persistence Modules over Posets
当范畴$\mathcal{C}$满足一定的条件时，我们从范畴论的角度定义了任意偏序集索引函子$F:\mathbf{P} \rightarrow \mathcal{C}$的秩不变量的概念.这推广了秩不变的标准概念以及帕特尔最近的扩展。具体地说，利用容斥原理，可以从秩不变量中提取出有限维向量空间的任意区间可分解持久性模块$F:\mathbf{P} \rightarrow \mathbf{vec}$的条码.推广这一思想允许自由选择索引偏序集$\mathbf{P}$的$F: \mathbf{P} \rightarrow \mathcal{C}$在定义帕特尔的广义持久性图的$F$。特别重要的是，定义$F$的广义持久性图而不管$F$是否是区间可分解的。通过将我们的想法专门化到锯齿形持久性模块，我们还表明，Reeb图的条形码可以在纯粹的集合论设置中获得，而无需传递到向量空间的类别。这导致推广的帕特尔的连续性定理类型$\mathcal{A}$持久图Lipschitz连续性定理的集范畴。
2021-08-03 cs.CG math.AT
Bottleneck Profiles and Discrete Prokhorov Metrics for Persistence Diagrams
针对持续图中Wasserstein和Bottleneck距离的缺陷，提出瓶颈剖面与离散Prokhorov度量，证明其稳定性与界限，并提供计算算法与实验验证。
2022-09-12 cs.CG math.AT
On the Bootstrap for Persistence Diagrams and Landscapes
持续同源探测点云和函数的拓扑性质。通过同时查看多个尺度，可以记录拓扑特征随尺度变化的出生和死亡。本文利用一种统计方法--经验自举法来分离拓扑信号和拓扑噪声。特别是，我们得到的持久性图和持久性景观的置信带的置信集。
2014-01-22 cs.CG math.AT stat.AP
Probabilistic Fréchet Means for Time Varying Persistence Diagrams
为了使用持久性图作为一个真正的统计工具，对一组图的均值和方差有一个好的概念是非常有用的。2011年，Mileyko和他的合作者首次研究了$(\mathcal{D}_p,W_p)$中的Fréchet平均值的性质，$(\mathcal{D}_p,W_p)$是配备了第p个Wasserstein度量的持久性图空间。特别是，他们表明，弗雷谢平均的有限集的图表总是存在的，但不一定是唯一的。一组连续变化的图表的平均值本身并不（必然）连续变化，这在试图将弗雷歇平均值定义扩展到葡萄园领域时会出现明显的问题。我们通过改变Fréchet平均值的原始定义来解决这个问题，这样它现在就变成了持久性图集合上的一个概率测度;简而言之，一组图的平均值将是原子度量的加权和，其中每个原子本身就是一个持久性图，使用输入图的扰动来确定。该定义为每个$N$给出映射$(\mathcal{D}_p)^N \to \mathbb{P}(\mathcal{D}_p)$。我们表明，这张地图是Hölder连续有限图，因此可以用来建立一个有用的统计随时间变化的持久性图，更好地称为葡萄园。
2014-11-18 cs.CG math.AT math.PR
Properties and Stability of Persistence Matching Diagrams
本文提出由度量空间集合映射诱导的持续匹配图，给出几何定义并证明其包含持续态射像、核与余核信息，主要贡献是建立嵌入及集合单射情形下的稳定性定理。
2024-09-25 math.AT
On the Expectation of a Persistence Diagram by the Persistence Weighted Kernel
在拓扑数据分析中，持久同调描述了数据中健壮的拓扑特征，它有一个概要表示，称为持久图。持久性图的统计研究已经得到了积极的发展，持久性加权核显示了一些优于其他持久性图的统计方法。如果数据是从某种概率分布中提取的，那么相应的持久性图就具有随机性。然后，定义了持久性加权核对持久性图的期望。本文从（1）强大数律和中心极限定理，（2）用数值方法估计持久加权核的期望值的置信区间，（3）保证从概率分布到期望值的映射连续性的稳定性定理的观点，研究了概率分布与持久加权核之间的关系.在数值实验中，我们证明了我们的方法给出了一个有趣的反例，在拓扑数据分析的一个共同的看法。
2018-10-26 math.AT math.ST stat.TH
Edit Distance and Persistence Diagrams Over Lattices
本文为持续同调构建了一个以有限度量格索引的过滤单纯复形为输入、以生灭函数的默比乌斯反演持续图为输出的函子化流程，通过证明两个函子均为1-Lipschitz确保了流程稳定性，并推广了经典持续图，证明了瓶颈距离与编辑距离强等价。
2024-08-28 cs.CG math.AT
A Hilbert space embedding of persistence diagrams and barcodes
University of Florida（佛罗里达大学）
该研究证明了配备p-瓦瑟斯坦距离的可数持续态图与条形码的度量空间，可通过持续态景观实现到L^p空间的1-利普希茨希尔伯特空间嵌入。
2026-08-11 math.AT
Computing Persistence Diagram Bundles
本文提出一种计算分段线性持久图丛的算法，详细处理了参数空间为三角剖分曲面的情形，并概述了向更高维度的推广。
2023-09-19 cs.CG math.AT
On the Spectral Synthesis of Lipschitz Vectorizations of Persistence Diagrams
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
研究持久图矢量化，证明其Lipschitz扩展与特定上循环的等距同构，给出相关条件下上循环生成可合成簇的结论，还将谱合成扩展到可分度量对，探讨文献中例子是否有带谱合成的Lipschitz扩展。
2026-10-14 math.AT math.FA
Robust Persistence Diagrams using Reproducing Kernels
The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；The Institute of Statistical Mathematics（统计数学研究所）
持久同调是从数据中提取几何和拓扑特征的重要工具，其多尺度特征可以用持久图来概括。然而，从统计的角度来看，持久性图对输入空间的扰动非常敏感。在这项工作中，我们开发了一个框架，用于构建强大的持久性图从上层过滤的强大的密度估计使用再生核。使用持久性图空间上的影响函数的模拟，我们建立了对离群值不太敏感的建议框架。鲁棒持久性图被证明是瓶颈距离的一致估计，其收敛速度由核的光滑性控制。这反过来又使我们能够在持久性图的空间中构建统一的置信带。最后，我们证明了所提出的方法在基准数据集上的优越性。
2022-06-03 cs.CG cs.LG math.AT
Nonembeddability of Persistence Diagrams with $p>2$ Wasserstein Metric
University of Florida（佛罗里达大学）
持久性图不允许与任何Wasserstein度量相容的内积结构。因此，当将内核方法应用于持久性图时，底层的特征映射必然会导致失真。我们证明了当p > 2时，具有p-Wasserstein度量的持久图不允许粗嵌入到希尔伯特空间中。
2019-10-30 cs.LG math.AT math.FA
Persistence B-Spline Grids: Stable Vector Representation of Persistence Diagrams Based on Data Fitting
Zhejiang University（浙江大学）
近几十年来，已经进行了许多尝试来集成机器学习（ML）和拓扑数据分析。将持久同源性应用于ML任务的一个突出问题是找到持久性图（PD）的矢量表示，持久性图是表示拓扑特征的汇总图。从数据拟合的角度出发，基于最小二乘B样条函数拟合的渐进迭代逼近技术，提出了一种稳定的矢量表示方法--持久性B样条网格（PBSG）。我们从理论上证明了PBSG方法对于定义在PD空间上的1-Wasserstein距离度量是稳定的。在合成数据集、随机生成的PD数据集、动力系统数据集和三维CAD模型上进行了测试，验证了该方法的有效性和高效性
2022-04-22 cs.CG cs.LG math.AT
Topological and metric properties of spaces of generalized persistence diagrams
本文研究带指定子集的度量空间上广义持续图在 Wasserstein 距离下的拓扑与度量性质，刻画紧性、可分完备性、连通测地性、曲率维数及 Hilbert 可嵌入性，并证明最优匹配存在的充要条件。
2023-09-12 math.AT
Persistence diagrams of finite topological spaces
University of Delhi（德里大学）
本文通过远度函数关联持续同调图与有限拓扑空间元素，实现元素的拓扑演化分类，并建立瓶颈稳定性定理，证明两元素对应持续同调图的瓶颈距离以相互远度为上界。
2026-10-14 math.AT
Output-sensitive Computation of Generalized Persistence Diagrams for 2-filtrations
本文提出一种输出敏感算法，利用2-参数与1-参数设置的联系，在O(n^3+Cn)时间内计算广义持久性图表，显著优于暴力算法的Ω(n^4)。
2023-05-16 cs.CG math.AT
Approximating Continuous Functions on Persistence Diagrams Using Template Functions
持久性图是拓扑数据分析中越来越有用的工具，但它与典型的机器学习技术一起使用需要数学技巧。迄今为止最成功的方法是将持久性图映射到向量空间，以最大化保留的结构。这个过程通常被称为特征化。在本文中，我们描述了一个数学框架的featurization称为\emph{template functions}，我们表明，它解决了问题的持续性图空间的紧凑子集上的连续函数近似。具体来说，我们首先描述相对紧性的瓶颈距离，然后提供明确的理论方法，构造紧开稠密子集的持续图上的连续函数。这些密集的子集--通过模板函数获得--用于持久性图的监督学习任务。具体来说，我们测试的方法，包括形状数据和动力系统的几个例子的分类和回归算法。
2022-04-12 cs.CG math.AT math.ST
Bottleneck Stability for Generalized Persistence Diagrams
本文将瓶颈稳定性推广到取值于任意小阿贝尔范畴的一维可构造持久模的情形。
2019-04-06 math.AT
Discrete transforms of quantized persistence diagrams
本文提出 Qupid 方法，通过对数尺度网格分箱和离散变换将持久图高效向量化，在保持竞争力的同时显著降低计算成本，并对网格分辨率降低具有鲁棒性。
2024-10-21 cs.CG math.AT stat.ML
Comparing persistence diagrams through complex vectors
University of Bologna（博洛尼亚大学）
赋予过滤函数的空间的自然伪距离对于形状分类和检索是宝贵的;其来自持久性图的最优估计是瓶颈距离，不幸的是遭受组合爆炸。一个可能的代数表示的持久性图提供了复杂的多项式，因为远多项式表示远持久性图，系数向量的快速比较可以减少数据库的大小进行分类的瓶颈距离。本文通过实验探讨了三种从图到多项式的变换和三种系数复向量间的距离。
2015-07-07 cs.CV math.AT
$\ell^p$-Stability of Weighted Persistence Diagrams
本文引入加权持久图概念，构建其从有限度量测度空间生成的函子化流程，定义对应编辑距离并基于函子性证明其关于特定Gromov-Wasserstein距离的稳定性，还优化编辑距离表述并展示加权图相比未加权图的判别优势。
2025-04-16 math.AT
A Complete Characterization of the 1-Dimensional Intrinsic Cech Persistence Diagrams for Metric Graphs
度量图是一种特殊类型的度量空间，用于建模和表示生物网络、社交网络和道路网络等数据中简单、普遍存在的几何关系。我们感兴趣的是用拓扑摘要给出度量图的定性描述。特别是，我们提供了一个完整的特征的1维内在Cech持久性图的度量图使用持久的同源性。与Adamaszek et. al，这意味着结果内在切赫持久性图在所有维度的一个单一的周期，我们的研究结果构成了重要的步骤，表征内在切赫持久性图的任意度量图在所有维度。
2017-07-07 math.AT
Limit theorems for persistence diagrams
研究了${\bf R}^N$上的一个平稳点过程的持久同调性.作为连续渗流理论的推广，我们在多尺度下研究了点过程的高维拓扑特征，如圈、腔等。关键要素是持久性图，它是持久性同源性的表达。证明了窗口大小趋于无穷大时持久图的强大数律，并给出了极限持久图具有完全支持的充分条件。我们还讨论了持久贝蒂数的一个中心极限定理.
2016-12-26 math.AT math.PR
Contractibility of a persistence map preimage
本工作的动机是以下问题的数据驱动研究的动力系统：给定一个动力系统，观察通过时间序列的持久性图，编码的拓扑结构的解决方案快照，什么结论可以得出的原始动力系统的解决方案？在本文中，我们提供了一个定义的持久性图上的一个点在$\mathbb{R}^N$分段单调函数建模。然后，我们提供的条件下，时间序列的持久性图可以用来保证一个不动点的存在，产生的时间序列的$\mathbb{R}^N$上的流。为了获得这个结果，需要理解持久性映射的原像。本文的主要定理给出了这些原像是可缩单纯复形的条件。
2020-01-26 math.AT math.DS
Medians of populations of persistence diagrams
持久性图是拓扑数据分析领域的常见对象。它们是拓扑摘要，用于捕获数据中的拓扑和几何结构。最近，人们对开发统计分析持久性图群体的工具产生了浓厚的兴趣，这一过程受到持久性图空间复杂几何形状的阻碍。在本文中，我们研究了一组图的中位数，定义为一个适当的费用函数类似于用于实数样本的距离之和的最小值。然后，我们的特点，这个费用函数的局部极小值，并在这样做的特点的中位数。并对中位数和均值的性质进行了比较分析。
2019-02-06 cs.CG math.AT math.MG
Curse of Dimensionality on Persistence Diagrams
本文研究了高维小样本数据下持续同调图的可靠性问题，发现高维噪声会导致其失效（即维度灾难），并证明归一化主成分分析能有效缓解该问题。
2024-04-28 math.AT math.PR math.ST
Convergence of persistence diagram in the sparse regime
本文的目的是研究与Čech过滤相关的持久性图的渐近行为。持久性图是几何对象的拓扑和代数结构的图形描述符。我们考虑在缩放随机样本$r_n^{-1}\mathcal X_n = \{ r_n^{-1}X_1,\dots, r_n^{-1}X_n \}$上的Čech过滤，使得$r_n\to 0$为$n\to\infty$。我们把持久性图作为一个点过程，并建立其极限定理在稀疏制度：$nr_n^d\to0$，$n\to\infty$。在这种情况下，我们表明，$k$ th持久性图的渐近依赖于序列$n^{k+2}r_n^{d(k+1)}$的极限值。如果$n^{k+2}r_n^{d(k+1)} \to \infty$，在Vague度量下，定标持久图几乎必然收敛于确定性Radon测度.如果$r_n$的衰减速度快于$n^{k+2}r_n^{d(k+1)} \to c\in (0,\infty)$，则持久性图弱收敛于一个极限点过程，而无需归一化。最后，如果是$n^{k+2}r_n^{d(k+1)} \to 0$，则持久图的概率分布序列应该被归一化，并且由此产生的收敛将根据$\mathcal M_0$ -拓扑来处理。
2021-09-14 math.AT math.PR
Kernel method for persistence diagrams via kernel embedding and weight factor
拓扑数据分析是一种新兴的数学概念，用于表征多尺度数据中的形状。在该领域中，持久性图被广泛用作输入数据的描述符，并且可以区分鲁棒和噪声拓扑属性。目前，迫切需要在持久性图上开发一个统计框架来处理实际数据。提出了一种持久图的核方法。我们的方法的一个理论贡献是，建议的内核允许一个控制持久性的效果，如果必要的话，嘈杂的拓扑属性可以在数据分析中打折。此外，该方法提供了一种快速近似技术。将该方法应用于包括物理实际数据在内的几个问题，结果表明，该方法在持久性图上优于现有的核方法。
2017-06-12 math.AT physics.data-an stat.ML
Vietoris-Rips Persistent Homology
持久性图是有用的显示，它给出了关于某些现象的拓扑特征的摘要信息。通常，只有一个持久性关系图可用，并且需要复制持久性关系图以进行统计推断。生成这些复制的一个选项是在持久性图上拟合点的分布。相关分布的类型取决于持久性图的构建方式。有两种方法来建立持久性图，一种是基于Vietoris-Rips复形，第二种是基于一些拟合函数，如核密度估计。这两种方法产生一个二维持久性图，其中每个点的坐标是“出生”和“死亡”的时间。然而，对于第一种方法，对于呈现现象的连通分量的所有点，“出生”时间都是零。在本文中，我们研究的连通组件的分布时，持久性图是基于Vietoris-Rips复杂。此外，我们研究的连接组件的行为时，测量噪声的现象。
2019-05-15 math.AT
Persistence Spheres: Bi-continuous Representations of Persistence Diagrams
Department of Mathematics, KTH（数学系，皇家理工学院）
本研究提出持久球面这一持久图的新型双连续函数表示，兼具理论最优的稳定性与几何保真性，可高效并行计算，在多类任务基准测试中性能达到当前最优或具竞争力水平。
2025-09-21 cs.LG math.AT
On the Universality of Random Persistence Diagrams
在拓扑数据分析领域中，最难以理解的挑战之一是理解持久性图的分布。尽管作出了很大努力，但这在很大程度上仍然是一个悬而未决的问题。在本文中，我们提出了一系列新的持久性图的行为所产生的随机点云。我们声称，这些图服从一个普遍的概率定律，并包括一个明确的表达作为候选人，这个法律是什么。我们用一组详尽的实验来支持这些假设，包括模拟和真实数据。我们证明了这些approachtures的力量，提出了一个新的假设检验框架内的持久性图的个别功能。
2022-07-08 math.AT math.PR math.ST
Positivity of Multiparameter Persistence Diagrams and Bottleneck Stability
持久同调研究参数化空间族中圈的生与死。在本文中，我们研究的出生和死亡的循环在多重过滤的链复形的目标是产生持久性图，满足瓶颈稳定性。
2021-07-06 math.AT
The Space of Persistence Diagrams on $n$ Points Coarsely Embeds into Hilbert Space
通过证明$n$点上的持久图空间具有渐近维数$2n$，证明了$n$点上的持久图空间（具有瓶颈或Wasserstein距离）粗嵌入希尔伯特空间.这样的嵌入使得能够在持久性图的空间上利用希尔伯特空间技术。我们还证明了当点的个数没有界时，相应的持久图空间没有有限的渐近维数。此外，在瓶颈距离的情况下，相应的空间不粗嵌入到希尔伯特空间。
2021-10-21 math.AT math.GT math.MG
Embeddings of Persistence Diagrams into Hilbert Spaces
University of Florida（佛罗里达大学）
由于持久性图不允许内积结构，因此需要一个到希尔伯特空间的映射才能使用核方法。人们自然会问这样的映射是否必然会扭曲持久性图上的度量。我们表明，持久性图的瓶颈距离甚至不承认一个粗糙的嵌入到希尔伯特空间。作为我们的证明的一部分，我们表明，任何可分离的，有界的度量空间等距嵌入到空间的持久性图的瓶颈距离。作为推论，我们得到了这个空间的广义圆性、负型和渐近维数。
2020-03-22 cs.LG math.AT math.MG
Adaptive template systems: Data-driven feature selection for learning with persistence diagrams
Michigan State University（密歇根州立大学）
持久性图的特征提取作为丰富机器学习技术的一种工具，近年来受到越来越多的关注。在本文中，我们探讨了一种自适应的方法来本地化的持久图，然后在学习任务中使用的功能。具体来说，我们研究了三种算法，CDER，GMM和HDBSCAN，以获得自适应模板功能/功能。所述功能进行评估，在三个分类实验与持久性图。即，流形，人体形状和蛋白质分类。我们的分析的主要结论是，自适应模板系统，作为一种特征提取技术，在所研究的例子中产生有竞争力的，往往是优越的结果。此外，从这里研究的自适应算法，CDER始终提供最可靠和强大的自适应特征化。
2019-10-13 cs.CG cs.LG eess.IV
A Schauder Basis for Multiparameter Persistence
本文针对多参数持久性模的统计与机器学习需求，提出通过迭代细化三角剖分构建紧支撑Lipschitz泛函的Schauder基，将带符号持久性图嵌入实值序列空间，并证明该基在相对Radon测度空间中具有最小性。
2025-10-11 math.AT
A limit theorem for persistence diagrams of random filtered complexes built over marked point processes
我们考虑欧几里得空间上的标记点过程上的随机过滤复形。我们的过滤复合物的例子包括一个过滤的$\check{\textrm{C}}$ ech复合物的一个家庭的集合具有各种大小，增长，和形状。当观测标值点过程的凸窗口的大小趋于无穷大时，我们建立了持久性图的大数定律。
2021-03-16 math.AT math.PR
Persistence Diagrams with Linear Machine Learning Models
Advanced Institute for Materials Research (WPI-AIMR), Tohoku University（东北大学材料科学高等研究所）；Center for Materials research by Information Integration (CMI2), Research and Services Division of Materials Data and Integrated System (MaDIS), National Institute for Materials Science (NIMS)（日本国立材料科学研究所材料信息集成研究中心材料数据与综合系统研究服务部）
持久性图作为一种描述数据多尺度拓扑特征的简洁描述符已被广泛认可。当有许多数据集可用时，可以通过应用机器学习来提取嵌入在这些持久性图中的统计特征。特别是，从持久性图的统计特征中显式地分析原始数据空间中的逆的能力对于实际应用是非常重要的。在本文中，我们提出了一个统一的方法，通过结合线性机器学习模型与持久性图像的逆分析。将该方法应用于点云数据和三次曲面数据，显示了该方法的统计反分析能力和优越性。
2017-07-06 cs.CV cs.LG math.AT
Reduction Algorithms for Persistence Diagrams of Networks: CoralTDA and PrunIT
University of Manitoba（曼尼托巴大学）；University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
拓扑数据分析（TDA）提供了传统方法无法获得的数据内在属性的宝贵和补充信息。然而，高计算成本仍然是阻碍TDA在现实世界研究中成功应用的主要障碍，特别是在大型复杂网络上的机器学习。事实上，大多数现代网络，如引文、区块链和在线社交网络，往往有数十万个顶点，使得现有的TDA方法的应用不可行。我们开发了两个新的，非常简单，但有效的算法来计算大图的精确持久性图，以解决这个主要的TDA限制。首先，我们证明了图$\mathcal{G}$的$(k+1)$ -core足以计算它的$k^{th}$持久图$PD_k(\mathcal{G})$ .其次，我们引入了一个剪枝算法，通过删除控制顶点来计算图的持久性图。我们在大型网络上的实验表明，我们的新方法可以实现高达95%的计算增益。所开发的框架提供了图论和TDA之间的第一个桥梁，在大型复杂网络的机器学习中的应用。我们的实现可以在https://github.com/cakcora/PersistentHomologyWithCoralPrunit上获得
2022-11-24 cs.CG cs.LG math.AT
Contractions in persistence and metric graphs
证明了从空间$X$到其子空间$A$的$1$ -Lipschitz收缩（收缩）的存在性，暗示了$A$的持久图嵌入到$X$的持久图中.作为一种工具，我们引入了持久化模块的紧密注入，作为诱导上述嵌入的映射。证明了度量图中最短回路上的收缩总是存在的，并推测了平面度量图中最短同调基上所有回路上的收缩的存在性。主要感兴趣的是测地空间中的环上的收缩。它们作为理想的圆坐标。此外，由于Adamaszek和Adams定理描述了$S^1$持久图的模式，因此压缩$X \to S^1$意味着相同的模式出现在$X$的持久图中。
2022-01-27 math.AT
Virtual persistence diagrams, signed measures, Wasserstein distances, and Banach spaces
本文研究持续图与 Radon 测度的 Wasserstein 距离，将 1-Wasserstein 距离扩展到虚拟持续图和符号测度，并刻画其 Cauchy 完备化及等距嵌入的 Banach 空间构造。
2021-12-04 math.AP math.AT math.MG
Persistence Diagrams as Diagrams: A Categorification of the Stability Theorem
持久同源性是拓扑数据分析的核心工具，它提供了称为条形码（也称为持久性图）的数据的不变量。条形码只是一个真实区间的多重集合。Edelsbrunner、Jablonski和Mrozek最近的工作提出了条形码作为函子R -> Mch的等价描述，其中R是实数的偏序集范畴，Mch是其对象是集合并且其态射是匹配的范畴（即，部分内射函数）。这样的函子形成范畴Mch^R，其态射是自然变换。因此，条形码的这种解释给了我们一个迄今为止尚未研究的条形码分类结构。本说明的目的是表明，这种范畴结构导致了众所周知的持久同调稳定性定理和最近的一个称为诱导匹配定理的推广的令人惊讶的简单重新表述。
2019-06-10 cs.CG math.AT math.CT
Wasserstein Stability for Persistence Diagrams
本文针对持久性图提出基于p-Wasserstein距离的新稳定性定理，含初等证明与代数框架，并应用于TDA中的拓扑摘要、持久性变换及Vietoris-Rips复形。
2025-07-10 math.AT
Grassmannian Persistence Diagrams: Special Properties in the 1-Parameter Setting
本文探讨了单参数过滤的 Grassmannian 持久图的判别能力及其计算，揭示了其与 persistent Laplacians 和 Harmonic Barcodes 的联系，并证明度数-0 图等价于 treegrams，从而可恢复有限超度量空间。
2025-04-29 math.AT math.CO
